推荐高三数学第7练函数的单调性与最值练习

函数的单调性与最值练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题4分）1．函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 2．已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ）A.(1,)+∞B.(2,)+∞C.(,0)-∞D.(,1)-∞ 3．定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（ ）A.()f x 在R 上是增函数B.()f x 在R 上是减函数C.函数()f x 是先增加后减少D.函数()f x 是先减少后增加4．若在区间(-∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A. [1，2)B. [1，2]C. [1,+∞)D. [2，+∞)5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈，有2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜x 取值范围是( )A. B. C.7．已知(x)=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x xx ax a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，31） C.［71，31） D.［71，1）8．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 9．已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数，则满足(21)f x -＜的x 取值范围是（ ）（A ）（∞- （B ） （C ）∞+） （D ） 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2xy = B ．1y x= C ．2y x = D ．tan y x = 11．已知函数(a 为常数)．若在区间[-1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()()1f x f x =-，且当12x ≥时， ()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-的最大值与最小值之差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题（每小题4分）13．已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m 的取值范围是14．设函数()f x =⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足()2f x ≤的x 的取值范围是 ．15．2()24f x x x =-+的单调减区间是 . 16．已知函数)(x f 满足),()(x f x f =-当,(,0]a b ∈-∞时总有，若)2()1(m f m f >+，则实数m 的取值范围是_______________．17．函数2()(1)2f x x =--的递增区间是___________________ . 18．已知函数()[]5,1,4∈+=x xx x f ，则函数()x f 的值域为 ． 19．函数2(),,.f x x ax b a b R =-+∈若()f x 在区间(,1)-∞上单调递减，则a 的取值范围 ．20．已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是 . 21．已知函数()()23log 5f x x ax a =+++，()f x 在区间(),1-∞上是递减函数，则实数a 的取值范围为_________．22．已知y=f(x)是定义在（－2，2）上的增函数，若f(m-1)<f(1-2m)，则实数m 的取值范围为 .23．若函R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 ．24．已知函数f(x)＝e x －1，g(x)＝－x 2＋4x －3，若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为________． 25．已知函数f(x)(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．参考答案1．B 【解析】试题分析：画出2()log f x x =在定义域}{0>x x 内的图像，如下图所示，由图像可知2()log f x x =在区间[1,2]上为增函数，所以当1=x 时2()log f x x =取得最小值，即最小值为2(1)log 10f ==。

课时作业(七) 函数的单调性与最值1．函数f (x )＝－x ＋1x 在[－2，－13 ]上的最大值是( )A ．32B ．－83C ．－2D ．2A [由y ＝－x 在R 上单调递减，y ＝1x 在(－∞，0)上单调递减，可得f (x )在[－2，－13 ]上单调递减，即f (－2)为最大值，且f (－2)＝2－12 ＝32.]2．(多选)(2020·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln (x ＋1)AD [由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0可知，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．]3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23D [因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，所以2x －1≥0，x ≥12 .又函数在定义区间上单调递增，且满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13 ，所以2x －1<13 ，x <23 .故x 的取值范围为12 ≤x <23.] 4．设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A ．y ＝1f （x ） 在R 上为减函数B ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数C ．y ＝－1f （x ）在R 上为增函数D ．y ＝－f (x )在R 上为减函数D [特例法：设f (x )＝x ，则y ＝1f （x ） ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A 错；则y ＝|f (x )|＝|x |在R 上无单调性，B 错；则y ＝－1f （x ） ＝－1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C 错；y ＝－f (x )＝－x 在R 上为减函数，所以选项D 正确．]5．函数y ＝2－xx ＋1 ，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(－1，2)C ．[1，2)D ．[－1，2)D [函数y ＝2－x x ＋1 ＝3－（x ＋1）x ＋1 ＝3x ＋1 －1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2).]6．函数y ＝x －|1－x |的单调递增区间为________．解析： y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≥1，2x －1，x<1.作出该函数的图象如图所示．由图象可知，该函数的单调递增区间是(－∞，1]. 答案： (－∞，1]7．(2020·日照期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x≤0x ＋1x，x>0 ，则f (f (－1))＝________，函数f (x )的最小值为________．解析： 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2，x≤0，x ＋1x，x>0，所以f (－1)＝f (－1－1)2＝4， 所以f (f (－1))＝f (4)＝4＋14 ＝174 ，当x ≤0时，y ＝(x －1)2≥1； 当x >0时，y ＝x ＋1x≥x·1x＝2. 当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以函数f (x )的最小值为1. 答案：1741 8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析： 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案： (－1，2) 9．已知函数f (x )＝x ＋2x.(1)写出函数f (x )的定义域和值域；(2)证明：函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f (x )在x ∈[2，8]上的最大值和最小值． 解析： (1)定义域为{x |x ≠0}． 又f (x )＝1＋2x ，所以值域为{y |y ≠1}．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1＋2x1 －⎝⎛⎭⎫1＋2x2 ＝2x1 －2x2 ＝2（x2－x1）x1x2 . 又0<x 1<x 2，所以x 1x 2>0，x 2－x 1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，在x ∈[2，8]上，f (x )的最大值为f (2)＝2，最小值为f (8)＝54.10．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ，求a 的值． 解析： (1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x2 －⎝⎛⎭⎫1a －1x1 ＝1x1 －1x2 ＝x2－x1x1x2 >0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2 ， 又由(1)得f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2 上是单调递增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12 ＝12 ，f (2)＝2，解得a ＝25.11．(创新型)在实数R 中定义一种运算“*”，使其具有下列性质： (1) 对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a . (2) 对任意a ∈R ，a *0＝a .(3) 对任意a ，b ，c ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(b *c )－2c .则函数f (x )＝x *x2 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎦⎤－∞，12B ．⎣⎡⎦⎤－32，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－32 D 在(3)中，令c ＝0，得a *b ＝(a *b )*0＝0*(ab )＋(a *0)＋(b *0)－2×0＝ab ＋a ＋b ，则f (x )＝x *x 2 ＝x22 ＋3x 2 ＝12 ⎝⎛⎭⎫x ＋32 2 －98 ，易知函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－32 .故选D.] 12．(开放题)已知f (x )和g (x )在定义域内均为增函数，但f (x )·g (x )在定义域内不一定是单调递增函数，请写出一对这样的函数，例如当f (x )＝________，且g (x )＝________时，f (x )·g (x )在定义域内不是单调递增函数．解析： 根据题意设f (x )＝x ，g (x )＝x ，两个函数的定义域均为R ，则f (x )·g (x )＝x 2，在R 上不是单调递增函数．答案： x ；x (答案不唯一)13．已知f (x )＝x2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12 时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解析： (1)当a ＝12 时，f (x )＝x ＋12x＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x1－12x2 ＝（x1－x2）（2x1x2－1）2x1x2 .因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x2＋2x ＋ax>0恒成立，则⎩⎨⎧x2＋2x ＋a>0，x≥1 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a>－（x2＋2x ），x≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3. 所以a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞). 14．(2020·柳州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1；②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解析： (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4， 得f (x 2＋2x )＋f (1－x )＋1>5， 即f (x 2＋x ＋1)>f (3)又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．15．(多选)(2020·山东德州质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2a －1）x ＋8a －2，x<1，ax ，x≥1 在(－∞，＋∞)上单调递减的充分不必要条件是( )A ．13 <a <12B ．14 ≤a ≤1C ．13 ≤a ≤12D ．13 ≤a ≤38AD [若函数f (x )＝⎩⎨⎧（2a －1）x ＋8a －2，x<1，ax≥1在(－∞，＋∞)上单调递减，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<0，0<a<1，（2a －1）＋8a －2≥a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12，0<a<1，即13≤a <12，a ≥13，故当13 <a <12 或13 ≤a <38，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，故选AD.]16．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12 x 2－x ＋32 是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析： 因为函数f (x )＝12 x 2－x ＋32 的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12 x －1＋32x ，令g (x )＝12 x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12 －32x2 ＝x2－32x2.由g ′(x )≤0得1≤x ≤ 3 ，即函数f （x ）x ＝12 x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上单调递减．故“缓增区间”I 为[1， 3 ].答案： [1， 3 ]。

