一元二次方程(全章共21课教案)人教版

《一元二次方程》全章教案第一课时 1 设计思路通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。

从而引出一元二次方程的一般式，并能识别各项的系数。

培养学生的观察能力和思维能力。

3 教学目标1． 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，2． 经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。

2．解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。

教学重点：正确掌握一元二次方程的概念和一般形式。

教学难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”。

三、教学过程 11) 会根据实际问题中的数量关系列出方程。

1．方形桌面的面积是2m 2，求它的边长？2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。

如果花圃的面积是24m 2，求花圃的长和宽？3． 我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 平均每年增长的百分率是多少？4． 长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。

如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

根据题意列出方程22=x2225)3()4(=++-x x 2.7)1(52=+x24)219(=-x x(二)观察以上四个方程它们有什么共同特点1 都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.(三)一元二次方程的概念:像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(四) 例1:判断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x xx x x x ==+++-=-=+-===+(五)一元二次方程的一般形式:ax 2+ bx +c=0(a 、b 、c 为常数且a ≠ 0) 注意:为什么要限制a ≠0，b ,c 可以为零吗？并指出一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数(六) 例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.2(2)510 2.20x x +-=2(1)109000x x --=2(4)30x x += 2(3)2150x -=(5)3)2(2=+x (6)0)3)(3(=-+x x 四、归纳小结（一）小组讨论学习成果,并总结本节课的知识点,提出疑点,由同学解答或老师解答. （二）教师讲解、板演例题、小结（突出重难点）1. 一元二次方程的概念.2.例1、例2解题过程. 五、练习应用1.课本P81练习第1、2、题.2.《探究与训练》P65第1-5题.六、作业:A 组：课本P82习题 1B 组：《探究与训练》P66第10题.第1课时 4.2 一元二次方程的解法一、设计思路本节课是在上学期平方根的基础上，通过引导学生回顾平方根，探索一元二次方程的基本解法---直接开平方法，初步感受一元二次方程的解的特点和解法，在探索活动中，激发学生大胆尝试、探索发现一元二次方程的解法的热情，充分发挥学生的主体意识，让他们在自主探索、合作交流的氛围中学习，并渗透转化的数学思想，以提高学生分析问题，解决问题的能力． 二、教学目标1．让学生探索一元二次方程的解法，使学生在尝试、探索、比较等活动中，发现解一元二次方程---直接开平方法．2．会用直接开平方法解形如()()02≥=+k k h x 的方程．教学重点：会用直接开平方法解形如()()02≥=+k k h x 的方程．教学难点：掌握直接开平方法．直接开平方法与一个数的平方根的关系 三、教学过程（一）回顾平方根的含义，会求一个数的平方根如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。

第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4〓7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4 .3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2 解一元二次方程21．2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10〓6x 2＝1500__，由此可得__x 2＝25__，根据平方根的意义，得x ＝__〒5__，即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x －1＝〒5__，即将方程变为__2x －1＝5和__2x －1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝__1＋52，x 2＝__1－52__． 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝〒2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝〒p 或mx ＋n ＝〒p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50；(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2＝50，y 2＝4， (x －8)2＝25，y ＝〒2， x －8＝〒5，∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5，∴x 1＝13，x 2＝3；(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2－4x ＋1＝0，(2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2＝0，∴原方程无解； 2x －1＝0，∴x 1＝x 2＝12. 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1〒73；(2)－1〒26；(3)4〒113. 点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．解：〒1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝－1，x 2＝13； (4)x 1＝16，x 2＝－16； (5)x 1＝92，x 2＝－92； (6)x 1＝0，x 2＝－10；(7)x 1＝1，x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p ≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2；(3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2. 2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__〒12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式，得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝〒5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__， 解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝〒2；(2)x 1＝－12，x 2＝52；(3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4，由此可得x ＋3＝〒2，即x 1＝－1，x 2＝－5.(2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1，配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54， 由此可得x ＋32＝〒52，即x 1＝52－32， x 2＝－52－32. (3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，移项得x 2＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝〒5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m/s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12〓12〓8〓6， 即x 2－14x ＋24＝0，(x －7)2＝25，x －7＝〒5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去． 答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5；(2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174； (4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值． 解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2〓(－3)]－2＝136. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0.解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b〒b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)x ＝－b〒b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14. 3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3； (4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b〒b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a ，b ，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2〒2ab＋b2＝__(a〒b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x －4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x －4.9x 2＝0， ①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x ＝0或10－4.9x ＝0， ②∴x 1＝__0__，x 2≈2.04．上述解中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72； (3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45； (2)x 1＝23，x 2＝－12； (3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6；(2)x 1＝43，x 2＝－2； (3)x 1＝12，x 2＝－12； (4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.解：(1)x 1＝0，x 2＝－1；(2)x 1＝0，x 2＝23；(3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112，x 2＝－112； (5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m.则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表： 方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 x 2－5x ＋6＝02 3 5 6 x 2＋3x －10＝0 2 －5 －3 －10问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律. 答：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q.自学2：完成下表： 方程x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1x 2 2x 2－3x －2＝0 2 －1232 －1 3x 2－4x ＋1＝013 1 43 13 问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝__－b ＋b 2－4ac 2a__，x 2＝__－b －b 2－4ac 2a__． x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0；(3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1；(2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15；(2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3； (3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14. 点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c.2．已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．解：另一根为32，k ＝3. 点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β.解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0.解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15；(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1；(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8；(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a ，b ，c.2．当且仅当b 2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a (比前面有负号)，x 1x 2＝c a(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x ＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x ＋1)__人患了流感．则列方程：__(x ＋1)2＝121__，解得__x ＝10或x ＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x ，新两位数为__10x ＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1008__，解得 x 1＝__2__，x 2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A ．x(x ＋1)＝2550B ．x(x －1)＝2550C ．2x(x ＋1)＝2550D ．x(x －1)＝2550〓2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x －1)张相片，全班共送出x(x －1)张相片，可列方程为x(x －1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x 个小分支，则有1＋x ＋x 2＝91， 即x 2＋x －90＝0，解得x 1＝9，x 2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x ，则列方程为：__x 2＋(x ＋4)2＝10(x ＋4)＋x －4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )A ．2和4B ．6和8C ．4和6D ．8和102．教材P第2题、第3题21学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟) 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1〒x)n＝b，其中a 是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)〔2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)〔2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x ，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x 1≈0.23，x 2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__． ②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y 1≈0.23，y 2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x ，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元， 12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数〕基准数设基准数为a ，增长率为x ，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n 月(或n 年)后产量为a(1＋x)n ；如果已知n 月(n 年)后产量为M ，则有下面等式：M ＝a(1＋x)n .解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%)分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x ，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320， 整理，得1280x 2＋800x ＋1600x ＝320，即8x 2＋15x －2＝0， 解得x 1＝－2(不符，舍去)，x 2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg ，2013年平均每公顷产8460 kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x ，则有7200(1＋x)2＝8460，。

