江苏省淮阴中学2015届高三调研考试数学试题 Word版含答案

江苏省淮安中学高三数学月考试题数学2017.9.9一.填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.命题“2,250x R x x ∀∈++>”的否定是 ▲ .2.函数f(x)＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性是 ▲ .3.函数y ＝xcosx －sinx 的导数为 ▲ .4.设(3()lg f x x x =+,则对任意实数,a b ,“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的 ▲ 条件.(填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一)5.设函数()f x =集合{}(),A x y f x B === {}()y y f x =,则右图中阴影部分表示的集合为 ▲ .6.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x f 2log 1)(-=,则不等式0)(<x f 的解集是 ▲ . 7.若函数2()ax f x -=的图象关于点(1,1)对称,则实数a = ▲ . 8.记[]x 为不超过[]x x y -=的最小正周期为 ▲ . 9.设P 是函数y =,且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是 ▲ .10.关于x 的不等式22130kx x k --+<的解集为空集,则k 的取值范围 ▲ . 11.设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ .12.已知函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(a.b.c ∈Z )是奇函数,又f(1)＝2,f(2)<3,则a ＋b ＋c 的值为 ▲ .13.已知实数,,a b c 满足222a b c +=,0c ≠,则2b a c-的取值范围为 ▲ . 14.已知函数2()cos()f n n n π=,且()(1)n a f n f n =++,则123a aa ++++100a = ▲ .二.解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内.15.(本小题满分14分)已知集合{}|(6)(25)0A x x x a =--->,集合{}2|(2)(2)0B x a x a x ⎡⎤=+-⋅-<⎣⎦.⑴若5a =,求集合A B ； ⑵已知12a >.且“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.17. (本小题满分14分)函数()cos (0,0)f x a x x b a b =-+>>.(1)求证:函数()f x 在区间[]0,a b +内至少有一个零点；(2)若函数()f x 在6x π=-处取极值,且0,2x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得()3cos sin f x x x <-成立,求实数b 的取值范围.18. (本小题满分16分)将52名志愿者分成A,B 两组参加义务植树活动,A 组种植150捆白杨树苗,B 组种植200捆沙棘树苗.假定A,B 两组同时开始种植.(1)根据历年统计,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时,种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A,B 两组的人数,使植树活动持续时间最短？(2)在按(1)分配的人数种植1小时后发现,每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时,而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时,于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植,求植树活动所持续的时间.19. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2,g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x ),求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2,且|F (x )|在[0,1]上单调递增,求实数m 的取值范围.20. (本小题满分16分)已知函数221)(x x f =,x a x g ln )(=. (1)若曲线)()(x g x f y -=在1=x 处的切线的方程为0526=--y x ,求实数a 的值；(2)设)()()(x g x f x h +=,若对任意两个不等的正数21,x x ,都有2)()(2121>--x x x h x h 恒成立,求实数a 的取值范围；江苏省淮安中学数学月考试题数学参考答案与评分标准 2017.9. 9一、填空题:1.2,250x R x x ∃∈++≤2.既是奇函数也是偶函数3.－xsinx4.充要5.[5,0)(3,4]-6.(﹣2,0)∪(2,+∞)7.18.19.)ππ32⎡⎢⎣， 10.1k ≥ 11.2 12.213.[ 14.-100二、解答题: 15.解:⑴当5a =时,{}(6)(15)0A x x x =-->={}|156x x orx ><………２分 {}{}(27)(10)01027B x x x x x =--<=<<.……４分 ∴{}1527A B x x ⋂=<<.…６分 ⑵∵12x >,∴256a +>,∴{}625A x x x a =<>+或.………８分 又a a 222>+,∴{}222+<<=a x a x B .……10分∵“A x ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,∴A B ⊆, ∴21226a a ⎧>⎪⎨⎪+≤⎩,…………12分 解之得:122a <≤.……………14分 16.(1)不为有界函数(2)5,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦18.解:(1)设A 组人数为x ,且052x <<,x ∈*N ,则A 组活动所需时间2150605()f x x x⨯==； B 组活动所需时间12001002()5252g x x x⨯==--.令()()f x g x =,即6010052x x =-,解得392x =. 所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x x F x x x x⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >. 所以当A.B 两组人数分别为20 32，时,使植树活动持续时间最短.(2)A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-(小时), B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+(小时), 所以植树活动所持续的时间为637小时. 19.(1)∃x ∈R ,f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ,x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2,Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0,即－255≤m ≤255时,则必需⎩⎨⎧ m 2≤0－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0. ②当Δ>0,即m <－255或m >255时,设方程F (x )＝0的根为x 1,x 2(x 1<x 2). 若m 2≥1,则x 1≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m 2≤0,则x 2≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255； 综上所述:－1≤m ≤0或m ≥2.20.解:(1)y=f(x)﹣g(x)=x 2﹣alnx 的导数为x ﹣,曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线斜率为k=1﹣a,由切线的方程为6x ﹣2y ﹣5=0,可得1﹣a=3,解得a=﹣2；(2)h(x)=f(x)+g(x)=x 2+alnx, 对任意两个不等的正数x 1,x 2,都有＞2恒成立,即为＞0,令m(x)=h(x)﹣2x,可得m(x)在(0,+∞)递增,由m′(x)=h′(x)﹣2=x+﹣2≥0恒成立,可得a≥x (2﹣x)的最大值,由x(2﹣x)=﹣(x ﹣1)2+1可得最大值1,则a≥1,即a 的取值范围是[1,+∞)；。

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

ABCE淮安市2014—2015学年度高三年级第一次调研测试数学试题参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一、填空题：1．5 2．1 3．300 4．2 5．20 6．34 7． 8．249． 10．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 11．1 12．9 13．1,24⎡⎢⎣⎦14．1100 二、解答题：15．（1）由图可知，当()()00f f x ==，即()0sin x ϕπϕ=+=，………………2分又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，00x >，所以ϕ=π6．0x =53．…………………………………………………6分（2）由（1）可知：π()cos(π)3f x x =+．因为 11[,23x ∈-，所以 ππππ362x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()f x 取得最大值1；当πππ62x +=，即13x =时，()f x 取得最小值0． …………………………………14分16．（1）点F 为线段AB 的中点，又点E 为线段BC 的中点，故//EF AC ，…………………………………………2分 又AC ⊂平面ASC ，EF ⊄平面ASC ，所以//EF 平面ASC ．………………………………6分 （2）因为正方形ABCD 是圆柱的中截面，所以BC ⊥底面ASB ， 而AS ⊂底面ASB ，故BC ⊥AS ，…………………8分因为点S 为圆柱的下底面圆周上异于A ，B 的一个动点， 所以BS ⊥AS ，………10分5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

〔第10题〕C〔第11题〕〔第5题〕〔第4题〕江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ． 2． 已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ． 3． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．4． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如下图．已知在[50 75)，中的频数为5． 在如下图的算法流程图中，假设输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ． 7． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为▲ ．8． 在等差数列{a n }中，假设a n +a n +2=4n +6〔n ∈N *〕，则该数列的通项公式a n = ▲ ． 9． 给出以下三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；③“a =0”是“函数f (x ) = x 3+ax 2〔x ∈R 〕为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为 ▲ ．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其外表展开图如下图，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．11． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．假设P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.假设函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 〔-5，a 〕作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ． 14．已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． 〔1〕求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；〔2〕如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．16．〔本小题总分值14分〕已知函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜〕的部分图象如下图．〔1〕求函数f (x )的解析式； 〔2〕假设3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．1〔第15题〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆221a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．18．〔本小题总分值16分〕为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超．．．过．200 m ． 〔1〕试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？〔2〕当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值． AB CDPQ〔第18题〕O〔第17题〕已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，211(1)n n n n b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．〔1〕假设12n n a -=，求S n ；〔2〕是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？假设存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；假设不存在，说明理由；〔3〕假设a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．