16年高考数学复习函数的单调性与最值专题训练（含答案）函数的单调性也可以叫做函数的增减性，下面是函数的单调性与最值专题训练，请考生及时练习。

一、选择题1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+)内单调递减的函数是().A.y=x2B.y=|x|+1C.y=-lg|x|D.y=2|x|解析对于C中函数，当x0时，y=-lg x，故为(0，+)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.答案C.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-，-1)(1，+)解析f(x)在R上为减函数且f(|x|)|x|1，解得x1或x-1.答案D.若函数y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是()A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增解析y=ax与y=-在(0，+)上都是减函数，a0，b0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-0，y=ax2+bx在(0，+)上为减函数.答案B4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是().A.(-，0]B.[0,1)C.[1，+)D.[-1,0]解析g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.答案B.函数y=-x2+2x-3(x0)的单调增区间是()A.(0，+)B.(-，1]C.(-，0)D.(-，-1]解析二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-，0).答案C.设函数y=f(x)在(-，+)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为().A.(-，0)B.(0，+)C.(-，-1)D.(1，+)解析f(x)=f(x)=f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-，-1).答案C二、填空题.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.解析函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.当-21时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.综上，g(a)=答案.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.解析y=-(x-3)|x|作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.答案.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则a的取值范围是________.解析当a=0时，f(x)=-12x+5在(-，3)上为减函数;当a0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即3，故0答案10.已知函数f(x)=(a是常数且a0).对于下列命题：函数f(x)的最小值是-1;函数f(x)在R上是单调函数;若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是a对任意的x10，x20且x1x2，恒有f.其中正确命题的序号是____________.解析根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)0在上恒成立，则2a-10，a1，故正确;由图象可知在(-，0)上对任意的x10，x20且x1x2，恒有f成立，故正确.答案三、解答题.求函数y=a1-x2(a0且a1)的单调区间.当a1时，函数y=a1-x2在区间[0，+)上是减函数，在区间(-，0]上是增函数;当0x12，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，由x22，得x1x2(x1+x2)16，x1-x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，+)上是增函数，只需f(x1)-f(x2)0，即x1x2(x1+x2)-a0恒成立，则a16..已知函数f(x)=a2x+b3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性;(2)若ab0，求f(x+1)f(x)时的x的取值范围.解(1)当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a0，b0时，因为a2x，b3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.(2)f(x+1)-f(x)=a2x+2b3x0.(i)当a0，b0时，x-，解得x(ii)当a0，b0时，x-，解得x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.(1)证明设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f(x2)f(x1).即f(x)是R上的增函数.(2) f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，要练说，得练看。