21．1一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c＝0解析：选项A中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是 2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1＝0是一元二次方程，则k的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k－1|＝2，k＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＝3或k＝－1，k≠－1.∴k＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x2－2＝5x；(2)9x2＝16；(3)2x(3x＋1)＝17；(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m －1)＋1＋1＝0，解得m ＝－1，此时m －1＝－2≠0，∴m ＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用 次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则ba＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴ba＝2，∴b a＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.第2课时 配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x 2－6x －5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究 探究点：配方法 【类型一】配方用配方法解一元二次方程x 2－4x＝5时，此方程可变形为( )A ．(x ＋2)2＝1B ．(x －2)2＝1C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 解析：由于方程左边关于x 的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x ＝5，所以x 2－4x ＋4＝5＋4，所以(x －2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x＋4x＋y－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.21．2.2 公式法1．知道一元二次方程根的判别式的概念． 2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围． 3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程． 一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C.方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．【类型三】说明含有字母系数的一元二次方程根的情况已知：关于x 的方程2x 2＋kx －1＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2＋8＞0，即Δ＞0，∴方程2x 2＋kx －1＝0有两个不相等的实数根． 方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．【类型四】一元二次方程的根的情况的实际应用小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．探究点二：公式法解一元二次方程【类型一】用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)2x2＋x－6＝0；(2)x2＋4x＝2；(3)5x2－4x＋12＝0；(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一般形式，再求解．解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x＝－b±b2－4ac2a＝－1±492×2＝－1±74，即原方程的解是x1＝－2，x2＝32.(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝－4±242＝－2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有实数根．(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac＝0，∴x1＝x2＝－32.方法总结：用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的长为( )A．7 B．3C．7或3 D．无法确定解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8.所以第三边的长x＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计教学过程中，强调用判别式去判断方程根的情况，首先需把方程化为一般形式．同时公式法的得出是通过配方法来的，用公式法解方程∴前提是Δ≥0.21．2.3 因式分解法1．认识用因式分解法解方程的依据． 2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，类似的解方程(x ＋1)(x －1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x ＋1＝0或x －1＝0来解，你能求出(x ＋3)(x －5)＝0的解吗？ 二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程 【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋5x ＝0；(2)(x －5)(x －6)＝x －5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x (x ＋5)＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5； (2)原方程转化为(x －5)(x －6)－(x －5)＝0，∴(x －5)[(x －6)－1]＝0，∴(x －5)(x －7)＝0，∴x －5＝0或x －7＝0，∴原方程的解为x 1＝5，x 2＝7. 【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程 用因式分解法解下列方程： (1)x 2－6x ＝－9； (2)4(x －3)2－25(x －2)2＝0. 解：(1)原方程可变形为：x 2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，∴x －3＝0，因此原方程的解为：x 1＝x 2＝3.(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43. 方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．探究点二：用因式分解法解决问题若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC的形状． 解析：先分解因式，确定a ，b ，c 的关系，再判断三角形的形状．解：∵a 2－ac －ab ＋bc ＝0，∴(a －b )(a－c )＝0，∴a －b ＝0或a －c ＝0，∴a ＝c 或a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．一、情境导入一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n是方程2x －x －2＝0的两实数根，则1m ＋1n的值为( )A ．－1 B.12 C ．－12 D ．1解析：根据根与系数的关系，可以求出m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝12，mn ＝－1，1m ＋1n ＝n ＋m mn ＝12－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和－5，则这个一元二次方程是( )A ．x 2－6x ＋8＝0B ．x 2＋9x －1＝0C ．x 2－x －6＝0D ．x 2＋x －20＝0解析：∵方程的两根分别是4和－5，设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝－20.如果令方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2＋x －20＝0.故选D. 方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项． 【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解 (2014·云南曲靖)已知x ＝4是一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根，则另一个根为________．解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1.方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决． 【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 )关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a的值是( )A ．－1或5B ．1C ．5D ．－1解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x 1，x 2，由题意，得x 21＋x 22＝5.∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝5.∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2a ，∴a 2－2×2a ＝5.解得a 1＝5，a 2＝－1.又∵Δ＝a 2－8a ，当a ＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a ＝5.当a ＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－2aa －6，x 1x 2＝aa －6.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋4＝x 1x 2，∴－2a a －6＋4＝a a －6，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－2a a －6＋4＝aa －6的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立．(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋aa －6＋1＝66－a 为负整数，则6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a ＝7或8，9，12.三、板书设计教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.21．3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与一元二次方程1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．一、情境导入某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？二、合作探究探究点：传播问题与一元二次方程【类型一】疾病传染问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染源”，每个人又传染给了x个人，这样，在第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)人，根据等量关系可列一元二次方程解答．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)7×64＝448(人)．答：又将有448人被传染．方法总结：建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键．【类型二】分裂增长问题月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，根据题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝－9(舍去)．答：每个支干长出8个小分支．三、板书设计教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数.第2课时平均变化率与一元二次方程1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？二、合作探究探究点：用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．答：这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．答：2014年这种产品的产量应达到110万件．方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.(2014·新疆乌鲁木齐)某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入－每个月的维护费，然后解不等式．解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x2＝80，∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．【类型三】方案设计问题(2014·内蒙古兴安)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．三、板书设计教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.。

初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。

21.1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重点难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式、和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 学习过程：一、一元二次方程定义：问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________ 整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ② 问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计新人教版九年级数学上册第21章一元二次方程教学设计第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程※教学目标※【知识与技能】1.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.2.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.【过程与方法】1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．【教学重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．【教学难点】通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．※教学过程※一、情境导入雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x m，则其上部高为(2-x)m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?二、探索新知由上述问题，我们可以得到，即 .显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究问题1如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？教师设置如下问题学生讨论：如果设四角折起的正方形的边长为x cm，则制成的无盖方盒的底面长为多少？宽为多少？由底面积为3600m2可得到的方程又是怎样的？讨论结果：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为(100-2x)cm，宽为(50-2x)cm.根据方盒的底面积为3600m2，得(100-2x)(50-2x)=3600.整理，得 .化简得 .由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.探究问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：这次比赛共安排多少场？若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？这样共应有多少场比赛？由此可列出的方程是什么？化简后的方程是什么？讨论结果：全部比赛的场数为 .设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.列方程 .整理，得 .化简，得，即 .观察思考，口答下面的问题：上面的方程整理后含有几个未知数？按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：都只含一个未知数x；它们的最高次数都是2次的；都有等号，是方程．归纳总结像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．想一想二次项系数a为什么不能为0？在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c一定是正数吗？探究问题3探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可列下表：x 1 2 3 4 5 7 8 9 10 ......x2-x-56由上表可得，当x=8时，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.学生思考方程有一个根为x=8，它还有其他的根吗？当x=-7时，，故x=-7也是方程的一个根.归纳总结使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为，．三、掌握新知例1求证：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明即可．证明：∵，∴，即．∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．例2 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．分析：一元二次方程的一般形式是．因此，方程必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得．移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．四、巩固练习1.在下列方程中，一元二次方程的个数是① ,② ,③ ,④ .个个个个2.已知方程的一个根是，则m的值为________．3.关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_________.4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.答案：2.-13≠14. ，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；，其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.。

