第十六章 《分式》小结与复习(1)(新人教版)

第十六章《分式》知识点整理（人教版）分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

分式有意义的条是分母不为零，分式值为零的条分子为零且分母不为零2分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

3分式的通分和约分：关键先是分解因式4分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减混合运算:运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，6正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：；（）商的乘方：；7分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；解整式方程；验根．增根应满足两个条：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

列方程应用题的步骤是什么？审；设；列；解；答．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种：行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法．工程问题基本公式：工作量=工时×工效．顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．8科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数。

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

第十六章 《分式》一、全章知识点归纳16．1分式16.1.1从分数到分式1．重点：(1)理解分式有意义的条件:只有满足了分式的分母不能为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式B A才有意义. 当B=0时，分式B A就无意义.(2)分式的值为零的条件:必须同时满足两个条件：○1分母不能为零, 即当B ≠0时；○2分子为零当A=0时.这两个条件得到的解集的公共部分才是题目的解. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件.16.1.2分式的基本性质1．重点:(1)理解分式的基本性质,基本性质:已知分式的分子、分母同乘以或除以同一个值不为0的整式，分式的值不变. AB =A MB M⋅⋅，A B =A M B M÷÷拓展符号问题：由性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.(2)运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：①约分是要找准分子和分母的公因式，[公因式：Ⅰ:当分式的分子和分母都是单项式时:数字因数的最大公约数，相同字母或因式的最低次幂;Ⅱ:当分子或分母是多项式的要先分解因式，然后再找公因式;Ⅲ当分子与分母中出现互为相反数的因式时,是偶数次方时直接写成它的相反数,当是奇数次方时,写成它的相反数乘(－1)]最后的结果要是最简分式；②通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母. ③一般的分式的分子或分母的第一项不带“－”，若有要结合有理数的除法中商的符号确定方法化简，结果为“－”时，则“－”要写在分数线的前面.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.(通分或约分)16．2分式的运算16．2．1分式的乘除1．重点：（1）会用分式乘除的法则进行运算. 乘法法则：,b a bd ac d c =∙ 除法法则：bcadc d b a d c b a =∙=÷ 当分式的分子分母是单项式时，能约分的可直接约分；当分式的分子分母是多项式时，能分解因式的多项式要先分解因式再约分。

