2003年全国大学生数学建模竞赛题目

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D 题（抢渡长江）参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x (t ), y (t )) 以速度 ()(cos ()sin ())u t u t u t θθ=，前进，其中游速大小u 不变。

要求参赛者在流速 )0,()(v t v =给定的情况下控制 θ (t ) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H )，如图1。

这是一个最优控制问题:H T y y t u dt dyL T x x v t u dtdx t s T Min =====+=)(,0)0(),(sin )(,0)0(,)(cos ..θθ可以证明，若 θ (t ) 为连续函数, 则 θ (t ) 等于常数时上述问题有最优解。

证明见: George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control , Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。

）1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令 )sin cos ()(θθu u t u ，=，而流速)0,()(v t v =， 其中 u 和 v 为常数, θ 为游泳者和x 轴正向间的夹角。

于是游泳者的路线 (x (t ), y (t )) 满足cos ,(0)0,()sin ,(0)0,()dxu v x x T L dtdy u y y T H dtθθ⎧=+==⎪⎪⎨⎪===⎪⎩ （1） T 是到达终点的时刻。

令θcos =z ，如果 (1) 有解, 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=+=221,1)()(,)()(zTu H t z u t y v uz T L t v uz t x （2） 即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且L T uz v ===+ （3） 若已知L, H, v, T , 由（3）可得zTvTL u vT L H vT L z -=-+-=,)(22 （4） 图1由（3）消去 T 得到)(12v uz H z Lu +=- （5） 给定L, H, u , v 的值，z 满足二次方程02)222222222=-+++u L v H uvz H z u L H （ （6）（6）的解为12z z ==， （7） 方程有实根的条件为22LH H vu +≥ （8）为使（3）表示的T 最小，由于当L, u, v 给定时,0<dzdT， 所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。

高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）A题 SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。

前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。

在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。

希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。

则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。

抢渡长江摘要问题一，是渡河问题最简单的一种模型。

由题意可知，渡河的合运动是一条直线，结合简单的几何关系运算，我们建立了一个简单的几何模型。

对该几何模型适当变形即可得出问题一的模型，求解出参赛者的游泳速度，并且通过游泳速度确定出最佳的游泳路线。

问题二，与问题一的方法一样，对原几何模型适当变形得到问题二的模型，代值即可解出游泳者始终以固定方向游时，游泳者可到达终点的速度要求。

问题三，水流的速度分为了三段，每一段为一个固定的函数值，根据问题一的分析，该游泳路线应该是三条不同的直线组成的。

所以此问采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件编程求解出最佳的渡河角度。

问题四，实质是对问题三模型的推广，在该问中，水流速度是分段函数，我们用微积分的方法分别解出每一个阶段上的水平位移，再采用分段计算求和的优化模型来解决，运用lingo软件编程求解出最佳的渡河角度。

关键词：渡河问题运动的合成与分解微积分优化模型lingo软件一、问题重述“渡江”是武汉城市的一张名片。

1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。

有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。

据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。

参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。

除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。

请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89 米/秒。

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）A题 SARS的传播SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。

前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。

在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。

希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

1 模型与参数假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。

则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。

数学建模国赛历年
中国数学建模国赛（CUMCM，China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling）是由中国高等教育学会主办的年度竞赛活动。

