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第一学期高二年级数学（文科）教案项目内容第1章空间几何体复习课题修改与创新（共 1 课时）通过总结和归纳空间几何体的知识，能够使学生综合运用知识解决有教学关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴目标趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力. 教学重点：①空间几何体的结构特征. 教学②由三视图还原为实物图. 重、③面积和体积的计算. 难点教学难点：①由三视图还原为实物图. ②组合体的结构特征. 教学多媒体课件准备一、导入新课：我们生活的世界，存在各式各样的物体，它们大多是由具有柱、锥、台、球等形状的物体组成的.认识和把握柱体、锥体、台体、球体的几何结构特征，是我们认识空间几何体的基础.教师引出课题.二、讲授新课：教学过提出问题程 1.本章接触到的空间几何体是单一的柱体、锥体、台体、球体，或者是它们的简单组合体.你能说出较复杂的几何体（如你身边的建筑物）的结构吗？ 2.对于空间几何体，可以有不同的分类标准.你能从不同的方面认识柱、锥、台、球等空间几何体吗？你分类的依据是什么？ 3.为了研究空间几何体，我们需要在平面上画出空间几何体.空间几何体有哪些不同的表现形式？4.利用斜二测画法，我们可以画出空间几何体的直观图.你能回顾用斜二测画法画空间几何体的基本步骤吗？5.计算空间几何体的表面积和体积时，要充分利用平面几何知识，把空间图形转化为平面图形，特别是柱、锥、台体侧面展开图.请同学们回顾柱、锥、台体的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？柱、锥、台体的体积之间是否存在一定的关系？ 6.球是比较特殊的空间几何体，它的表面积公式和体积公式是什么？7.画出本章的知识结构图. 活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图. 讨论结果：1.略.以实际情况来确定. 2.按围成几何体的面是否是平面分为：棱柱棱柱柱体圆柱多面体棱锥棱锥棱台锥体按底面的情况分为：简单几何体圆锥简单几何体圆柱棱台圆锥台体旋转体圆台圆台球球体 3.空间几何体有两种表现形式：三视图和直观图. 4.略. 5. 结构特棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球征平行由三角由梯侧面展不可展四边形拼接形拼矩形扇形扇环开图开形成接成表面积的计算各个面的面积之和就是表面积方法柱、锥、台体的体积之间的关系：柱体和锥体可以看作由台体变化得到.柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.柱体和锥体的体积公式都可以看作由台体的体积公式演变而来. 426.半径为R的球，其表面积为S=4πR，体积V=. 表33R7.本章的知识结构图如图1所示. 图1 应用示例例1 下列几何体是台体的是（）图2 活动：学生回顾台体的结构特征. 分析：A中的“侧棱”没有相交于一点，所以A不是台体；B中的几何体没有两个平行的面，所以B不是台体；很明显C是棱锥，D是台体. 答案：D 点评：本题主要考查台体的结构特征.像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握. 变式训练1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥分析：因为梯形的两底平行，故另一底旋转形成了圆柱面，而两条腰由于与旋转轴相交，故旋转形成了锥体，因此得到一个圆柱、两个圆锥. 答案：D2.下列三视图表示的几何体是（）图3 A.圆台 B.棱锥 C.圆锥 D.圆柱分析：由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又侧视图和正视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台. 答案：A3.下列有关棱柱的说法：①棱柱的所有的棱长都相等；②棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；③棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；④棱柱的上、下底面形状、大小相同. 正确的有______________. 分析：棱柱的所有面都是平的，所有侧棱长都相等，但底面上的棱与侧棱不一定相等，其侧面都是平行四边形，只有当棱柱是直棱柱时，侧面才是矩形，侧面个数与底面边数相等，棱柱的上、下底面是全等的多边形，由此可知③④正确. 答案：③④例2 (2006福建高考，理5)已知正方体外接球的体积是，那么正方3体的棱长等于（）234222A. B. C. 3343D. 3活动：学生思考交流正方体和球的结构特征，教师可以借助于信息技术，展示图形. 分析：过正方体的相对侧棱作球的截面，可得正方体的对角线是球的直径.3a3a设正方体的棱长为a，球的半径为R，则有2R=，所以R=，则243a32433()，解得a=. 3233答案：D 点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体外接球的直径是正方体的对角线这一隐含条件使得问题顺利获解.空间几何体的表面积和体积问题是高考考查的热点之一.主要以选择题或填空题形式出现，也不排除作为解答题中的最后一问，题目难度属于中、低档题，以考查基础知识为主，不会出现难题.其解决策略是利用截面或展开图等手段，转化为讨论平面图形问题，结合平面几何的知识来求解. 变式训练 1.（2005全国高考卷Ⅰ，理5）如图4（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）4323A. B.C. D. 3233(1) (2) 图4 分析：如图4(2)所示，过B作BG⊥EF于G，连接CG，则CG⊥EF，BF=1，12223△BCG中，BG=，BC边上的高为，而S=×1×=, △BCG2222421212∴V=.同理过A作AH⊥EF于H，则有V=，显F—BCGE—AHD342242422然BCG—ADH为三棱柱，∴V=×1=，则由图4(2)可知BCG—ADH442V=V+V+V=. ADE—BCFF—BCG E—答案：A 点评：本题求几何体体积的方法称为割补法，AHDBCG—ADH3经常应用这种方法求多面体体积.