第十六 分式小结与复习知识梳理1．分式及其基本性质 （1）一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B就叫_______． （2）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）一个________的整式，分式的值不变，用式子可以表示为A B =_______，A B =________（其中______）． 2．分式的运算（1）分式乘以分式，用分子的积作为分子，_________的积作为分母；分式除以分式，把除式的_______后，与被除式相乘．（2）同分母分式相加减，分母_______，分子_______；异分母分式相加减，先_____，变成 的分式，然后再加减．3．分式方程（1）分母中含有________的方程叫做分式方程．（2）列分式方程解应用题的步骤：①审请题意；②设_____；③根据题意找出相等关系，列出_____；④解方程，一定要_____；⑤写出答案．4．零指数幂与负整指数幂任何不等于零的数的零次幂都等于 ，即=0a （a ≠0）．一般地，当n 是正整数时，n a -=_____（a ≠0）．这就是说，n a -（a ≠0）是n a 的_______． 考点呈现考点1 分式的概念例1（1）（20XX 年嘉兴）若分式12x x -+的值为0，则（ ） A ．x=－2 B ．x=0 C ．x=1或2 D ．x=1 （2）（20XX 年宁夏）当_____时，分式12a +有意义． 分析：本题考查分式的概念，（1）考查分式值为0的条件，即分子为零且分母不为零；（2）考查分式有意义的条件，根据分式的定义可知，当分母不为0时，分式有意义．解：（1）要使分式12x x -+的值为0，须满足x-1=0 且x+2≠0 ，所以x=1．故选D ． （2）要使分式12a +有意义，须满足a+2≠0，解得a ≠－2．故填a ≠－2．考点2 分式的基本性质例2（20XX 年山东德州，有改动）化简：22222x xy y x y -+-． 分析：本题主要是考查分式的约分，分式的分子、分母均为多项式且均可分解因式时，应先分别对分式的分子、分母分解因式，再约去分子、分母中的公因式． 解：222222()()()x xy y x y x y x y x y x y x y-+--==-+-+． 考点3 分式的运算例3 （20XX 年陕西）化简：22a b b a b a b a b a b --⎛⎫÷ ⎪+-+⎝⎭-． 分析：本题考查分式的混合运算，进行减法运算时，应把分式化为同分母分式，把分子相减；进行分式除法运算时，应把分式除法转化为乘法，再进一步约分化简．解：原式=(2)()()()()2a b a b b a b a b a b a b a b ---++⋅+--=22222()(2)a ab ab b ab b a b a b --+---- =224()(2)a ab a b a b ---=2(2)()(2)a a b a b a b ---=2a a b-． 考点4 分式的求值例4（20XX 年山东东营）先化简，再求代数式(1－32x +)÷212x x -+的值，其中x 是不等式组20,218x x ->⎧⎨+<⎩的整数解．分析：解不等式组，求出不等式组的整数解；然后将待求式化到最简，注意运算顺序；将求得的整数解代入化简后的待求式计算即可．解：解不等式组20,218,x x ->⎧⎨+<⎩得2＜x ＜27． 又因为x 为整数，所以x ＝3．(1－32x +)÷212x x -+＝232x x +-+×()()211x x x ++-＝11+x ． 所以当x ＝3时，原式＝41． 考点5 分式方程例5 （20XX 年湖北咸宁）解方程：48122-=--x x x ． 分析：观察可得最简公分母是（x ＋2）（x －2），方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．解：两边同乘以最简公分母（x+2）（x-2），得8)2)(2()2(=-+-+x x x x ．化简，得 842=+x ．解得2=x ．检验：当2=x 时，0)2)(2(=-+x x ，2=x 不是原分式方程的解，所以原分式方程无解．考点6 列分式方程解决实际问题例6 （20XX 年山东泰安）一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？分析：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙工程公司单独完成需1．5x 天，根据合作12天完成列出方程求解．（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论． 解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天，根据题意，得1x +11.5x ＝112，解得x ＝20． 经检验，x ＝20是所列方程的解，且符合题意．当x ＝20时，1.5x ＝30．所以甲、乙两公司单独完成此项工程分别需20天、30天．（2）设甲公司每天的施工费为y 元，则乙公司每天的施工费为(y －1500)元，根据题意，得12(y+y －1500)＝102 000，解得y ＝5000．甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000＝100 000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×(5000－1500)＝105 000（元）；因为100 000<105 000，所以甲公司的施工费较少．考点 7 零指数幂与负整指数幂例7 计算0)1(1---的结果正确．．的是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2-分析：先计算出（﹣1）0的值，再根据有理数的加减法进行运算即可．解：原式=﹣1﹣1=﹣2．故选D ．例8 若2)12(--x 无意义，求代数式20122)14(-x 的值．分析：对于负整指数幂，要明确它成立的条件．由已知条件求出x ，然后代入求值． 解：因为2)12(--x 无意义，所以012=-x ，所以21=x ．当21=x 时，00)1414(]1)21(4[)14(201220122012220122==-⨯=-⨯=-x ． 