该比赛自2002年开始，在国内具有较高的知名度和影响力。

以下是数学建模国赛的历年比赛题目：
1. 2002年：载具最优路径规划问题。

2. 2003年：某种病例发病规律研究与流行趋势预测。

3. 2004年：火山的群体爆发问题。

4. 2005年：寻找最优泊位调度问题。

5. 2006年：渐开线传动机构建模与优化设计。

6. 2007年：数字图书馆文献导航问题。

7. 2008年：草坪生长问题。

8. 2009年：城市排水系统优化设计。

9. 2010年：城市地下热岛效应形成机制与控制。

10. 2011年：航空贸易通航网络优化设计。

11. 2012年：移动互联网2G网络运用效果评估与优化。

12. 2013年：网约车资源调度问题。

13. 2014年：地板砖铺设方案优化设计。

14. 2015年：电视台节目时段规划问题。

15. 2016年：共享单车调度问题。

16. 2017年：基于航班延误的航空公司航线规划问题。

17. 2018年：产品质量维度数学量化研究。

18. 2019年：风力发电场多目标优化规划问题。

19. 2020年：新能源汽车充电站规划问题。

以上只是部分年份的题目，每年的题目都与实际问题紧密相关，考察数学建模的能力和创新思维。

甲题：电站建设为满足甲地区对电能的需求，需建若干个电站，组成一个供电系统。

为使问题简化，只考虑一个目标年，所有电站都新建，且只考虑一个目标年的供电。

依据乙地区某年的负荷曲线（负荷与时间的关系），确定甲地区一个目标年内的电能需求量。

乙地区某年内在时刻t的负荷（电站总输出功率）F(t)（单位：kw）为:数据在文件GDJM0399.dat中，共3000个记录，每个记录有3个数，分别是(1)式中的t、x、f(x)。