割补法对空间想象能力的要求很高且割补法的目的是化不规则为规则.因此可以说割补法是一种综合的方法，这和我们高考的理念和命题原则是相通的，高考题中出现这样的问题也是很正常的，所以这将是高考对立体几何这部分知识命题的方向. 2.（2007广东中山高三期末统考，文6）某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图如图5所示，则这个容器的容积为（）图5 7833mm3A.B. C.3π m 333D.12π m分析：由该容器的正视图可知，圆柱的底面半径为1 m，高为2 m，圆锥33的底面半径为1 m，高为1 m.则圆柱的体积为2π m，圆锥的体积为m，373m所以该容器的容积为. 3答案：A 点评：三视图是新课标高考的新增内容，在高考中会重点考查，在该知识点出题的可能性非常大，应予以重视.此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握. 3.（2007广东佛山一模，理4）如图6所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）图6 842433A. B. C. D. 3336分析：根据三视图可知该几何体是正四棱锥，且底面积是4，高为正视图1433等边三角形的高，所以体积为. 33答案：B 课堂小结：本节课复习了： 1.第一章知识及其结构图. 2.三视图和体积、面积的有关问题. 3.空间几何体的概念.布置作业：课本本章复习参考题A组 7、8、9. 板书设计教学反思。
高中数学必修2第一、二章知识点复习三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1．空间几何体的结构特征(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的．这三种几何体都是多面体．(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体．在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面．(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体．2．空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．熟记常见几何体的三视图．画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验．(2)斜二测画法为：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法．它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量．3．几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式球S球面＝4πR3题型一三视图与直观图例1将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B解析还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的投影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．跟踪演练1若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()答案B解析所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B 选项符合．题型二几何体的表面积与体积例2如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABCA′B′C′的体积．解连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．设所求体积为V ，显然三棱锥A ′ABC 的体积是13V . 而四棱锥A ′BCC ′B ′的体积为13Sa ， 故有13V ＋13Sa ＝V ，即V ＝12Sa . 跟踪演练2 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π答案 A解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π. 题型三 转化与化归思想例3 如图所示，圆台母线AB 长为20 cm ，上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，从母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到B 点，求这条绳子长度的最小值．解 如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥．连接MB ′，P 、Q 分别为圆台的上、下底面的圆心．在圆台的轴截面中，∵Rt △OP A ∽Rt △OQB ，∴OA OA ＋AB ＝P A QB， ∴OA OA ＋20＝510.∴OA ＝20(cm)． 设∠BOB ′＝α，由扇形弧BB ′的长与底面圆Q 的周长相等，得2×10×π＝2×OB ×π×α360°， 即20π＝2×(20＋20)π×α360°，∴α＝90°. ∴在Rt △B ′OM 中，B ′M ＝OM 2＋OB ′2＝302＋402＝50(cm)，即所求绳长的最小值为50 cm.跟踪演练3 圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为( )A ．10 cm B.52π2＋4 cm C ．5 2 cm D ．5π2＋1 cm答案 B解析 如图所示，沿母线BC 展开，曲面上从A 到C 的最短距离为平面上从A 到C 的线段的长．∵AB ＝BC ＝5，∴A ′B ＝AB ＝12×2π×52＝52π. ∴A ′C ＝A ′B 2＋BC 2＝ 254π2＋25＝5π24＋1＝ 52π2＋4(cm)．研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决．另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决．活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
