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高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用（第2课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝ba -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即ba ⎰v (t )d t .【典型例题1】有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移；(2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．思路分析：(1)→确定积分区间→求t ＝6时的路程以及位移(2)→ 解：(1)由v (t )＝8t －2t 2≥0，得0≤t ≤4，即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动，当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动．故t ＝6时，点P 离开原点的路程为s 1＝40⎰(8t －2t 2)d t －64⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 340|－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 364|＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为60⎰(8t －2t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 360|＝0. (2)依题意0t⎰(8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6， t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，所以t ＝6是所求的值．探究二 求变力做功求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W ＝ba ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．【典型例题2】一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．思路分析：先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解．解：由力——位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10，0≤x ≤2，3x ＋4，2<x ≤4，因此该物体从x ＝0处运动到x＝4处力F (x )做的功为20⎰10d x ＋42⎰(3x ＋4)d x ＝10x 20|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x 42|＝46(J)． 探究三 易错辨析易错点：忽视单位换算导致计算错误【典型例题3】设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．错解：由题意知F (x )＝kx ，由已知x ＝5时，F (5)＝100，∴5k ＝100，∴k ＝20，∴F (x )＝20x .∴弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功W ＝150⎰20x d x ＝10x 2150|＝10×152＝2 250(J)．错因分析：没有将位移单位换算成米，导致功的单位不是焦耳．正解：设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，F(x)表示加在弹簧上的力(单位：N)．由题意，得F(x)＝kx，且当x＝0.05 m时，F(0.05)＝100 N，即0.05k＝100，∴k＝2 000.∴F(x)＝2 000x.∴将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为2 000x d x＝1 000x20.150|＝22.5(J)．W＝0.15。
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。
微积分（Calculus ）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。
定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插入若干个分点 a=X0<X1<...<Xn-1<Xn=b把区间[a ，b]分成n 个小区间 [X0，X1]，...[Xn-1，Xn]。
在每个小区间[Xi-1，Xi]上任取一点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作：()dx x f a b⎰即： ()()ini iabx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所作的功.在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a<b ）,求电场力所做的功.解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场力为2rqkF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=⎰∞+2例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中气体压力所作的功.解：建立坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xSk V k p ==故作用在活塞上的力为xkpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===⎰例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需做多少功？解：建立坐标系如图，在任一小区间[x,x+dx]上的一薄层水的重量为dx g 23πρ⋅⋅（KN ）这薄层水吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299⎰==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压力 设液体密度为ρ 深为h 处的压强：h g p ρ=*当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力为pA P =*当平板不与水面平行时，所受侧压力就需用积分解决.例4.一水平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的一个端面所受的侧压力.解：建立坐标系如图.所论半圆的方程为22xR y -±=()R x ≤≤0利用对称性，侧压力元素dx x R x g dP 222-=ρ端面所受侧压力为322322R g dx x R x g P ⎰=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压力元素()dx x R x R g dP 222-+=ρ，故端面所受侧压力为()dx x R x R g P RR222++=⎰-ρ令t R x sin =↓RR x R x R xRg 0222arcsin 224⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ρ3R g ρπ=引力问题质量分别为1m ，2m的质点，相距r ，二者间的引力：大小：221rmm kF =方向： 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决. 