负荷持续时间曲线（需求量，即负荷的时间分布）是抛物线。

需建n（n给定）个电站组成供电系统为甲地区供电。

每个电站的费用由固定费用和运行费用构成。

固定费用与装机容量（总供电能力（功率））成正比；单位时间的运行费用与输出功率的平方成正比。

第i 个电站的固定费用和运行费用的（比例）系数分别为。

单位：元／kw.小时请给出总费用最少的供电方案，给出各电站的装机容量（总功率）及其累计运行时间。

（1）按照上例中的数据进行计算，并给出结果；（2）对任意正整数n，推广你的算法；（3）试讨论若给定的数据有误差，如何处理。

GDJM0399.dat记录t x f(x)0 438.3702 458.8721 2.92 875.3721 444.7417 5.84 1309.267 430.0282 8.76 1738.515 414.8021 11.68 2161.597 399.1424 14.6 2577.021 383.136 17.52 2983.327 366.877 20.44 3379.099 350.4653 23.36 3762.963 334.006 26.28 4133.6 317.608 29.2 4489.749 301.3827 32.12 4830.212 285.4431 35.04 5153.858 269.902 37.96 5459.636 254.8707 40.88 5746.563 240.4584 43.8 6013.747 226.7701 46.72 6260.38 213.9053 49.63999 6485.741 201.9578 52.55999 6689.204 191.0133 55.47999 6870.237 181.1494 58.39999 7028.405 172.4344 61.31999 7163.373 164.926 64.23998 7274.904 158.6718 67.15998 7362.863 153.7076 70.07998 7427.216 150.058 72.99998 7468.028 147.7357 75.91998 7485.467 146.7415 78.83998 7479.798 147.0648 81.75997 7451.383 148.6836 84.67997 7400.678 151.5649 87.59997 7328.237 155.6652 90.51997 7234.698 160.9316 93.43996 7120.791 167.302 96.35996 6987.322 174.7067 99.27996 6835.182 183.0687 102.2 6665.334 192.305 105.12 6478.808 202.328 108.04 6276.705 213.046 110.96 6060.176 224.3651 113.88 5830.431 236.1895 116.8 5588.729 248.4233 119.72 5336.365 260.971125.56 4805.015 286.6371 128.48 4528.774 299.577 131.4 4247.347 312.4758 134.32 3962.143 325.2554 137.24 3674.571 337.8433 140.1599 3386.036 350.1726 143.0799 3097.929 362.183 145.9999 2811.627 373.8207 148.9199 2528.48 385.0385 151.8399 2249.804 395.7959 154.7599 1976.886 406.0588 157.6799 1710.961 415.7995 160.5999 1453.222 424.9962 163.5199 1204.8 433.633 166.4399 966.7721 441.699 169.3599 740.1488 449.188 172.2799 525.8718 456.0981 175.1999 324.8053 462.4311 178.1199 137.7393 468.1919 181.0399 34.61954 471.3133 183.9599 191.6461 466.5448 186.8799 332.8072 462.1819 189.7999 457.6562 458.2631 192.7199 565.8391 454.8218 195.6399 657.0946 451.8861 198.5599 731.2555 449.4781 201.4799 788.2493 447.614 204.3999 828.0979 446.3037 207.3199 850.9178 445.5507 210.2399 856.9183 445.3524 213.1599 846.4022 445.6999 216.0799 819.7598 446.5783 218.9999 777.4725 447.9673 221.9199 720.1057 449.8414 224.8399 648.3078 452.1701 227.7599 562.8056 454.9189 230.6799 464.4022 458.0497 233.5999 353.9707 461.5216 236.5199 232.4513 465.291 239.4399 100.8459 469.313 242.3599 39.78739 471.1578 245.2799 188.3392 466.6461 248.1999 343.656 461.8436254.0399 669.768 451.476 256.9599 838.0826 445.9745 259.8799 1008.21 440.3095 262.7999 1178.859 434.522 265.7199 1348.733 428.6561 268.6399 1516.535 422.7593 271.5599 1680.969 416.882 274.48 1840.758 411.0771 277.4 1994.638 405.3995 280.32 2141.374 399.9057 283.24 2279.759 394.6531 286.16 2408.629 389.6994 289.08 2526.858 385.1019 292 2633.372 380.9167 294.9201 2727.152 377.1978 297.8401 2807.243 373.9966 300.7601 2872.75 371.3611 303.6801 2922.851 369.3349 306.6001 2956.798 367.9568 309.5201 2973.924 367.26 312.4401 2973.64 367.2716 315.3602 2955.447 368.0117 318.2802 2918.929 369.4938 321.2002 2863.769 371.7233 324.1202 2789.736 374.6983 327.0402 2696.696 378.409 329.9602 2584.612 382.8377 332.8802 2453.539 387.959 335.8002 2303.634 393.7399 338.7203 2135.149 400.1403 341.6403 1948.422 407.1137 344.5603 1743.903 414.6067 347.4803 1522.115 422.5615 350.4003 1283.687 430.9145 353.3203 1029.333 439.5988 356.2403 759.8394 