2013届高三数学一轮复习课时作业(36)空间几何体的结构及表面积和体积 江苏专版

高考数学一轮复习学案：空间几何体的表面积与体积（含答案）8.2空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积最新考纲考情考向分析了解球.棱柱.棱锥.棱台的表面积和体积的计算公式.本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征.三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.1多面体的表面积.侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱.圆锥.圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧r1r2l3.柱.锥.台.球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体棱柱和圆柱S表面积S侧2S底VSh锥体棱锥和圆锥S表面积S侧S 底V13Sh台体棱台和圆台S表面积S侧S上S下V13S上S下S上S下h球S4R2V43R3知识拓展1与体积有关的几个结论1一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差2底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有关的切.接常用结论1正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R3a；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2R2a.2若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2Ra2b2c2.3正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1多面体的表面积等于各个面的面积之和2锥体的体积等于底面积与高之积3球的体积之比等于半径比的平方4简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差5长方体既有外接球又有内切球6圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.题组二教材改编2P27T1已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为A1cmB2cmC3cmD.32cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P28A组T3如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________答案147解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1131212a12b12c148abc，剩下的几何体的体积V2abc148abc4748abc，所以V1V2147.题组三易错自纠4xx西安一中月考一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A3B4C24D34答案D解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示表面积为22212121243.5xx全国体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A12B.323C8D4答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4R22R212，故选A.6xx大连调研如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________答案11解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥132383，V半球124323163，所以V剩余V半球V圆锥83，故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.题型一求空间几何体的表面积1xx全国如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是A17B18C20D28答案A解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球被过球心O 且互相垂直的三个平面切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和由43R31843R3283，得球的半径R2.则得S784223142217，故选A.2xx黑龙江哈师大附中一模已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.73B.172C13D.173102答案C解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示则CC平面ABC，上.下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB2，AB22.棱台的上底面面积为121112，下底面面积为12222，梯形ACCA的面积为121223，梯形BCCB的面积为121223，过A作ADAC 于点D，过D作DEAB，则ADCC2，DE为ABC斜边高的12，DE22，AEAD2DE232，梯形ABBA的面积为122223292，几何体的表面积S122339213，故选C.思维升华空间几何体表面积的求法1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积命题点1以三视图为背景的几何体的体积典例xx浙江某几何体的三视图如图所示单位cm，则该几何体的体积单位cm3是A.21B.23C.321D.323答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，该几何体体积为V1312123131222321.命题点2求简单几何体的体积典例xx广州调研已知E，F 分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为________答案16a3解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高因为B1O1HB1DD1，所以O1HB1O1DD1B1D66a.所以11CBEDFV131BEDFS四边形O1H1312EFB1DO1H13122a3a66a16a3.方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D12a.由题意得，11111CBEDFBCEFDCEFVVV四棱锥三棱锥三棱锥131CEFSh1h216a3.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体.锥体或台体，则可直接利用公式进行求解2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法.分割法.补形法等方法进行求解3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解跟踪训练1xx新乡二模已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323B.163C.83D.43答案C解析该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，VV柱V锥1211121312111283，故选C.2如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为A.23B.33C.43D.32答案A解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF12，AGGDBHHC32，取AD 的中点O，连接GO，易得GO22，SAGDSBHC1222124，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC132412224123.故选A.题型三与球有关的切.接问题典例xx全国在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V 的最大值是A4D.323答案B解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为92.引申探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球体对角线BC1的长为球O的直径因此2R324212213.故S球4R2169.2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积解如图，设球心为O，半径为r，则在RtAOF中，4r222r2，解得r94，则球O的体积V球43r34394324316.思维升华空间几何体与球接.切问题的求解方法1求解球与棱柱.棱锥的接.切问题时，一般过球心及接.切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接.切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解2若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解跟踪训练xx深圳调研如图所示，在平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为C.23D2答案A解析如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为ABAD，所以AEBD.由于平面ABD平面BCD，所以AE平面BCD.因为ABADCD1，BD2，所以AE22，EO12.所以OA32.在RtBDC中，OBOCOD12BC32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，半径为32.所以该球的体积V4332332.三视图基本的.和球联系的考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积.体积等知识，所涉及的几何体既包括柱.锥.台.球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体典例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于A.1603B160C64322D60解析由题意知该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，故V四棱锥13164643，故该几何体的体积VV直三棱柱V四棱锥326431603，故选A.答案A典例2某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为________解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，高为32，所以该组合体的体积V131221321144313343.答案343。