第十二章一元二次方程第1课一元二次方程一、 教学目的1 •使学生理解并能够掌握整式方程的定义.2 •使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义.3 •使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式.二、 教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义.难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别. 三、 教学过程 复习提问1. 什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2. 指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l;(2)6x-5y=7 ;-70^ + 825 = 0；3. 结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”.引入新课1. 方程的分类：通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是(I)—元一次方程£ 3x +4 = 1*= 5)⑵二元二次方程：6s -5y = 7,年-专=0;* 4 5 3〔3)分式方程* 1 --- ----0; ?+ ------ = 4；y y -* 2没学过的方程是2x -70x+825=0 , x(x+5)=150 .这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程.”而在整式方程中， “只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.”据此得出复习中学生未学过的方程是____ 2⑷一元二次方程：x-70x+825=0 , x(x+5)=150 .同时指导学生把学过的方程分为两大类：〔整式方程; |分式方桎.(7)x(z + 5) = ISO,2•—元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程2x -70x+825=02和方程 x(x+5)=150，即 x +5x=150, 可化为：x +5x-150=0 •从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为2ax +bx+c=O(a 丰 0)的形式•并称之为一元二次方程的一般形式•强调，其中ax , bx , c 分别称为二次项、一次项、常数项；a , b 分别称为二次项系数、一次项系数•要特别注意：二次项系数 a 是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0,不再是二次方程了 ); b , c 可为任意实数.例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8 化成一般形式.并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项.讲解例题课堂练习 P5-6 1 、2课堂小结判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次.2•一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最 高次数是2,则这样的整式方程称一元二次方程.其一般形式是ax 2+bx+c=0(a 工0),其中b ,c 均可为任意实数，而 a 不能等于零.作业：教材中相关习题.第2课一元二次方程的解法(一)一、 教学目的1 •使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程. 2•引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程 ax 2+c=0(a >0, cv 0)的方法.二、 教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根. 难点：正确地表示方程的两个根. 三、 教学过程 复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据. 求下列各式中的x ：2 2 2 21. x =225; 2 . x -169=0 ; 3. 36x =49; 4 . 4x -25=0 .回答解题过程中的依据.1.方程分为两大类:方程整式方桂; 分式方程.解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数.即一般地，如果一个数的平方等于a(a > 0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数.引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1解方程x 2-4=0 .解：先移项，得x2=4.■ = ±即x i=2, X2=-2 .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.例2解方程(x+3) 2=2.讲解例2练习：P7 1、2小结1. 本节主要学习了简单的一元二次方程的解法一一直接法.22. 直接法适用于ax +c=0(a > 0, c v 0)型的一元二次方程.作业：习题12.1A组1、2第3课一元二次方程的解法(二)一、教学目的1•使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法.2•使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程•并由此体会转化的思想.二、教学重点、难点重点：掌握配方的法则.难点：凑配的方法与技巧.三、教学过程复习过程用开平方法解下列方程：2 2(1) x =441; ⑵ 196x -49=0;引入新课我们知道，形如X2-A=0的方程，可变形为x2=A(A> 0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解.那么，我们能否将形如ax2+bx+c=0(a > 0)的一类方程，化为上述形式求解呢? 这正是我们这节课要解决的问题.新课我们研究方程X2+6X+7=0的解法：2 2 2 2 2将方程视为：x+2 • x • 3=-7 , 即x +2 • x • 3+3 =3 -7 ,二(x+3) =2,解之，得梵+ 3二士姙即Xj = -3+ J2,衍八?；-后这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解.例1解方程X2-4X-3=0 .配方法解之.在解的过程中，介绍配方的法则.例2解方程2X2+3=7X.7 7应用配方法解之，注意讲-弓的一半应为-彳-练习：P10 1、2小结：应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的要点是：(1) 化二次项系数为1;(2) 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3) 方程两边各加上一次项系数一半的平方；作业：习题12.1 3第4课一元二次方程的解法(三)一、教学目的1•使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力.2•使学生掌握公式法解一元二次方程的方法.二、教学重点、难点重点：要求学生正确运用公式解方程.难点：求根公式的推导过程.三、教学过程复习提问提问：当x2=c时，c > 0时方程才有解，为什么？练习：用配方法解下列一元二次方程2 2(1)X -8X=20 ; (2)2X-6X-1=0 .引入新课我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？新课(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的步骤.解：••• a工0,两边同除以a,得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得b ( b Vc ( b V—匕）+九/b 2 —冷sc据此指岀’ x - ---------- ---------- （b 2 -4ac^0）,叫做一兀二次方程atx*十bx + c = 0元二次方程的方法叫做公式法.一元二次方程的关键在于：（1）将方程化为一般形式 ax 2+bx+c=0（a 丰0）;a ,b ,c 代入求根公式.X 2-3X +2=0 .练习P14 1小结1.本节课我们推导出了一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a 丰0）的求根公式，即~b t 4ac rx = ----------- ---------- (b 2 -4ac^0),要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b 2-4ac > 0 •2 •应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解.作业：习题12.1A 组4第5课一元二次方程的解法（四）一、 教学目的使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法. 二、 教学重点、难点重点：用求根公式求一元二次方程的根的方法. 难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法. 三、 教学过程 复习提问b -4ac、:4a 2>0 3®,当b 2 -4ac>0时,2a亠 b + Jb' a 4丸c 耳i ----------- 二 ----- ’耳-b - Jt? 4 貳2a（a 工0）的求根公式•用此公式解 应用求根公式解 ⑵将各项的系数例1解方程 讲解例1例2解方程 讲解例2 2X 2+7X =4 •1. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的求根公式是什么？2. 求根公式成立的前提是什么？引入新课在用求根公式解一元二次方程时，是否会遇到一些特殊现象？可看下述几例.新课例3 解方程x3 -272^ + 2 = 0.讲解例3例4解方程x2+x-1=0 .（精确到0.001）讲解例4例5解关于x的方程x -m（3x-2m+n）-n =0.讲解例5练习：P14 2小结：1-解一元二次方程as ' + bx + c = 0（a x 0）时- 4ac = 0,其有等根可~ .2a2 .在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定b2-4ac > 0后，再用求根公式解之.作业习题12.1 A组5 6第6课一元二次方程的解法（五）一、教学目的使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法.二、教学重点、难点重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解.三、教学过程复习提问1. 在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？2. 方程x2=4的解是多少？引入新课方程x2=4还有其他解法吗？新课众所周知，方程x2=4还可用公式法解.此法要比开平方法繁冗.本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法一一因式分解法.我们仍以方程X2=4为例.移项，得x 2-4=0 ,对X2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0我们知道：-- - -••• X+2=0 , X-2=0 .即X i=-2 , X2=2.由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之.这种方法叫做因式分解法.2例1解下列方程：(1)X -3X-10=0 ;(2) (X+3)(X-1)=5 .在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之.例2解下列方程：2(1) 3x(x+2)=5(x+2) ; (2)(3X+1)-5=0.在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(X+2)(3X-5)=0后求解；讲本例⑵时，要突出讲化方程为：(3u + l)3-G/5)a=0.再利用平方差公式因式分解后求解.注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”.例3解下列方程：(1)3X 2-16X+5=0 ; (2)3(2X 2-1)=7X .依照教材中的解法介绍，此类题需用十字相乘法解之.练习：P20 1、2小结对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是1. 将方程化为一般形式；2. 把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)3. 使每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程；4. 解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根.作业：习题12.2 A组1第7课一元二次方程的解法(六)一、教学目的使学生进一步巩固掌握一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法.二、教学重点、难点重点：一元二次方程的四种常见解法的复习.难点：选择适当的方法解一元二次方程.三、教学过程例1解下列方程：3^6 1(l)5x a -- = 0； (2Xx -l)a -1S = O；(3)x^ - -x + - = 0.讲解例1例2解下列方程：2(1) 5x(5x-2)=-1 ；(2)(x-2) +10(x-2)+16=0 .讲解例2例3用适当的方法解下列方程：⑴賦直+ 2)弋+ 2)(x-3,⑵佇+ 24岳-9 7(3)3(2/ -3)-x；(4)(1 - -(1 +讲解例3小结在解一元二次方程时，要注意根据方程的特征，选择适当的方法灵活的解决问题.作业习题12.2 A组2第8课一元二次方程的根的判别式(一)一、教学目的1•使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式.2•使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况.二、教学重点、难点重点：一元二次方程根的判别式的应用.难点：一元二次方程根的判别式的推导.三、教学过程复习提问1•一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2•用公式法求出下列方程的解：2 2 2(1) 3x + x —10= 0; (2)x —8x + 16= 0; (3)2x —6x + 5 = 0.引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根.作业：习题12.3 A 组1--4接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的 根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探 讨的课题.(板书本课标题)新课先讨论上述三个小题中 b 2-4ac 的情况与其根的联系.再做如下推导： 对任意一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a丰0)，可将其变形为, b a b a - 4ac b 2 -4ac二 -------------- 時~•/ 0,「. 4a 2> 0.由此可知b 2- 4ac 的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况.(1)当b 2 - 4ac > 0时，方程右边是一个正数.因此方程盼_畀忙至土戸［这样两个不相等2a2a的实数根，⑵ 当b 2-4ac = 0时，方程右边是 0.⑶当沪-牧<0时，方程右边是一个负数，而方程的左边(盟+ £尸不可能是 个负数.因此，方程役有实根.通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的根的情况可由b 2- 4ac 来判定.故 称b 2- 4ac 是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的根的判别式，通常用“△”来表示.综上所述，一元二次方程2ax + bx + c = 0(a 丰 0)当厶> 0时，有两个不相等的实数根； 当厶=0时，有两个相等的实数根； 当△< 0时，没有实数根.反过来也成立. 注：“△” 读作“ delta ”.例 不解方程，判别下列方程根的情况：2 2 2(1)2x + 3x - 4= 0; (2)16y + 9= 24y ; (3)5(x + 1) - 7x = 0.分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可.练习：P26 1 2 3 小结应用判别式解题应注意以下几点：1. 应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件.2. 不必解方程，只须先求出△，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来.3. 其逆命题也是成立的.因此，方程有衍二◎二£这样两个相等的实数根「第9课一元二次方程的根的判别式(二)一、教学目的通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力•培养学生思考问题的灵活性和严密性.二、教学重点、难点重点：巩固掌握根的判别式的应用能力.难点：利用根的判别式进行有关证明.三、教学过程复习提问1. 写出一元二次方程ax2+ bx + c = 0的根的判别式.2. 方程ax2+ bx + c = 0(a丰0)的根有哪几种情况？如何判断？