20．〔本小题总分值16分〕 已知函数1()ln f x a x x=--〔a ∈R 〕． 〔1〕假设a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数〔e 为自然对数的底数〕； 〔2〕假设()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；〔3〕假设()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数学附加题21．【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB 于H．求证：P A·AH=PC·HB．B．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，已知点A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔1，2〕，矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cossinx ry rαα=⎧⎨=⎩，，〔α为参数，r为常数，r＞0〕．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos()204θπ++=．假设直线l与曲线C交于A，B两点，且AB=，求r的值．D．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：14936a b b c c d a d++----≥．〔第21〔A〕题〕【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． 〔1〕求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；〔2〕点E 在侧棱1AA 上，假设二面角E -BD -C 1， 求1AEAA 的值．23．〔本小题总分值10分〕袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． 〔1〕求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；〔2〕求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．A B CDA 1B 1C 1D 1〔第22题〕〔第5题〕〔第4题〕江苏省南通、泰州、扬州、淮安四市2015届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是 ▲ ．【答案】02．已知复数z =(1i)(12i)+-(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ ．【答案】33． 已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】-34． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如下图．已知在[50 75)，中的频数为【答案】10005． 在如下图的算法流程图中，假设输出的y 的值为26，则输入的x 的值为 ▲ ．【答案】-46． 从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为 ▲ ．【答案】497． 在平面直角坐标系xOy 中，点F 为抛物线x 2=8y的焦点，则F 到双曲线2219y x -=的渐近线的距离为▲ ．【答案 8． 在等差数列{a n }中，假设a n +a n +2=4n +6〔n ∈N *〕，则该数列的通项公式a n = ▲ ．【答案】2n +19． 给出以下三个命题： ①“a ＞b ”是“3a ＞3b ”的充分不必要条件； ②“α＞β”是“cos α＜cos β”的必要不充分条件；32〔第10题〕C〔第11题〕其中正确命题的序号为 ▲ ．【答案】③10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm ，其外表展开图如下图，则该空间几何体的体积V = ▲ cm 3．【答案】111． 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ．假设P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为 ▲ ．【答案】5-12． 已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.假设函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ▲ ．【答案】〔-5，0〕13．在平面直角坐标系xOy 中，过点P 〔-5，a 〕作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2112211220y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】3或-214．已知正实数x ，y 满足24310x y x y +++=，则xy 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[1，83]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形． 〔1〕求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1；〔2〕如果点D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，求证：DE ∥平面ABC 1．解：〔1〕因三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1．……………………………………………………………………… 2分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，故B 1C ⊥平面ABC 1．5分因B 1C ⊂平面BCC 1B 1，故平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1．7分〔2〕如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又D 为A 1C 1的中点，故DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因DF ⊄平面ABC 1，AC 1⊂平面ABC 1，故DF ∥面ABC 1． ………………… 10分 同理，EF ∥面ABC 1．因DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，故平面DEF ∥面ABC 1．……………………………………………………………… 12分 因DE ⊂平面DEF ，故DE ∥面ABC 1．…………………………………………………………………… 14分16．〔本小题总分值14分〕已知函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中A ，ω，ϕ为常数，且A ＞0，ω＞0，22ϕππ-＜＜〕的部分图象如下图．〔1〕求函数f (x )的解析式； 〔2〕假设3()2f α=，求sin(2)6απ+的值．解：〔1〕由图可知，A =2，…………………………………………………………… 2分 T =2π，故1ω=，所以，f (x ) =2sin()x ϕ+．…………………………………… 4分又22()2sin()233f ϕππ=+=，且22ϕππ-＜＜，故6ϕπ=-． 1 〔第15题答图〕1〔第15题〕于是，f (x ) =2sin()6x π-．…………………………………………………………7分 〔2〕由3()2f α=，得3sin()64απ-=．…………………………………………9分 所以，sin(2)sin 2()cos 2()6626αααππππ⎡⎤⎡⎤+=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………………………12分 =2112sin ()68απ--=-．……………………………………14分17．〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两焦点分别为F 1(0)，F 20)，且经过点12)．〔1〕求椭圆的方程及离心率；〔2〕设点B ，C ，D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称．设直线CD ，CB ，OB ，OC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，且k 1k 2=k 3k 4． ①求k 1k 2的值； ②求OB 2+OC 2的值．解：〔1〕方法一依题意，ca 2=b 2+3，……………………………………………………… 2分由2213413b b +=+，解得b 2=1(b 2=34-，不合，舍去)，从而a 2=4． 故所求椭圆方程为：2214x y +=．离心率e．…………………………………………………………………… 5分方法二由椭圆的定义知，2a4，即a =2．…………………………………………………………………………… 2分又因cb 2=1．下略．〔2〕①设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则D (-x 1，-y 1)，〔第17题〕于是k 1k 2=21212121y y y y x x x x -+⋅-+=12222221y y x x --=22212221(1)(1)44x x x x ----=14-．………………… 8分②方法一由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-，故x 1x 2=124y y -．所以，(x 1x 2)2=(-4y 1y 2)2，即(x 1x 2)2=221216(1)(1)44x x --=22221212164()x x x x -++， 所以，2212x x +=4．…………………………………………………………………… 11分又2=22221212()()44x x y y +++=222212124x x y y +++，故22121y y +=．所以，OB 2+OC 2 =22221122x y x y +++=5．………………………………………… 14分方法二由①知，k 3k 4=k 1k 2=14-．将直线y =k 3x 方程代入椭圆2214x y +=中，得2123414x k =+．…………………… 9分同理，2224414x k =+．所以，22122234441414x x k k +=+++=22334411414()4k k +++-=4．…………………… 11分 下同方法一．18．〔本小题总分值16分〕为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m ，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD 区域为运动休闲区，其中A ，B 分别在半径OP ，OQ 上，C ，D 在圆弧PQ 上，CD ∥AB ；△OAB 区域为文化展示区，AB长为；其余空地为绿化区域，且CD 长不得超．．．过．200 m ． 〔1〕试确定A ，B 的位置，使△OAB 的周长最大？〔2〕当△OAB 的周长最大时，设∠DOC =2θ，试将运动休闲区ABCD 的面积S 表示为θ的函数，并求出S 的最大值．解：〔1〕设(0200]OA m OB n m n ==∈，，，，， 在△OAB 中，22222cos3AB OA OB OA OB π=+-⋅⋅，即222m n mn =++，…………………………………………………… 2分所以，22222()3()()()44m n m n mn m n m n +=+-+-=+≥，…………4分所以100m n +≤，当且仅当m =n =50时，m n +取得最大值，此时△OAB 周长取得最大值． 答：当OA OB 、都为50 m 时，△OAB 的周长最大． 6分〔2〕当△AOB 的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形． 过O 作OF ⊥CD 交CD 于F ，交AB 于E ， 则E F 、分别为AB ，CD 的中点，所以DOE θ∠=，由CD 200≤，得(0]6 θπ∈，．8分在△ODF 中，200sin 200cos DF OF θθ==，． 又在△AOE 中，cos253OE OA π==，故200cos 25EF θ=-． 10分所以，1400sin )(200cos 25)2S θθ=-=8sin )(8cos 1)θθ-8sin 64sin cos θθθθ=-+，(0]6θπ∈，．…………12分〔一直没有交代范围扣2分〕令()8sin 64sin cos f θθθθθ=-+(0]6θπ∈，，()8cos 64cos216sin()64cos26f θθθθθθπ'=--+=-++，(0]6θπ∈，，又y =16sin()6πθ-+及y =cos 2θ在(0]6θπ∈，上均为单调递减函数，AB CDPQ〔第18题〕O ABCDPQ〔第18题答图〕O EF故()f θ'在(0]6θπ∈，上为单调递减函数．因1()4)62f π'=--⨯＞0，故()f θ'＞0在(0]6θπ∈，上恒成立，于是，()f θ在(0]6θπ∈，上为单调递增函数．……… 14分所以当6θπ=时，()f θ有最大值，此时S有最大值为625(8+． 答：当6θπ=时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为625(8+ m 2．… 16分19．〔本小题总分值16分〕 已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为S n ．〔1〕假设12n n a -=，求S n ；〔2〕是否存在等比数列{a n }，使2n n b S +=对任意n ∈N *恒成立？假设存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；假设不存在，说明理由；〔3〕假设a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，求证：0≤S n ＜2．解：〔1〕当a n =12n -时，b n =11(1)42n -⋅=232n +．………………………………………2分 所以，S n =1231133(1)82242n n -++++=-．……………………………………… 4分〔2〕满足条件的数列{a n }存在且只有两个，其通项公式为a n =1和a n =1(1)n --． 证明：在2n n b S +=中，令n =1，得b 3=b 1． 设a n =1n q -，则b n =211(1)nq q -．………………………………………………… 6分由b 3=b 1，得2321111(1)(1)q q q q-=-． 假设q =1±，则b n =0，满足题设条件．此时a n =1和a n =1(1)n --．………………… 8分 假设q 1≠±，则311q q=，即q 2 =1，矛盾． 综上，满足条件的数列{a n }存在，且只有两个，一是a n =1，另一是a n =1(1)n --． 10分〔3〕因1=a 1≤a 2≤…≤a n ≤…，故0n a ＞，0＜1n n a a +≤1，于是0＜221nn a a +≤1．