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设点O为AB的中点，连接OP，OC，由三视图知OP⊥平面ABC，且OP=1，△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AC=，BC=1，由勾股定理得AB==2，由于点O为斜边AB的中点，所以OC=2(1)AB=1，所以OA=OB=OC=OP=1，则点O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，所以三棱锥P-ABC外接球的半径长为1，其表面积为4π×12=4π，故选B。

7.某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________。

9.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为________。

【答案】：18【解析】：如图所示，因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以三棱锥P-ABC的外接球就是以PA，PB，PC为棱长的长方体的外接球。

10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体侧面积S。

11.一个几何体的三视图如图所示。

已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形。

(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S。

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第2讲 空间几何体的表面积与体积A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )．A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3. 答案 D2．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A.92π＋12 B.92π＋18C ．9π＋42D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18. 答案 B3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )．A ．48B ．64C ．80D ．120解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△P AB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △P AB ＝4×12×8×5＝80(cm 2)． 答案 C4．(2012·新课标全国)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )．A.26B.36C.23D.22解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝12SA＝32，则△ABD的面积为12×1×AD2－⎝⎛⎭⎪⎫122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于________．解析将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC 为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.答案4π6．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.解析由三视图可知，该几何体是组合体，上面是长、宽、高分别是6,3,1的长方体，下面是两个半径均为32的球，其体积为6×3×1＋2×43×π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝18＋9π(m3)．答案18＋9π三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解 (1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)， 体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10 (cm 3)．8．(13分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，求CP ＋P A 1的最小值． 解 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示．计算A 1B ＝AB 1＝40，BC 1＝2，又A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．CP ＋P A 1≥A 1C .在△AC 1C 中，由余弦定理，得 A 1C ＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52， 故(CP ＋P A 1)min ＝5 2.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2cm 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋π2cm 2 解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝94＋π2.答案 C2．(2013·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )．A.312 B.34 C.612D.64解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．解析借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4 3.答案12＋4 34．(2012·长春二模)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．解析设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的16，即为 3.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为33，由勾股定理可知，截面圆的半径为(33)2－(3)2＝26，圆锥底面面积为S1＝π·(26)2＝24π，圆锥的母线即为球的半径33，圆锥的侧面积为S2＝π×26×33＝182π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝182π＋24π＝(182＋24)π.答案(182＋24)π三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解 由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.6．(13分)如图(a)，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图(b)所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2， ∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为42 3.。