引入新课教材中“想一想”提出了如下问题：已知关于x的方程2 22x -(4k+1)x+2k -仁0 ,其中△ =[-(4k+1)] 2-4 X 2 X (2k 2-1)2 2=16k +8k+1-16k +8=8k+9.想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根.新课上述问题，实际上是这样一道题目.例1当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k 2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根. 讲解例1例2求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k 2+4)=0没有实数根.分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式△<0即可.例3证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m 2有两个不相等的实数根.讲解例3例4已知a, b, c是厶ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a 2+b2-c 2)x+b 2=0没有实数根. 讲解例4练习：1. 若m^ n,求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+ n2=0无实数根.2. 求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m 2+m=0有两个不相等的实数根.小结解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：1. 计算△;2. 用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；3. 判断△的符号，得出结论.作业：习题12.3 B组作业：习题12.4 A 组1一、 教学目的1 •使学生掌握一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理），并学会初步运用.2 •培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力.二、 教学重点、难点重点：韦达定理的推导和初步运用. 难点：定理的应用. 三、 教学过程 复习提问1.一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的求根公式应如何表述？ 2•上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课- 、2兀二次方程 ax + bx + c = 0（a 丰0）的两根为2ab c_,巧•屯=—.aa由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系:（又称“韦达定理”）2引 + 乃二一 Z'™如果ax + bx + c = 0（a 丰0）的两个根是 X 1, X 2，那么■■-八我们再来看二次项系数为 1的一元二次方程 x 2 + px + q = 0的根与系数的关系.如果把方程 ax' + bx + c = 0（a7^ 0）变形为，+- = 0,a a我们就可以将之写成疋+ pz+q=0的形式，其中p=-f 沪二aa得出：如果方程x 2+ px + q = 0的两根是X 1, X 2,那么 由 x 1 + X 2=— p , X 1X 2= q 可知p =— （x 1 + X 2）,•••方程 x + px + q = 0,2即 X — （x 1 + X 2）x + X 1 • X 2= 0. 这就是说，以两个数X 1, X 2为根的一元二次方程2X —（X 1 + X 2）X + X 1 • X 2= 0.例1已知方程5X + k x — 6 = 0的一个根是2,求它的另一根及 k 的值.讲解例1 x i + X 2=— p , X 1X 2= q . q = X 1 • X 2,（二次项系数为1）是2.要掌握定理的两个应用： 一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已练习P32 1 2 小结1.本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理.知方程一根求另一根及系数中字母的值.一、 教学目的1 •复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理.2•学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”. 3•通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力.二、 教学重点、难点重点：已知方程求关于根的代数式的值.难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式. 三、 教学过程 复习提问1•一元二次方程根与系数关系的定理是什么？ 2. 下列各方程两根之和与两根之积各是什么？2 2（1）x — 3x — 18= 0; （2）x + 5x + 4= 5;2 2（3）3x + 7x + 2= 0; （4）2x + 3x = 0.引入新课考虑下列两个问题；1 .方程5X? + kx — 6= 0两根互为相反数，k 为何值？ 2. 方程2x 2+ 7x + k = 0的两根中有一个根为 0, k 为何值？我们可以从这两题中看出， 根与系数之间的运算是十分巧妙的.本课我们将深入探讨这一问题.新课例2利用根与系数的关系， 求一元二次方程 2x 2 + 3x — 1 = 0两根的（1）平方和；（2）倒数 和.例3求一4 元二次方程，使它的两个根是-巧F 2舟.在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x 2 + px + q = 0中的p , q 的值.例4已知两个数的和等于 8,积等于9，求这两个数.这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：（1）运用定理构造方程；（2）解方程求两根；（3）得出所欲求的两个数.练习：P32 3、4、5 小结本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：（1）已知方程求两根的各种代数式的值；（2）已知两根的代数式的值， 构造新方程；（3）已知两根的和与积， 构造方程，解方程, 求出与根对应的数.作业：习题12.4 A 组2、3、4一、教学目的1 •使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系.2•使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式.二、教学重点、难点重点：用求根法分解二次三项式.难点：方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别.三、教学过程复习提问2 2 2解方程：1 . x-x-6 = 0; 2 . 3x-11x+10 = 0; 3 . 4x+8x-1 = 0.引入新课在解上述方程时，第1, 2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解•而第3题则只有采用其他方法.此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的. 是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发.新课二次三项式ax2+bx+c(a工0),我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式. 下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法.2 __易知，解一兀二次方程2x -6x+4 = 0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2) = 0, 求得其两根X1= 1, X2= 2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式. 即，令二次三项式为0, 解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式.具体方法如下：如果一元二次方程ax2+bx+c = 0(a丰0)的两个根是_ _b 十Jb'-号-Vt1 ~4acS1=，犷启，. 丄 b c sn b c…X］十——露= —■艮卩一三］十s_=直］盘才a, a a ab c二az " + bx + c = a(z2+ —x + —)a a2=a［x -(x 1+X2)x+x 1X2］= a(x-x 1)(x-x 2).从而得出如下结论.在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根X1, x2, 2然后写成ax +bx+c = a(x-x 1)(x-x 2).例如，方程2x -6x+4 = 0的两根是X1= 1 , X2= 2.._ 2则可将二次三项式分解因式，得2x -6x+4 = 2(x-1)(x-2).例1把4x2-5分解因式.讲解例1练习：P37 1小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为:作业：习题12.5 A组11 .令二次三项式ax2+bx+c = 0;2. 解方程(用求根公式等方法)，得方程两根X1, X2；3. 代入a(x-x d(x-x 2).作业：习题12.5 A组1一、教学目的使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法.二、教学重点、难点重点：用求根公式法分解二次三项式.难点：二元二次三项式的因式分解.三、教学过程复习提问求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些？引入新课上节课我们证明了：ax2+bx+c = a(x-x i)(x-x 2)，其中x i, X2分别等于什么? 应用这一结论，今天我们深入的探讨一些问题.新课例2把4x2+8x-1分解因式.此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性，即化简结论.2 2 __例3把2x -8xy+5y 分解因式.注意视之为关于x的方程，视y为常数的重要性.练习P37 2小结二次三项式ax2+bx+c(a丰0)分解因式的方法有三种，即1. 利用完全平方公式；2. 十字相乘法：2即x +(a+b)x+ab = (x+a)(x+b);2acx +(ad+bc)x+bd = (ax+b)(cx+d).3. 求根法：2ax +bx+c = a(x-x i)(x-x 2),(1)当b2-4ac > 0时，可在实数范围内分解；⑵当b2-4ac v 0时，在实数范围内不能分解.作业：习题12.5 A组2第14课一元二次方程的应用(一)一、教学目的1. 使学生会列出一元二次方程解应用题.2. 使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.二、教学重点、难点重点：由应用问题的条件列方程的方法.难点：设“元”的灵活性和解的讨论.三、教学过程复习提问1 •一元二次方程有哪些解法？（要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法.）2.回忆一元二次方程解的情况.（要求学生按△> 0, △= 0, △< 0三种情况回答问题.） 3•我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？（要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程（组）:④解方程（组）；⑤检验并写出答案.）引入新课我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用•此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题.新课本章开始时，教材P3中我们提出了如下问题：用一块长80cm,宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cnf的无盖长方形盒子•试问：应如何求出截去的小正方形的边长？解：设小正方形边长为xcm,则盒子底面的长、宽分别为（80-2x）cm 及（60-2x）cm，依题意，可得（80-2x）（60-2x）= 1500 ,2即x -70X+825 = 0.当时，我们不会解此方程•现在，可用求根公式解此方程了.x i = 55，X2= 15 •当x= 55 时，80-2x = -30，60-2x = -50 ;当x= 15 时，80-2x = 50，60-2X = 30 •由于长、宽不能取负值，故只能取x= 15，即小正方形的边长为15cm.我们再回忆本章第1节中的一个应用题：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm,这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm,可设宽为未知数来列方程.解：设这块铁片宽xcm,则长是（x+5）cm .依题意，得2x（x+5）= 150, 即卩x +5x-150 = 0.-5±^ - 4 （-150） _ -5± 25X1= 10, X2 = -15（舍去）.x = 10, x+5 = 15.答：应将之剪成长15cm,宽10cm的形状.练习P41 1 2小结利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答.作业：习题12.6 A组1、2、3第15课一元二次方程的应用(二)一、教学目的使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法. 提高学生化实际问题为数学问题的能力.二、教学重点、难点重点：用图示法分析题意列方程.难点：方程的布列.三、教学过程复习提问本小节第一课我们介绍了什么问题？引入新课今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法.新课例1如图1,有一块长25cm,宽15cm的长方形铁皮.如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm?的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？分析：如图1,考虑设截去的小正方形边长为xcm,则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长乂宽=矩形面积，可列出方程.解：设小正方形的边长为xcm,依题意，得(25-2x)(15-2x) = 231 ,2即x-20x+36 = 0,解得X1 = 2, X2= 18(舍去).答：截去的小正方形的边长为2cm.例2 一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数, 这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？解’设笫一次倒出药液或0匕＜20)升.根据题竄得(20-x)-x*x = 10 .答：第一、二次倒出药液分别为10 升, 5 升.练习P41 3、4小结1•注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题.2•要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式.作业：习题12.6 4、5、6、7第16课一元二次方程的应用(三)一、 教学目的使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法. 并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力.二、 教学重点、难点重点：弄清有关增长率的数量关系. 难点：利用数量关系列方程的方法. 三、 教学过程 复习提问1.问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为 1600个，合格品数为1563个，合格率是 多少？(2) 某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？ (3) 某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为 5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？新课例1某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为 5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？分析：用译式法讨论列式一月份产量为5000吨，若月增长率为 X ,则二月份比一月份增产 5000X 吨.二月份产量为(5000+5000X )= 5000(1+x)吨； 三月份比二月份增产 5000(1+x)x 吨，2三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x = 5000(1+x)吨.再根据题意，即可列出方程.解：设平均每月增长的百分率为x ，根据题意，得 5000(1+x) = 7200，即(1+x) = 1.44 ,•••1+x =± 1.2 , X 1= 0.2 , X 2= -2.2(不合题意，舍去).答：平均每月增长率为 20%.例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍份平均每月的增长率是多少？解：设每月增长率为 x ，依题意得250+50(1+x)+50(1+x) = 182,解得冷=3 ¥* X答：二、三月份平均月增长率为 20%练习：P41 5 小结依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键. 作业：习题12.6 A 组850万册，第一季度共印 182万册，问二、三月十严諾不合题武舍去)•二只能恥十疵。