所以，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅≥0，n =1，2，3，…．所以，S n =b 1+b 2+…+b n ≥0．………………………………………………………… 13分又，22111(1)n n n n a b a a ++=-⋅=1111(1)(1)n n n n n a a a a a ++++-⋅=11111(1)()n n n n n n a a a a a a ++++-⋅≤1112()n n a a +-． 故，S n =b 1+b 2+…+b n ≤122311111112()2()2()n n a a a a a a +-+-++- =11112()n a a +-=112(1)n a +-＜2． 所以，0≤S n ＜2．………………………………………………………………… 16分20．〔本小题总分值16分〕 已知函数1()ln f x a x x=--〔a ∈R 〕． 〔1〕假设a =2，求函数()f x 在(1，e 2)上的零点个数〔e 为自然对数的底数〕； 〔2〕假设()f x 恰有一个零点，求a 的取值集合；〔3〕假设()f x 有两零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求证：2＜x 1+x 2＜13e a --1．解：〔1〕由题设，()f x '=21xx-，故()f x 在(1，e 2)上单调递减．…………………… 2分所以()f x 在(1，e 2)上至多只有一个零点． 又221(1)(e )1()ef f =⨯-＜0，故函数()f x 在(1，e 2)上只有一个零点．…………… 4分 〔2〕()f x '=21xx -，令()f x '=0，得x =1． 当x ＞1时，()f x '＜0，()f x 在(1 )+∞，上单调递减； 当0＜x ＜1时，()f x '＞0，()f x 在(0，1)上单调递增，故max [()]f x =f (1)=a -1．……………………………………………………… 6分 ①当max [()]f x =0，即a =1时，因最大值点唯一，故符合题设；…………… 8分②当max [()]f x ＜0，即a ＜1时，f (x )＜0恒成立，不合题设； ③当max [()]f x ＞0，即a ＞1时，一方面，e a ∃＞1，1(e )e a af =-＜0； 另一方面，e a -∃＜1，(e )2e a a f a -=-≤2a -e a ＜0(易证：e x ≥e x )， 于是，f (x )有两零点，不合题设．综上，a 的取值集合为{1}．………………………………………………………… 10分 〔3〕证：先证x 1+x 2＞2．依题设，有a =111ln x x +=221ln x x +，于是212121ln x x x x x x -=．记21x x =t ，t ＞1，则11ln t t tx -=，故11ln t x t t-=． 于是，x 1+x 2=x 1(t +1)=21ln t t t-，x 1+x 2-2=212(ln )2ln t t t t --．记函数g (x )=21ln 2x x x--，x ＞1．因22(1)()2x g x x -'=＞0，故g (x )在(1 )+∞，上单调递增． 于是，t ＞1时，g (t )＞g (1)=0．又ln t ＞0，所以，x 1+x 2＞2．…………………………………………………………… 13分 再证x 1+x 2＜13e a --1．因f (x )=0⇔h (x )=ax -1-x ln x =0，故x 1，x 2也是h (x )的两零点． 由()h x '=a -1-ln x =0，得x =1e a -(记p =1e a -)．仿〔1〕知，p 是h (x )的唯一最大值点，故有12()0.h p x p x ⎧⎨⎩＜＞，＜作函数h (x )=2()ln ln x p x p x p ---+，则22()()()x p h x x x p -'=+≥0，故h (x )单调递增． 故，当x ＞p 时，h (x )＞h (p )=0；当0＜x ＜p 时，h (x )＜0． 于是，ax 1-1=x 1ln x 1＜11112()ln x x p x p x p-++．整理，得211(2ln )(2ln 1)p a x p ap p p x p +--+--+＞0， 即，21111(3e 1)e a a x x ----+＞0．同理，21122(3e 1)e a a x x ----+＜0． 故，21122(3e 1)e a a x x ----+＜21111(3e 1)e a a x x ----+， 1212121()()(3e 1)()a x x x x x x -+---＜，于是，1123e 1a x x -+-＜．综上，2＜x 1+x 2＜13e a --1．………………………………………………………16分21．【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．假设多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AH⊥PB 于H．求证：P A·AH=PC·HB．证：连AC，AB．因BC为圆O的直径，故AC⊥AB．又AH⊥PB，故AH2=CH·HB，即AH HBCH AH=．………………………………5分因P A为圆O的切线，故∠P AC=∠B．在Rt△ABC中，∠B+∠ACB=90°．在Rt△ACH中，∠CAH+∠ACB=90°．所以，∠HAC=∠B．所以，∠P AC=∠CAH，所以，PC PACH AH=，即AH PACH PC=．所以，PA HBPC AH=，即P A·AH=PC·HB．…………………………………………10分B．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy中，已知点A〔0，0〕，B〔2，0〕，C〔1，2〕，矩阵0112⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦M，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为A'，B'，C'，求△A B C'''的面积．解：因0000⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M，2001⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，21122⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M，即1(00)(01)(2)2A B C'''--，，，，，．……………………………………………………6分故1212S A B''=⨯⨯=．………………………………………………………………10分〔第21〔A〕题答图〕〔第21〔A〕题〕C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，〔α为参数，r 为常数，r ＞0〕．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l cos()204θπ++=．假设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB =，求r 的值．解cos()204θπ++=，得cos sin 20ρθρθ-+=，即直线l 的方程为20x y -+=．…………………………………………………… 3分由cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，，得曲线C 的普通方程为222x y r +=，圆心坐标为(0,0)，……… 6分所以，圆心到直线的距离d =AB =，则2r =．……………… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＞b ＞c ＞d ，求证：14936a b b c c d a d++----≥． 证：因a ＞b ＞c ＞d ，故a -b ＞0，b -c ＞0，c -d ＞0． 故2149[()()()](123)36a b b c c d a b b c c d ⎛⎫-+-+-++++= ⎪---⎝⎭≥，…………… 6分所以，14936a b b c c d a d++----≥．………………………………………………… 10分【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．〔本小题总分值10分〕如图，正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，12AA AB =． 〔1〕求1AD 与面11BB D D 所成角的正弦值；〔2〕点E 在侧棱1AA 上，假设二面角E -BD -C 1， 求1AEAA 的值． 解：〔1〕以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如下图空间直角坐标系D -xyz ． 设1AB =，则D 〔0，0，0〕，A 〔1，0，0〕， B 〔1，1，0〕，C 〔0，1，0〕，D 1〔0，0，2〕，A 1〔1，0，2〕，B 1〔1，1，2〕，C 1〔0，1，2〕． 2分〔1〕设1AD 与面11BB D D 所成角的大小为θ，1(102)AD =-，，，设平面11BB D D 的法向量为n =〔x ，y ，z 〕，(1,1,0)DB =，1(0,0,2)DD =，则10,0DB DD ⋅=⋅=n n ，即0,0x y z +==．令1x =，则1y =-，所以(110) =-，，n ，111sin |cos ,|||||||AD AD AD θ⋅=<>==n n n 所以1AD 与平面11BB D D ．………………………… 6分〔2〕设E (1，0，λ)，0≤λ≤2．设平面EBD 的法向量为n 1=〔x 1，y 1，z 1〕，平面1BDC 的法向量为n 2=〔x 2，y 2，z 2〕，(110)(10)DB DE λ==，，，，，，由1100DB DE ⋅=⋅=，n n ，得11110,0x y x z λ+=+=， 令11z =，则11,x y λλ=-=，1(,,1)λλ=-n ，1(0,1,2)DC =，由22100DB DC ⋅=⋅=，n n ，得2222020x y y z +=+=，， 令z 2=1，则x 2=2，y 2=-2，2(2,2,1)=-n ，121212cos ,||||⋅<>==n n n n n n ，A B CDA 1B 1C 1D 1〔第22题〕||=，得1λ=．所以112AE AA =．…………………………… 10分23．〔本小题总分值10分〕袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． 〔1〕求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；〔2〕求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．解：〔1〕由题意可知X 2=3，4，5． 当X 2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P (X 2=3)=11331188C C C C ⨯=964；当X 2=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是P (X 2=4)=1111355411118888C C C C C C C C +=3564；当X 2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P (X 2=5)=11541188C C C C =516．……3分所以随机变量X 2的概率分布如下表：数学期望E (X 2)=935526734564641664⨯+⨯+⨯=．……………………………… 5分〔2〕设P (X n =3+k )=p k ，k =0，1，2，3，4，5．则p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5=1，E (X n )=3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5．P (X n +1=3)=038p ，P (X n +1=4)=58p 0+48p 1，P (X n +1=5)=48p 1+58p 2，P (X n +1=6)=38p 2+68p 3，P (X n +1=7)=28p 3+78p 4，P (X n +1=8)=18p 4+88p 5，……………………… 7分所以，E (X n +1)=3×38p 0+4×(58p 0+48p 1)+5×(48p 1+58p 2)+6×(38p 2+68p 3)+7×(28p 3+78p 4)+8×(18p 4+88p 5)=298p 0+368p 1+438p 2+508p 3+578p 4+648p 5 =78(3p 0+4p 1+5p 2+6p 3+7p 4+8p 5)+ p 0+p 1+p 2+p 3+p 4+p 5 =78E (X n )+1． …………………9分 由此可知，E (X n +1)-8=78(E (X n )-8)．又E (X 1)-8=358-，所以E (X n )=13578()88n --．…………………………… 10分。

2015 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分）1．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知集合 A={1 ，2， 3} ， B={2 ， 4， 5} ，则集合 A∪ B 中元素的个数为 5 ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出 A ∪ B，再明确元素个数解答：解：集合 A={1 ， 2， 3} ，B={2 ， 4， 5} ，则 A ∪ B={1 ，2， 3， 4，5} ；所以 A ∪ B 中元素的个数为 5；故答案为： 5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知一组数据 4，6，5，8， 7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据 4， 6，5， 8， 7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为： 6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（ 5 分）（ 2015?江苏）设复数z 满足 z 2=3+4i（ i 是虚数单位），则 z 的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数 z 满足 z 2=3+4i ，可得 |z||z|=|3+4i|= =5，∴ |z|= ．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（ 5 分）（ 2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当 I=10 时不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I ＜ 8， S=3， I=4满足条件I ＜ 8， S=5， I=7满足条件I ＜ 8， S=7， I=10不满足条件I＜ 8，退出循环，输出S 的值为 7．