例9 某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94 m ，用科学记数法表示这个数是（ ）A ．9.4×10－7 mB ．9.4×107mC ．9.4×10－8mD ．9.4×108m分析：与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.000 000 94=9.4×10-7．故选A ．误区点拨易错点1 分式概念，模糊不清例1 下列各式：2xy π，1a a +，2x y +，2mn n．其中是分式的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个错解：选A 或C 或D ．错解剖析：出现上述错误的原因是对分式的概念理解不透彻，模糊不清．我们知道，形如AB（A 、B 都是整式，且0B ≠）的式子叫做分式．事实上，π表示圆周率，是一个常数，不能看做一个字母，所以 2xy π不是分式；1a a+由两部分组成，其中1a 的分母中含有字母a ，所以1a a +是分式；2x y +是一个整式；2mn n约分后是整式，但判断一个式子是否是分式，不是看化简后的结果，而要看原式，所以2mn n是分式．综上所述，分式有2个． 正解：选B ．易错点2 忽视分式值为0的条件例2 当x 为何值时，分式2(1)(3)1x x x +--的值为0． 错解：当分子（x+1）（x-3）=0时，分式2(1)(3)1x x x +--的值为0，即x=-1或x=3． 错解剖析：分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，错解没有考虑分母x 2-1≠0的约束条件．正解：由题意，得（x+1）（x-3）=0，且x 2-1≠0，解得x=3．易错点3 轻易约分例3 当a 为何值时，分式)1)(3()1)(2(+++-a a a a 无意义． 错解：因为32)1)(3()1)(2(+-=+++-a a a a a a ，由a+3=0，得a ＝－3，所以当a=－3时，分式无意义．错解剖析：讨论分式有无意义及分式的值是否为零，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式．分子、分母同除以一个可能为零的代数式，扩大了分式中字母的取值范围，即放宽了分式成立的条件．正确：由（a+3）（a+1）=0，得a=-3或a=-1，所以当a ＝-3或a=-1时，分式无意义． 易错点4 分式的运算顺序错误例4 计算：()()()3323142+∙+-÷++-x x x x x x ． 错解：()()()3323142+∙+-÷++-x x x x x x =()()()()()31223142++=-÷++-x x x x x x ． 错解剖析：分式的乘除运算是同级运算，应从左到右依次进行．正解：()()()3323142+∙+-÷++-x x x x x x ()()()()3233122+∙-+∙++-=x x x x x x ()162132++=++=x x x x ．易错点5 解分式方程忘记验根例5 解分式方程：9122-x －32-x =31+x ． 错解：方程两边同乘以（x+3）（x ﹣3），得12﹣2（x+3）=x ﹣3，解得x=3．所以原方程的解为x=3．错解剖析：解分式方程验根是必要的步骤，这样才能够排除增根，防止扩大解的范围． 正解：方程两边同乘以（x+3）（x ﹣3），得12﹣2（x+3）=x ﹣3，解得x=3．检验：把x=3代入（x+3）（x ﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．所以x=3是原方程的增根．故原方程无解．跟踪训练1．当x=2时，下列各式的值等于0的是（ ）A ．12x - B ．224x x +- C ．2232x x x --+ D ．247x x -- 2．根据分式的基本性质，分式-a a b--可变形为（ ） A ．a a b -- B ．a a b + C ．b a a - D ．a a b -+ 3．计算232384xy z z y的结果为（ ） A ．6xyz B ．12xyz C ．-6xyz D ．6x 2yz4．下列各式正确的是（ ）A ．（-1）0=1B ．用科学记数法表示0.000 307=3.07×10-3C ．用小数表示3×10-6=0.000 000 3D ．（-2）-3=15．若关于x 的方程1011m x x x --=--有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-16．已知分式235x x x a --+，当x=2时，分式无意义，则a=_____． 7．分式221x y -与21x xy+的最简公分母是_____． 8．计算：222x y x y y x+--=_____． 9．若a-b=2ab ，则11a b-=______． 10．研究10，12，15这三个数的倒数发现：151121121101-=-，我们称10，12，15这三个数为一组调和数．现有一组调和数：3，5，x ()5>x ，则x 的值是____．11．先化简，再求值：25624322+-+-÷+-a a a a a ，其中a=1． 12．解分式方程：224124x x x -+=+-．13．某工程队承担了一段长为24千米的道路整治任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少千米？第十六 分式小结与复习知识梳理：略．跟踪训练：1．D 2．C 3．A 4．A 5．B 6．67．x （x+y ）（x-y ） 8．1 9．-2 10．1511．解：原式=25)3(2)2)(2(32+-+-+÷+-a a a a a a =25)2)(2()3(232+--++⋅+-a a a a a a =2522+-+a a =23+-a ． 当a=1时，原式=1213-=+-． 12．解：方程两边同乘以()()22+-x x ，得()()()22422+-=+-x x x ，解得3x =．检验：当3x =时，240x -≠，所以3x =是原方程的根．13．解：设原计划平均每天改造道路x 千米，根据题意，得202.12424=-xx ，解得x ＝0.2．经检验，x ＝0.2是所列方程的解，且符合题意．所以原计划平均每天改造道路0.2千米．。