函数单调性和求极值点、最值(知识点及相关练习)本文档将介绍函数的单调性以及如何求函数的极值点和最值。

这些概念是在研究高等数学中非常重要的一部分。

函数的单调性函数的单调性描述了函数图像在定义域内的变化趋势。

一个函数可以是递增的（单调递增），也可以是递减的（单调递减），或者在某个区间内既递增又递减。

判断函数的单调性需要观察函数的导数。

如果函数的导数恒大于零（导函数递增），则函数单调递增；如果导数恒小于零（导函数递减），则函数单调递减。

如果导数在某个区间内既大于零又小于零，则函数在该区间内既递增又递减。

下面是一些相关联系。

练题：1. 设函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的单调区间。

- 解答：- 首先求导数：$f'(x)=3x^2-6x$- 然后求解 $f'(x)=0$ 的解，即 $3x^2-6x=0$ ，解得 $x=0, 2$- 将 $x=0$ 和 $x=2$ 代入 $f'(x)$ 的导数符号表，得到如下结果：| $x$ | $(-\infty,0)$ | $(0,2)$ | $(2,+\infty)$ |- 由上表可以看出，函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 上递减，在区间 $(0,2)$ 上递增，而在区间 $(2,+\infty)$ 上递增，所以函数的单调区间分别为 $(-\infty, 0)$ 和 $(2,+\infty)$。

求函数的极值点和最值函数的极值点是函数某一段上的极大值或极小值点。

函数的最大值和最小值是函数在整个定义域上的最大值和最小值。

为了求函数的极值点和最值，我们需要找到函数的临界点和边界点。

- 临界点：函数定义域内导数为零或不存在的点。

- 边界点：函数定义域的端点。

对于一个函数，如果它有极值点，那么极值点一定在函数的临界点和边界点处。

下面是一些相关练。

练题：1. 设函数 $g(x)=x^3-6x^2+9x+2$，求 $g(x)$ 的极值点和最值。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若函数，则下列结论正确的是（）A．，在上是增函数B．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数【答案】C【解析】因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．【考点】1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2.对任意实数，记，若，其中奇函数在时有极小值，是正比例函数，与图象如图，则下列关于的说法中正确的是（）A．是奇函数B．有极大值和极小值C．的最小值为，最大值为2D．在上是增函数【答案】B【解析】因为，是奇函数，其图象关于原点对称，所以与图象如图1所示；图1根据，可知，的图象如图2所示，显然，的图象不关于原点对称，不是奇函数；无最小值、无最大值；其在区间“先增后减”，故选B.图2【考点】新定义函数，函数的奇偶性，函数的图象，函数的单调性与极（最）值.3. [2014·日照模拟]已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调函数，若对于任意x∈(0，＋∞)，都有＝2，则的值是()A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且＝2对任意x∈(0，＋∞)都成立，所以f(x)－＝c＞0(c为常数)，即f(x)＝c＋，且f(c)＝2，故2＝c＋，解得c＝1，故f(x)＝1＋，所以＝1＋5＝6.4.设是定义在R上的偶函数，且当时，。