故答案为： 7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（ 5 分）（ 2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球、 1 只红球、 2只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把 4 个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为 A ，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出 2 只球，基本事件为 AB 、 AC 1、 AC 2、 BC1、 BC2、C1C2共 6 种，其中 2 只球的颜色不同的是 AB 、 AC 1、AC 2、 BC1、 BC2共 5 种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知向量=（ 2， 1），=（ 1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）（ m，n∈R），则 m﹣ n 的值为﹣ 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可． 解答：=（ 2， 1）， =（1，﹣ 2），若 m +n =（ 9，﹣ 8）解：向量 可得，解得 m=2， n=5，∴ m ﹣ n=﹣3．故答案为：﹣ 3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（ 5 分）（ 2015?江苏）不等式 2 ＜ 4 的解集为 （﹣ 1， 2） ．考点 ：指、对数不等式的解法．专题 ：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为 x 2﹣ x ＜ 2，求解即可． 解答：解； ∵2＜ 4，∴ x 2﹣ x ＜ 2，即 x 2﹣ x ﹣ 2＜ 0，解得：﹣ 1＜ x ＜2故答案为：（﹣ 1， 2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知 tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，则 tan β的值为3 ．考点 ：两角和与差的正切函数． 专题 ：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解： tan α=﹣ 2， tan （ α+β） = ，可知 tan （ α+β） == ，即= ，解得 tan β=3． 故答案为： 3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（ 5 分）（ 2015?江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个， 若将它们重新制作成总体积与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 ．考点 ：棱柱、棱锥、棱台的体积．： 算 ；空 位置关系与距离．分析：由 意求出原来 柱和 的体 ， 出新的 柱和 的底面半径 r ，求出体 ，由前后体 相等列式求得 r ．解答：解：由 意可知，原来 和 柱的体 和 ： ．新 和 柱的底面半径 r ，新 和 柱的体 和 ：．∴，解得：．故答案 ：．点 ：本 考 了 柱与 的体 公式，是基 的 算 ．10．（ 5 分）（ 2015?江 ）在平面直角坐 系xOy 中，以点（1， 0） 心且与直 mx y2m 1=0 （ m ∈R ）相切的所有 中，半径最大的 的 准方程 （ x 1） 2+y 2=2 ．考点 ： 的 准方程； 的切 方程．： 算 ；直 与 ．分析：求出 心到直 的距离 d 的最大 ，即可求出所求 的 准方程．解答：解： 心到直 的距离d==≤，∴ m=1 ， 的半径最大 ，22∴ 所求 的 准方程 （x 1） +y =2．22故答案 ：（ x 1） +y =2 ．点 ：本 考 所 的 准方程，考 点到直 的距离公式，考 学生的 算能力，比 基 ．n 1 n+1n=n+1（ n ∈N * ）， 数列 { } 的前11．（ 5 分）（ 2015?江 ） 数列 {a} 足 a =1，且 aa10 的和 ．考点 ：数列的求和；数列 推式．：等差数列与等比数列．分析：数列 {a n1 n+1 n*），利用 “累加求和 ”可得 a n= ．再} 足 a =1 ，且 aa =n+1（n ∈N利用 “裂 求和 ”即可得出．解答：解： ∵数列 {a n } 足 a 1=1，且 a n+1a n =n+1 （ n ∈N *），∴ 当 n ≥2 ， a n =（a na n ﹣ 1） +⋯+（ a 2a 1） +a 1=+n+ ⋯+2+1=．当 n=1 ，上式也成立，∴ a n =．∴ =2．∴ 数列 {} 的前 n 项的和 S =n==．∴ 数列 {} 的前 10 项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的 “累加求和 ”方法、 “裂项求和 ”方法、等差数列的前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（ 5 分）（ 2015?江苏）在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2﹣ y 2=1 右支上的一个动点，若点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为．考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0， c 的最大值为直线 x ﹣ y+1=0 与直线 x ﹣ y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线 x 2﹣ y 2=1 的渐近线方程为 x ±y=0 ，因为点 P 到直线 x ﹣ y+1=0 的距离大于 c 恒成立，所以 c 的最大值为直线 x ﹣y+1=0 与直线 x ﹣ y=0 的距离，即 ．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（ 5 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=|lnx| ， g （ x ） = ，则方程|f （ x ）+g （ x ） |=1 实根的个数为4 ．考点 ：根的存在性及根的个数判断． 专题 ：综合题；函数的性质及应用．分析：：由 |f （ x ）+g （ x ） |=1 可得 g （x ） =﹣ f （ x ）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论． 解答：解：由 |f （ x ） +g （ x ） |=1 可得 g （ x ） =﹣ f （ x ） ±1．g （ x ）与 h （ x ）=﹣ f （ x ） +1 的图象如图所示，图象有两个交点；g（ x）与φ（ x） = f（x） 1 的象如所示，象有两个交点；所以方程 |f（ x） +g（ x） |=1 根的个数4．故答案： 4．点：本考求方程|f（ x）+g（ x）|=1 根的个数，考数形合的数学思想，考学生分析解决的能力，属于中档．14．（ 5 分）（ 2015?江）向量=（ cos，sin+cos）（k=0，1，2，⋯，12），（ a k?a k+1）的．考数列的求和．点：等差数列与等比数列；平面向量及用．：分利用向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性即可析得出．：解解：答+=：=++++=++=++，∴（a k?a k+1）=+++++++⋯+ ++++++ ⋯+=+0+0=．故答案： 9 ．点本考了向量数量运算性、两角和差的正弦公式、化和差公式、三角函数的周期性，考了推理能力与算能力，属于中档．：二、解答（本大共 6 小，共90 分，解答写出文字明、明程或演算步）15．（ 14 分）（ 2015?江）在△ABC 中，已知 AB=2 ， AC=3 ，A=60 °．（1）求 BC 的；（2）求 sin2C 的．考点：余弦定理的用；二倍角的正弦．：解三角形．分析：（ 1）直接利用余弦定理求解即可．（ 2）利用正弦定理求出 C 的正弦函数，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（ 1）由余弦定理可得：BC 2=AB2+AC22AB ?ACcosA=4+82×2×3× =7，所以 BC=．（ 2）由正弦定理可得：，sinC===，∵ AB ＜ BC ，∴ C 角，则 cosC===．因此 sin2C=2sinCcosC=2 ×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（ 14 分）（ 2015?江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中，已知 AC ⊥ BC ，BC=CC 1，设AB 1的中点为 D ，B 1C∩BC1=E．求证：（1） DE ∥平面 AA 1C1 C；（2） BC 1⊥ AB 1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（ 1）根据中位线定理得DE∥AC ，即证 DE∥平面 AA 1C1C；（2）先由直三棱柱得出 CC1⊥平面 ABC ，即证 AC ⊥ CC1；再证明 AC ⊥平面 BCC1B 1，即证 BC 1⊥AC ；最后证明 BC1⊥平面 B 1AC ，即可证出 BC 1⊥ AB 1．解答：证明：（1）根据题意，得；E 为 B 1C 的中点， D 为 AB 1的中点，所以DE∥AC ；又因为 DE ? 平面 AA 1C1C， AC ? 平面 AA 1C1C，所以 DE ∥平面 AA 1C1C；（ 2）因为棱柱ABC ﹣ A 1B1C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC ，因为 AC ? 平面 ABC ，所以 AC ⊥CC1；又因为 AC ⊥ BC，CC1? 平面 BCC 1B1，BC ? 平面 BCC 1B1，BC ∩CC1=C，所以 AC ⊥平面 BCC 1B 1；又因为 BC 1? 平面平面BCC 1B1，所以 BC 1⊥AC ；因为 BC=CC 1，所以矩形BCC 1B1是正方形，所以 BC 1⊥平面 B1AC ；又因为 AB 1? 平面 B1AC ，所以 BC 1⊥AB 1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（ 14 分）（ 2015?江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示， M ，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到l 1，l 2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1， l2的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 2，l1在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线 C 符合函数 y=（其中 a， b 为常数）模型．（1）求 a，b 的值；（2）设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t．①请写出公路l 长度的函数解析式f（ t），并写出其定义域；②当 t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）由题意知，点 M ，N 的坐标分别为（5，40），（ 20，2.5），将其分别代入 y= ，建立方程组，即可求a， b 的值；（ 2）① 求出切线 l 的方程，可得 A ，B 的坐标，即可写出公路l 长度的函数解析式 f （ t），并写出其定义域；②设 g（ t） = ，利用导数，确定单调性，即可求出当t 为何值时，公路 l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（ 1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为（ 5， 40），（ 20， 2.5），将其分别代入y= ，得，解得，（ 2）①由（ 1） y= （5≤x≤20），P（ t，），∴ y′=﹣，∴切线 l 的方程为 y﹣=﹣（x﹣t）设在点 P 处的切线 l 交 x， y 轴分别于 A ，B 点，则 A （， 0）， B （0，），∴ f（ t） ==，t∈[5，20]；②设 g（ t） =，则g′（t）=2t﹣=0，解得 t=10，t∈（ 5， 10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（ 10，20）时，g′（t）＞0，g（ t）是增函数，从而 t=10时，函数g（ t）有极小值也是最小值，∴g（ t）min=300 ，∴ f（ t）min=15 ，答： t=10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为15 千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（ 16 分）（2015?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（ a＞b＞ 0）的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A ，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB ，求直线AB 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ 1）运用离心率公式和准线方程，可得a， c 的方程，解得 a， c，再由 a， b， c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线 AB 的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达10解答：解：（ 1）由题意可得， e= =且 c+ =3，解得 c=1， a= ， 则 b=1 ，即有椭圆方程为（ 2）当 AB ⊥ x 轴， AB=， CP=3，不合题意；当 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB ： y=k （ x ﹣ 1），A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），将 AB 方程代入椭圆方程可得（ 1+2k 2）x 2﹣ 4k 2x+2（ k 2﹣ 1） =0， 则 x 1+x 2=， x 1x 2=，则 C （ ，），且|AB|= ? = ，若 k=0 ，则 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意；则 k ≠0，故 PC ： y+=﹣ （ x ﹣）， P （﹣ 2，），从而 |PC|= ，由 |PC|=2|AB|，可得 =，解得 k= ±1，此时 AB 的方程为y=x ﹣ 1 或 y= ﹣ x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式， 同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（ 16 分）（ 2015?