分式知识点总结及复习一、基本概念分式是指两个整数之间用分数线表示的表达式，其中分数线上方的整数称为分子，下方的整数称为分母。

分子和分母可以是正整数、负整数或零。

二、分数的分类1. 真分数：分子小于分母的分数，如1/2、3/4。

2. 假分数：分子大于等于分母的分数，如7/4、11/3。

3. 带分数：由整数部分和真分数部分组成的复合分数，如2 1/2、33/4。

三、分数的基本运算1. 分数的加法：分母相同时，分子相加；分母不同时，通分后分子相加。

2. 分数的减法：分母相同时，分子相减；分母不同时，通分后分子相减。

3. 分数的乘法：分子相乘，分母相乘。

4. 分数的除法：将除法转化为乘法，即将除数取倒数后与被除数相乘。

5. 分数的约分：将分子和分母的公约数除去，使分数达到最简形式。

6. 分数的比较：分数大小的比较依据是分子和分母的大小关系。

四、分式的应用1. 长度比较：如果表示相同长度的量，分母较大的分数表示的长度较小。

2. 面积比较：如果表示相同形状的图形面积，分母较大的分数表示的面积较小。

3. 比例求解：对于一个比例关系，可以使用分数来表示两个量之间的关系。

4. 混合运算：在实际的数学题中，分式常常与整数、小数一起进行混合运算。

五、常用的分数的表示法1. 百分数：百分数是分数的一种表示形式，以分母为100。

2. 小数：小数是另一种分数的表示形式，可以将分数化为小数进行计算。

六、常见的分数问题1. 分数的相加减问题：根据题意确定分数的运算方式，并进行对应的计算。

2. 分数的乘法除法问题：将乘法转化为分数的相乘运算，将除法转化为分数的相除运算。

3. 分数的约分问题：找到分子与分母的公约数，并进行约分化简。

4. 比较分数大小问题：比较分子与分母的大小关系来确定分数的大小。

七、常见的解分数问题的方法解决分数问题可以通过下面的方法来进行：1. 手算：将分数转化为小数进行计算，或者使用分数与整数的运算规则进行计算。

第16章《分式》温习与小结学习目标：了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。

学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。

学习难点 ：分式方程的应用。

教学设计：一、知识点温习：1. 分式的概念（1）若是 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。

（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。

2. 分式成心义的条件：分式的分母不能为 0，即A B中， B ≠ 0 时，分式成心义。

3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，关于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 . 4. 分式（数）的大体性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。

A A MB B M ⋅=⋅, A A M B B M÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分（1）通分的依据是分式的大体性质; (2)通分的关键是确信最简公分母;（3）通分后的各分式的分母相同;（4）通分后的各分式别离与原先的分式相等.6. 分式通分的步骤（1）确信最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。

②凡显现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。

③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。

（2）将各分式化成相同分母的分式。

7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的大体性质 （2）约分后不改变分式的值。

（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。

8. 分子的变号规那么 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。

用式子表示为：a a a b b b -==--；a a a a b b b b---=-==-- 分式的乘方是把分子、分母别离乘方，即na b ⎛⎫ ⎪⎝⎭= 11. 分式的加减 （1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

