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洛必达法则一、基本内容洛必达法则：设函数)(x f 和)(x g（1）在0x 的某去心邻域（或M x >||，0>M ）内可导且0)(≠'x g ； （2）当0x x →（或∞→x ）时，)(x f 和)(x g 都趋于零（或都是无穷大）； （3）)()(lim)(0x g x f x x x ''∞→→存在（或为无穷大），则)()(lim )(0x g x f x x x ∞→→存在（或为无穷大），且)()(lim)()(lim)()(00x g x f x g x f x x x x x x ''=∞→→∞→→ 洛必达法则以导数为工具，给出了计算未定式极限的一般方法。
二、学习要求熟练掌握用洛必达法则求未定型极限的方法。
三、基本题型及解题方法 题型1 利用洛必达法则求“00”与“∞∞”型极限 解题方法：在验证了是这两种类型极限后，首先应该想到第一章中提到的各种方法，如约掉零因子，等价无穷小替换等等，然后再结合洛必达法则一起解题。
在应用该法则时要注意，分子分母同时取导数，当取导之后仍为“00”或“∞∞”，可以再次利用洛必达法则，而且当洛必达法则失败时，也不代表极限不存在，要重新研究。
【例1】 求下列极限： （1）22)2(sin ln limx x x -→ππ； （2）xx xx x tan tan lim20-→ （3）ee x x x x -+-→ln 1lim 31； (4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→ 解：（1）所给极限为型，由洛必达法则，有22)2(sin ln limx x x -→ππ)2(4cot lim 2/x xx --=→ππ仍为型，再利用洛必达法则，得 原式81sin 1lim 818csc lim 22/22/-=-=-=→→xx x x ππ （2）所给极限为型，且因为当 0→x 时，x x ~tan ，则 x x x x x tan tan lim 20-→30tan lim xxx x -=→)()(tan lim 30''-=→x x x x 22031sec lim x x x -=→ 31sec lim 316tan sec 2lim 202000==→→x x x x x x 洛必达法则型（3）e e x x x x -+-→ln 1lim 31 )()ln 1(lim 31'-'+-=→e e x x x x xx e x x 13lim 21+=→e4=(4) x x x e x x arctan 1)1ln(lim 0---+→[])arctan (1)1ln(lim 0'-'--+=→x x x e x x2011111lim x x e x x +--+=→111)1(lim 220-+⋅+-=→x x xe x x x 201)1(lim x e x x x +--=→x e x e xx x 2)1(lim 0-+-=→ 212lim 0-=-=→x xe x x题型2 利用洛必达法则求其他未定型极限解题方法：其它未定型极限主要包括∞-∞，∞⋅0，∞1，00 ，0∞，首先要把它们转化为00型或∞∞型，再用洛必达法则求之。
第3章 导数的应用本章介绍导数的一些应用，利用导数求未定式的极限，利用导数研究函数的性态：判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极值、最大值、最小值，并解决实际工作中的一些简单最优化问题。
§3.1 洛必达法则如果当0x x →（或x →∞）时，函数()f x 与()g x 都趋于零或都趋于无穷大，则极限0()lim()x x f x g x →（或()lim ()x f x g x →∞）可能存在，也可能不存在，通常称这种极限为未定式，并分别记为00或∞∞。
例如，极限0sin lim x x x →是00型未定式，极限221lim 23x x x →∞-+是∞∞型未定式。
在第1章中，我们曾计算过这种极限，由于不能直接利用极限运算法则，通常需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则的形式进行计算，这种变形没有一般方法，需视具体问题而定。
下面介绍利用导数计算未定式极限的一般方法——洛必达法则。
一、 00型与∞∞型未定式定理3.1 设函数()f x 、()g x 满足： （1）0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=；（2）在点0x 的某去心邻域内，()f x '及()g x '都存在，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x g x →''存在（或为∞）； 则 ()()=→x g x f x x 0lim()()x g x f x x ''→0lim 。
证明从略.这种在一定条件下通过对分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称 为洛必达法则。
注：（1）在定理3.1中,把“0x x →”换成“x →∞”（或其他情形）时，结论也成立。
（2）定理3.1中的条件(1)，若改为lim x x →)(x f ＝∞, 0lim x x →)(x g ＝∞，则定理仍成立.（3）如果0()lim'()x x f x g x →'仍是00型或∞∞型未定式，并且函数)(x f '、'()g x 满足定理3.1中的条件，则可以继续利用洛必达法则，即有()()limx x f x g x →=0()lim'()x x f x g x →'0''()lim ''()x x f x g x →== . 例1 求0ln(1sin )limx x x →+.解 这是0型未定式,应用洛必达法则,得000cos ln(1sin )cos cos01sin lim lim lim 111sin 1sin 0x x x xx x x x x →→→++====++. 注:上式中的0cos lim 1sin x xx→+已经不是未定式,不能再对它应用洛必达法则,否则会得出错误的结论；事实上，利用初等函数的连续性即可求出它的值。
