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7 洛必达法则

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洛必达法则

洛必达法则

00∞∞)(x f )(x F )()(lim )(x F x f x a x ∞→→00∞∞x x x tan lim 0→00bx ax x sin ln sin ln lim 0+→∞∞)(x f )(x F a)(x f ')(x F '0)(≠'x F )()(lim x F x f a x ''→)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→)()(x F x f ''00∞∞)(x f ')(x F '.)()(lim )()(lim )()(lim =''''=''=→→→x F x f x F x f x F x f a x a x a x .)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→∞∞x x x tan lim 0→第二节 洛必达法则一、 型及 型未定式解法：洛必达法则定义：如果当（或）时，两个函数 和 都趋于零或都趋于无穷 大，那么极限 可能存在、也可能不存在。

通常把这种极限称为 型及型未定式。

例如： 型 型定理1：设：（1）当时，函数 及 都趋于零；（2）在 点的某去心邻域内， 及 都存在，且 ； （3） 存在（或为无穷大）； 那么这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。

注：（1）如果 仍属 型及 型，且 及 满足定理条件，可以继续使用法则，即（2）当时，该法则仍然成立。

（定理2）（3）当，时的未定式 也有相应的法则。

a x →∞→x a x →∞→x a x →∞→x)()(tan lim 0''=→x x x 原式1sec lim 20x x →=123lim 2331+--+-→x x x x x x 求12333lim 221---=→x x x x 266lim 1-=→x x x 23=266lim 1-→x x x bxax x sin ln sin ln lim 0+→求22111lim xx x -+-=+∞→原式221lim x x x +=+∞→xx x 3tan tan lim 2π→求x x x 3sec 3sec lim 222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→πx x x 2sin 6sin lim 2π→=x x x 2cos 26cos 6lim 2π→=)0 ( lim >+∞→λλ为正整数，求n e xx n x x n x x n x e nx e x λλλ1lim lim -+∞→+∞→=xn x e x n λλ0!lim ⋅==+∞→ )0( ln lim >+∞→n x x n x 求例1：求解： =1例2： 解：原式注意：（1）上式中 不是未定式，不能使用洛必达法则，否则导致错误的结果。

洛必达法则

洛必达法则

2) f (x)与F(x) 在U (a)内可导,
3) lim f (x) 存在 (或为∞) xa F(x) lim f (x) lim f (x) xa F (x) xa F(x)
(洛必达法则)
证: 仅就极限 lim f (x) 存在的情形加以证明 . xa F (x)
1) lim f (x) 0的情形 xa F (x)
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
6x
lim x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
例2. 求
0型 0
解:
原式
洛
lim
x
1
1 x
2
1 x2
型
lim
x
1
x2 x
2
lim
x
1
1 x2
1
1
思考:
如何求
lim
n
π 2
arctan
1 n
n
( n 为正整数) ?
二、 型未定式
定理 2.
1
lim f (x) lim F (x) xa F (x) xa 1
f (x)
0型
0 lim
F
1 2 ( x)
F
(
x)
xa
f
1 2 ( x)
f
( x)
lim
xa
f (x) 2 F (x)
F ( x) f (x)
lim xa
f (x) 2 F (x)
lim
xa
F ( x) f (x)
1 lim f (x) lim F(x) xa F (x) xa f (x)
lim
xa
f
(x) kF(x) F ( x)

洛必达法则的使用方法

洛必达法则的使用方法

洛必达法则的使用方法
洛必达法则是在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限，来确定未定式值的方法。

两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。

因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。

洛必达法则应用条件：
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

洛必达法则的运用：
当分子分母都趋近于0或无穷大时，如果单纯的代入极限值是不能求出极限的，但是直观的想，不管是趋近于0或无穷大，都会有速率问题，就是说谁趋近于0或无穷大快一些，而速率可以通过求导来实现，所以就会有洛必达法则。