鲁桥一中教学案集备时间: 2013、3、23 时间: 案型:实 施 案 编号 科目 数学 课题 第十六章分式小结与复习(1)课型 新授学习 目标 进一步理解分式、有理式、最简分式、最简公分母得概念;熟练掌握分式得基本性质、分式运算法则;准确熟练地进行分式得运算;通过对例题得学习,进一步理解数学得整体思想、重点 难点能将实际问题中得等量关系用分式方程表示、分式方程概念教学流程:一、知识结构图二．知识点讲评 知识点1:(1)分式及其相关概念 定义:(2)分式有关得条件问题: 强化训练:1.下列各式中,哪些就是分式？导学说明 反思 师生共同回顾本章知识结构 小组内检查。

密 缝 线主备人:仲 立 授课人: 班级:八年级 班 学生姓名:21-11-1-22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅÷a a a a a a a 2.⑴已知分式 ,当x ＿＿＿ 时, 分式有意义,当x ＿＿＿ 时,分式无意义、⑵若分式有意义,则x 应满足得条件就是＿＿＿ ⑶当x= ＿＿＿ 时,分式 得值为0、 知识点2 分式得性质及应用(1)分式得基本性质:分式得分子与分母都乘以(或除以)___________ 、分式得值________、 用式子表示: ___________ (2)分式得符号法则: ⑶约分: ⑷通分:强化训练: 1.请写出下列等式中未知得分子或分母: (1)222y x xy = (2))(153y x x y x x +=+ 2、不改变分式得值,把下列各式得分子与分母得各项系数都化成整数 3、不改变分式得值,使下列分式得分子与分母中最高次项得系数都就是正数、4.约分:5、通分: (1) (2) 知识点3:分式得运算 分式得乘除、乘方及加减 强化训练:1、 计算:(1) (2)(3)2、 计算:知识点4(1)整数指数幂强化训练:填空:2计算:知识点5:分式方程导学说明 反思每组2名学生展示。

组长负责检查知识点得落实。

小组成员独立完成,各小组2名同学展示。

分式知识点总结及复习分式是数学中一个重要的概念，也是许多人在学习数学时感到困惑的内容之一。

本文将对分式的基本概念、运算法则以及应用进行总结与复习，帮助读者更好地理解和掌握分式知识。

一、基本概念分式由分子和分母两部分组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。

分数的值可以是整数、小数或者其他分数。

下面是分式的基本概念：1. 真分数：分子小于分母的分数称为真分数，例如1/2、3/4等。

2. 假分数：分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如5/2、7/3等。

3. 常分数：分子为0的分数称为常分数，其值为0。

二、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面是各种运算的规则和注意事项：1. 加法与减法：- 分式加减法的前提是分母相同，如果分母不同，则需要找到它们的最小公倍数来进行通分。

- 计算分子时，加法取分子相加，减法取分子相减。

- 结果的分子不一定能被整除，可能需要进行约分。

2. 乘法：- 分式乘法直接将分子相乘，分母相乘。

- 结果的分子和分母都需要化简，即约分。

3. 除法：- 分式除法可以转化为乘法求逆的问题，即将被除数的分子和除数的分母互换位置，然后进行乘法运算。

- 运算结束后需化简结果。

三、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 比例问题：当我们需要比较两个量的大小、计算比例或者解决比例问题时，常常会使用到分式。

2. 混合运算：在一些复杂的算术题中，可能会出现含有分式的运算，我们需要根据题目要求进行正确的计算和化简。

3. 高等数学中的应用：在微积分、线性代数等高等数学中，分式经常用于表示函数、方程组等，是一种重要的数学工具。

四、分式知识点的复习为了更好地巩固分式的知识，建议读者可以通过以下方法进行复习：1. 多做练习题：选择一些分数相关的练习题，分情况进行分类练习，逐步提高解题能力。