例5.设有一长度为l ，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a 单位处有一质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引力.解：建立坐标系如图.细棒上小段[x ，x+dx]对质点的引力大小为22xa dxm kdF +=μ故垂直分力元素为αcos dF dF y-=2222xa a x a dx m k +⋅+-=μ()2322x a dxakm +-=μ棒对质点的引力的垂直分力为()⎰+-=2023222l yxa dxa km F μ2222lx a ax a km ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=μ22412la a l km +-=μ棒对质点引力的水平分力0=xF故棒对质点的引力大小为22412la a l km F +=μ说明1. 当细棒很长时，可视l 为无穷大，此时引力大小为akm μ2方向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引力沿y 轴从a 处移动到b （a<b ）处时克服引力作的功，则有dy ly y l km dW 22412+-=μ⎰+-=b aly y dyl km W 2242μ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2322cos xa dxakm dF dF y+-=⋅-=μα()2322sin xa xdxkm dF dF x+=⋅=μα∴ ()⎰+-=lyxa dxa km F 02322μ()⎰+=lxxa xdxkm F 02322μ引力大小为yxFF F 22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需用积分解决. 例6.设有一个半径为R,质量为M 的均匀圆盘，（1） 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量. （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建立坐标系如图.设圆盘面积为ρ.对应于[x,x+dx]的小圆环对轴l 的转动惯量为dx x dI 32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为24321212I MRR dx x ===⎰πρπρ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建立坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R xdx yx dI y222222-==ρρ故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R RRy⎰--=222I ρdx x R xR 2224-=⎰ρtdt t R 22024cos sin 4⎰=πρ（令x=Rsint ）244141MR R ==ρπ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R Mπρ1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1） 先用微分分析法求出它的微分表达式dQ 一般微分的几何形状有：条、段、环、带、扇、片、壳等.（2） 然后用定积分来表示整体量Q ，并计算他. 2. 定积分的物理应用：. ○1为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需做多少焦耳（J ）功？（99考研）提示：作x 轴如图.将抓起污泥的抓斗由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++=克服抓斗自重：dx dW 4001=克服缆绳中：()dx x dW -⋅=30502抓斗升至x 处所需时间：3x（s ）提升抓斗中的污泥：dx x dW ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=32020003()dx x x W ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+=∴30032020003050400()J 91500=○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，再点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力. 提示：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++=αcos ⋅=dF dF x()ds yx x yx k 222122+⋅+=kxds =kyds dF dF y=⋅=αsin()[]()dtt t a t t a t a k F x22223cos sin 3sin cos3cos ⋅+-⋅⋅=⎰⎰⋅=2042sin cos 3πtdt t k a253ka = 同理253ka Fy=故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为2253ka F =在高中物理中还有很多例子，比如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。
1.7.1 定积分在几何中的应用1．利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．2．常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①，当f (x )>0时，⎠⎛a bf (x )d x □01>0，所以S ＝□02⎠⎛ab f x d x ； (2)如图②，当f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x □03<0，所以S ＝|⎠⎛a b f (x )d x |＝□04－⎠⎛ab f (x )d x ； (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，⎠⎛a c f (x )d x □05<0；当c≤x ≤b 时，f (x )>0，⎠⎛cb f (x )d x □06>0，所以S ＝| ⎠⎛a c f (x )d x | ＋⎠⎛c b f (x )d x ＝□07－⎠⎛a c f (x )d x ＋□08⎠⎛cb f (x )d x ；(4)如图④，在公共积分区间[a ，b]上， 当f 1(x )>f 2(x )时，曲边梯形的面积为S ＝⎠⎛a b [f 1(x )－f 2(x )]d x ＝□09⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步，画出图形．第二步，确定图形X 围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限． 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置． 第四步，写出平面图形面积的定积分表达式．第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积．答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)由曲线y ＝e x，x ＝2，x ＝4，y ＝0所围成的图形的面积等于________． (2)曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为________． (3)抛物线y ＝x 2－1与x 轴围成图形的面积是________． 