动态圆问题

与圆相关的动态几何问题
以下是几个与圆相关的动态几何问题：
1. 两个圆的交点：当两个圆相交时，它们会产生两个交点。

这
些交点可以在动态几何软件中随着圆的移动而变化。

2. 圆的切线：给定一个圆和一点，可以确定从该点到圆的切线。

这些切线可以通过移动点和圆来进行动态演示。

3. 圆的切线长度：给定一个圆和一点，可以计算从该点到圆的
切线的长度。

这个问题可以用来演示一些几何学中的定理，如切线
长定理。

4. 圆内接多边形：将一个多边形放置在内切圆内部，并使多边
形的每个顶点都在圆上。

这个问题涉及到内切圆的中心和半径，可
以通过动态几何演示进行展示。

5. 圆内接三角形：在内切圆上选择三个点，这些点构成一个内
接三角形。

可以展示内接圆如何与三角形有关，并给出内接圆的半
径和面积。

动态圆法是一种数学方法，用于解决动态平衡问题。

它基于一个假设，即物体在动态平衡状态下会形成一个动态圆(或称动态平衡圆)，这个圆的大小和形状取决于物体的质量、速度和加速度等参数。

通过计算动态圆的周长和面积，可以得出物体受到的力的大小和方向，从而解决动态平衡问题。

动态圆法可以应用于各种动态平衡问题，例如飞行器的稳定性控制、汽车悬挂系统的设计、机械振动的抑制等。

它的优点在于简单易懂、计算速度快、精度高，能够准确地描述物体在动态平衡状态下的运动状态。

总之，动态圆法是一种非常实用的工具，可以帮助我们更好地理解和解决各种动态平衡问题。

《动态数学问题50例》1．如图，已知⊙O1经过⊙O2的圆心O2，且与⊙O2相交于A、B两点，点C为弧AO2B上的一动点（不运动至A、B），连结AC，并延长交⊙O2于点P，连结BP、PC（1）当点C在运动时，观察图中有哪些角的大小没有变化？（2）请猜想△BCP的形状，并证明你的猜想P2．如图，已知AB是⊙O的直径，直线MN与⊙O相交于点E，F，AD⊥MN，垂足为D。

（1）求证：∠BAE=∠DAF（2）若把直线MN向上平行移动，使之与AB相交，其他条件不变，请把变化后图形画出来，并指出∠BAE=∠DAF是否仍然相等（直接回答，不必证明）- 1 -- 2 -3．如图，课本中曾要我们证明“已知平行四边形ABCD 及形外一直线L ，AA 1⊥L ，BB 1⊥L ，CC 1⊥L ，DD 1⊥L 。

求证：AA 1+CC 1=BB 1+DD 1”。

现将L 向上平移，则以上的结论还成立吗？LD 1C 1B 1A 1DCBA4．如图，AD 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于D ，AB ，AC 交⊙O 于E ，F （1）求证：AE ·AB=AF ·AC （2）如果将直线BC 向上或向下平移（与AD 仍然垂直）且AB ，AC 交⊙O 于E ，F ，则AE ·AB=AF ·AC 还成立吗？AB 。

OEDCF- 3 -5．已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，则图（1）中存在结论AN=BM（1）现将△ACM 绕C 点按逆时针方向旋转1800，使A 点落在CB 上，请在画出符合题意的图(2).（2）在（2）中所得的图形中，结论“AN=BM ”是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）在（2）得到的图形中，设MA 的延长线与BN 相交于D 点，请你判断△ABD 与四边形MDNC 的形状，并证明你的结论图（1）6．已知，如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ，过点A 的直线CD 与⊙O 1交于C ，与⊙O 2交于D ，过点B 的直线EF 与⊙O 1交于E ，与⊙O 2交于F ，求证：CE ∥DF当上例的图形变为如下几个图时，仍有CE ∥DF 吗？如何证明？A M NC B 。

摘要：磁场中动态圆问题是高中物理的难点，圆轨迹的转变规律的确信是难中之难，本文就动态圆问题进行总结归类，分确信入射点和速度大小，不确信速度方向；确信入射点和速度方向，不确信速度大小；确信入射速度，不确信入射点三种模型进行归类总结，旨在为以后的解题提供帮忙。

关键词：磁场；动态圆；带电粒子带电粒子在磁场中的动态圆问题是近几年高考的热点。

这种题目的难点在于带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心在转变。

解这种题目的关键是准确找出符合题意的临界轨迹圆弧，大体方式是找圆心、画圆、求半径、按时刻。

下面分几种模型进行论述：模型一：确信入射点和速度大小,不确信速度方向如下图，磁场中P点有带正电粒子，以相等速度V沿各个方向射入磁场中。

1.找圆心方式以P点为圆心，R长为半径画圆，圆周上各点即为所求圆心O。

2.模型特点(1)各动态圆圆心轨迹为圆。

(2)各动态圆均相交于同一点P。

(3)在纸面内，各粒子所能打到的区域是以2R为半径的圆(包络面)。

(4)各动态圆周期T相同。

3.例题分析(1)如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为m、带电量为+q的粒子以相同的速度v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的彼此阻碍。