数学罗比特法则

数学罗比特法则
洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设
(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
(2)在点a的去心邻域内，(x)≠0；
(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设
(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于无穷；
(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；
(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么
x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

lhopital法则 -回复

lhopital法则 -回复

lhopital法则-回复L'Hopital法则，也被称为洛必达法则，是微积分中解决极限问题的重要工具之一。

它由法国数学家Guillaume François Antoine de l'Hôpital 在18世纪提出。

洛必达法则的基本思想是通过求导数来简化极限运算，特别适用于遇到0/0或无穷/无穷等形式的不定型。

本文将分步骤解释洛必达法则的运用，帮助读者更好地理解和应用该法则。

1. 什么是洛必达法则？洛必达法则是一种通过求导数来计算极限的方法，通常用于解决形式为0/0或无穷/无穷的不定型。

它适用于具有复杂函数形式的极限问题，并能够将其转化为可以应用导数的形式。

2. 判断不定型在使用洛必达法则之前，首先需要判断给定函数的极限是否为不定型。

不定型通常具有以下形式：- 0/0型：当极限中的分子和分母均趋近于0时；- 无穷/无穷型：当极限中的分子和分母均趋近于无穷大时；- 0乘无穷型：当极限中的分子趋近于0，而分母趋近于无穷大时。