答案 (1)e 4－e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S ，根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标；(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积．【跟踪训练1】 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2＝x ，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 3，得交点横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[解] 解法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．【跟踪训练2】求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积．探究3 综合问题例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112，试求：(1)切点A的坐标；(2)在切点A的切线方程．[解] 如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．【跟踪训练3】 已知抛物线y ＝－x 2a＋2x (a >0)，过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积，求l 的方程．对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的.1．由y ＝1x，x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2 答案 A解析 画出曲线y ＝1x(x >0)及直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积．所以S ＝⎠⎛121xd x ＝ln x|21＝ln 2－ln 1＝ln 2.2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案 A解析 作出曲线y ＝x 2，y ＝x 3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得曲线y ＝x 2，y ＝x 3交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.3．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 答案 18解析 图形面积为S ＝⎠⎛032x 2d x ＝2⎠⎛03x 2d x ＝23x 3|30＝18.4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值是________．答案1－3 4 25．如图，求由曲线y＝e x，y＝e－x及直线x＝1所围成的图形的面积S.。
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1.7.1 定积分在几何中的应用［课时作业］［A组基础巩固］1．曲线y＝x3与直线y＝x所围封闭图形的面积S等于( ）A。
错误!(x－x3）d x B. 错误! (x3－x）d xC．2错误!错误!0(x－x3）d x D．2错误!（x－x3）d x解析：如图,阴影部分的面积S＝2错误!（x－x3)d x.故选C.答案：C2．已知函数y＝x2与y＝kx（k〉0）的图象所围成的封闭区域的面积为错误!，则k＝（）A．3 B．2C．1 D。
错误!解析：由错误!消去y得x2－kx＝0,所以x＝0或x＝k,则所求区域的面积为S＝错误!（kx－x2)d x＝错误!错误!＝错误!＝错误!，则k3＝27,解得k＝3。
答案:A3．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积S为( )A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!解析：作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，所求面积即为图中阴影部分的面积．解方程组错误!得曲线y＝x2,y＝x3交点的横坐标为x＝0及x＝1。
2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
7。
1 定积分在几何中的应用 1。
7.2 定积分在物理中的应用学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．(2016·广州高二检测)用S表示图1。
7。
4中阴影部分的面积，则S的值是（)图1。
74A.错误!f(x）d xB。
错误!C.错误!f（x)d x＋错误!f(x）d xD。
错误!f（x）d x－错误!f（x）d x【解析】在区间[a，b］上图形在x轴下方，积分为负值,∴S＝错误!f(x)d x－错误!f（x）d x。
故选D。
【答案】D2．如图1.7.5，阴影部分的面积是（）图1。
75A．2 3 B．2－错误!C.错误!D.错误!【解析】S＝错误!（3－x2－2x）d x＝错误!错误!＝错误!。
【答案】C3．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s）做直线运动，则它在t＝0 s到t＝3 s时间段内的位移是( )A．31 m B．36 mC．38 m D．40 m【解析】S＝错误!(3t2＋2t）d t＝（t3＋t2)｜错误!＝33＋32＝36(m）．【答案】B4．如果某飞行物以初速度v0＝10 m/s,加速度a(t）＝10t m/s2做直线运动，则飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为( )A．40 m/s B．45 m/sC．50 m/s D．55 m/s【解析】飞行物在t＝3 s时的瞬时速度为v＝v＋错误!a（t)d t＝10＋错误!10t d t＝10＋5t2错误!＝55 m/s.【答案】D5．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于（)A. 错误!(x－x3)d xB. 错误!（x3－x)d xC．2错误!（x－x3）d x D．2错误!(x－x3）d x【解析】由题意知,由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝2错误!（x－x3)d x。
概述定积分的发展与应用摘要: 概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用.关键词: 分割近似; 定积分; 流数法; 应用微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,可以说是定积分最重要的应用之一,正是由于定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分.一定积分发展的历史过程定积分的发展大致可以分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段.1准备阶段主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中运用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门.牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来表示流数,如x,y 表示变量x,y 对时间的流数.他指出：曲线()0,=y x f 在某给定点处切线的斜率就是y 流数与x 流数之比,从而导出y 对x 的导数就是y 的流数与x 的流数之比,即相当于现在的xy dx dy =. 莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他在《数学笔记》中指出求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比（当这些差值变成无穷小时）;求积依赖于在横坐标的无限小区间纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼兹开始人认识到求和与求差运算的可逆性,用dy 表示曲线上相邻点的纵坐标之差,把⎰dy 表示为所有这些差的和,⎰=dy y 明确指出："⎰"意味着和,d 意味着差.