21.1一元二次方程一、教学目标【知识与技能】1.通过设置具体问题,建立数学模型,模仿一元一次方程的概念得到一元二次方程的定义；2．一元二次方程的一般形式及其有关概念.【过程与方法】了解一元二次方程根的概念,会判定一个数是否是一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题.【情感态度与价值观】通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．二、课型新授课三、课时第1课时,共1课时。

四、教学重难点【教学重点】通过类比一元一次方程,了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念,并能用这些概念解决简单问题．【教学难点】一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．五、课前准备多媒体课件六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）教师问1:观察图片。

要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示）,要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高？学生回答:设雕像下部高x m,依题意得方程x2=2(2-x),整理,得x2+2x-4=0.教师问2:上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？（二）探索新知探究一一元二次方程的概念见教材第2页问题1.(出示课件4)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论,教师可相应设置如下问题帮助学生分析:如果设四角折起的正方形的边长为xm,则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】(出示课件5)设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.见教材2~3页问题2.(出示课件6)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛？教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队与其它个队各赛一场,这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为,化简得.教师提出问题,引导学生思考方程的建模过程,同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.【讨论结果】（课件6展示）设应邀请x个队参赛,通过分析可得到1·x·（x-1）2=28,化简,得x2-x=56,即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程,它们有什么共同点？可让学生先独立思考,然后相互交流,得出这些方程的特征:(出示课件7)（1）方程各项都是整式； （2）方程中只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 【归纳结论】(出示课件8)一元二次方程:等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的方程,叫做一元二次方程.想一想21109000x x --=是一元二次方程吗？（出示课件9）共同总结:不是.等号左边含有分式；化简整理后,未知数的最高次数为3次. 例1 下列选项中,关于x 的一元二次方程的是（ ）(出示课件10) A.2210x x+= B.3x 2-5xy+y 2=0 C.（x-1）（x-2）=0 D.ax 2+bx+c=0 师生共同讨论,总结如下:方法总结:判断一个方程是不是一元二次方程,必须将方程化简后再进行判断．三个条件:①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2. 必须同时满足,缺一不可．生1:A 不满足整式方程； 生2:B 含有两个未知数；生3:C 整理结果为x 2-3x+2=0,满足三个条件,为正确答案 生4:D 若a=0,则不满足未知数最高次数为2条件。

