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专题跟踪训练(五)一、选择题1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．1B ．－1C ．－e －1D ．－e[解析] 依题意得，f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，取x ＝e 得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，由此解得f ′(e)＝－1e ＝－e －1，故选C.[答案] C2．(2015·洛阳期末)函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.3π4B.π3C.π4D.π6[解析] 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1，所以在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4，故选C.[答案] C3．(2015·云南师大附中月考)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞ D ．[3，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C. [答案] C4．(2015·合肥质检)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln 10 mB ．55ln 11 mC ．(12＋55ln 7) mD ．(12＋55ln 6) m[解析] 令5－t ＋551＋t ＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝∫100⎝ ⎛⎭⎪⎫5－t ＋55t ＋1d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5t －12t 2＋55ln (t ＋1)|100＝55ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为55ln 11 m ，故选B.[答案] B5．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)[解析] 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为奇函数，所以F (x )为偶函数，由于F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以F (x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F (x )＝f (x )x 在(－∞，0)上单调递增，又f (－1)＝0，f (1)＝0，数形结合可知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．故选A.[答案] A6．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1[解析] 由题意可知存在唯一的整数x 0，使得e x 0(2x 0－1)<a x 0－a ，设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，由g ′(x )＝e x(2x ＋1)可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>g (0)h (－1)≤g (－1)，即⎩⎨⎧a <1－2a ≤－3e，所以32e ≤a <1，故选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·石家庄一模)∫10⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝________. [解析]∫10⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝∫101－x2d x ＋∫1012x d x ＝π4＋14.[答案] π4＋148．已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的一个动点，则点P 到直线l ：y ＝x －2的距离的最小值为________．[解析] 设P (x ，y )，则点P 到直线l 的距离为|x －(x 2－ln x )－2|12＋12＝|x ＋ln x －x 2－2|2.令h (x )＝x ＋ln x －x 2－2，则h ′(x )＝1＋1x －2x (x >0)．令1＋1x －2x ＝0，解得x ＝1，即当0<x <1时，h ′(x )>0，此时h (x )为增函数；当x >1时，h ′(x )<0，此时h (x )为减函数．所以当x ＝1时，h (x )取最大值，h (x )max ＝1＋ln 1－12－2＝－2，所以|x ＋ln x －x 2－2|min ＝2，所以点P 到直线l 的距离的最小值为22＝ 2.[答案] 29．(2015·兰州诊断)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________．[解析] f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1，令f ′(x )＝ln x －2ax＋1＝0得ln x ＝2ax －1，因为函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，所以f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，等价于函数y ＝ln x 与y ＝2ax －1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点(0，－1)作曲线y ＝ln x的切线，设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝1x 0，切线方程为y ＝1x 0x －1.切点在切线上，则y 0＝x 0x 0－1＝0，又切点在曲线y ＝ln x 上，则ln x 0＝0，x 0＝1，即切点为(1,0)．切线方程为y ＝x －1.再由直线y ＝2ax －1与曲线y ＝ln x 有两个交点，知直线y ＝2ax －1位于两直线y ＝－1和y ＝x －1之间，其斜率2a 满足：0<2a <1，解得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12三、解答题10．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值． (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x ， 又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 所以f ′(1)＝0， 即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－ae x ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值．②当a >0时，令f ′(x )＝0. 得e x ＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．11．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax ，a ∈R.(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． [解] (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2ax 2. ∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立， 即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)， ∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数， ∴[g (x )]min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax 2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32>12(舍去)． ②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3， 解得a ＝e 22>e(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是减函数．所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2a e ＝3，得a ＝e>e2.适合题意． 综上a ＝e.12．设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋2)，且f (x )存在两个极值点x 1、x 2，其中x 1<x 2.(1)求实数a 的取值范围；(2)若f (x 1)>mx 2恒成立，求m 的最小值． [解] (1)由题可得f ′(x )＝2x ＋ax ＋2(x >－2)．∵函数f (x )存在两个极值点x 1、x 2，且x 1<x 2， ∴关于x 的方程2x ＋ax ＋2＝0，即2x 2＋4x ＋a ＝0在(－2，＋∞)内有两个不等实根．令S (x )＝2x 2＋4x (x >－2)、T (x )＝－a ，则结合图象可得－2<－a <0， 即0<a <2，∴实数a 的取值范围是(0,2)． (2)由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 1x 2，x 1＝－2－x 2，－1<x 2<0，问题转化为f (x 1)x 2<m 恒成立，f (x 1)x 2＝x 21＋a ln (x 1＋2)x 2＝x 2＋4x 2－2(x 2＋2)ln(－x 2)＋4. 令－x 2＝x ，则0<x <1且f (x 1)x 2＝－x －4x ＋2(x －2)ln x ＋4，令F (x )＝－x －4x ＋2(x －2)ln x ＋4(0<x <1)，则F ′(x )＝－1＋4x 2＋2ln x ＋2(x －2)x ＝4x 2－4x ＋2ln x ＋1(0<x <1)，令g (x )＝F ′(x )，则g ′(x )＝－8x 3＋4x 2＋2x ＝2(x 2＋2x －4)x 3＝2[(x ＋1)2－5]x 3， ∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即F ′(x )在(0,1)上是减函数，∴F′(x)>F′(1)＝1>0，∴F(x)在(0,1)上是增函数，∴F(x)<F(1)＝－1，即f(x1)x2<－1，要使f(x1)x2<m恒成立，则m≥－1，∴m的最小值为－1.。