江苏）已知函数 f （ x ）=x 3+ax 2+b （a ， b ∈R ）． （1）试讨论 f （ x ）的单调性；（2）若 b=c ﹣a （实数 c 是与 a 无关的常数），当函数 f （ x ）有三个不同的零点时， a 的取值 范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3）∪ （ 1， ） ∪（ ， +∞），求 c 的值．考点 ：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 专题 ：综合题；导数的综合应用．分析：（ 1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f （x ）的单调性；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣）=+b ，则函数+y 2=1；，f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣ ）=b （ +b ）＜ 0，进一步转化为a ＞ 0 时，﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时，﹣a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣ a+c ，利用条件即可求 c 的值．解答：解：（ 1） ∵ f （ x ） =x 3+ax 2+b ，∴ f ′（x ） =3x 2+2ax ，令 f ′（x ） =0 ，可得 x=0 或﹣ ．a=0 时， f ′（ x ）＞ 0， ∴ f （ x ）在（﹣ ∞， +∞）上单调递增；a ＞ 0 时， x ∈（﹣ ∞，﹣ ） ∪（ 0， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（﹣ ，0）时， f ′（ x ） ＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，﹣ ），（ 0，+∞）上单调递增，在（﹣ ，0）上单调递减；a ＜ 0 时， x ∈（﹣ ∞，0） ∪（﹣ ， +∞）时， f ′（x ）＞ 0，x ∈（ 0，﹣ ）时， f ′（ x ）＜ 0，∴ 函数 f （ x ）在（﹣ ∞，0），（﹣ ，+∞）上单调递增，在（ 0，﹣）上单调递减；（ 2）由（ 1）知，函数 f （ x ）的两个极值为 f （ 0） =b ，f （﹣ ）=+b ，则函数f （ x ）有三个不同的零点等价于f （ 0） f （﹣）=b （+b ）＜ 0，∵ b=c ﹣ a ，∴ a ＞ 0 时， ﹣ a+c ＞ 0 或 a ＜ 0 时， ﹣ a+c ＜ 0．设 g （ a ） =﹣a+c ，∵ 函数 f （x ）有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ）∪ （ ， +∞），∴ 在（﹣ ∞，﹣ 3）上， g （ a ）＜ 0 且在（ 1， ） ∪ （ ， +∞）上 g （a ）＞ 0 均恒成立，∴ g （﹣ 3） =c ﹣ 1≤0，且 g （ ）=c ﹣ 1≥0，∴ c=1，此时 f （ x ）=x 3+ax 2+1﹣a=（ x+1 ）[x 2+（ a ﹣ 1）x+1 ﹣ a]，∵ 函数有三个零点，∴ x 2+（a ﹣ 1） x+1﹣ a=0 有两个异于﹣ 1 的不等实根，∴ △ =（ a ﹣ 1） 2﹣ 4（ 1﹣ a ）＞ 0，且（﹣ 1） 2﹣（ a ﹣ 1） +1﹣ a ≠0，解得 a ∈（﹣ ∞，﹣ 3） ∪（ 1， ） ∪ （ ，+∞），综上 c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（ 16 分）（ 2015?江苏）设 1 2 3 4d （ d ≠0）的等差数列． a ，a ， a ． a 是各项为正数且公差为 （1）证明： 2 ， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（2）是否存在 a 1 12 2， a 33， a 44 依次构成等比数列？并说明理由；， d ，使得 a ， ann+kn+2kn+3k依次构成等比数列？并（3）是否存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 ，a 2 ，a 3，a 4 说明理由．考点 ：等比关系的确定；等比数列的性质． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ 1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（ 2）利用反证法，假设存在 a 1 ，d 使得 a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，推出矛 盾，否定假设，得到结论；（ 3）利用反证法，假设存在 a 1，d 及正整数 n ，k ，使得 a 1 n ，a 2n+k，a 3 n+2k ， a 4n+3k 依次构成等比数列， 得到 a 1n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ）2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2（ n+2k ），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ）ln （ 1+t ）=4ln （1+3t ）ln （ 1+t ），（ ** ），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（ 1）证明： ∵==2d，（n=1 ， 2，3，）是同一个常数，∴ 2， 2 ， 2 ， 2 依次构成等比数列；（ 2）令 a 1+d=a ，则 a 1，a 2，a 3，a 4 分别为 a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d （ a ＞ d ，a ＞﹣ 2d ，d ≠0）假设存在 a 11 22， a 33， a 44依次构成等比数列，， d 使得 a， a43624则 a =（ a ﹣d ）（ a+d ） ，且（ a+d ） =a （ a+2d ） ，令 t=，则 1= （1﹣ t ）（ 1+t ） 3，且（ 1+t ） 6=（ 1+2t ）4，（﹣ ＜ t ＜ 1， t ≠0）， 化简得 t 3+2t 2﹣ 2=0（ * ），且 t 2=t+1 ，将 t 2=t+1 代入（ *）式， t （ t+1） +2（ t+1 ）﹣ 2=t 2+3t=t+1+3t=4t+1=0 ，则 t=﹣ ，显然 t=﹣ 不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在 a 1， d ，使得 a 1，a 2 2， a 33， a 44依次构成等比数列．（ 3）假设存在 a 11 n ，a 2n+k ，a 3n+2k ，a 4n+3k 依次构成等比数，d 及正整数 n ，k ，使得 a列，则 a 1 （ ）（ ） n （ a 1+2d ）n+2k =（ a 1+2d ） 2 n+k ，且（ a 1+d ）n+k （ a 1+3d ）n+3k =（ a 1+2d ）2 n+2k， 分别在两个等式的两边同除以 =a2（ n+k） 2（ n+2k），（ t ＞ ， t ≠0），1， a 1 ，并令 t=则（ 1+2t ）n+2k=（ 1+t ） 2 （n+k ）（ n+2k ），且（ 1+t ） n+k （ 1+3t ）n+3k=（ 1+2t ） 2 ， 将上述两个等式取对数，得（ n+2k ）ln （1+2t ） =2（ n+k ） ln （ 1+t ）， 且（ n+k ） ln （ 1+t ） +（ n+3k ） ln （ 1+3t ） =2（n+2k ）ln （1+2t ），化简得， 2k[ln （ 1+2t ）﹣ ln （ 1+t ） ]=n[2ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+2t ） ]，且 3k[ln （ 1+3t ）﹣ ln （1+t ） ]=n[3ln （ 1+t ）﹣ ln （1+3t ） ] ，再将这两式相除，化简得，ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （1+t ）=4ln （ 1+3t ） ln （ 1+t ），（ ** ） 令 g （ t ） =4ln （1+3t ） ln （ 1+t ）﹣ ln （ 1+3t ） ln （ 1+2t ） +3ln （ 1+2t ） ln （ 1+t ），则 g ′（ t ）=[（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ） 2ln （ 1+2t ）2+3 （ 1+t ） ln （ 1+t ） ]，令 φ（ t ） =（ 1+3t ）2ln （ 1+3t ）﹣ 3（ 1+2t ）2 ln （1+2t ） +3（ 1+t ）2ln （ 1+t ），则 φ′（t ）=6[ （1+3t ） ln （ 1+3t ）﹣ 2（ 1+2t ） ln （ 1+2t ） +3 （1+t ） ln （ 1+t ） ] ，令 φ1 1（ t ） =φ′（t ），则 φ ′（ t ） =6[3ln （ 1+3t ）﹣ 4ln （ 1+2t ） +ln （ 1+t ） ]， 令 φ2 1 2＞ 0， （ t ） =φ ′（ t ），则 φ ′（ t ） =由 g （ 0） =φ（ 0） =φ1 2 2（ 0） =φ （ 0） =0，φ ′（ t ）＞ 0，知 g （ t ）， φ（ t ）， φ， 0）和（ 0， +∞）上均单调，1（ t ）， φ2（ t ）在（﹣ 故 g （ t ）只有唯一的零点 t=0 ，即方程（ ** ）只有唯一解 t=0 ，故假设不成立，所以不存在n n+k n+2k n+3k依次构成等比数列． a 1， d 及正整数 n ，k ，使得 a 1，a 2 ，a 3 ，a 4 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分） 【选做题】本题包括 21-24 题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）（ 2015?江苏）如图，在 △ABC 中， AB=AC ， △ ABC 的外接圆 ⊙O 的弦 AE 交BC 于点 D ．求证： △ ABD ∽ △ AEB ．考点 ：相似三角形的判定． 专题 ：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明： ∵AB=AC ，∴ ∠ABD= ∠C ，又 ∵ ∠ C=∠ E ，∴∠ ABD= ∠ E ，又 ∠ BAE 是公共角，可知： △ ABD ∽ △ AEB ．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）（ 2015?江苏）已知 x ，y ∈R ，向量 = 是矩阵 的属于特征值﹣ 2 的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．考点 ：特征值与特征向量的计算． 专题 ：矩阵和变换．分析：利用 A =﹣ 2 ，可得 A=，通过令矩阵 A 的特征多项式为 0 即得结论．解答：解：由已知，可得 A =﹣ 2 ，即 = = ，则，即 ，∴ 矩阵 A= ，从而矩阵 A 的特征多项式 f （ λ） =（ λ+2）（ λ﹣1），∴ 矩阵 A 的另一个特征值为 1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修 4-4：坐标系与参数方程】23．（ 2015?江苏）已知圆2ρsin （ θ﹣ ）﹣ 4=0 ，求圆 C 的半径．C 的极坐标方程为 ρ+2考点 ：简单曲线的极坐标方程．专题 ：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据 x= ρcos θ，y= ρsin θ，求出圆的直角坐标方程，求出半径． 解答： 2 ρsin （ θ﹣ 2ρsin θ﹣4=0 ，解：圆的极坐标方程为 ρ+2 ）﹣ 4=0 ，可得 ρ﹣ 2ρcos θ+2化为直角坐标方程为 x 2+y 2﹣ 2x+2y ﹣ 4=0 ，化为标准方程为（x ﹣ 1）2+（ y+1 ） 2=6，圆的半径 r= ．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式 x= ρcos θ， y=ρsin θ，比较基础，[ 选修 4-5：不等式选讲】24．（ 2015?江苏）解不等式 x+|2x+3| ≥2． 考点 ：绝对值不等式的解法．分析：思路 1（公式法）：利用 |f（ x） |≥g（ x） ? f（ x）≥g（ x），或 f （x）≤﹣ g（ x）；思路 2（零点分段法）：对 x 的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法 1： x+|2x+3| ≥2 变形为 |2x+3|≥2﹣ x，得2x+3≥2﹣ x，或 2x+3 ≥﹣（ 2﹣x），即 x≥，或 x≤﹣ 5，即原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．解法 2：令 |2x+3|=0 ，得 x=．①当 x≥时，原不等式化为x+ （ 2x+3）≥2，即 x≥，所以 x≥；② x＜时，原不等式化为x﹣（ 2x+3 ）≥2，即 x≤﹣ 5，所以 x≤﹣ 5．综上，原不等式的解集为{x|x ≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为： |f（ x） |≥g（x） ? f （x）≥g（ x），或 f （ x）≤﹣ g（x）； |f（ x） |≤g（x） ?﹣g（ x）≤f（ x）≤g（ x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10 分，共计20 分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（ 10 分）（2015?江苏）如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，已知 PA⊥平面 ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ ABC=∠ BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值；（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线CQ 与 DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以 A 为坐标原点，以AB 、 AD 、AP 所在直线分别为 x、 y、 z 轴建系 A ﹣xyz ．（ 1）所求值即为平面 PAB 的一个法向量与平面 PCD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（ 2）利用换元法可得 cos 2＜， ＞ ≤ ，结合函数 y=cosx 在（ 0， ）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以 A 为坐标原点，以AB 、AD 、 AP 所在直线分别为 x 、 y 、z 轴建系 A ﹣ xyz 如图，由题可知 B （ 1， 0， 0）， C （1， 1， 0）， D （ 0， 2， 0）， P （ 0，0， 2）．