448.5446 359.1604 476.0951 457.6795 362.0804 179.0474 466.9307 365.0004 130.2746 468.4191 367.9204 450.7633 458.4809 370.8404 781.2678 447.843 373.7604 1120.554 436.5113 376.6804 1467.354 424.4982379.6004 1820.346 411.8238 382.5205 2178.152 398.5164 385.4405 2539.381 384.612 388.3605 2902.598 370.155 391.2805 3266.348 355.1985 394.2005 3629.162 339.8036 397.1205 3989.552 324.0401 400.0405 4346.041 307.9849 402.9606 4697.146 291.7228 405.8806 5041.4 275.345 408.8006 5377.347 258.949 411.7206 5703.563 242.6373 414.6406 6018.647 226.5166 417.5606 6321.242 210.6968 420.4806 6610.03 195.29 423.4007 6883.744 180.4087 426.3207 7141.171 166.1657 429.2407 7381.163 152.6713 432.1607 7602.634 140.0335 435.0807 7804.575 128.3555 438.0007 7986.046 117.7353 440.9207 8146.194 108.2641 443.8408 8284.247 100.0251 446.7608 8399.524 93.09247 449.6808 8491.436 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235.1943 2426.524 6177.689 218.2431 2429.443 6488.978 201.7848 2432.363 6782.535 185.94282435.283 7057.35 170.8297 2438.203 7312.375 156.5604 2441.123 7546.709 143.2415 2444.043 7759.54 130.9725 2446.963 7950.053 119.8512 2449.883 8117.633 109.96 2452.803 8261.69 101.376 2455.723 8381.771 94.1633 2458.643 8477.498 88.37604 2461.563 8548.596 84.05634 2464.483 8594.905 81.23285 2467.402 8616.349 79.92279 2470.322 8612.968 80.12946 2473.242 8584.896 81.84372 2476.162 8532.372 85.04364 2479.082 8455.736 89.69464 2482.002 8355.425 95.75024 2484.922 8231.96 103.1537 2487.842 8085.969 111.8367 2490.762 7918.177 121.7211 2493.682 7729.394 132.7203 2496.602 7520.494 144.7413 2499.522 7292.435 157.6846 2502.442 7046.263 171.4447 2505.361 6783.09 185.9125 2508.281 6504.114 200.9756 2511.201 6210.514 216.5242 2514.121 5903.638 232.4424 2517.041 5584.759 248.6224 2519.961 5255.291 264.9533 2522.881 4916.644 281.3298 2525.801 4570.234 297.6524 2528.721 4217.549 313.8248 2531.641 3859.997 329.7609 2534.561 3499.154 345.3748 2537.481 3136.458 360.5942 2540.401 2773.36 375.3537 2543.32 2411.374 389.5932 2546.24 2051.873 403.2658 2549.16 1696.376 416.3263 2552.08 1346.221 428.7436 2555 1002.733 440.4935 2557.92 667.2685 451.5569 2560.84 341.0081 461.92622563.76 25.24869 471.5951 2566.68 278.9438 463.8552 2569.6 570.4498 454.6742 2572.52 848.2957 445.6373 2575.44 1111.593 436.8159 2578.36 1359.417 428.2837 2581.279 1591.058 420.1078 2584.199 1805.812 412.3545 2587.119 2003.114 405.0842 2590.039 2182.467 398.3532 2592.959 2343.428 392.2132 2595.879 2485.748 386.7063 2598.799 2609.154 381.8719 2601.719 2713.59 377.7376 2604.639 2798.988 374.3276 2607.559 2865.447 371.6557 2610.479 2913.136 369.7285 2613.399 2942.304 368.5457 2616.318 2953.332 368.0977 2619.238 2946.655 368.369 2622.158 2922.808 369.3366 2625.078 2882.403 370.9713 2627.998 2826.15 373.2375 2630.918 2754.828 376.0943 2633.838 2669.283 379.4964 2636.758 2570.433 383.3947 2639.678 2459.257 387.7369 2642.598 2336.803 392.4678 2645.518 2204.159 397.5311 2648.438 2062.47 402.8695 2651.358 1912.916 408.4254 2654.277 1756.715 414.1418 2657.197 1595.115 419.9629 2660.117 1429.385 425.8346 2663.037 1260.811 431.7052 2665.957 1090.689 437.5254 2668.877 920.3164 443.2493 2671.797 750.9887 448.834 2674.717 583.9913 454.2403 2677.637 420.5899 459.4324 2680.557 262.0319 464.3784 2683.477 109.5308 469.0496 2686.397 35.73419 471.2798 2689.317 172.6255 467.12712695.156 416.9664 459.5465 2698.076 522.4274 456.2078 2700.996 615.4728 