21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法一、教学目标【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课1.解一元二次方程的方法有哪些？（出示课件2）学生答：直接开平方法：x2=a (a≥0)，配方法：(x+m)2=n (n≥0)，公式法：x=2ba-±（b2-4ac≥0）.2. 什么叫因式分解?学生答：把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式.3.分解因式的方法有那些?（出示课件3）学生答：（1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c).（2）公式法:a²-b²=(a+b)(a-b), a²±2ab+b²=(a±b) ².（3）十字相乘法.教师问：下面的方程如何使解答简单呢？x2+25x=0.出示课件5：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）教师问：你能根据题意列出方程吗？学生答：设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0m ，即10x -4.9x 2=0.教师问：你能想出解此方程的简捷方法吗？（二）探索新知探究 因式分解法的概念学生用配方法和公式法解方程10x -4.9x 2=0.（两生板演）配方法解方程10x -4.9x 2=0. 解：2100049x x -=，22210050500494949x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2250504949x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50504949x -=±50504949x =±+110049，=x 20.=x公式法解方程10x -4.9x 2=0.解：24.9100x x -=，a=4.9，b=－10，c=0.b 2－4ac= (－10)2－0=100，a acb b x 242-±-=()10102 4.9--±=⨯110049，=x20. =x教师引导学生尝试找出其简洁解法为：（出示课件7）x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=10049≈2.04.这种解法是不是很简单？教师问：以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?x(10-4.9x)=0，①x=0或10-4.9x=0,②通过学生的讨论、交流可归纳为：（出示课件8）可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法．教师提示：（出示课件9）1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的方法;3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”.师生共同归纳：（出示课件10）分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程右边化为等于0的形式；2.将方程左边因式分解为A×B；3.根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程；4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.例1 解下列方程：（出示课件11）（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x 2-2x-14=x 2-2x+34. 师生共同解答如下： 解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x 1=2,x 2=-1;（2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12,x 2=12. 想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.学生思考后，教师总结如下：（出示课件12）一.因式分解法简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.二.选择解一元二次方程的技巧：1.开平方法、配方法适用于能化为完全平方形式的方程.2.因式分解法适用于能化为两个因式之和等于0的形式的方程.3.配方法、公式法适用于所有一元二次方程.出示课件13：解下列方程：2222221 +=0; (2) -=0; (3) 3-6=-3;(4) 4-121=0; (5) 3(2+1)=4+2; (6) (-4)=(5-2).（）x x x x x x x x x x x 学生自主思考并解答.（六生板演）解：⑴因式分解，得x(x+1)=0.于是得x=0或x+1=0，x 1=0,x 2=－1.⑵因式分解，得x （x）=0于是得x=0或x-2=0x1=0,x2=2.⑶将方程化为x2－2x+1 = 0. 因式分解，得(x－1)(x－1)=0.于是得x－1=0或x－1=0，x1=x2=1.⑷因式分解，得(2x+11)(2x－11)=0.于是得2x+11=0或2x-11=0，x1=-5.5,x2=5.5.⑸将方程化为6x2－x－2=0. 因式分解，得(3x－2)(2x+1)=0. 于是得3x－2=0或2x+1 = 0，x1=23，x2=12.⑹将方程化为(x－4)2－(5－2x)2=0.因式分解，得(x－4－5+2x)(x－4+5－2x)=0.(3x－9)(1－x)=0.于是得3x－9=0或1-x=0，x1=3，x2=1.出示课件16：用适当方法解下列方程：−x)2；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1;(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2.教师提示：根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.四种方法的选择顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法．师生共同解答如下.（出示课件17,18,19）解：(1)(1－x)2＝3，∴(x－1)2＝3，x－1∴x1＝1x2＝1.(2)移项，得x2－6x＝19.配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2.∴(x－3)2＝28.∴x－3＝±.∴x1＝3＋，x2＝3－.(3)移项，得3x2－4x－1＝0.∵a＝3，b＝－4，c＝－1，∴x＝−（−4）±√（−4）2−4×3×（−1）2×3＝2±73.∴x1＝2＋73，x2＝2－73.(4)移项，得y2－2y－15＝0.把方程左边因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0. ∴y－5＝0或y＋3＝0.∴y1＝5，y2＝－3.(5)将方程左边因式分解，得(x－3)[5x－(x＋1)]＝0. ∴(x－3)(4x－1)＝0.∴x－3＝0或4x－1＝0.∴x1＝3，x2＝1 4 .6)移项，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0.∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0. ∴(11x－8)(x＋12)＝0.∴11x－8＝0或x＋12＝0.∴x1＝811，x2＝－12.出示课件20,21：用适当的方法解下列方程：(1)x2－41＝0；(2) 5(3x＋2)2＝3x(3x＋2)．学生自主思考并解答.解：(1)∵x2－14＝0，∴x2＝14，即x＝±14.∴x1＝12，x2＝－12.⑵原方程可变形为5(3x＋2)2－3x(3x＋2)＝0，∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.∴3x＋2＝0或12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.（三）课堂练习（出示课件22-30）1.已知x=2是关于x的一元二次方程kx²+（k²﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为．2. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．3.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12.4.小华在解一元二次方程x2－x＝0 时，只得出一个根x＝1，则被漏掉的一个根是（）A．x＝4 B．x＝3C．x＝2 D．x＝05.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x＋1＝0；②(x－1)2＝3；③x2－3x＝0；④x2－2x＝4.我选择______________________.6.解方程：(x2＋3)2－4(x2＋3)＝0.参考答案：1.-32.解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，因式分解得（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3,x2=32．3.解：⑴x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解.⑵x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2.4.D5.解：答案不唯一．若选择①，①适合公式法，x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝9－4＝5＞0.∴x＝3±5 2.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.若选择②，②适合直接开平方法，∵(x－1)2＝3，x－1＝±3，∴x1＝1＋3，x2＝1－ 3. 若选择③，③适合因式分解法，x2－3x＝0，因式分解，得x(x－3)＝0.解得x1＝0，x2＝3.若选择④，④适合配方法，x2－2x＝4，x2－2x＋1＝4＋1＝5，即(x－1)2＝5.开方，得x－1＝± 5.∴x1＝1＋5，x2＝1－ 5.5.提示：把(x2＋3)看作一个整体来提公因式，再利用平方差公式，因式分解.解：设x2＋3＝y，则原方程化为y2－4y＝0.分解因式，得y(y－4)＝0，解得y＝0，或y＝4.①当y＝0 时，x2＋3＝0，原方程无解；②当y＝4 时，x2＋3＝4，即x2＝1.解得x＝±1.所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.（四）课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?⑴公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.⑵方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法.（五）课前预习预习下节课（21.2.4）的相关内容。

《一元二次方程》全章教案【3篇】一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。

本节仍是进一步争论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的简单程度上又有了新的进展。

2、教学目标要求：（1）能依据详细问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能依据详细问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经受将实际问题抽象为代数问题的过程，探究问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进展描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学学问应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和进展人类理性精神的作用。

3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。

难点：发觉问题中的等量关系。

二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参加多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

教学过程中，教师只注意点、引、激、评，注意学生探究力量的培育。

还课堂给学生，让学生去亲身体验学问的产生过程，拓展学生的制造性思维。

同时，留意加强对学生的启发和引导，鼓舞培育学生们大胆猜测，当心求证的科学讨论的思想。

2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而精确列出方程来解答。

因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生沟通，兵教兵从而到达进展学生思维力量和自学力量的目的，开掘学生的创新精神。

三．教学流程分析：本节课是新授课，依据学生的学问构造，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回忆解决课前参加活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延长活动4课堂回眸这一流程表达了学问发生、形成和进展的过程，让学生体会到观看、猜测、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

活动1复习回忆解决课前参加由学生展现课前参加题目，集体订正。

目的在于回忆常用几何图形的面积公式，并且引出本节学习内容——面积问题。

第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需15课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程2课时22．2 降次──解一元二次方程8课时22．3 实际问题与一元二次方程3课时《一元二次方程》小结与复习2课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法第9课时一元二次方程的根与系数的关系（1）第10课时一元二次方程的根与系数的关系（2））第11课时实际问题与一元二次方程（1）第12课时实际问题与一元二次方程（2）第13课时实际问题与一元二次方程（3）由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9︰7，第14-15课时《一元二次方程》小结与复习。

第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程9课时21．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法（1）第9课时解一元二次方程—因式分解法（2）第10课时一元二次方程的解法复习课的数学思想。