若对任意的x，不等式恒成立，则实数a的最大值是（）。

A．B．C．D．2【答案】C【解析】是定义在上的偶函数，不等式恒成立等价为恒成立，当时，．不等式等价为恒成立，即在上恒成立，平方得即在上恒成立，设,则满足即故实数的最大值是.故选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.恒成立问题.5.（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．【答案】B【解析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f（a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．6.已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝ln(x2－x＋1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数为()A．3B．5C．7D．9【答案】C【解析】当x∈时，－x∈，f(x)＝－f(－x)＝－ln(x2＋x＋1)；则f(x)在区间上有3个零点(在区间上有2个零点)．根据函数周期性，可得f(x)在上也有3个零点，在上有2个零点．故函数f(x)在区间[0,6]上一共有7个零点．7.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.已知，，规定：当时, ；当时,，则（）A．有最小值,最大值1B．有最大值1,无最小值C．有最小值,无最大值D．有最大值,无最小值【答案】C【解析】由题得,利用平移变化的知识画出函数的图像如下,而,故有最小值1,无最大值.【考点】函数图像平移变化9.已知函数若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】，由知，函数在单调递增，当，满足题意；当时，只需，即，综上所述，实数a的取值范围为.【考点】1、分段函数；2、函数的单调性.10.判断函数f(x)＝e x＋在区间(0，＋∞)上的单调性．【答案】f(x)在(0，＋∞)上为增函数【解析】(解法1)设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞0，∴ex1－x2＜1，ex1＋x2＞1，ex1＞0，∴f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(解法2)对f(x)＝e x＋求导，得f′(x)＝e x－＝(e2x－1)，当x＞0时，e x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0,∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．11.函数y=1-的最大值与最小值的和为.【答案】2【解析】令f(x)=,则f(x)为奇函数,故f(x)max +f(x)min=0,∴ymax +ymin=2.12.已知定义在R上的函数y＝f(x)满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)；②对于任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2)；③y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称．下列结论中，正确的是()A．f(4.5)<f(6.5)<f(7) B．f(4.5)<f(7)<f(6.5) C．f(7)<f(4.5)<f(6.5) D．f(7)<f(6.5)<f(4.5)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的最小正周期为4；根据②知函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增；根据③知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，所以f(4.5)＝f(0.5)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(1.5)，f(7)＝f(3)＝f(1)．故f(4.5)<f(7)<f(6.5)．13.已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-1,2)C．(-2,1)D．(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C【解析】f(x)=由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.14.已知函数y=f(x)满足:对任意的x1<x2≤-1,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立,则f(-2),f(-),f(-1)的大小关系为()A．f(-2)<f(-)<f(-1)B．f(-2)>f(-)>f(-1)C．f(-2)>f(-1)>f(-)D．f(-)>f(-2)>f(-1)【答案】A【解析】由题意及函数单调性的定义得,f(x)在(-∞,-1]上单调递增,又-2<-<-1, ∴f(-2)<f(-)<f(-1).15.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是__________.【答案】[0,]【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象,观察图象知递增区间为[0,].16.设函数f(x)＝a为常数且a∈(0，1)．(1)当a＝时，求f；(2)若x0满足f[f(x)]＝x，但f(x)≠x，则称x为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f[f(x1)])，B(x2，f[f(x2)])，C(a2，0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间[，]上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）见解析，x1＝，x2＝（3）最小值为，最大值为【解析】(1)当a＝时，f＝，f＝f＝2＝.(2)证明：f[f(x)]＝当0≤x≤a2时，由x＝x解得x＝0，由于f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2<x≤a时，由 (a－x)＝x解得x＝∈(a2，a)，因为f＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点；当a<x<a2－a＋1时，由 (x－a)＝x解得x＝∈(a，a2－a＋1)，因为f＝·＝，故x＝不是f(x)的二阶周期点；当a2－a＋1≤x≤1时，由 (1－x)＝x解得x＝∈(a2－a＋1，1)，因为f ＝·＝≠，故x＝是f(x)的二阶周期点．因此，函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，x1＝，x2＝.(3)由(2)得A(，)，B(，)，则S(a)＝，S′(a)＝·.因为a∈[，]，有a2＋a<1，所以S′(a)＝·＝·>0.(或令g(a)＝a3－2a2－2a＋2，g′(a)＝3a2－4a－2＝3(a－)(a－)，因为a∈(0，1)，所以g′(a)<0，则g(a)在区间[，]上最小值为g()＝>0，故对于任意a∈[，]，g(a)＝a3－2a2－2a＋2>0，S′(a)＝·>0)则S(a)在区间[，]上单调递增，故S(a)在区间[，]上的最小值为S()＝，最大值为S()＝.17. {an }为首项为正数的递增等差数列，其前n项和为Sn，则点(n，Sn)所在的抛物线可能为()【答案】D【解析】当n≥1时{an }单调递增且各项之和大于零，当n＝0时Sn等于零，结合选项只能是D.18.设g(x)是定义在R上以1为周期的函数，若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]时的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[2,5]上的值域为________．【答案】[－3,6]【解析】当x∈[2,3]时，x＋1∈[3,4]，所以f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－3,4]；当x∈[4,5]时，x－1∈[3,4]，所以f(x－1)＝x－1＋g(x－1)＝x－1＋g(x)∈[－2,5]，所以f(x)＝x＋g(x)∈[－1,6]，所以f(x)在区间[2,5]上的值域为[－3，6]．19.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ()．A．y＝lg(x＋2)B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋【答案】A【解析】A中，y＝lg(x＋2)在(0，＋∞)上是增函数，B、C中函数为减函数，D中在(0，＋∞)上不单调．20.设奇函数f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时t的取值范围是()．A．－2≤t≤2B．－≤t≤C．t≤－2或t＝0或t≥2D．t≤－或t＝0或t≥【答案】C【解析】依题意f(x)的最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，亦即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立，当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2；当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.21.已知函数（其中且），是的反函数.（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），求证：.【答案】(1)；(2)奇函数，减函数；(3)证明见解析．【解析】(1)这是一个对数方程，首先要转化为代数方程，根据对数的性质有，从而有，方程在上有解，就变为求函数在上的值域，转化时注意对数的真数为正；(2)奇偶性和单调性我们都根据定义加以解决；(3)，，要证明不等式成立，最好是能把和求出来，但看其通项公式，这个和是不可能求出的，由于我们只要证明不等式，那么我们能不能把放缩后可求和呢？，显然，即，左边易证，又由二项式定理，在时，，所以，注意到，至此不等式的右边可以求和了，，得证．试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减，所以的最小值5，最大值9。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项：由，，得，所以A错误；B 选项：由，，得，所以B错误；C选项：函数是定义在上减函数，所以C错误；D选项：由，，得；又函数是定义在上增函数，所以D正确；故选D.【考点】函数求值；函数的单调性.2.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)＝，可知a＝，设|2x－4|＝t，当x≥2时，t为增函数，∴f(x)在此区间为减函数，选B项．3.已知函数f(x)＝a－.(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）(－∞，3]【解析】解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，设0<x1<x2，则x1x2>0，x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(a－)－(a－)＝－＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意：a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)(2－)．∵1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴2－>0，∴h(x 1)<h(x 2)，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a≤h(1)即a≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3]．4. 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x 1)－f(x 2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．【答案】（1）0 （2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． （3）－2 【解析】解：(1)令x 1＝x 2>0， 代入得f(1)＝f(x 1)－f(x 1)＝0， 故f(1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2， 则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x 1)－f(x 2)<0，因此f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)． 由f ＝f(x 1)－f(x 2)得， f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.5. [2014·沈阳模拟]已知函数f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不相等的实数x 1、x 2，不等式(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]＜0恒成立，则不等式f(1－x)＜0的解集为________． 【答案】(－∞，0)【解析】∵f(x ＋1)是定义在R 上的奇函数，关于(0,0)对称，向右平移1个单位得到f(x)的图象，关于(1,0)对称，即f(1)＝0，又∵任取x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f(x 1)－f(x 2)]＜0，∴f(x)在R 上单调递减．∵f(1－x)＜0＝f(1)，∴1－x ＞1，∴x ＜0，∴不等式f(1－x)＜0的解集为(－∞，0)．6. （2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y=ln （x+2）B ．C ．D ．【答案】A【解析】A ，y=ln （x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A 正确； B ，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除B C ，在R 上为减函数；排除CD ，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选 A7. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】是奇函数但在区间上不是单调函数．在区间上单调递增但不是奇函数，既是奇函数又在区间上单调递增的函数，在区间上单调递增但不是奇函数.【考点】函数奇偶性及单调性8.函数f（x）=﹣1的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为0，所以f（x）在[0，+∞）上递增，排除B；当x=0时，f（0）=﹣1，即f（x）的图象过点（0，﹣1），排除C、D；故选A．9.已知函数，在时取得极值，则函数是（）A．偶函数且图象关于点（，0）对称B．偶函数且图象关于点（，0）对称C．奇函数且图象关于点（，0）对称D．奇函数且图象关于点（，0）对称【答案】D【解析】的图像关于对称，,,，显然是奇函数且关于点对称，故选D.【考点】三角函数的性质.10.已知其导函数的图象如图，则函数的极小值是（）A．B．C．D．c【答案】D【解析】由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.11.若在上是减函数，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的导数，若函数在上是减函数，则，在恒成立，即，因为，所以，即成立。