453.2288 2703.916 695.3037 450.6479 2706.836 761.0937 448.5036 2709.756 812.2029 446.827 2712.676 847.9631 445.6483 2715.596 867.8895 444.9895 2718.516 871.4906 444.8703 2721.436 858.4467 445.3019 2724.356 828.4703 446.2914 2727.276 781.4006 447.8386 2730.195 717.1553 449.9374 2733.115 635.7385 452.5758 2736.035 537.2688 455.7347 2738.955 421.9611 459.3892 2741.875 290.0923 463.5097 2744.795 142.0754 468.0597 2747.715 21.63208 471.7037 2750.635 200.4481 466.2748 2753.555 393.716 460.2771 2756.475 600.6811 453.7045 2759.395 820.5369 446.5527 2762.315 1052.402 438.8209 2765.235 1295.294 430.5127 2768.154 1548.175 421.636 2771.074 1809.929 412.2042 2773.994 2079.426 402.2345 2776.914 2355.441 391.7512 2779.834 2636.724 380.7843 2782.754 2921.988 369.3698 2785.674 3209.856 357.5527 2788.594 3499.029 345.3801 2791.514 3788.06 332.9113 2794.434 4075.615 320.2062 2797.354 4360.234 307.3362 2800.274 4640.532 294.3752 2803.193 4915.092 281.4039 2806.113 5182.531 268.5068 2809.033 5441.473 255.773 2811.953 5690.555 243.2951 2814.873 5928.445 231.1683 2817.793 6153.906 219.48622823.633 6562.522 197.8452 2826.553 6743.349 188.0755 2829.473 6907.106 179.126 2832.393 7052.739 171.0855 2835.313 7179.357 164.0325 2838.233 7286.062 158.0436 2841.152 7372.111 153.1841 2844.072 7436.771 149.5148 2846.992 7479.477 147.0831 2849.912 7499.677 145.9306 2852.832 7496.969 146.0852 2855.752 7471.018 147.5653 2858.672 7421.61 150.3765 2861.592 7348.603 154.5143 2864.512 7251.973 159.9614 2867.432 7131.792 166.6888 2870.352 6988.25 174.6555 2873.272 6821.594 183.8115 2876.192 6632.228 194.0932 2879.111 6420.59 205.4306 2882.031 6187.265 217.742 2884.951 5932.917 230.9384 2887.871 5658.323 244.9224 2890.791 5364.305 259.5932 2893.711 5051.76 274.8455 2896.631 4721.724 290.5677 2899.551 4375.279 306.6477 2902.471 4013.612 322.971 2905.391 3637.917 339.4262 2908.311 3249.45 355.9039 2911.231 2849.578 372.2951 2914.151 2439.695 388.4963 2917.07 2021.263 404.4084 2919.99 1595.695 419.9422 2922.91 1164.557 435.0111 2925.83 729.3112 449.5415 2928.75 291.5368 463.4649 2931.67 147.1759 467.9043 2934.59 585.3324 454.1972 2937.51 1021.308 439.869 2940.43 1453.652 424.9811 2943.35 1880.701 409.6116 2946.27 2301.012 393.84032949.19 2713.136 377.7556 2952.11 3115.567 361.4563 2955.029 3506.996 345.0405 2957.949 3885.952 328.6197 2960.869 4251.195 312.3014 2963.789 4601.518 296.1962 2966.709 4935.694 280.4196 2969.629 5252.701 265.0801 2972.549 5551.41 250.2933 2975.469 5830.952 236.1629 2978.389 6090.42 222.7943 2981.309 6329.061 210.2836 2984.229 6546.235 198.7194 2987.149 6741.267 188.1887 2990.068 6913.727 178.7622 2992.988 7063.182 170.506 2995.908 7189.365 163.4725 2998.828 7292.066 157.7055 3001.748 7371.178 153.2369 3004.668 7426.729 150.0857 3007.588 7458.803 148.2611 3010.508 7467.627 147.7586 3013.428 7453.49 148.5636 3016.348 7416.796 150.65 3019.268 7358.036 153.9808 3022.188 7277.811 158.5082 3025.108 7176.767 164.1773 3028.027 7055.699 170.9213 3030.947 6915.41 178.6696 3033.867 6756.863 187.3407 3036.787 6581.002 196.8522 3039.707 6388.925 207.113 3042.627 6181.71 218.0328 3045.547 5960.578 229.5146 3048.467 5726.727 241.4644 3051.387 5481.438 253.786 3054.307 5226.036 266.3844 3057.227 4961.843 279.168 3060.147 4690.237 292.0471 3063.067 4412.624 304.9353 3065.986 4130.378 317.7526 3068.906 3844.935 330.4221 3071.826 3557.659 342.8753 3074.746 3270.009 355.0455。