初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。

第二十一章一元二次方程单元要点分析1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；实际问题与一元二次方程．2．本单元在教科书中的地位与作用．一元二次方程是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程，也是本册教科书的重点内容．教学目标：1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八年级《整式》中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2－4ac＞0，b2－4ac＝0，b2－4ac＜0．（5）通过复习整式的因式分解，进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点：1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点：1．用配方法解一元二次方程．2．用公式法解一元二次方程时的分类讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程的解与实际问题的解的区别．课时安排：本单元教学时间约需21课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程 2课时21．2 解一元二次方程 7课时21．3 实际问题与一元二次方程 4课时教学活动、习题课、小结 4课时单元测试 2课时试卷评讲 2课时21.1 一元二次方程（1）课型：新授课教学内容：一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标：1.知识与技能了解一元二次方程的概念；一般式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单实际问题．2.过程与方法通过设置的实际问题情境，建立数学模型，感受生活和学习中方程的实际意义．3.情感、态度与价值观根据实际问题情境列出方程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数学模型之一．教学重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程：一、创设情境，引入新课学生活动：阅读第二十一章一元二次方程章前引言．（雕像下部设计为多高？）二、合作交流，解读探究生活中的方程－－抽象出一元二次方程探究：教科书第2页问题1，2．点评：分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．活动：请回答下面问题：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？交流：（1）只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次；（3）都有等号，是方程．点拨：像这样等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．活动：举出一元二次方程的例子．2．一元二次方程的一般形式点拨：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．介绍：一个一元二次方程经过整理化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．三、应用迁移，巩固提高例 1 将方程3x（x－1）＝5（x－2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．因此，该方程必须运用整式运算法则进行整理，最后在一元二次方程的一般形式的基础上指出各项系数．例2 分别指出下列方程的二次项系数、一次项系数、常数项．(1)x2＋10x－900＝0 (2)5x2＋16x－22＝0 (3)4x2－9＝0 (4)3x2＋2x＝0分析：根据一元二次方程的一般形式可得，缺少的项系数都是0．巩固练习：教科书第4页练习第1题．例 3 求证：关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明二次项系数m2－8m＋17≠0即可．证明：m2－8m＋17＝（m－4）2＋1∵（m－4）2≥0∴（m－4）2＋1>0，即（m－4）2＋1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．四、归纳小结，布置作业小结：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．作业：教科书第4页习题21.1第1题（分类完成）．拓展：1．在下列方程中①3x2＋7＝0 ②ax2＋bx＋c＝0 ③（x－2）（x＋5）＝x2－1④3x2－5x＝0，一元二次方程的个数是．2．px2－3x2＋p2－qx＝0是关于x的一元二次方程，则p_________．3．关于x的方程（a－1）x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取值范围是________．21.1一元二次方程（2）课型：新授课教学内容:1．一元二次方程根的概念；2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体问题．教学目标:知识与技能了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及会用一元二次方程刻画一些实际问题．过程与方法经历探求一元二次方程解的过程，增强对方程解的认识，发展估算意识和能力．情感、态度与价值观通过探究一元二次方程解及利用一元二次方程刻画一些实际问题的过程，让学生在参与数学活动中激发学习数学的兴趣．教学重点：判定一个数是否是方程的根及会用一元二次方程刻画一些实际问题．教学难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．教学过程：一、创设情境，引入新课复习提问：一元二次方程的定义，一般形式.二、合作交流，解读探究1．一元二次方程的解介绍：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解.点拨：为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．三、应用迁移，巩固提高例1 下面哪些数是方程x2＋5x＋6＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程x2＋5x＋6＝0的两根．练习：教科书第4页复习巩固第3题．变式：教科书第4页习题21.1习题7．分析：根据一元二次方程根的意义可得4－c＝0，c＝4，x＝2或x＝－2是这个方程的两根．例2 教科书第4页复习巩固第2题．分析：设出未知数，列出方程并化成一般形式．巩固练习：教科书第4页练习第2题．四、归纳小结，布置作业小结（学生归纳，老师点评）（1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；作业教科书第4页综合运用第4，5，6题．21.2.1配方法(1)－－直接开平方法课型：新授课教学内容：运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标：1．知识与技能理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．过程与方法提出问题，列出缺一次项的一元二次方程x2－p＝0（p≥0），根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解（mx＋n）2＝p（p≥0）型的一元二次方程．3．情感、态度与价值观在解一元二次方程的过程中渗透转化的数学思想，掌握一些转化的技巧．教学重点：运用直接开平方法解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．教学难点：根据平方根的意义解形如x2＝p，知识迁移到解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的一元二次方程．教学过程：一、创设情境，引入新课情境：教科第30页问题1．学生设未知数并列出方程，教师点拨求解过程．二、合作交流，解读探究1．形如x2＝p（p≥0）的一元二次方程的解法．点拨：根据平方根的意义和p的取值分类求解方程根．2．形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的一元二次方程的解法．探究：上面我们已经讲了x2＝25，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±5，如果x换元为x＋3，即（x＋3）2＝5，能否也用直接开平方的方法求解呢？学生分组讨论，教师点拨．思考：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？交流：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次”转化思想．三、应用迁移，巩固提高例解方程：(1)(2x－1)2＝5 ；(2)x2＋6x＋9＝2分析：将方程的左边化成完全平方式，若方程右边为非负数则可用直接开平方法解方程．巩固练习：教科书第6页练习（分类完成）．四、归纳小结，布置作业小结：（1）应用直接开平方法解形如x2＝p（p≥0），那么x＝±p转化为应用直接开平方法解．（2）p的取值决定方程根的情况．作业：必做题：教科书第6页21.2复习巩固第1题．选做题：1．若x2－4x＋p＝（x＋q）2，那么p＝，q＝．2．如果方程2（x－3）2＝72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a，b为实数，满足4a＋b2－12b＋36＝0，那么方程(ax－1)2＝3b的根是_______．21.2.1配方法(2)课型：新授课教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．教学目标：1．知识与技能了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．过程与方法通过对比、转化、总结得出配方法的一般过程，提高推理能力；通过对一元二次方程二次项系数是否为1的处理，锻炼学生的抽象概括能力．3．情感、态度与价值观通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨．教学重点：讲清配方法的解题步骤．教学难点：把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教学过程：一、创设情境，引入新课情境：怎样解方程x2＋6x+4＝0？二、合作交流，解读探究1．配方法探究：将下列各式配成完全平方式．见教科书第9页练习第1题．点拨：左边常数项是一次项系数的一半的平方，右边是一次项系数一半．试一试：教科书第17页习题21.2复习巩固第2题．思考：怎样解方程x2＋6x+4＝0？交流：类比上次课所学方法，先将左边化成完全平方式，再降次转化为两个一元一次方程，从而求得一元二次方程的解．讨论：为什么在方程x2＋6x＝-4的两边加9？加其他数行吗？交流：(1)当二次项系数为1时，方程两边加上一次项系数一半的平方是关键．(2)通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫配方法，其基本思想是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤．探究：解方程3x2－6x＋4＝0交流：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移项；（2）二次项系数化为1；（3）写成完全平方的形式（配方关键：两边加上一次项系数一半的平方）；（4）若方程右边是非负数，两边直接开平方，得到两个一元一次方程；若方程右边是负数，直接宣布此方程无实数根；（5）解这两个一元一次方程得到一元二次方程的解．三、应用迁移，巩固提高例1 解下列方程：（1）x2－8x＋1＝0 （2）2x2＋1＝3x(3)x（4＋x）＝8x＋12分析：按配方法的相关步骤进行讲解，并强调配方的关键．例 2 王老师在讲配方法解一元二次方程时写以一道题－10y2－7y－4刚写到这里，学生小曼就说这个式子永远小于0，小盼说她的说法不正确，请问：她们谁的说法正确？说明理由．巩固练习：教科书第9页练习第2题（分类完成）．四、归纳小结，布置作业小结：（1）配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．（2）形如（x＋n）2＝p（p≥0），那么x＋n＝±p，达到降次转化之目的，同时p的取值决定方程根的情况．作业：教科书第17页习题21.2复习巩固第3题．21.2.2公式法课型：新授课教学内容：1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．根的判别式、公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．教学目标：1．知识与技能理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解根的判别式、公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2．过程与方法复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0（a ≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．