§8.1 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积第2讲 空间几何体的表面积和体积A 级 基础达标1.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1 C.2∶3D ．3∶22.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺D.48丈6尺3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16B.12C.23D.134．正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A.4π B ．8π C ．12π D ．16π5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．106.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋5 7.某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.207B.216－9π2C.216－36πD.216－18π8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．9.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________．B 级 知能提升1.如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是( )A.113B.83C.163D.2232.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋ 5B.4＋5C.2＋2 5D.53.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________．4.如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.求此几何体的体积．5.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于两底面面积之和，求棱台的体积．——★参考答案★——A级基础达标1.『答案』A『解析』 根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.故选A. 2. 『答案』 B『解析』 设圆柱底面圆半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，则圆柱底面圆周长约为5丈4尺．故选B. 3.『答案』 D『解析』 由三视图，可得原图如图所示，即为底面是平行四边形的四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＝13.故选D.4．『答案』 B『解析』 由正弦定理得3sin60°＝2r (其中r 为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r ＝1，∴外接球的半径R ＝12＋12＝2，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选B. 5.『答案』 D『解析』 由三视图画出如图所示的三棱锥P －ACD ，过点P 作PB ⊥平面ACD 于点B ，连接BA ，BD ，BC ，根据三视图可知底面ABCD 是矩形，AD ＝5，CD ＝3，PB ＝4，所以V 三棱锥P －ACD＝13×12×3×5×4＝10.故选D.6.『答案』 C『解析』 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2.又PB ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BD ，PB ⊥AB ，∴PD ＝22＋1＝5，P A ＝2＋12＝3， 从而有P A 2＋DA 2＝PD 2，∴P A ⊥DA ，∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.故选C.7.『答案』 B『解析』 由已知三视图知该几何体为一个棱长为6的正方体，切去一个底面半径为3，高为6的14圆锥．其体积V ＝63－13×14×π×32×6＝216－9π2.故选B.8．『答案』 32『解析』 设球O 的半径为R ，∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，圆柱O 1O 2的底面半径为R . ∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32. 9.『答案』 2(π＋3)『解析』 由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3). 10.『答案』1603『解析』 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥，如图所示，故该几何体的体积为12×4×4×8－13×12×4×4×4＝64－323＝1603.B 级 知能提升1.『答案』 D『解析』 根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P －ABC 剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－13×12×1×2×2＝223.故选D.2.『答案』 C『解析』 由三视图分析知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC )，如图，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C. 3.『答案』 36π『解析』 如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则 OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S －ABC 的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π. 4.解：解法一：如图，取CM ＝AN ＝BD ，连接DM ，MN ，DN ，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥． 则V 几何体＝V 三棱柱＋V 四棱锥．由题知三棱柱ABC －NDM 的体积为V 1＝12×8×6×3＝72.四棱锥D －MNEF 的体积为：V 2＝13×S 梯形MNEF ×DN ＝13×12×(1＋2)×6×8＝24，则几何体的体积为：V ＝V 1＋V 2＝72＋24＝96.解法二：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8， 所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.5. 解：如图所示，在三棱台ABC －A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，又A ′B ′＝20 cm ，AB ＝30 cm ， 所以S 侧＝3×12×(20＋30)×DD ′＝75DD ′.S 上＋S 下＝34×(202＋302)＝3253(cm 2)． 由S 侧＝S 上＋S 下，得75DD ′＝3253， 所以DD ′＝1333cm ， 又因为O ′D ′＝36×20＝1033(cm)， OD ＝36×30＝53(cm)， 所以棱台的高h ＝O ′O ＝D ′D 2－(OD －O ′D ′)2＝⎝⎛⎭⎫13332－⎝⎛⎭⎫53－10332＝43(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V ＝h 3(S 上＋S 下＋S 上S 下)＝433×⎝⎛⎭⎫3253＋34×20×30＝1900(cm 3)．故棱台的体积为1900 cm 3.。