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案参考答案2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛(大专组)D题(抢渡长江)参考答案本题考查的是大学生数学建模竞赛中的抢渡长江问题。

该问题描述了在抢渡长江时，船只的数量和速度等参数，要求求解最短的渡河时间。

本文将针对该问题进行详细的分析和解答。

问题描述：抢渡长江问题中，有n艘船需要运送k辆汽车和m名乘客，航速分为上行速度和下行速度，求解最短的渡河时间。

解题思路：1. 确定问题的数学模型。

2. 利用已知条件和问题要求，建立数学模型。

3. 分析模型并求解。

数学模型：设n艘船分别为船1、船2、...、船n，上行速度分别为a1、a2、...、an，下行速度分别为b1、b2、...、bn，每艘船的运力分别为ci（载重量或人数）。

k辆汽车的载重量分别为w1、w2、...、wk，m名乘客的人数分别为p1、p2、...、pm。

设渡河的最短时间为T。

建立模型求解：首先，考虑乘客和汽车分开运输的情况。

由于每艘船的运力不同，可以将n艘船进行组合，使每组船的总运力等于或略大于汽车和乘客的总重量。

然后计算每组船来回渡河的总时间，最后选择时间最短的组合作为答案。

具体步骤如下：Step 1:将m名乘客和k辆汽车分别按照降序排列。

Step 2:遍历所有可能的船的组合方式。

每种组合方式都计算来回渡河的总时间。

Step 3:选择时间最短的组合方式作为答案。

实例分析：假设有5艘船，船的速度分别为[15, 20, 22, 25, 30]，每艘船的运力分别为[50, 60, 70, 80, 90]，有3辆汽车，汽车的载重量依次为[25, 35, 45]，有5名乘客，乘客的人数依次为[50, 45, 40, 35, 30]。

Step 1:乘客和汽车按照降序排列得到：[50, 45, 40, 35, 30]和[45, 35, 25]。

Step 2:遍历所有可能的船的组合方式：船1, 船2运送乘客和汽车，船3运送乘客和汽车，船4运送乘客，船5运送乘客和汽车。

武汉理工大学队员比赛论文mcm2003_A_王蝉娟_唐兵_隗勇mcm2003_A_万丽军_唐涛_陈正旭mcm2003_A王鹏_邓科_刘文慧mcm2003_B_王雨春_钟原_李霜icm2003_C_刘旺_董显_吴辉icm2003_C_夏立_成浩_易科mcm2004_b 厉化金_谷雨_曾祥智mcm2004_b_夏立_赵明杰_高婷全国比赛优秀论文1993年A题非线性交调的频率设计1993年B题球队排名问题1994年A题逢山开路1994年B题锁具装箱1995年A题一个飞行管理模型1995年B题天车与冶炼炉的作业调度1996年A题最优捕鱼策略1996年B题节水洗衣机1997年A题零件的参数设计1997年B题截断切割1998年A题投资的收益和风险1998年B题灾情巡视路线1999年A题自动化车床管理1999年B题钻井布局2000年A题 DNA序列分类2000年B题钢管定购和运输2001年A题血管的三维重建2001年B题公交车调度中国科大老师对美国赛题目的讲解(题目可从往届试题处下载) MCM 1985 A题（王树禾教授）MCM 1985 B题（侯定丕教授）MCM 1986 A题（常庚哲教授，丁友东老师）MCM 1986 B题（李尚志教授）MCM 1988 A题（苏淳教授）MCM 1988 B题（侯定丕教授）MCM 1989 A题（赵林城老师）MCM 1989 B题（侯定丕教授）MCM 1990 A题（王树禾教授）MCM 1990 B题（王树禾教授）MCM 1991 A题（常庚哲教授，丁友东老师）MCM 1992 B题（侯定丕教授）MCM 1993 A题（苏淳教授）MCM 1993 B题（万战勇老师）MCM 1994 B题（程继新老师）美国赛优秀论文MCM 2001 UMAP MCM 2002 UMAPMCM 2003 UMAP MCM 2004 (Quick Pass)。

2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

问题分析：本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。

运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从120710 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。

对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。

另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。

于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。

调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。

这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。

第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。

合理的假设主要有：1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即可，不进行排时讨论；3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量；4. 卡车可提前退出系统。