以下图中阴影部份表示带电粒子可能通过的区域，其中哪个图是正确的（）。

解：如下图，圆心轨迹是以O为圆心，半径为R的一个圆弧，右边界是沿ON 方向出射的粒子轨迹包围的部份，左侧界是2R为半径的圆的包络线，因此正确答案是A。

模型二：确信入射点和速度方向,不确信速度大小如下图，磁场中P点，不同速度的带正电的粒子沿水平方向射出。

1.找圆心方式带电粒子射入磁场的方向不变，大小转变，那么所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上。

2.模型特点(1)各动态圆圆心轨迹为直线。

(2)各动态圆的半径R不同。

(3)各动态圆均相交于同一点P。

(4)各动态圆周期T相同。

“动态圆”模型带电粒子在磁场中做圆周运动轨迹的圆心位置变化的问题称为动态圆问题．常用的有两种模型．1．确定的入射点O 和速度大小v ，不确定速度方向(旋转圆模型)在垂直于纸面的无限大的磁感应强度为B 的匀强磁场中，在O 点有一粒子源在纸面内，朝各个方向发射速度大小为v ，质量为m ，电荷量为＋q 的带电粒子(重力不计)，这些带电粒子在匀强磁场中做同方向旋转匀速圆周运动．其特点是：(1)各动态圆圆心O 1、O 2、O 3 、O 4 、O 5(取五个圆)的轨迹分布在以粒子源O 为圆心，R ＝mv qB为半径的一个圆周上(如图虚线所示)．(2)带电粒子在磁场中能经过的区域是以粒子源O 为圆心，2R 为半径的大圆(如图实线所示)．(3)各动态圆相交于O 点．一、单边界磁场1、如图，在一水平放置的平板MN 的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，磁场方向垂直于纸面向里．许多质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子，以相同的速率v 沿位于纸面内的各个方向，由小孔O 射入磁场区域．不计重力，不计粒子间的相互影响．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中R ＝mvBq.哪个图是正确的( )答案：A 解析 由于带电粒子从O 点以相同速率射入纸面内的各个方向，射入磁场的带电粒子在磁场内做匀速圆周运动，其运动半径是相等的．沿ON 方向(临界方向)射入的粒子，恰能在磁场中做完整的圆周运动，则过O 点垂直MN 方向的右侧恰为一临界半圆；若将速度方向沿ON 方向逆时针偏转，则在过O 点垂直MN 方向的左侧，其运动轨迹上各个点到O 点的最远距离，恰好是以O 为圆心，以2R 为半径的14圆弧．A 正确． 2．（多选）(2012·江苏·9)如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界．一质量为m 、电荷量为q 的粒子在纸面内从O 点射入磁场．若粒子速度为v 0，粒子重力不计，最远能落在边界上的A 点．下列说法正确的有( )A ．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v 0B ．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v 0C ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v 0－qBd 2mD ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v 0＋qBd 2m答案：BC 解析 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，qv 0B ＝mv 20r ，所以r ＝mv 0qB ，当带电粒子从不同方向由O 点以速度v 0进入匀强磁场时，其轨迹是半径为r 的圆，轨迹与边界的交点位置最远是离O 点2r 的距离，即OA ＝2r ，落在A 点的粒子从O 点垂直入射，其他粒子则均落在A 点左侧，若落在A 点右侧则必须有更大的速度，选项B 正确．若粒子速度虽然比v 0大，但进入磁场时与磁场边界夹角过大或过小，粒子仍有可能落在A 点左侧，选项A 、D 错误．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，设粒子运动轨迹的半径为r ′，则r ′≥2r －d 2，代入r ＝mv 0qB ，r ′＝mv qB ，解得v ≥v 0－qBd 2m，选项C 正确． 3.(多选)如图所示，一粒子发射源P 位于足够大绝缘板AB 的上方d 处，能够在纸面内向各个方向发射速率为v 、电荷量为q 、质量为m的带正电的粒子。

磁场中的最小面积及动态圆积问题因带电粒子在磁场中做匀速圆周运动轨迹的特殊性，时常出现最小面积问题，常见的有圆形、矩形和三角形等等，以下仅就此类问题进行专题性演练。

【例1】如图所示，一质量为m 重力不计电量为q 的带电质点, 以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射出，可在适当的地方加一个垂直于xy 平面、磁感应强度为B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区域的最小半径。

【解析】由牛顿第二定律有：2v qvB m R = 可得mv R qB = 圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子在穿越磁场过程中以入射点 和出射点为直径的圆，故22r R = 其最小面积是：222222m v S r q B ππ== 【例2】如图，质量为m 重力不计带电量为q 的带电粒子以速度0v 从O点沿y 轴正向射入垂直于纸面、磁感强度为B 的圆形匀强磁场区域，粒子飞出磁场区域后从b 处穿过x 轴，速度方向与x 轴正向夹角为30°。