高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解一、选择题1 •已知f(x)=—X—X3, x€ ［a, b］，且f(a)f(b)<0，则f(x) = 0 在［a, b］内()A•至少有一实数根B.至多有一实数根C •没有实数根D.有唯一实数根［答案］D［解析］•••函数f(x)在［a, b］上是单调减函数，又f(a), f(b)异号•••• f(x)在［a, b］内有且仅有一个零点，故选 D.2 • (2010北京文)给定函数①y= x1，②y= log2(x+ 1)，③y=x —11,④y= 2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A .①②B.②③C .③④D.①④［答案］B1 1 1［解析］易知y = X2在(0,1)递增，故排除A、D选项；又y= logq(x+ 1)的图象是由y= logqx的图象向左平移一个1单位得到的，其单调性与y= log^x相同为递减的，所以②符合题意，故选 B.1 1 13 • (2010 济南市模拟)设y1 = 0.43, y2= 0.53，y3= 0.54,则( )A • y3<y2<y1 B. y1<y2<y3C. y2<y3<y1D. y1<y3<y2［答案］B1 1［解析］•/ y= 0.5x为减函数，• 0.53<0.54,1•/ y= x3在第一象限内是增函数，1 1二0.43<0.53，二y1<y2<y3，故选 B.a _ 2 x ___ 1 x W14. (2010 •州市)已知函数，若f(x)在(—a, + a上单调递增，贝U实数a的取值范围为()log a x x>1A • (1,2) B. (2,3)C. (2,3］D. (2,+a)［答案］C［解析］••• f(x)在R上单调增，a>1a —2>0 , a —2 X1 —1 w log1••• 2<a W3,故选 C. 5.（文）（2010山东济宁）若函数f （x ）= x 2+ 2x + alnx 在（0,1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（）A . a > 0B . a <0 D . a <— 4［答案］Da 2x 2 + 2x + a［解析］•••函数 f(x)= x 2 + 2x + alnx 在(0,1)上单调递减，•••当 x € (0,1)时，f'x) = 2x + 2+- = ------- g(x)x — =2x 2 + 2x + a <0在 x € (0,1)时恒成立，• g(0) <p g(1) <p 即 a <— 4.n n(理)已知函数y = tan^x 在—2， 2内是减函数，贝卩3的取值范围是()A . 0< 1B . — 1 <o <0C . 3 》1D . 3<— 1［答案］Bn n［解析］•/ tansx 在—2，2上是减函数， • 3<0.当—n <x<2时，有n _冗3< c < 3X —7t3<0 6. (2010 天津文)设 a = log 54, b = (log 53)2, c = log 45,则( )A . a v c v bD . b v a v c［答案］D［解析］ T 1>log 54>log 53>0,「. Iog 53>(log 53)2>0，而 Iog 45>1,「. c>a>b. 7 .若f(x)= x 3— 6ax 的单调递减区间是(一2,2)，则a 的取值范围是( )A . (—s, 0］B . ［ — 2,2］C . {2}D . ［2,+ s)［答案］C［解析］f 'x) = 3x 2— 6a ,,…一1 <3<0.B . b v c v a 2 兀 n若a<0则f'x) >0 • f(x)单调增，排除A ;若a>0,则由f'x)= 0 得x= ± 2a,当x< —.2a 和x> ,2a 时，f'x)>0, f(x)单调增，当一.2a<x<,2a 时，f(x)单调减,••• f(x)的单调减区间为(—.2a, 2a),从而J2a = 2,a= 2.［点评］f(x)的单调递减区间是(一2,2)和f(x)在(—2, 2)上单调递减是不同的，应加以区分.1 18. (文)定义在R上的偶函数f(x)在［0，+ ^上是增函数，若f(?)= 0，则适合不等式f(log^7x)>0的x的取值范围是()1A . (3, + s) B. (0,刁1C . (0, + ) D. (0, 3) U (3 ,+s)［答案］D1 1［解析］•••定义在R上的偶函数f(x)在［0,+s上是增函数，且f( ) = 0,则由f(log丄x)>0,得|log丄x|>，即log!3 27 27 3 271 1 x>孑或log—x< —百.选D.327 3(理)(2010南充市)已知函数f(x)图象的两条对称轴x= 0和x= 1，且在x€ ［—1,0］上f(x)单调递增，设a= f(3), b =f( 2), c= f(2)，贝U a、b、c的大小关系是()A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a［答案］D［解析］••• f(x)在［—1,0］上单调增，f(x)的图象关于直线x= 0对称，• f(x)在［0,1］上单调减；又f(x)的图象关于直线x= 1对称，• f(x)在［1,2］上单调增，在［2,3］上单调减.由对称性f(3) = f( —1)= f(1)<f( _2)<f(2),即a<b<c.x2+ 4x, x>09. (2009天津高考)已知函数f(x) = 2n若f(2 —a2)> f(a)，则实数a的取值范围是()4x—x , x v 0.A . (— s,—1) U (2,+ s)B . ( —1,2)C . ( —2,1)D . (— s,—2) U (1 ,+ s)［答案］C［解析］■/ 时，f(x) = x2+ 4x= (x+ 2)2—4 单调递增，且f(x)当x<0 时，f(x)= 4x—x2=—(x —2)2+ 4 单调递增，且f(x)<0 ,• f(x)在R 上单调递增，由f(2 —a2)>f(a)得2—a2>a，•—2<a<1.10 . (2010泉州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x + y) = f(x) + f(y),当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在［a, b］上有( )A .最小值f(a)B .最大值f(b)C .最小值f(b)D .最大值a +b f 2［答案］C［解析］令x = y= 0 得，f(0)= 0,令y=—x得，f(0) = f(x)+ f(—x),二f(—x)=—f(x)-对任意x i , X2 € R 且x i <X2,,f(x i) —f(X2)= f(x i) + f( —x2)=f(x i —X2)>0 ,.•• f(X l)>f(X2),••• f(x)在R上是减函数，••• f(x)在［a，b］上最小值为f(b).二、填空题b i11. (2010 重庆中学)已知函数f(x)= ax+ x—4(a, b 为常数)，f(lg2) = 0,则f(lg^)= _____________［答案］—8［解析］令(Kx)= ax+ b，贝V H x)为奇函数，f(x) = $(x) —4,入•- f(lg2) = H lg2) —4 = 0 ,• H lg2)= 4,“ 1•-饥刁=f(—lg2) = H( —lg2) —4=—y ig2) —4=—8.12 .