空间几何体的结构及其表面积、体积1．下列说法中正确的是()A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．163πB．323πC．16πD．24π3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A．1＋ 2 B．1＋2 2C．2＋ 2 D．2＋2 24．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．32 B．32πC．16πD．8π5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB 的中点，则三棱锥B1-BFE的体积为()A.13B．14C.112D．166．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB．(1＋2)πC．22πD．(2＋2)π7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A． 3 B．3 2C．1 D．3 28.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为()A．23B．33C．43D．329.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．10．(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．11．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm3的球挖去一个三棱锥P-ABC后得到的几何体，其中P A⊥AB，BC⊥平面P AB，BC＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________．能力提高1．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B．36C.23D．222．(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为4 3D．球O的内接正四面体的棱长为2空间几何体的结构及其表面积、体积1．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案] D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163π B ．323π C ．16πD ．24πB [设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝16π，解得R ＝2，则球的体积V ＝43πR 3＝323π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1＋ 2B ．1＋2 2C ．2＋ 2D ．2＋2 2C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×12×1×1＋2×12×2×1＝2＋2，故选C.]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]5.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥B 1-BFE 的体积为( )A.13 B ．14 C.112D ．16C [由等体积法可知V B 1-BFE ＝V E -BFB 1＝13S △BB 1F ·AD ＝16×1×12×1＝112.故选C.] 6．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )A.2π B ．(1＋2)π C ．22πD ．(2＋2)πAB [若以直角边所在直线为旋转轴，得到一个底面半径为1、高为1的圆锥，其表面积为π×1＋π×1×2＝(1＋2)π；若以斜边所在直线为旋转轴，得到两个底面半径为22、高为22的圆锥所形成的组合体，其表面积为2×π×22×1＝2π.故选AB.]7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A ． 3B ．32 C ．1D ．32C [由等边三角形ABC 的面积为934，得34×AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝ 3.设球的半径为R ，则由球的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C.]8.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A ．23B ．33C ．43D ．32A [(分割法)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12， AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E -ADG ＋V 三棱锥F -BCH ＋V 三棱柱AGD -BHC ＝2V 三棱锥E -ADG ＋V 三棱柱AGD -BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.]9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．2＋22 [如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .图①图②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝2 2.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝22＋1.由此可还原原图形如图②.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝2 2＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝12(A′D′＋B′C′)×A′B′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.]10．(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．61π[截面图如图所示，底面半径为5，圆周直径为10，则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝π2，则圆台的高为3，V＝13h(S1＋S1S2＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.]11．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm3的球挖去一个三棱锥P-ABC后得到的几何体，其中P A⊥AB，BC⊥平面P AB，BC＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.3[设球的半径为R，由球的体积4π3R3＝17176π，解得R＝172cm.因为BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥P A.因为P A⊥AB，AB∩BC＝B，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AC.由BC⊥AB可知，AC为截面圆的直径，故可设AC＝x cm(1＜x＜17)，取PC 的中点O ，连接OA ，OB (图略)，则PO ＝OC ＝OA ＝OB ，故O 为球心，所以PC ＝17cm.在Rt △P AC 中，P A ＝17－x 2 cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝x 2－1 cm ， 所以V P -ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×x 2－1×1×17－x 2＝16(x 2－1)(17－x 2)≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋17－x 222＝43(cm 3)，当且仅当x 2－1＝17－x 2，即x ＝3时，等号成立． 所以当用料最省时，AC ＝3 cm.]12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB 为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A 出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B 点后再沿侧面回到A 点，则该质点运动路径的最短长度为________．22π36 [该圆锥的高h ＝32－1＝2 2. 所以该圆锥的体积V ＝13×π×12×22＝223π. 将圆锥侧面沿母线SA 展开，如图所示．因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA ′＝2π3. 由题意知点B 是侧面展开后得到的扇形中弧AA ′的中点， 连接AB ，A ′B ，SB ，则∠ASB ＝π3，可得AB ＝A ′B ＝AS ＝3. 所以该质点运动路径的最短长度为AB ＋A ′B ＝6.]能力提高1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22A [由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍． 在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26.]2．(多选)已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，AB ＝BC ＝CA ＝2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( )A ．球O 的表面积为6πB ．球O 的内接正方体的棱长为1C ．球O 的外切正方体的棱长为43 D ．球O 的内接正四面体的棱长为2AD [设球O 的半径为r ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，半径为R .易得R ＝233.因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以r 2－19r 2＝43，得r 2＝32.所以球O 的表面积S ＝4πr 2＝4π×32＝6π，选项A 正确；球O 的内接正方体的棱长a 满足3a ＝2r ，显然选项B 不正确；球O 的外切正方体的棱长b 满足b ＝2r ，显然选项C 不正确；球O 的内接正四面体的棱长c 满足c ＝263r ＝263×62＝2，选项D 正确．故选AD.]。