（ 1） ∵AD ⊥ 平面 PAB ，∴=（ 0， 2，0），是平面 PAB 的一个法向量，∵=（ 1， 1，﹣ 2）， =（0， 2，﹣ 2），设平面 PCD 的法向量为=（ x ，y ， z ），由，得 ，取 y=1，得 =（ 1， 1，1），∴ cos ＜， ＞ = = ，∴ 平面 PAB 与平面 PCD 所成两面角的余弦值为；（ 2） ∵=（﹣ 1， 0，2），设 =λ =（﹣ λ， 0， 2λ）（0≤λ≤1），又=（ 0，﹣ 1， 0），则 =+=（﹣ λ，﹣ 1， 2λ），又=（ 0，﹣ 2， 2），从而 cos ＜ ， ＞ = = ，设 1+2 λ=t ， t ∈[1， 3]，则 cos 2＜， ＞ = =≤ ，当且仅当 t= ，即 λ= 时， |cos ＜ ， ＞ |的最大值为 ，因为 y=cosx 在（ 0， ）上是减函数，此时直线CQ 与 DP 所成角取得最小值．又 ∵ BP== ， ∴ BQ= BP=．点：本考求二面角的三角函数，考用空向量解决的能力，注意解方法的累，属于中档．26．（ 10 分）（ 2015?江）已知集合 X={1 ，2，3} ，Y n={1 ，2，3，⋯，n）（n∈N *）， S n={（ a，b） |a 整除 b或整除 a， a∈X ，B ∈Y n} ，令 f（ n）表示集合 S n所含元素的个数．（1）写出 f（6）的；（2）当 n≥6 ，写出 f （n）的表达式，并用数学法明．考点：数学法．：合；点列、数列与数学法．分析：（1） f （ 6） =6+2+ + =13 ；（2）根据数学法的明步，分，即可明．解答：解：（ 1） f（ 6） =6+2+ + =13；（ 2）当 n≥6 ， f （ n） =．下面用数学法明：①n=6 ， f （ 6） =6+2+ + =13，成立；②假 n=k（ k≥6），成立，那么 n=k+1 ， S k+1在 S k的基上新增加的元素在（ 1，k+1 ），（ 2， k+1 ），（ 3， k+1 ）中生，分以下情形：1）若 k+1=6t ， k=6（ t 1）+5 ，此有 f（ k+1）=f （k） +3=（ k+1）+2++，成立；2）若 k+1=6t+1 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +1=k+2+ + +1=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；3）若 k+1=6t+2 ，则 k=6t+1 ，此时有 f（ k+1 ）=f（k）+2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；4）若 k+1=6t+3 ，则 k=6t+2 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；5）若 k+1=6t+4 ，则 k=6t+3 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立；6）若 k+1=6t+5 ，则 k=6t+4 ，此时有 f（ k+1 ） =f （ k） +2=k+2+ + +2=（ k+1 ）+2+ + ，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6 的自然数 n 均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。

徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则 AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______． 5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____． 6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______. 7. 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x <时，2()log (2)f x x =-， 则(0)(2)f f +的值为_____.8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-≥，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____.10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x πωω=->的图象分别向左、向右各平移4π个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________.13．已知函数 22,0,()2,0x x f x x x x +⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则不等式 (())3f f x ≤的解集为______.14．在△ABC 中，己知 3,45AC A =∠=，点D 满足 2CD BD =，且 AD =则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值： (2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求θ的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CD ⊥PB ，求证：CP ⊥P A ：(2)若过点A 作直线l 上平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD .（1）若AC =4，求直线CD 的方程;（2）证明：∆OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ).18.(本小题满分16分)如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ).(I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;(2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由.19.(本小题满分16分)在数列{}n a 中，已知12211,2,n n n a a a a a n N λ*++==+=+∈，λ为常数.(1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列 的前n 项和 n S ；（3）当0λ≠时，数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列?若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分)己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈ (1)若(1)0f =，求函数 ()f x 的单调递减区间;(2)若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:(3)若 2a =-，正实数 12,x x 满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12x x +≥附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分∠ABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知,a b R ∈，矩阵 1 3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。

江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷一、填空题：（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x||x|＞1}，则集合A∩B=．2．（5分）函数y=4sin2xcos2x的最小正周期是．3．（5分）已知集合M⊆{4，7，8}，且M中最多有一个偶数，则这样的集合M共有个．4．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（5，k），若（﹣）∥，则k=．5．（5分）函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点．6．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的取值范围是．7．（5分）已知在等差数列{a n}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为．8．（5分）设向量=（1，2），=（2，1），若向量λ+与向量=（﹣3，3）垂直，则λ=．9．（5分）在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=，则最大内角的余弦值为．10．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（18）的值为．11．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1）的定义域和值域都是，则实数a的值为．12．（5分）若函数f（x）=x2•lga﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是．13．（5分）若数列{a n}满足a n﹣1=，且a1=，则a2010=．14．（5分）给定正整数n（n≥2）按图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依此类推，最后一行（第n行）只有一个数．例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一行的数是．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知y=2x，x∈的值域为集合A，y=log2定义域为集合B，其中m≠1．（Ⅰ）当m=4，求A∩B；（Ⅱ）设全集为R，若A⊆C R B，求实数m的取值范围．16．（15分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|﹣|=．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）若0＜α＜，﹣＜β＜0，且sinβ=﹣，求sinα的值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=5c．（1）求sinC的值；（2）求sin（2A+C）的值；（3）若△ABC的面积，求a的值．18．（15分）某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如表：时间（将第x天记为x）1 1011 18单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式y=f（x）；（2）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？（结果精确到1元）19．（15分）f（x）是R上的函数，对于任意和实数a，b，都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．（1）求f（1），f（）的值；（2）令b n=f（2﹣n），求证：{2n b n}为等差数列；（3）求{b n}的通项公式．20．（16分）设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．江苏省淮安市淮阴区南陈集中学2015届高三上学期10月调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x||x|＞1}，则集合A∩B={x|1＜x≤2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中方程变形得：（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得：1≤x≤2，即A={x|1≤x≤2}；由B中方程解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，则A∩B={x|1＜x≤2}．故答案为：{x|1＜x≤2}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）函数y=4sin2xcos2x的最小正周期是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：分析：先根据二倍角公式对函数进行化简后可直接得到其最大值，再由T=可求出最小正周期．解答：解：y=4sin2xcos2x=2sin4x∴T==故答案为：．点评：本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的最小正周期的求法，属于基础题．3．（5分）已知集合M⊆{4，7，8}，且M中最多有一个偶数，则这样的集合M共有6个．考点：子集与真子集．专题：计算题．分析：由题知集合M为{4，7，8}的子集，则列举出集合M，根据M中最多有一个偶数，用列举法得到集合M个数即可．解答：解：由于集合M为{4，7，8}的子集，则M可以为{4，7，8}，{4}，{7}，{8}，{4，7}，{4，8}，{7，8}，∅；又因为M中最多有一个偶数即有一个或没有偶数的有{4}，{7}，{8}，{4，7}，{7，8}，∅共有6个．故答案为6点评：考查学生求集合子集个数的能力．以及考查学生列举法及考虑问题全面的能力．4．（5分）已知向量=（3，1），=（1，3），=（5，k），若（﹣）∥，则k=7．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：求出﹣，利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．解答：解：向量=（3，1），=（1，3），=（5，k），﹣=（﹣2，1﹣k），（﹣）∥，∴1﹣k=﹣6，∴k=7．故答案为：7．点评：本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．5．（5分）函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（2，2）．考点：指数函数的图像与性质．专题：计算题．分析：由题意令x﹣2=0，解得x=2，再代入函数解析式求出y的值为2，即可得所求的定点．解答：解：令x﹣2=0，解得x=2，则x=2时，函数y=a0+1=2，即函数图象恒过一个定点（2，2）．故答案为：（2，2）．点评：本题考查了指数函数图象过定点（0，1），即令指数为零求对应的x和y，则是所求函数过定点的坐标．6．（5分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的取值范围是．考点：余弦函数的图象；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），求出|MN|的表达式，利用三角函数的有界性，求出|MN|的取值范围．解答：解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N （a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|，∵sin（a﹣）∈，∴|sin（a﹣）|∈，故答案为：．点评：本题考查三角函数的图象与性质，两角差的正弦公式，正弦函数的有界性，属于基础题．