偶函数f(x)在(—s,0］上单调递减，且f(x)在［—2,k］上的最大值点与最小值点横坐标之差为3,则k= __________［答案］3［解析］•••偶函数f(x)在(—R, 0］上单调递减，• f(x)在［0，+ ^上单调递增.因此，若k WQ贝U k—(—2) = k + 2<3，若k>0,v f(x)在［—2,0］上单调减在［0，—k］上单调增，.••最小值为f(0), 又在［—2, k］上最大值点与最小值点横坐标之差为3,• k—0= 3,即k= 3.13 .函数f(x)= aX 1在(—m, —3)上是减函数，则a的取值范围是________________x+ 3［答案］1 ——OO ——_，314 . (2010 •苏无锡市调研)设a(0<a<1)是给定的常数，f(x)是R上的奇函数，且在(0,+^上是增函数，若f：=0 , f(log a t)>0，贝y t的取值范围是 _______ .［答(1,扫u (0，诵)案］1［解析］f(log a t)>0，即 f(log a t)>f 2， 1••• f(x)在(0，+ ^上 为增函数，二 log a t>2， 0<a<1 ,.°. 0<t<“Ja.1 i又 f(x)为奇函数，••• f — - =- f- = 0,r 1…f(log a t)>0 又可化为 f(log a t)>f — 2 , •••奇函数f(x)在(0 ,+8上是增函数，1• f(x)在(—8, 0)上为增函数，• 0>log a t> — 2,综上知，0<t< a 或1<t< a ， 三、解答题15. (2010 北京市东城区)已知函数 f(x) = log a (x + 1) — log a (1 — x), a>0 且 a * 1. (1) 求f(x)的定义域；⑵判断f(x)的奇偶性并予以证明；⑶当a>1时，求使f(x)>0的x 的取值集合.［解析］(1)要使 f(x) = log a (x + 1) — log a (1 — x)有意义，则 x + 1>0，解得—1<x<1.1 — x>0故所求定义域为｛x — 1<x<1｝.⑵由(1)知f(x)的定义域为｛X — 1<x<1｝，且 f( — x) = log a ( — x +1)— log a (1 + x) = — ［log a (x + 1) — log a (1 — x)］ = — f(x)，故 f(x)为奇函数. ⑶因为当a>1时，f(x)在定义域｛x|— 1<x<1｝内是增函数， x + 1所以 f(x)>0?产->1.1 — x 解得0<x<1.所以使f(x)>0的x 的取值集合是｛x|0<x<1｝.1 — mx 口 亠 p16. (2010北京东城区)已知函数f(x)= log a 是奇函数(a>0，a * 1) x — 1(1) 求m 的值；(2) 求函数f(x)的单调区间；(3) 若当x € (1，a — 2)时，f(x)的值域为(1，+8),求实数a 的值. “八卄亠1 — mx . 1+ mx 小•/ 0<a<1 ,1<t<1a ，［解析］(1)依题意，f(—x)=—f(x)，l卩f(x) + f(—x)= 0，即log a x—1 + log a—x—1 = 0，1 —mx 1 + mx•••—1，二(1 —m2)x2= 0 恒成立，x—1 —X—1 '•1 — m2= 0,「. m=—1或m= 1(不合题意，舍去)1 + x当m=—1时，由一>0得，x € (—汽一1) U (1,+s),此即函数f(x)的定义域，x —1又有f( —x) = —f(x),• m=—1是符合题意的解.1 + x⑵•/ f(x) = log a x z7，x—1 1 +X ,•- f x) = logx+ 1 x—1 &_ x—1 x—1 —x+1 2log a ex+1 x —1 2log a e—1—x2①若a>1，则log a e>0当x€ (1 ,+s 时，1 —x2<0 f'x)<0, f(x)在(1, +s上单调递减，即(1,+ s是f(x)的单调递减区间；由奇函数的性质知，(一s,—1)是f(x)的单调递减区间.②若0<a<1，则log a e<0当x€ (1 ,+s 时，1 —x2<0, • f'x(0,• (1 ,+s是f(X)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(一s,—1)是f(x)的单调递增区间.1 + x 2(3)令t —------ —1 + -- ，贝U t为x的减函数x—1 x—1•- x€ (1, a —2),2 2• t€ 1+ ■，+ s且a>3，要使f(x)的值域为(1,+ s)需log a 1+ —1，解得a—2+ 3.a—3 a —31 —a _17 . (2010 山东文)已知函数f(x)—lnx—ax+ ——1(a€ R).入(1)当a ——1时，求曲线y—f(x)在点(2, f(2))处的切线方程；⑵当a g时，讨论f(x)的单调性.2［解析］(1)a ——1 时，f(x) —lnx+ x+- —1, x€ (0,+s).xx2+ x—2f—2—, x € (0,+ s)y x因此f' (—1,即曲线y—f(x)在点(2 , f(2))处的切线斜率为1.又f(2) —ln2 + 2,所以y—f(x)在(2, f(2))处的切线方程为y—(In2 + 2) —x—2,即x—y+ ln2 —0.WORD 格式.可编辑__ 1 — a ⑵因为 f(x)= lnx — ax + — - 1, 入1 a — 1 ax2 — x +1 — a所以 f ，x) = — a + -- =— — 2x € (0,+g). x x x令 g(x) = ax 2— x + 1 — a ,① 当 a = 0 时，g(x) = 1— x , x € (0, + g), 当 x € (0,1)时,g(x)>0 , f'x (O , f(x)单调递减； 当 x € (1 ,+g 时，g(x)<0，此时 f 'x)>0, f(x)单调递增； 1② 当 a 工0时 f'x)= a(x — 1)[x — ( — 1)],a(i )当a = 2■时，g(x)亘成立，f'x) WQ f(x)在(0,+ g 上单调递减;1 1(ii )当 0<a<2时，彳—1>1>0， x € (0,1)时，g(x)>0,此时 f'x)<0, f(x)单调递减；1x € (1 , -— 1)时，g(x)<0，此时 f 'x)>0, f(x)单调递增; a g(x)>0，此时 f 'x)<0, f(x)单调递减;③当 a<0 时，1— 1<0,ax € (0,1)时，g(x)>0，有 f'x (O , f(x)单调递减 x € (1,+g)时，g(x)<0，有 f 'x)>0, f(x)单调递增. 综上所述：当a W0时函数f(x)在(0,1)上单调递减，(1,+g 上单调递增； 1当a = $时，f(x)在(0 ,+g 上单调递减；11 1当Ovav ：时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, — 1)上单调递增，在(-—1 ,+g 上单调递减.2 a a 注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚.1x € Q — 1 ,+ g)寸,。