二项分布与超几何分布辨析山东 韩文文二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........第2讲空间几何体的表面积与体积【2013年高考会这样考】考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．基础梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积2.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图．(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()．A．4πS B．2πSC．πS D.23 3πS解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π，又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS.答案 A2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()．A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为(2a)2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2.答案 B3．(2011·北京)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积 中最大的是( )． A ．8 B ．6 2 C ．10D ．8 2解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.答案 C4．(2011·湖南)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )． A.92π＋12 B.92π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18.答案 B5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 解析 V ＝4π3R 3＝43π，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝4π·3＝12π. 答案 12π考向一 几何体的表面积【例1】►(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )． A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817D ．80[审题视点] 由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．解析 换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817. 答案 C以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．A. 3 B．2C．2 3 D．6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.答案 D考向二几何体的体积【例2】►(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3[审题视点] 根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝9 3.答案 C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【训练2】(2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()．A.283π B.163πC.43π＋8 D．12 π解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋4 3π＝28 3π.答案 A考向三几何体的展开与折叠【例3】►(2012·广州模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体DABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体DABC 的体积．[审题视点] (1)利用线面垂直的判定定理，证明BC 垂直于平面ACD 内的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ，又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥BACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V BACD ＝ 13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体DABC 的体积为423.(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练3】 已知在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图 所示，则CP ＋P A 1的最小值为________． 解析 P A 1在平面A 1BC 1内，PC 在平面BCC 1内，将其铺平后＝40，BC 1＝2，又转化为平面上的问题解决．计算A 1B ＝AB 1A 1C 1＝6，故△A 1BC 1是∠A 1C 1B ＝90°的直角三角形．铺平平面A 1BC 1、平面BCC 1，如图所示． CP ＋P A 1≥A 1C .在△AC 1C 中，由余弦定理得A 1C ＝62＋(2)2－2·6·2·cos 135°＝50＝52，故(CP ＋P A 1)min ＝5 2.答案 5 2难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．【示例1】► (2010·安徽)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )．A ．280B ．292C ．360D ．372【示例2】► (2011·全国新课标)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．。