明确指出了：作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分. 3 完成阶段19世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善.从19世纪20年代至19世纪末,经过波尔查诺、柯西、维尔斯特拉斯、戴德金等数学家的努力,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西用极限给出了积分的定义,指出"⎰"不能理解为一个和式,而是和式∑=---=nk k k kn x x xf s 11))(1(.当1--k k x x 无限减小时,n s 能"最终达到的某个极限值"s ,这个s 就是函数)(x f 在区间[]x x ,0上的定积分.柯西定义了函数⎰=xx dt t f x F 0)()(,证明了当)(x f 在[]x x ,0上连续时,)(x F 在[]x x ,0上连续、可导,且)()(x f x F ='.继之柯西证明了)(x f 的全部原函数彼此只相差一个常数,因此,他把不定积分写成：C dt t f dx x f xx +=⎰⎰0)()(,并由此推出了牛顿-莱布尼兹公式)()()(00x F x F dx x f xx -=⎰.至此,微积分基本定理给出了严格证明和最确切的表示形式. 二 定积分在不同学科中的应用 1 定积分在分析中的应用例1 求极限nn nn ⋅++++∞→ 321lim.解：由于∑=⋅=⋅++++n i n n i n n n 11321 可取区间[]b a ,为[]1,0,函数x x f =)(,则n i n a b ia i +=-+=1ξ,nn a b x i 1=-=∆. 故：原式321lim101==⋅=⎰∑=∞→dx x n n i ni n . 例2 求极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n . 分析：此题所研究的极限为n 项和的形式,可看成函数在241)(xx f -=在区间[]1,0上的一个和式的极限.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-∞→222231241141lim n n n n n n nn n n 1)(41)2(41)1(41lim 222⋅⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=∞→ ⎰∑==-=⋅-==∞→10102126|2arcsin 411)(41limπx dx xn ni ni n . 2 定积分在几何中的应用 (1) 用定积分求平面图形的面积例3 如图1,计算由曲线4,22-==x y x y 所围成图形的阴影部分的面积. 分析：先根据所给曲线方程,在坐标系中画出曲线, 确定所围成图形的范围;然后根据图形的范围,比较 两条曲线的位置关系;最后用定积分求所围图形的面 积.解：解方程组⎩⎨⎧-==422x y xy 得出交点坐标为（2,-2）,（8,4）,所以所求图形的面积为423242264224--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰y y y dy y y s .（2）用定积分求立体图形的体积例4 如图2,求椭圆12222=+ay b x 绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解：如图2，因为)(22222x b ba y -=,所求体积是曲边三角形AOB 绕y 轴旋转一周而成的旋转体体积的2倍. 由于旋转体的体积公式为⎰--='bb dx x b ba V )(22222π，所以椭圆12222=+ay b x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为⎰-=bdx x b ba V 02222)(2π ⎰-=bdx x b ba 02222)(2πbx x b ba 03222312⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πb a 234π=. 3 定积分在物理中的应用（1）力的作功问题例5 一圆柱形的贮水桶高位6m,底面半径为3m,桶内盛满了水,试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x 轴如图3因为要把桶内的水吸出,只需克服重力做功,故取深度x 为积分变量,变化区间为[]6,0,做薄层微元为图中小矩形部分,小矩形部分的重力为dx 238.9π⨯（KN ）,把这部分水吸出水桶外需做功为xdx dW π2.88=（KN ）,故所求的功为4984|1.442.886026≈==⎰x xdx W ππ（KJ ）.(2) 求引力的问题图3例6 一根长为l 的均匀细杆,质量为M,在其中垂线上相距细杆为a 处有一质量为m 的质点,试求细杆对质点的万有引力.解:细杆位于x 轴上的[,]22l l-,质点位于y 轴上的点a, 任取[,]x x x +∆ ⊂[,]22l l-,当x ∆很小时可把这一小段细杆看作一质点,其质量为MdM dx l=,于是它对质点m 的引力为222kmdM km M dF dx r a x l ==⋅+,由于细杆上各点对质点m 的引力方向各不相同,因此不能直接对dF 进行积分,（不符合代数的可加条件）,为此,将dF 分解到x 轴与y 轴两个方向上,得sin x dF dF θ=,cos y dF dF θ=-.由于质量m 位于细杆的中垂线上,必使水平合力为0,即 220ll x X F dF -==⎰,又cos θ=故得垂直方向合力为322222022()l l l y y kmMa F dF a x dx l --==-+=⎰⎰. 负号表示合力方向与y 轴方向相反. 4 定积分在经济学中的应用在经济管理中,应用定积分可以解决由边际函数求总函数或求总函数在某个范围的改变量问题.例7 已知某产品总量的变化率为t t Q 1240)(+='（件/天）,求从第一天到第四天产品的总产量.解：设总产量为Q ,已知第t 天总产量的变化率为)(t Q ',它随t 变化,则总产量Q 在[]dt t t +,内的微元dQ 为dt t dt t Q dQ )1240()(+='= 故在[]5,1内总产量为304|640)1240(51251=+=+=⎰tt dt t Q （件）例8 设生产x 个产品的边际成本x C 350+=,其固定成本为10000=C 元,产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少是利润最大？ 解：首先由边际成本x C 350+=,利用变上限定积分得 2012350)350()(x x dt t x C x+=+=⎰,所以最后的总成本为10002350)()(2012++=+=x x C x C x C . 又因为总收益函数为x x R 500)(=,所以总利润为 100023450)()()(22--=-=x x x C x R x L . 令0)(='x L ,即:0223450=⨯-x , 得150=x . 故生产量为150个时,利润最大. 参考文献[1] 邓俊谦.应用数学基础[M].上海:华东师范大学出版社,2000. [2] 陆庆乐,马知恩.高等数学[M].北京:高等教育出版社,1990. [3] 辛普元.定积分的应用研究[J].现代商贸工业,2008.[4] 上海财经大学应用数学系.高等数学[M].上海:上海财经大学出版社,2005:103-148. [5] 蒙虎.关于莱布尼茨微积分的哲学背景[J].首都师范大学学报(自然科学版),2004:(1). [6] 陈跃.从历史的角度来讲微积分[J].高等数学研究,2005:(6).[7] 王晓硕.极限概念发展的几个历史阶段[J].高等数学研究,2001:(3).。