高三数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.若f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．【答案】[，＋∞)【解析】因为当时，为单调递减函数，所以当时，也为单调递减函数，因此且【考点】分段函数单调性2.已知函数对一切、都有：，并且当时，.（1）判定并证明函数在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）f（x）在上是增函数；（2）【解析】（1）将m、n赋值，并注意x＞0时f（x）＞2条件的使用；（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）＝3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可.试题解析：（1）设、且，则∵当时，∴即而函数对一切、都有：∴即∴函数在上是增函数（2）由题：∵∴∵∴即∴不等式的解集是【考点】抽象函数，函数的单调性，一元二次不等式的解法3.如果在区间上为减函数，则的取值范围（）A． B． C． D （0，）【答案】C【解析】首先当时满足在区间上为减函数，所以；其次当时，由二次函数的图象和性质可知：要使在区间上为减函数，必须且只需：，综上知的取值范围为；故选Ｃ．【考点】一次函数与二次函数的单调性．4.如果函数y＝f(x)图象上任意一点的坐标(x，y)都满足方程lg(x＋y)＝lgx＋lgy，那么y＝f(x)在[2,4]上的最小值是________．【答案】【解析】由lg(x＋y)＝lgx＋lgy，得，由x＋y＝xy得y＝f(x)＝＝＝1＋(x≠1)．则函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以y＝f(x)在[2,4]上的最小值是f(4)＝1＋＝.5.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.下列不等关系：①<；②f(sin l)>f(cos l)；③<；④f(cos 2)>f(sin 2)．其中正确的是________(填序号)．【答案】④【解析】当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，从而f(x)＝f(x＋4)＝2－|x|，因为sin<cos，所以>；因为sin l>cos l，所以f(sin l)<f(cos l)；因为<，所以>；因为|cos 2|<|sin 2|，所以f(cos 2)>f(sin 2)．综上所述，正确的是④.6.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)【答案】D【解析】函数f(x)＝(x－3)e x的导数为f′(x)＝[(x－3)e x]′＝1·e x＋(x－3)·e x＝(x－2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·e x>0，解得x>2.7.已知函数在[0，+∞]上是增函数，，若则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∵函数在[0，+∞]上是增函数，∴，∴或，∴或，又∵，∴或.【考点】函数的单调性、不等式的解法.8.下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是（）A.【答案】A【解析】与满足,与满足,为奇函数，所以舍去，画出与的图象显然递增的是,故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以选项A不正确；因为是偶函数，其单调递增区间是，所以选项B不正确；是偶函数，在上单调递减，所以选项C不正大确；因为是偶函数，且在区间上为增函数，所以选项D正确.【考点】1、三角函数的图象和性质；2、三角函数的诱导公式.10.设函数若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函数的图像可知，在和上是递增的，在上是递减的，故函数在区间上单调递增，则或，即或，故选Ｄ．【考点】函数的单调性．11.下列函数中，对于任意的，满足条件的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可得函数在上单调递增。