8.1 空间几何体及其表面积、体积一、填空题1．下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)． 答案 ②④2．在三棱锥S ­ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S ­ABC 的表面积是________．解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×12×a 2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋ 33．给出下列四个命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 其中正确命题的个数为________个．解析 ①错误，如图(1)，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．②错误，如图(2)(3)所示，若△ABC 不是直角三角形，或如果是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．③错误，若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．④正确． 答案 14．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案265．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余的酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系有下列四种表述： ①h 2＞h 1＞h 4②h 1＞h 2＞h 4③h 3＞h 2＞h 4④h 2＞h 4＞h1其中表述一定正确的是________．解析 本题若用公式推导将费时费力，只要把握住所剩酒为原来的一半以及酒杯的形状，h 4为原来高度的一半应最小，第二个杯子为圆锥形，液面高度应该最高，故只有①正确． 答案 ①6．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm ，已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．解析 卫生纸总长度为π2－2020.1≈3.14×32 000＝100 480(mm)≈100(m)．答案 1007．如图，一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h 1、h 2、h ，则h 1∶h 2∶h ＝________.解析 如图，设三棱锥P ­ABE 的各棱长为a ，则四棱锥P ­ABCD 的各棱长也为a ，于是h 1＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫22a 2＝22a ， h 2＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫32a ×232＝63a ＝h ，∴h 1∶h 2∶h ＝3∶2∶2. 答案3∶2∶28．如图，已知正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm.解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 139．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为________．解析 设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则4(x ＋y ＋z )＝24， 且2xy ＋2yz ＋2xz ＝11.则x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－2xy －2yz －2xz ＝36－11＝25，从而对角线长为5. 答案 510．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3.答案311．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l 旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是________(填序号)．①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体；②该组合体仍然关于轴l 对称；③该组合体中的圆锥和球只有一个公共点；④该组合体中的球和半球只有一个公共点． 解析 半圆绕l 旋转后，可得半球，故组合体中只有一个球，所以①不正确，其余都正确． 答案 ①12．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是平面ABCD 内的一个动点，且满足PM ＝2，P 到直线A 1D 1的距离为5，则点P 的轨迹是________．解析 由PM ＝2，知点P 在以M 为圆心，2为半径的圆上．又由P 到直线A 1D 1的距离为5，知点P 在与BC 平行且过AB 中点的直线上，故点P 的轨迹是它们的交点，即为两点．答案 两个点13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行； ④当E ∈AA 1时，AE ＋BF 是定值． 其中所有正确的命题的序号是________．解析 观察图形并试验可知①正确，②不正确；③正确．④中AE ＝B 1F ，BF ＝A 1E ，所以AE ＋BF ＝AA 1为定值，故正确命题是①③④. 答案 ①③④ 二、解答题14．直平行六面体的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面的面积是Q 1和Q 2，求它的侧面积．解析 如图，设直平行六面体A 1C 的底面菱形边长为a ，侧棱长为l ，A 1C 是直平行六面体⇒A 1ACC 1、B 1BDD 1是矩形，∴Q 1＝l ·AC ⇒AC ＝Q 1l .同理BD ＝Q 2l ，又底面是菱形⇒a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＝Q 21＋Q 224l 2⇒2a ·l ＝Q 21＋Q 22，S 侧＝4al ＝2Q 21＋Q 22.15．给出一块边长为2的正三角形纸片，把它折成一个侧棱长与底面边长都相等的三棱锥，并使它的全面积与原三角形面积相等，设计一种折叠方法，用虚线标在图中，并求该三棱锥的体积．解析 取等边三角形三边的中点A 、B 、C ，连结AB 、BC 、CA 得正三角形的三条中位线，以中位线为折线折起三角形，使三角形三顶点重合，则得侧棱长与底面边长都等于1的三棱锥S ­ABC ，作SO ⊥平面ABC ，连结并延长CO 交AB 于E ，则E 是AB 的中点，连结SE .因为O 是△ABC 的内心， 所以OC ＝23CE ＝23×32＝33在Rt △SOC 中，SC ＝1，SO ＝SC 2－OC 2＝1－13＝63， 故V S ­ABC ＝13S △ABC ×SO ＝13×12CE ×AB ×SO＝16×32×1×63＝212. 16．在四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a . (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积．解析 (1)如图，在四面体ABCD 中，设AB ＝BC ＝CD ＝AC ＝BD ＝a ，AD ＝x ，取AD 的中点为P ，BC 的中点为E ，连接BP 、EP 、CP .得到AD ⊥平面BPC ， ∴V ABCD ＝V ABPC ＋V DBPC＝13·S △BPC ·AP ＋13S △BPC ·PD＝13·S △BPC ·AD ＝13·12·a a 2－x 24－a 24·x＝a12a 2－x 2x 2≤a12·3a 22＝18a 3(当且仅当x ＝62a 时取等号)． ∴该四面体的体积的最大值为18a 3.(2)由(1)知，△ABC 和△BCD 都是边长为a 的正三角形，△ABD 和△ACD 是全等的等腰三角形，其腰长为a ，底边长为62a ，∴S 表＝2×34a 2＋2×12×62a × a 2－⎝⎛⎭⎪⎫64a 2＝32a 2＋62a ×10a 4＝32a 2＋15a 24 ＝23＋154a 2.17．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长． 解析 利用三角形相似比，由底面积之比为1∶16.可设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r 、4r . 根据相似三角形的性质得33＋l ＝r4r，解得l ＝9.所以，圆台的母线长为9 cm.18．一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥中，求正方体的棱长．解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm ，则OC ＝22x ，∴22x 30＝40－x40，解得x ＝120(3－22)，∴正方体的棱长为120(3－22) cm.。