7．（5分）已知在等差数列{a n}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为﹣4．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可得关于d的不等式组，解之可得到d的范围，找出取值范围中的整数，即可得到d的值．解答：解：∵等差数列{a n}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，∴a1=23，且a6=a1+5d≥0，a7=a1+6d＜0，∴23+5d≥0，且23+6d＜0，解得：﹣≤d＜﹣，又d为整数，∴d=﹣4故答案为：﹣4．点评：本题题考查等差数列的通项公式，及不等式组的解法，属基础题．8．（5分）设向量=（1，2），=（2，1），若向量λ+与向量=（﹣3，3）垂直，则λ=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由题意，先求出向量λ+的坐标，再由垂直的条件得到λ的方程，解方程求值即可．解答：解：∵=（1，2），=（2，1），∴λ+=（λ+2，2λ+1），又向量λ+与向量=（﹣3，3）垂直，∴﹣3λ﹣6+6λ+3=0，解得λ=1．故答案为：1．点评：本题考查数量积的运算，向量坐标表示的运算，向量垂直的条件，属于向量基础题，必会型．9．（5分）在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=，则最大内角的余弦值为．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosC的值代入求出c的值，再利用余弦定理确定出最大内角的余弦值即可．解答：解：∵在△ABC中，a=7，b=8，cosC=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=49+64﹣88=25，即c=5，∴最大内角为B，则cosB===．故答案为：点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．10．（5分）已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（18）的值为﹣．考点：函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：计算题．分析：由已知可得f（x+4）=f（x），由已知函数为奇函数可得，f（）=f（﹣log218）=f（4﹣log218）=f（），代入可求解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x）∴f（x+4）=f（x）∵f（﹣x）=﹣f（x）∵x∈（0，1），f（x）=2x当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x=﹣∴f（）=f（﹣log218）=f（4﹣log218）=f（）=﹣故答案为：点评：本题主要考查了函数的周期性、函数的奇偶性，对数运算性质的应用，属于函数知识的综合应用．11．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1）的定义域和值域都是，则实数a的值为．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据对数函数的性质得到题中函数在上是单调函数，结合f（0）=log a1=0可得f （x）是增函数且f（2）=2．由此建立关于a的方程，解之即可得出实数a的值．解答：解：根据对数函数的性质，可得函数f（x）=log a（x+1）在上是单调函数，∵函数f（x）=log a（x+1）满足f（0）=log a1=0，∴由函数的定义域和值域都是，得函数f（x）是增函数且f（2）=2．即log a（2+1）=2，a2=3，解得a=（舍负）．故答案为：．点评：本题给出对数型函数，在函数的定义域和值域都是的情况下求参数a值．着重考查了对数函数的性质和对数的运算法则等知识，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=x2•lga﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）=x2•lga ﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点的条件，转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．解答：解：由题意可知：函数f（x）=x2•lga﹣2x+2在区间（1，2）内有且只有一个零点，当a=1时，函数f（x）=﹣2x+2在区间（1，2）内没有且零点．当a≠1时，由于函数的对称轴为x=，当≤1或≥2时，此时函数在区间（1，2）内单调∴只需有f（1）•f（2）＜0，即lga•（4lga﹣2）＜0，解得，即．当，即时，△=4﹣8lga=0，无解．综上，．故答案为．点评：此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、问题转化的思想以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．13．（5分）若数列{a n}满足a n﹣1=，且a1=，则a2010=．考点：数列的函数特性．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：本题可通过递推公式由首项a1求出数列的前6项，从而确定数列周期为5，再由数列周期可知列，a2010=a5，从而可求解答：解：由题意可得，a1=，∴a2=，a3=，a4=，a5=，a6=∴可知数列是周期为5的周期数列，a2010=a5=．故答案为：．点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式，其中渗透了周期数列这一知识点，属于基础题．14．（5分）给定正整数n（n≥2）按图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依此类推，最后一行（第n行）只有一个数．例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一行的数是2011×22008．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据题意，观察图表中每一行的第一个数，依次为1、3、8、20、48、…，结合数列的知识，可得变化的规律，进而可得答案．解答：解：根据题意，观察图表可得，n=1时，最后一行的数是1，有（1+1）×21﹣2=2×=1成立，n=2时，最后一行的数（即图表第2行第1个数）是3，有（2+1）×22﹣2=3×1=3成立，n=3时，最后一行的数（即图表第3行第1个数）是8，有（3+1）×23﹣2=4×2=8成立，n=4时，最后一行的数（即图表第4行第1个数）是20，有（4+1）×24﹣2=5×4=20成立，n=5时，最后一行的数（即图表第5行第1个数）是48，有（5+1）×25﹣2=6×8=48成立，…以此类推，当n=k时最后一行的数是（k+1）×2k﹣2，当n=2010时最后一行的数是×22010﹣2=2011×22008，故答案为2011×22008．点评：本题考查归纳推理的运用，类似与归纳数列的通项公式，解题时注意结合常见数列的性质来分析．二、解答题（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知y=2x，x∈的值域为集合A，y=log2定义域为集合B，其中m≠1．（Ⅰ）当m=4，求A∩B；（Ⅱ）设全集为R，若A⊆C R B，求实数m的取值范围．考点：交集及其运算；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：（1）欲求A∩B，先分别求出集合A，B，再求它们的交集即可；（2）由题目中条件：“A⊆C R B，”得集合A是C R B={x|x≤2或x≥m+1}的子集，结合端点处的不等关系，可得m的取值范围．解答：解：（1）∵y=2x，x∈的值域为A=，当m=4，由﹣x2+7x﹣10＞0，解得B=（2，5），∴A∩B=（2）∵c＜a，∴C为锐角，∴．∵，，∴sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC==；（3）∵b=5c，∴，sinB=5sinC．∴．又∵S=，∴，∴．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．涉及了三角形面积公式，三角函数中基本公式，考查了学生对知识的综合把握．18．（15分）某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P（元/件）：前10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免费赠送品尝），后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如表：时间（将第x天记为x）1 1011 18单价（元/件）P 9 0 1 8而这20天相应的销售量Q（百件/天）与x对应的点（x，Q）在如图所示的半圆上．（1）写出每天销售收入y（元）与时间x（天）的函数关系式y=f（x）；（2）在这20天中哪一天销售收入最高？为使每天销售收入最高，按此次测试结果应将单价P定为多少元为好？（结果精确到1元）考点：基本不等式在最值问题中的应用．分析：①前10天每天单价呈直线下降趋势后10天呈直线上升，所以单价是天数的分段函数且两段都是直线，利用两点式写出函数②销售收入等于单价乘以销售量，将收入表示成时间的函数，利用基本不等式求销售收入最值解答：解：（1），，x∈，x∈N*，∴．（2）∵，∴当且仅当（x﹣10）2=100﹣（x﹣10）2，即时，y有最大值．∵x∈N*，∴取x=3或17时，（元），此时，p=7（元）．答：第3天或第17天销售收入最高，此时应将单价P定为7元为好．点评：本题考查将实际问题转化成数学问题，利用基本不等式求最值时，注意等号的取的时自变量是否在定义域内．19．（15分）f（x）是R上的函数，对于任意和实数a，b，都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．（1）求f（1），f（）的值；（2）令b n=f（2﹣n），求证：{2n b n}为等差数列；（3）求{b n}的通项公式．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先对a，b赋值1求出f（1），在利用f（1）=f（2×）即可求出f（）的值；（2）先利用条件找到2n f（2﹣n）=2n﹣1f（21﹣n）﹣2﹣1．再利用结论构造出一个等差数列，问题得以证明，（3）利用（2）的结论求出等差数列的通项进而求出{b n}的解析式．解答：解：（1）令a=b=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，再令a=2，b=，则f（1）=2f（）+f（2），∵f（2）=1．∴f（）=﹣，（2）f（2﹣n）=f（2﹣1•21﹣n）=2﹣1f（21﹣n）+21﹣n f（2﹣1），∴2n f（2﹣n）=2n﹣1f（21﹣n）﹣2﹣1．令c n=2n f（2﹣n），∴c n=c n﹣1﹣2﹣1，∴c n﹣c n﹣1=，∴{2n b n}为等差数列（3）由（2）知，∴数列{2n b n}是以公差d=﹣，首项为2b1=2f（）=﹣的等差数列，∴2n b n=2b1+（n﹣1）•（﹣），∴b n=﹣．点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项．20．（16分）设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．考点：复合函数的单调性；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；简单复合函数的导数；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）∴，=，（2分）∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）∴，令g'（x）=0，得x=2，（4分）列表如下：∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1﹣ln2）+2a，∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，∴g（2）＞0证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0故f（x）在（0，+∞）上是增函数证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴当x＞1时，f（x）＞f（1）又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0∴x＞ln2x﹣2alnx+1故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1点评：考查用导数法求最值，本题三个小题后一个以前一个的结论为基础做题，在遇到这一类题时，即使前一问的结论没有证出来，也可以依据前一问的结论为论据求解后一问的问题，请读者注意这个经验．。

徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，1．己知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则AB 中元素的个数为_______．2．设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．5．如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值为_____．6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为______. 7. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()log (2)f x x =-，则(0)(2)f f +的值为_____. 8. 在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______. 9. 若实数,x y 满足40x y +-³，则226210z x y x y =++-+的最小值为_____. 10. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______. 11．将函数2sin()(0)4y x pw w =->的图象分别向左、向右各平移4p个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则w 的最小值为______．12．己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a +3b 的最小值为________. 13．已知函数22,0,()2,0x x f x x x x +ì-³ï=í<ïî，则不等式(())3f f x £的解集为______. 14．在△ABC 中，己知中，己知 3,45AC A =Ð=，点D 满足满足 2CD BD =，且，且 13AD =，则BC 的长为_______ ．二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）分） 己知向量(1,(1,2sin 2sin ),(sin(),1)3a b p q q ==+，R q Î．(1)若a b ^，求tan q 的值：的值：(2)若//a b ，且(0,)2p qÎ，求q 的值．的值．16．（本小题满分14分）分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ^平面ABC ． (1)若AB ^BC ，CD ^PB ，求证：CP ^P A ：(2)若过点A 作直线上平面ABC ，求证：，求证： //平面PBC ．17.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，己知点(3,4),(9,0)A B -，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC =BD . （1）若AC =4，求直线CD 的方程; （2）证明：D OCD 的外接圈恒过定点(异于原点O ). 18.(本小题满分16分) 如图，有一个长方形地块ABCD ，边AB 为2km ，AD 为4 4 km.km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC 是以直线AD 为对称轴，以A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC 上一点P 的直线型隔离带EF ，E ，F 分别在边AB ，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P 到边AD 的距离为t (单位:km)，△BEF 的面积为S (单位: 2km ). (I)求S 关于t 的函数解析式，并指出该函数的定义域; (2)是否存在点P ，使隔离出的△BEF 面积S 超过32km ?并说明理由. 19.(本小题满分16分) 在数列{}na中，已知12211,2,nn n a a aaa n N l *++==+=+Î，l 为常数. (1)证明: 14,5,a a a 成等差数列; (2)设22n na a n c +-=，求数列，求数列 的前n 项和项和 n S ；（3）当0l ¹时，数列数列 {}1n a -中是否存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列若存在，求出,,s t p 的值；若不存在，说明理由. 20.(本小题满分16分) 己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+Î(1)若(1)0f =，求函数，求函数 ()f x 的单调递减区间; (2)若关于x 的不等式()1f x ax £-恒成立，求整数恒成立，求整数 a 的最小值: (3)若 2a =-，正实数，正实数 12,x x 满足满足 1212()()0f x f x x x ++=，证明: 12512x x -+³附加题部分21.【选做题】本题包括A, B, C, D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分) 如图，O 是△ABC 的外接圆，AB = A C AC ，延长BC 到点D ，使得CD = AC ，连结AD 交O 于点E .求证:BE 平分ÐABC .B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分) 已知,a b R Î，矩阵1 3a A b -éù=êúëû所对应的变换A T 将直线将直线 10x y --=变换为自身，求a ,b 的值。

第5题图2015届江苏省淮安市高三下学期第五次模拟考试数学试题2015．5数学Ⅰ 必做题部分（本部分满分160分，时间120分钟）参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}|,B x x a a =∈R ≤，若(],5A B =-∞，则a 的值是 ▲ ．2．若复数i1ia ++是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员36人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，42，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 ▲ ．4．若抛物线28y ax =的焦点与双曲线2221x y a-=的右焦点重合，则双曲线的离心率为 ▲ ．5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．6．某校有,A B 两个学生食堂，若,,a b c 三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．7．在ABC ∆中，若2,3a b B π===，则ABC ∆的面积为▲ ．8．已知正四棱锥的底面边长是，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为 ▲ .ABCE第16题图9．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ▲ ． 10．已知函数32()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），则实数m 的取值范围是 ▲ ． 11．已知22:1O x y +=．若直线2y +上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为__▲__．12．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=， 则33a b = ▲ ． 13．已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 ▲ ． 14．已知二次函数2()(21)2f x ax b x a =++--在区间[3,4]上至少有一个零点，则22a b +的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数π()cos(π)(02f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）求出ϕ及图中0x 的值；（2）求()f x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值． 16．（本题满分14分）如图，边长为2的正方形ABCD 是圆柱的中截面，点E 为线段BC 的中点，点S 为圆柱的下底面圆周上异于A ，B 的一个动点．（1）在圆柱的下底面上确定一定点F ，使得//EF 平面ASC ；（2）求证：平面ASC ⊥平面BSC ．第15题图第17题图第18题图如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设C O B θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．18．（本小题满分16分）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右顶点分别为())12,A A ，若直线3450x y ++=上有且仅有一个点M ，使得1290F MF ︒∠=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点．点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点．若0PQ QT ⋅=时,PQ t 的值．已知函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，且当()0,2x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =+<-，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为4-．（1）求实数a 的值；（2）设0b ≠，函数31()3g x bx bx =-，()1,2x ∈．若对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使1144n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷数 学 试 题 2015.5数学Ⅱ 附加题部分注意事项1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。

淮阴区期中调研测试数学试题一、选择题（本大题满分70分，每小题5分）1、 设集合}|{},1|{a x x B x x A <=>=，若R B A =⋃，则实数a 的取值范围为2、 复数i i z +-=2)21(的实部为3、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．4、从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为5、函数)62sin(2π-=x y 的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为6、阅读如图1­1所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为图1­17、等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a8、一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的 倍。

9、在平面直角坐标系中，直线0323=+-y x 被圆422=+y x截得的弦长为10、设函数1sin )1()(22+++=x xx x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 11、已知点),1(m P 是函数xax y 2+=图像上的点，直线b y x =+是该函数图像在P 点处的切线，则=-+m b a12、设P 为ABC ∆中线AD 的中点，D 为边BC 中点，且2=AD ，若3-=•PC PB ，则=•AC AB13、若存在正数x 使1)(<-a x e x成立，则a 的取值范围是 14、已知0,0,1≠>=+x y y x ，则1||||21++y x x 的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本题满分14分）已知2tan ),,2(-=∈αππα（1）求)4sin(απ+的值；（2）求)232cos(απ-的值。

江苏省淮阴中学2015届高三调研试卷数 学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的相应位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题：(每题5分，共计70分) 1、已知{}{}1,0,2,1,1,A B =-=-则A B = ▲ .2、已知复数21iz i=+，(i 为虚数单位)则复数z 的实部为 ▲ . 3、写出命题:“若x =3，则x 2-2x -3=0”的否命题: ▲ ．4、一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的“茎叶图”如图，则他在这5场比赛中得分的方差为 ▲ .08910125、如图所示的流程图，输出的n = ▲ .6、已知抛物线28y x =的焦点是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .7、若实数,x y 满足不等式组0220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ▲ ．8、已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 ▲ . 9、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若338,20,a S ==则5S = ▲ .10、将x y 2sin =的图像向右平移ϕ单位（0>ϕ），使得平移后的图像过点),23,3(π则ϕ的最小值为 ▲ ．11、若直线l ： y x a =+被圆()2221x y -+=截得的弦长为2，则a= ▲ .12、已知函数f(x)= 22,0,3,0x ax x bx x x ⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为 ▲ 13、在三角形ABC 中，已知AB=3，A=0120,ABC ∆的面积为1534，则BC BA 的值= ▲ . 14、设点P,M,N 分别在函数222,4,3y x y x x y x =+=-=+的图象上，且2MN PN =,则点P 横坐标的取值范围为 ▲ . 二、解答题：（满分90分，作答请写出必要的解答过程） 15、（本小题满分14分）已知()sin cos f x x a x =+， （1）若3a =，求()f x 的最大值及对应的x 的值.（2）若04f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ()1(0)5f x x π=<<，求tanx 的值.16、（本小题满分14分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC, AB BC ⊥， D 为PB 中点，E 为PC 的中点， （1）求证：BC 平面ADE ；（2）求证:平面AED ⊥平面AB P .17、（本小题满分14分）小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售收入为25-x 万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ （2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润．．．．．最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出） 18、（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程;（2）若点B 在椭圆上，点D 在y 轴上，且2BD DA =，求直线AB 方程.19、已知数列{}n a 满足121,0a a a ==>，数列{}n b 满足1n n n b a a += （1）若{}n a 为等比数列，求{}n b 的前n 项的和n s ；（2）若3nn b =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若2n b n =+，求证：121113na a a +++>20、已知函数(),()ln xf x eg x x ==， （1）求证：()1f x x ≥+ ;(2)设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l 与y=f(x)图象也相切； （3）求证：对任意给定的正数a,总存在正数x,使得()1|1|f x a x--<成立.江苏省淮阴中学2015届高三调研数学试卷参考答案一、填空、(每题5分，满分70分)1、{-1,0,1,2}，2、1,3、“若3x ≠则2230x x --≠”， 4、2, 5、4, 6、y =， 7、6, 8、6π， 9、40, 10、6π， 11、-2, 12、-4∞（，），13、332， 14、5[2-。