2. 总结归纳：将每个知识点进行总结和分类，形成自己的知识框架，并根据实际问题进行思考和应用。

《分式》复习教案教学内容本节课主要内容是对本单元进行回顾．教学目标1．知识与技能会进行分式的基本运算（加、减、乘、除、乘方），熟练掌握分式方程的解法，能应用“建模”思想解决实际问题．2．过程与方法经历回顾分式概念、计算、应用的过程，提高观察、类比归纳、猜想等能力，．领会其算理．3．情感、态度与价值观培养学生的自主、合作、交流的意识，和严谨的学习态度，让学生体会知识的内在价值．重难点、关键1．重点：通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用．2．难点：分式的通分以及分式方程的“建模”．3．关键：把握分式的基本性质，领会算理．教学准备教师准备：投影仪，制作与本节课有关的投影片，图片等．学生准备：做一份本单元知识小结．学法解析1．认知起点：在学习了不等式基本性质、约分、通分、混合运算，•以及分式方程、应用内容后进行反思．2．知识线索：3．学习方式：采用知识体系梳理，•合作交流的学习方式达到巩固提高本单元知识的目的．教学过程一、回顾交流，巩固反馈【组织交流】教师活动：打开投影机，先将学生分成四人小组，交流各自准备的单元小结，然后开展小组汇报．学生活动：小组合作交流，交流内容是（1）单元知识结构图；（2）课本P41“回顾与思考”的5个问题；（3）自己的单元小结．活动形式：先小组合作交流，再小组汇报，师生互动．媒体使用：学生汇报中，可借用投影仪，辅助讲解．教师归纳：本章主要内容是分式的概念；分式的基本性质；分式混合运算和可化为一元一次方程的分式方程及其应用，这些内容在今后进一步学习方程、函数等知识时占有重要地位和作用．（投影显示本单元知识体系，见课本P41）1．分式的基本性质是分式恒等变形的依据，•正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，因此学习中要注意以下三点：（1）基本性质中的字母表示整数，（,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，M ≠0） （2）要特别强调M ≠0，且是一个整式，由于字母的取值可以是任意的，所以M•就有等于零的可能性，因此，应用基本性质时，重点要考查M 的值是否为零．2．约分，约分的目的是化简，关键是找分子和分母的最高公因式，•即系数的最大公约数、相同因式的最低次幂．3．通分，通分关键是确定n 个分式的公分母，•通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫最简公分母．4．分式的乘除法本质就是（1）因式分解，（2）约分．5．分式的加减法本质就是（1）通分，（2）分解因式，（3）约分．6．解分式方程的本质就是将分式方程化成整式方程，但要注意验根．【设计意图】让学生掌握课堂的主动权，以自主、合作、交流的手法调动学生的主观能动性．二、寓思与练，讨论交流【显示投影片1】演练题1：当x 取什么数时，下列分式有意义？（1）22461;(2);(3)512x x x x m-++． 思路点拨：（1）令5x+1=0，相应求出x 的值，然后x 不取这个值时分式必有意义．（•x ≠-15）；（2）由于无论x 取何值x 2+2的值均大于零，因此，x 取任何实数，此分式都有意义；（3）因为任何数的平方均为非负数，则m 2≥0，所以m ≠0即可．演练题2：当x 取什么数，下列分式的值为零？（1）23||2;(2)47(2)(5)x x x x x +-++-． 思路点拨：令分子等于零，由此求出x 的值，此时应考虑分母是否等于零，•若等于零，则分式无意义，应舍去．（1）x=-32；（2）x=2． 【活动方略】教师活动：操作投影仪，引导学生训练，并请学生上台板演．学生活动：独立完成演练题1，2，以练促思．三、随堂练习，巩固深化1．x 为何值时，2||5x x -的值为零；（x ±5） 2．x 为何值时，259x x +-没有意义；（x=9） 3．x 为何值时，6721a a -+的值等于1．（a=2） 4．课本P42复习题16第6题．四、X 例学习，提高认知例1 计算．2244222815(1);(2)()(66).583()[:(1),(2)]6x y a b xy x y x y ab xy x y ax xy x y b -÷-++答案思路点拨：按法则进行分式乘除法运算，应注意，如果运算结果不是最简分式，一定要约分，对于分式的乘除混合运算，按乘除的顺序依次进行；当分子、分母是多项式时，一般先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化．例2 计算．