课时规范练33基本立体图形及空间几何体的表面积和体积基础巩固组1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是()2.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C'，其中，若原平面图形OABC的面积为3√2，则O'A'的长为()梯形的上底长是下底长的13A.2B.√2C.√3D.323.如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R=√5，扇形弧长l=4π，则该圆锥的表面积为()A.2πB.(4+2√5)πC.(3+√5)πD.8π+√54.(2021湖北十堰二模)已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是()A.2πB.4πC.8πD.12π5.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为()A.√2π3B.√3π3C.4π3D.2π6.(2021北京，8)定义:24小时内降水在平地上积水厚度(单位:mm)来判断降雨程度.其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm—25 mm)，大雨(25 mm—50 mm)，暴雨(50 mm—100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨7.下列四个论断不正确的是()A.过圆锥两母线的截面面积中，最大的不一定是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体，体积较大的是球体8.(2021山东淄博一模)已知某圆锥底面圆的半径r=1，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.9.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，侧面积为4√3，则该棱锥的体积为.综合提升组10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶211.用长度分别是2，3，5，6，9(单位:cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的对应长方体的最大表面积为()A.258 cm2B.414 cm2C.416 cm2D.418 cm212.(2021广东汕尾模拟)如图，一个圆锥形物体的母线长为6，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为6√2，则该圆锥形物体的底面半径为.13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=14，BC=5，AA1=4，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=2.(1)求直线CF与C1E所成角的余弦值;(2)过点E，F的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，求平面α把该长方体分成的较小部分与较大部分的体积的比值.创新应用组14.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20√3厘米，关于此斗笠，下面说法错误的是()A.分笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120°B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100√3平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1 600π平方厘米D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为(20√3-30)厘米15.(2021八省联考模拟卷)用曲率刻画空间弯曲性，规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π，故其总曲率为4π.(1)求四棱锥的总曲率;(2)若多面体满足:顶点数-棱数+面数=2，证明:这类多面体的总曲率是常数.课时规范练33 基本立体图形及空间几何体的表面积和体积1.A 解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A 中的平面图形旋转形成的.故选A .2.D 解析:设O'A'=x ，则O'B'=√2x ，在原图形中OB=2O'B'=2√2x ，BC=B'C'=x3，OA=O'A'=x ，OB 为原图形中梯形的高，面积为S=12×x+13x ×2√2x=3√2，解得x=32，故选D .3.B 解析:设圆锥底面圆半径为r ，则2πr=4π，解得r=2.圆锥的表面积S 表=S 底面圆+S 侧=πr 2+12lR=π×22+12×4π×√5=(4+2√5)π. 故选B .4.A 解析:设该圆柱的底面圆半径为r ，则圆柱的高(母线)为h ，而圆柱的轴截面是正方形，则h=2r ，圆柱侧面积为2πrh=4π，即4πr 2=4π，解得r=1，h=2，故该圆柱的体积是πr 2h=2π. 故选A .5.A 解析:设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2πr=2π3×3，所以r=1，则h=√32-12=2√2. 设内切球的半径为R ，则R2√2-R=13，所以R=√22，所以V=4π3R 3=4π3×√223=√2π3.故选A .6.B 解析:由题可知，圆锥内积水的高度是圆锥高度的一半，则圆锥内积水部分的半径为r=12×12×200=50(mm)，h=12×300=150(mm).所以由定义可得，积水厚度d=13π×502×150π×1002=12.5(mm)，属于中雨.