专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数.故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ）A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+a )<f (a )D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确.【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确；因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>，因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解.【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-．故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞B ．(,5)(0,1)-∞-C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．(5,0)(1,)-+∞ 【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解.【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增，所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =，所以(3)(3)0f f -==．作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>，所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩解得1x >或5x 0-<<，即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞ ．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（）A ．是奇函数，()0,+¥单调递增B ．是奇函数，()0,+¥单调递减C ．是偶函数，()0,+¥单调递减D ．是偶函数，()0,+¥单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可【详解】解：定义域为{}0x x ≠，因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1x x x x x x =-++，因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(10x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在()0,+¥单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以(4)(4)0f f -=-=，所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数．作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<．综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-，D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断；【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减，故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性.【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-，所以，函数()f x 为偶函数，当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x =、1y x =在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______.【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3，练提升2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值．则下列判断正确的是（ ）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q 都是假命题C ．p 是真命题，q 是假命题D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解.【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <，所以()()()()1221f x f x f x f x -=-，因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤-故函数()()y f x g x =-不是减函数，故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =，因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m-≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题．3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C．(D．(11---+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围.【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b d a ==-且2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞ ，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<，所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-+==∈，因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-+()0,1上单调递增，当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣；当[)0,1t ∈时，2d t =--，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =--[)0,1上单调递减，当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈--，故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ）A ．()f x 在定义域内单调递减B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义城内有两个零点D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解.【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞U U ，而1x 和11x +在各段定义域内均为减函数，故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误；当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+，当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确；令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-，令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确，故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1(2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ）A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -< ，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误.故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定.【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数；（2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ，则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）A ．2()f x x =；B ．1()f x x =；C ．1()f x x x=+；D ．23()1xf x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”．【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m =⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n mmn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在；对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，n =，即存在“倍值区间”；故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3+【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立，24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数，∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦，当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数，∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦，∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥+-，当1a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，．【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题．【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >．即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，.故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，.10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3-【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+，当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+，此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +> ，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±（舍去）；③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭，当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-Q，解得3a =-或3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3--.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x=-,则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增，而331y x x-==在()0,+¥上单调递减，在(),0-¥上单调递减，练真题所以函数()331f x x x=-在()0,+¥上单调递增，在(),0-¥上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．12y x=B ．y =2x-C ．12log y x=D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数 的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数有意义，则： ，解得： 或 ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 .故选D.5.(2017天津)已知奇函数在上是增函数.若，则的大小关系为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.2()ln(28)f x x x =--(,2)-∞-(,1)-∞-(1,)+∞(4,)+∞2280x x -->2x <-4x >()4,+∞()f x R 0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==,,a b c a b c <<b a c <<c b a <<c a b <<C ()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭0.822log 5log 4.12,122>><<0.822log 5log 4.12>>()()()0.822log 5log 4.12f f f >>,a b c c b a >><<给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③。

函数的单调性与最值一.函数单调性和单调区间的定义：①如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。

②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数.3.单调性的定义①的等价形式： 设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 是减函数； ()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数。

4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<(1x 2,x D ∈)；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>.(1x 2,x D ∈). 5.在公共定义域内，利用函数的运算性质：若()f x 、)(x g 同为增函数，则 ③ ()()f x g x +为增函数；②()1()0()f x f x >为减函数；()()0f x ≥为增函数；④()f x -为减函数.〖针对性练习〗1.函数1y x=-的单调区间是（ ）A ．（-∞，+∞） B.（-∞，0） （1，∞，） C.（-∞，1） 、（1，∞） D. （-∞，1）（1，∞）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).A ．32y x =-+B ．3y x= C ．245y x x =-+ D ．23810y x x =+-3．函数y =的增区间是（ ）。