3. 求导数如果给定函数的极限符合不定型，接下来我们需要对分子和分母求导数。

注意，这里求导数只需对函数进行一次求导即可。

4. 判断洛必达法则是否适用根据洛必达法则，如果求导后的分子和分母的极限存在且为有限值，那么函数的极限就等于求导后的分子与分母的极限的比值。

如果求导后的分子和分母的极限不存在或为无穷大，那么洛必达法则不适用，需要考虑其他方法来求解。

5. 重复应用洛必达法则如果求导后的分子和分母的极限仍然符合不定型，我们可以继续应用洛必达法则，重复以上步骤。

这种情况可能会出现在分子和分母的导数仍然存在0/0或无穷/无穷型的情况下。

6. 转化为洛必达法则适用的形式有时候，我们需要将给定的极限问题转化为洛必达法则适用的形式。

一种常见的方法是通过分子和分母进行因式分解或其他合理的代数变换，以消除0/0或无穷/无穷型。

7. 一些注意事项在应用洛必达法则时，需要注意以下几点：- 求导数时，应保持对称性。

洛必达法则的实施步骤

洛必达法则的实施步骤

洛必达法则的实施步骤洛必达法则是一种时间管理方法，旨在帮助提高生产力和效率。

下面是实施洛必达法则的步骤：1. 列出待办事项：首先，需要将所有的待办事项列出来。

可以使用纸质清单或电子待办事项应用程序，将任务明确地写下来。

2. 评估任务的重要性和紧急性：对每个待办事项进行评估，确定其重要性和紧急性。

重要性代表任务对于实现目标的关键性，紧急性则代表任务需要立即完成的程度。

3. 设置优先级：根据任务的重要性和紧急性，为每个待办事项设置优先级。

可以采用以下四个优先级之一：重要且紧急、重要但不紧急、紧急但不重要、不紧急且不重要。

4. 制定计划：制定一个详细的计划，安排时间来完成每个任务。

确保计划充分考虑优先级，并合理分配时间。

5. 集中注意力：在执行任务时，集中注意力并避免分散注意力。

将手机静音，关闭社交媒体通知，并创造一个专注和无干扰的工作环境。

6. 完成任务并勾选清单：按照计划逐个完成任务。

每次完成一个任务后，及时勾选清单上的相应项目，以标记已完成。

7. 处理打断和紧急情况：在执行任务时，可能会出现打断或突发紧急情况。

尽量减少被打断的次数，并遵循洛必达法则的优先级原则来处理紧急情况。

8. 审查和调整：定期审查并调整任务清单和计划。

根据实际情况，重新评估任务的优先级和时间安排，并进行必要的调整。

洛必达法则可以帮助你更好地管理时间和提高工作效率，但关键在于坚持和适应个人情况进行调整。

尝试将这些步骤应用于日常工作中，并根据实际体验进行调整和改进。

洛必达法则


此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。 但原极限是存在的，可用下法求得
1 1 x sin sin x x x 0 lim lim x 0 x 0 sin x 1 sin x x
2
练习
3.01： （1） （ 3）
型：
1 1 0 变为 型或者 0 型 0 0
1 ( x x0 ) 法线方程： y y0 f ( x0 )
（1）若 f ( x0 ) 0： 切线：y y0 法线： x x0
（2）若f ( x0 ) ： 切线：x x0 法线： y y0
例1 求过曲线 y x 2 2 x 4 上一点 M (k ,2k ) 处该 曲线的切线和法线。 解：点 M (k ,2k )是曲线上的点，所以 2k k 2 2k 4 ， 解得 k 2 ，点M坐标为（2，4）， 又因为 y x2 (2 x 2) x 2 2 ， 所以切线方程为 即
y 4 2( x 2) y 2x
1 所以法线方程为 y 4 ( x 2) 2 即 2 y x 10 0
3.3函数的单调区间与极值
单调性
函数 y f ( x) 在开区间 J内可导，
f ( x) 0
f ( x)
f ( x) 0
f ( x)
如果
f ( x ) lim x a g ( x )
0 还是 型未定式，且 f ( x ) 与 g ( x ) 0
能满足定理中 f ( x )与 g( x ) 应满足的条件，
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x )

七种未定式的极限解法

七种未定式的极限解法
1.极限的定义法：通过极限的定义来求解未定式的极限，即直接运用极限的定义式进行计算。

2. 夹逼定理：当未定式夹在两个已知的函数之间时，可以运用夹逼定理来求解。

3. 分子有理化：对于未定式中含有根号的情况，可以通过分子有理化的方法来消除根号，然后再利用其他方法求解。

4. 洛必达法则：当未定式中含有形如0/0或者∞/∞的情况时，可以运用洛必达法则来求解。

5. 牛顿-莱布尼茨公式：当未定式中含有带有变量的函数时，可以运用牛顿-莱布尼茨公式来求解。

6. 泰勒展开：当未定式中的函数为三角函数、指数函数等复杂函数时，可以运用泰勒展开来求解。

7. 对数化幂：当未定式中含有幂函数时，可以通过对数化幂的方法来将幂函数化为指数函数，然后再利用其他方法求解。

- 1 -。

洛比达法则

2
2
2
x→
2
6 cos 6 x = 3. = lim π x → 2 cos 2 x
2
0 二、 ⋅ ∞, ∞ − ∞,0 ,1 , ∞ 型未定式
0 0
∞
关键: 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法
1.决的类型： 或 型. 0 ∞
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ −2 x 例9 求 lim x e . ( 0 ⋅ ∞ )
ln(1 + x ) 例3 . (0) 求 lim 2 x →0 x 0 1 解 1 1 + x = lim 原式 = lim =∞ x →0 2 x x → 0 2(1 + x ) x
f ′( x ) 0 ∞ 如果 仍属 、 型，且 f ′( x )、 g ′( x ) 满 g' ( x ) 0 ∞ 足定理的条件， 续使用洛必达法则， 足定理的条件，可以继 续使用洛必达法则，即
6x 6x lim 注意： 注意： 式 中 的 x →1 6 x − 2 已不是未定式，不能 已不是未定式， 上
再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果． 再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果．
注意:在多次使用洛必塔法则时， 注意 在多次使用洛必塔法则时，一定要注 在多次使用洛必塔法则时 意验证是否满足条件． 意验证是否满足条件
1 tan x 6. lim ( ) ； x → +0 x
5. lim
x → +0
x
sin x
；
7. lim (
x → +∞
2
π
arctan x) x .
练习题答案
1.
1 ； 8

高考中的洛必达法则

导数利器——洛必达法则一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。

二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()limx af xg x →=()()limx af x lg x →'='。

法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=；(2)0A∃，f(x)和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且 g'(x)≠0；(3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。