试求：（1）圆形磁场区的最小面积；（2）粒子从o 到b 经历的时间。

【解析】（1）由牛顿第二定律有：200v qv B m R = 可得0mv R qB= 如图，圆形磁场区域面积最小的圆是带电粒子以入射点和出射点为直径的圆，其半径°cos30r R =故其最小面积为：22202234m v S r q B ππ== （2）粒子从o 到b 经历的时间为：0132(3)33r m t T v qB π=+=+ 【例3】图为可测定带电粒子比荷装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里磁感应强度-32.010B T =⨯的匀强磁场，在x 轴上距坐标原点0.50L m =的P 处为离子的入射口，在y 上安放接收器，现将一重力不计的带正电的粒子以43.510/v m s =⨯的速率从P 处射入磁场，若粒子在y 轴上距坐标原点0.50L m =的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，试求：（1）该带电粒子的比荷q m； （2）为了在M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以限制在一个以PM 为边界的矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积。

磁场中的动态圆问题一、粒子特点：入射粒子速度的方向相同，速度的大小不同，或者是B 的大小变化，从而造成轨迹圆的半径不同。

如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大.或者磁感应强B 越小，运动半径也越大。

可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO 上.解决方法：放缩圆法。

粒子的轨迹圆的的圆心轨迹为一条线段，利用圆规作图，不断改变圆心位置找到符合要求的轨迹圆。

例：（多选）如图2所示，正方形abcd 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O 点是cd 边的中点，一个带正电的粒子(重力忽略不计)若从O 点沿纸面以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场.现设法使该带电粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向(如图中虚线所示)，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )图2A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场B.若该带电粒子从ab 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是23t 0C.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t 0D.若该带电粒子从bc 边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是53t 0解析 带电粒子以垂直于cd 边的速度射入正方形内，经过时间t 0刚好从c 点射出磁场，则知带电粒子的运动周期为T ＝2t0.作出粒子从O 点沿纸面以与Od 成30°角的方向射入恰好从各边射出的轨迹，如图所示发现粒子不可能经过正方形的某顶点，故A 正确；作出粒子恰好从ab 边射出的临界轨迹③④，（从ab 边射出意思是不从ad 边出，就是和ad 边相切，与ab 边相切）由几何关系知圆心角不大于150°，在磁场中经历的时间不大于512个周期，即56t 0；圆心角不小于60°，在磁场中经历的时间不小于16个周期，即13t 0，故B 正确；作出粒子恰好从bc 边射出的临界轨迹②③，由几何关系知圆心角不大于240°，在磁场中经历的时间不大于23个周期，即43t 0；圆心角不小于150°，在磁场中经历的时间不小于512个周期，即56t 0，故C 正确；若该带电粒子在磁场中经历的时间是56个周期，即53t 0.粒子轨迹的圆心角为θ＝53π，速度的偏向角也为53π，根据几何知识得知，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角为30°，必定从cd 边射出磁场，故D 错误.答案 ABC例2、如图所示，在边长为2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为m 、电荷量为－q (q >0)的带电粒子(重力不计)从AB 边的中心O 以速度v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB 边的夹角为60°，若要使粒子能从AC 边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小B 需满足( )A.B >3mv3aqB.B <3mv 3aqC.B >3mv aqD.B <3mvaq答案 B解析 若粒子刚好达到C 点时，其运动轨迹与AC 相切，如图所示，则粒子运动的半径为r 0＝atan 30°＝3a .由qvB ＝mv 2r 得r ＝mvqB，粒子要能从AC 边射出，粒子运行的半径应满足r >r 0，解得B <3mv3aq，选项B 正确.3、(多选)(2018·湖北省十堰市调研)如图12所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B ，其边界为一边长为L 的正三角形(边界上有磁场)，A 、B 、C 为三角形的三个顶点．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以速度v ＝3qBL4m从AB 边上的某点P 既垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入磁场，然后从BC 边上某点Q 射出．若从P 点射入的该粒子能从Q 点射出，则( )A ．PB <1＋34L B ．PB <2＋34L C ．QB ≤34L D ．QB ≤12L答案 BD解析 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：粒子在磁场中的运动轨迹半径为r ＝mv Bq ，因此可得r ＝34L ，当入射点为P 1，圆心为O 1，且此刻轨迹正好与BC 相切时，PB 取得最大值，若粒子从BC 边射出，根据几何关系有PB <P 1B ＝2＋34L ，A错误，B 正确；当运动轨迹为弧P 2Q 时，即O 2Q 与AB 垂直时，此刻QB 取得最大值，根据几何关系有QB ＝rsin 60°＝12L ，所以有QB ≤12L ，C 错误，D 正确．二、粒子特点：入射粒子速度的方向不相同，速度的大小相同。