情感、态度与价值观在探索和应用公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透唯物主义观点．教学重点：求根公式的推导和公式法的应用．教学难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程：一、创设情境，引入新课回顾用配方法解一元二次方程的一般步骤．用配方法怎样解一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）这样的字母系数方程？二、合作交流，解读探究1．探究字母系数的一元二次方程探究：用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）且b2－4ac≥0，试推导它的两个根．分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据配方法解方程的步骤就可以推导．教师引导学生完成．由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子x＝a acb b24 2-±-就得到方程的根．2．一元二次方程根的判别式式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母表示为△＝b2－4ac．判别式的意义（三种情况）．3．公式法当△≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写成x＝a acb b24 2-±-，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．点拨：由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．三、应用迁移，巩固提高例1 不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x2＋3x－4＝0；（2）5(x2＋1)－7x＝0分析：先将方程化成一般形式，再求判别式的值，从而判定方程根的情况．巩固练习：教科书第17页习题21.2复习巩固第4题．例2 用公式法解下列方程：（1）x2－4x－7＝0；（2）2x2－22x＋1＝0；（3）5x2－3x＝x＋1；（4）x2＋17＝8x．分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．巩固练习：教科书第12页练习第1题（分类完成）．阅读：教科书第12页用公式法解本章引言中的问题．巩固练习：教科书第12页练习第2题．四、归纳小结，布置作业小结：（1）求根公式的概念及其推导过程；（2）公式法的概念；（3）应用公式法解一元二次方程；（4）初步了解一元二次方程根的情况．作业：A类：教科书第17页习题21.2复习巩固第5（1）、（3）、（5）题．B类：教科书第17页习题21.2复习巩固第5（2）、（4）、（6）题．21.2.3因式分解法课型：新授课教学内容：1．利用因式分解法解某些一元二次方程；2．掌握配方法、公式法、因式分解法的特点．教学目标：1．知识与技能掌握用因式分解法某些一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用用因式分解法使解题简便．2．过程与方法经历用因式分解法把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程，体现了“降次转化”的数学思想．情感、态度与价值观通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点：利用因式分解法解某些一元二次方程．教学难点：会用一元二次方程解决实际问题．教学过程：一、创设情境，引入新课1．什么叫因式分解？因式分解的方法有哪几些？2．在实数范围内因式分解．（1）4x2－12x； (2) 4x2－9；(3)x2－7；(4) (2x－1)2－(x－3)2．二、合作交流，解读探究阅读：教科书第12页问题2．思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？交流：方程左边可以因式分解，右边为0．根据上面的知识可以实施转化．思考：上面解方程是如何将方程“降次”的？交流：因式分解法．点拨：因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0．（2）将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程．（3）对两个一元一次方程分别求解． 三、应用迁移，巩固提高例1 (教科书第39页例3)解下列方程：（1）x （x -2）＋x －2＝0； (2) 5x 2－2x －41＝x 2－2 x ＋43； (3) x 2－6x ＋9＝(5－2x )2 (用公式法和因式分解法） 分析：教师示范解题，便于学生尝试配方法和公式法作比较． 巩固练习：教科书第12页练习第1题．例2 教科书第17页习题21.2复习巩固第8题．分析：设出合适的未知数，列出方程，求出符合题意的解．巩固练习：教科书第14页练习第2题． 四、归纳小结，布置作业 小结：1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．3．比较配方法、公式法和因式分解法．配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单．在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法．作业： A 类：教科书第17页习题21.2复习巩固第6，9题．B 类：教科书第17页习题21.2复习巩固第6，11题（设未知数的方式作提示）．21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课型：新授课教学内容：一元二次方程根和系数的关系及其应用．教学目标：1．知识与技能（1）理解掌握一元二次方程根与系数的关系，不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积．（2）能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题．2．过程与方法（1）通过计算、比较、归纳得出根与系数关系，体会从特殊到一般的数学认知过程．（2）通过小组合作学习，培养学生的合作意识．3．情感、态度与价值观利用一元二次方程根和系数渗透爱国主义精神教育．教学重点：一元二次方程根与系数的关系．教学难点：一元二次方程根与系数的关系的变形运用．教学过程：一、创设情境，引入新课复习相关知识（以问题串的形式复习下列知识，学生口答或抢答）1．一元二次方程的一般式？2．一元二次方程有实数根的条件是什么？3．当Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0根的情况如何？4．一元二次方程的求根公式是什么？二、合作交流，解读探究探究1：计算填表．探究2：谁能发现上述方程两根和、两根积与系数a ，b ，c 的关系？ 小组成员合作交流归纳，3分钟后报告发现，并肯定学生们的正确发现． 交流：两根和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；而两根积等于常数项与二次项系数的比．探究3：刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？根据发现的结论填空：探究4：论证结论．教师板书证明过程．点拨：由此可见，这个结论对于一般的一元二次方程也成立．这个结论又称“韦达定理”，因为是法国数学家韦达最早发现的．（学生识记结论1分钟）变式：常见的几种形式．（要求学生作笔记） 三、应用迁移，巩固提高例1 （教科书第16页例4）根据一元二次方程的根与系数关系，求下列方程两根x 1、x 2的和与积：（1）x 2－6x －15＝0； （2）3x 2＋7x －9＝0； （3）5x －1＝4x 2．分析：先将方程化为一般形式，再计算Δ的值，若Δ≥0则可根据根与系数的关系计算出两根的和与积．巩固练习：教科书第16页练习题． 另补充（3）2x 2＋1＝－x ．例2 教科书第17页习题21.2拓广探索第13题．分析：用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况．变式：关于x 的方程(m －1)x 2－2mx ＋m ＝0有两个实数根，则m 的取值范围是 ．点拨：一元二次方程有实数根必须满足：（1）二次项系数不为0；（2）根的判别式为非负数．例3 已知x 1，x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）x 12＋x 22 （2）∣x 1－x 2∣ (3）x 12＋3x 22－3x 2分析：由一元二次方程根与系数的关系可求出x 1＋x 2与x 1 x 2的值，再把各式转化成为含有x 1＋x 2与x 1 x 2的形式结合方程根的意义求值．练习：已知方程2x 2－mx －2m ＋1＝0的两根的平方和为429，求m 的值．点拨：运用一元二次方程根与系数的关系的前提是方程有实数根，所求参数值必须用（1）二次项系数不为0；（2）根的判别式为非负数进行检验是否符合题意．教师作规范的板书．四、归纳小结，布置作业小结：1．一元二次方程根与系数的关系可以用来求两根和、两根积，还可以验算所求根是否正确．2.本次课涉及的数学思想：从特殊到一般的思想和整体的思想．3.运用一元二次方程根与系数的关系求相关参数的前提条件．作业：必做题：教科书第17页习题21.2复习巩固第7题（提示：先化成一般形式）．选做题：1．已知关于x的一元二次方程（1－2k）x2－1k x－1＝0有实数根，则2k取值范围是．2．已知方程x2－x－1＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值：（1）（x1＋1）（x2＋1）；（2）∣x2－x1∣．21.3实际问题与一元二次方程（1）课型：新授课教学内容：本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决传播问题．教学目标：1.知识技能(1)能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．(2)能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2.过程与方法经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．3.情感、态度与价值观通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题．教学难点：发现传播问题中的数量关系．教学过程：一、创设情境，引入新课复习：列方程解决实际问题的基本步骤有哪些？学生口答，老师点评．（审、设、列、解、验、答）二、合作交流，解读探究探究：（教科书第19页探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“两轮传染”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）能否把方程列得更简单，怎样理解？（5）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？交流：教师板书解答过程.点拨：以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，今天我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．思考：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？。

21.1 一元二次方程一、教学内容：认识一元二次方程二、教材分析：教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；三、学情分析：初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

促进学生个性发展。

从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。

学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。

四、教学目标（一）知识与技能1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根（二）过程与方法通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.（三）情感态度价值观通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.五、教学重难点教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型六、教学方法和手段：讲授法、练习法七、学法指导讲授指导八、教学过程一、复习引入小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。

《一元二次方程》全章教案单元要点分析教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+b x+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题． 3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：22．1 一元二次方程 2课时22．2 降次──解一元二次方程 7课时22．3 实际问题与一元二次方程 5课时发现一元二次方程根与系数的关系 2课时第1课时 22．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。