法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。

2.洛必达法则可处理00x a -→，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。

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洛必达法则
主要解决七种待定型的 极限 : 0 , , , 0 , 1 , 00 , 0 0
例1
1 tan x 1 sin x lim x 0 x ln(1 x ) x 2
0 ( 型) 0
tan x sin x 1 lim 2 x 0 x ln(1 x ) x 1 tan x 1 sin x
1 4 2 exp{ lim 16 x } e 1 x 2 x 4
2
例7
1 x2 lim ( x tan ) x x 1 exp[ lim x ( x tan 1)] x x 1 (令 t ) x
2
( 0 型)
tan t t exp[ lim ] 3 t 0 t sec 2 t 1 2 sec t sec t tan t ] exp[ lim exp[ lim ] 2 t 0 6t t 0 3t
例5
x
lim ( x 2
lim
1 2x )x
( 0 型)

1 ln( x 2 2 x ) e x x
ln( x 2 2 x ) exp[ lim ] x x
( 型)
2 x 2 x ln 2 exp[ lim ] 2 x x x 2
所以上述两个无穷小为同阶无穷小。
例4
x
lim
3 x2(
x 2 2 令 t ) x 1 1 1 1 lim ( 2 2 1 ) t t t t 0 t t
lim
t 0
1 t t
(
1 2t 2 1 t 1 ) t t t
1 2 1 2
(1 2t ) (1 t ) 1 2t 2 1 t 1 lim lim 2 2t t 0 t 0 t
1 1 2 (1 2t ) 2 (1 t ) 2 1 2 2 lim 2 t 0 4 3 3
2x ln 2 x ] e ln 2 2 exp[ lim 2 2 x x 1 x 2
2 x x x lim x ln( arctan ) 例 6 lim ( arctan ) x 4 x 4 e
2
x exp{ lim x ln[1 ( arctan 1)]} x 4 x ( arctan 1) 4 } exp{ lim x 1/ x 2
1 x
1 ]x
lim e
x 0
1 (1 x ) x 1 ln x e
1 1 1 (1 x ) lim ln[ ] lim [ ln(1 x ) 1] x0 x x x0 x e
ln(1 x ) x lim x0 x2
1 x
1 1 lim 1 x x0 2x
x lim x 0 2 x (1 x )
1 2
所以当取 A e

1 2
时 , 函数 f (x) 在 x = 0 处连续.
1 tan x (1 cos x ) lim 2 x 0 x[ln(1 x ) x ]
1 1 cos x lim 2 x 0 ln(1 x ) x
0 ( 型) 0
1 1 sin x 1 sin x lim lim (1 x ) 2 2 x 0 x 2 x0 1 1 1 x
2
cos x
整理
1 sin x (1 x 2 ) x cos x lim 2 x 0 x cos x sin x
sin x (1 x ) cos x 1 1 x lim 2 x0 1 sin x cos x 2 x
2
分子、分母 同除 x
sin x 3 ln( e tan x ) sin x 例3 当 x 0 时，比较无穷小量
和 arctan( x sin x ) 的关系。
解
tan 3 x ln( 1 ) sin x 3 sin x ln( e tan x ) sin x e lim lim x 0 x 0 arctan( x sin x ) x sin x tan 3 x 2 3 sin x x 3 x e lim lim lim 6 x 0 1 cos x x 0 x sin x x 0 x sin x
arcsin x sin x 例2 计算 lim x 0 arctan x tan x
1
解 原式 =
1 1 x 2 cos x 1 x lim lim x 0 1 1 x 0 cos 2 x 1 x 2 2 1 x cos 2 x x cosx 1 x2 sin x] [ 2 1 x lim x0 2cosx sin x 2x
1 e3
例 8 求 A 使函数
f ( x)
在 x = 0 处连续
(1 [ e
1 x) x
1 ]x
, x0
x0
A ,
解 要使 f (x) 在 x = 0 处连续 , 只需让 A 满足:
lim f ( x ) f ( 0 ) A
x0
(1 x ) A lim [ x0 e