222222222(1);11112(2)()().4444224xy y x x y y x x y b a ab b a ab b a b a b a b -+--+-÷+-+++-+- 思路点拨：（1）•分式的加减运算就是把异分母的加减化成同分母的分式的加减，因此，在通分过程中找出最简公分母是关键．（2）对于分式的混合运算，•应注意运算顺序．【活动方略】教师活动：通过分析例1、例2的算理，增强学生的运算能力，提高运算的准确性． 学生活动：参与例1、例2的分析，同老师一道领会算理，掌握正确的学习方法．五、随堂练习，巩固深化1．计算． 22225(1)221(2)1111(3)1();()121x xx x x x a a a a a a a a +----+-+--÷-+--+ 2．先化简，再求值：()(2)(1)x y x y y y x y x x -÷+-÷+，其中x=115,.[]253y = 六、联系实际，实践应用【显示投影片2】例3 解分式方程：1-6351x x x+=-+ [x=2] 思路点拨：解分式方程基本思路是方程两边都乘以各分母的最简公分母，使方程化为整式方程，但解后必须验根．例4 某水泵厂在一定天数内生产4 000台水泵，工人为了支援祖国现代化建设，每天比原计划增加25%，可提前10天完成任务，问原计划每天生产多少台？（80台）思路点拨：工程问题常用的关系式是时间＝总工作量日产量，设原计划每天生产x台，•列式4000400014x x x-+＝10．【活动方略】教师活动：操作投影仪，启发引导学生弄清题意，正确解答．学生活动：利用例3、例4，复习分式方程解法，以及应用题“建模”方法，并归纳小结．七、继续演练，反复认识【显示投影片3】1．解方程：8177xx x----=8（无解）2．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因出现特殊情况多停一些，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，•求这列火车原来的速度．[提示：设火车原速为x千米/小时，列车450314531.22xx x-+=，x=75]3．课本P43“复习题16”第11，12题．八、布置作业，专题突破1．课本P42“复习题16”第1，2（3）（4）（6），3（2）（4）（6），4，5，8，9，10题．2．选用课时作业设计．九、课后反思课时作业设计【驻足“双基”】1．x______时，分式755x x +-有意义． 2．分式2134,,11m m m +-的最简公分母是________． 3．计算：（a+b ）·2222a b a b a b---=______． 4．当x=______时，分式752x x-与的值相等． 5．当m=______时，方程233y m y y =---会产生增根． 6．若分式29(3)(4)a a a -+-的值为零，则a 的值是（ ）． A ．±3 B ．-3 C ．3 D ．以上结论都不对7．能使分式233x x x+---2值为零的x 的值是（ ）． A ．x=4 B ．x=-4 C ．x=-4或x=4 D ．以上结论都不对8．计算．（1）2(1)1132(2)(1)(1)(1)1166x x x x x x x x x x x +---÷-+-++-- 9．化简求值：133(2),(2)(1)24x x x x x x +÷-+=+-+其中． 10．解方程：1122x x x----=-3 【提升“学力”】 11．a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解等于零？ 12．某个体商贩一次同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，讨论在这次买卖中，该商贩能否赚到钱？13．某某到某某铁路长300千米，为适应两省、市经济发展的要求，客车的行车速度每小时比原来增加了40千米，这样使得由某某至某某的时间缩短了1.5小时，•求列车原来的速度及现在的速度．请参照上面的应用题，编一道类似的应用题（不需要求解）这道应用题应满足：（1）不改变分式方程的形式； （2）改变实际背景和数据．答案:1．x ≠5 2．m （m+1）（m-1） 3．a+b 4．-5 5．-3 6．C 7．A8．（1）2211,(2)9.1610.2()11.13(3)5x x a x x --==--增根 (提示：先把a 看作已知数，•按照解分式方程的步骤求出x ，然后令x=0，得到关于a 的方程，求出a 值．（8-a ）x=1-5a ，当a ≠8时，x=15151,0,150,885a a a a a a --=-=∴=--解唯一令则．) 12．赚不到 13．设列车原来的速度为x 千米/时，则30030040x x -+=1.5．。