故选B .7.B 解析:由于圆锥母线长度都相等由于圆锥母线长度都相等，设两母线的夹角为θ，母线长为2，则过圆锥两母线的截面面积为12×2×2sin θ=2sin θ，当轴截面两母线的夹角θ=150°时，轴截面的面积为2sin150°=1，此时可以找到一个两母线的夹角θ=90°不是轴截面的截面，其面积为2sin90°=2，故A 正确;当已知直线垂直于已知平面时，过已知直线的所有平面都垂直于已知平面，故B 错误;由于棱柱和圆柱的体积都是底面积乘高，则等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等，故C 正确;设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则S=4πR 2=6a 2，球的体积为V 1=43×πR 3=S 3×√S4π，正方体的体积为V 2=a 3=S 6×√S6，所以V 1>V 2，故D 正确.故选B . 8.√3π3解析:∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的底面周长为2π，即侧面展开图半圆的弧长是2π，则半圆的半径，即圆锥的母线为2. 圆锥的高为√22-12=√3. ∴圆锥的体积V=13π×12×√3=√3π3. 9.4√23解析:设正四棱锥底面边长为2a ，且正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则四棱锥的高为√2a.又正四棱锥的侧面积为4√3，所以每个侧面的面积为√3. 则12×2a ×√3a=√3，解得a=1.即正四棱锥的高为√2，故该棱锥的体积为13×22×√2=4√23. 10.D 解析:依题意圆柱的底面半径为R ，则圆柱的高为2R ，故圆柱的体积为πR 2×2R=2πR 3，故A 错误;由题可得，圆锥的母线长为√5R ，圆锥的侧面积为πR ×√5R=√5πR 2，故B 错误; ∵圆柱的侧面积为4πR 2，圆锥表面积为√5πR 2+πR 2，故C 错误; ∴V 圆柱=πR 2·2R=2πR 3，V 圆锥=13πR 2·2R=23πR 3，V 球=43πR 3，∴V 圆柱∶V 圆锥∶V 球=2πR 3∶23πR 3∶43πR 3=3∶1∶2，故D 正确.故选D .11.C 解析:设长方体的三条棱的长度为a ，b ，c ， 所以长方体表面积S=2(ab+bc+ac )≤(a+b)22+(b+c)22+(a+c)22，当且仅当a=b=c 时取等号又由题意可知a=b=c 不可能成立，所以当a ，b ，c 的长度最接近时，此时对应的表面积最大，此时三边长分别为8cm ，8cm ，9cm ， 用2cm 和6cm 连接在一起形成8cm ，用3cm 和5cm 连接在一起形成8cm ，剩余一条棱长为9cm ， 所以最大表面积为2×(8×8+8×9+8×9)=416(cm 2).故选C .12.32解析:圆锥侧面展开图为扇形POP'，如图.由题知，OP=OP'=6，小虫爬行的最短路程为线段PP'，即PP'=6√2.显然有OP2+OP'2=72=PP'2，即∠POP'=π2.设圆锥底面圆半径为r，则有2πr=6×π2=3π，解得r=32.即圆锥形物体的底面半径为32.13.解(1)连接EF，EB，BC1，长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=D1F=2，且A1E∥D1F，所以四边形A1EFD1是平行四边形，所以A1D1与EF平行且相等，所以EF与BC平行且相等，所以四边形EFCB为平行四边形，所以FC∥BE，直线CF与C1E所成角就是∠C1EB或其补角，C1E=√EF2+FC12=13，EB=√EB12+BB12=4√10，C1B=√B1B2+B1C12=√41，在△C1EB中，由余弦定理，cos∠C1EB=C1E 2+EB2-C1B22C1E·EB =2×13×4√10=18√1065，所以直线CF与C1E所成角的余弦值为18√1065.(2)设过点E，F的平面α与此长方体的表面相交，交线围成一个正方形，即正方形EFNM，则EM=5，作EP⊥AB于点P，作FQ⊥DC于点Q，所以PM=3，所以点M在点P的右侧，平面α把该长方体分成的两部分为直棱柱AMEA1-DNFD1和直棱柱EMBB1-FNCC1，两个直棱柱的高相等，两部分体积之比为V AMEA 1-DNFD 1VEMBB 1-FNCC 1=AM+A 1E2·AA 1·AD MB+B 1E2·AA 1·BC=721=13.14.B 解析:对于A ，作出图形如图所示，PO=√202-(10√3)2=√400−300=10， 所以sin ∠APO=AO AP=10√320=√32， 因为0°<∠APO<90°，故∠APO=60°，所以∠APB=120°，故选项A 正确;对于B ，设∠APB=θ，截面三角形面积为S=12·PA 2·sin θ=200sin θ≤200，故选项B 不正确; 对于C ，设外接球球心为M ，半径为R ，所以MA=MP=R ， 在△AOM 中，由勾股定理可得300+(R-10)2=R 2，解得R=20， 所以该球的表面积S=4π×202=1600π，故选项C 正确;对于D ，设球心为O'，截面主视图如图所示，设内切圆半径为r ，△ABP 各边长分别为PA=PB=20，AB=20√3，所以12×(20+20+20√3)r=12×20√3×10， 解得r=20√3-30，故选项D 正确.故选B .15.(1)解由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知，四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为2π×5-(4π+2π)=4π.(2)证明设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，所以有n-l+m=2.设第i个面的棱数为x i，所以x1+x2+…+x m=2l，所以总曲率为2πn-π[(x1-2)+(x2-2)+…+(x m-2)]=2πn-π(2l-2m)=2π(n-l+m)=4π，所以这类多面体的总曲率是常数.11。

第2讲 空间几何体的表面积和体积1．(2012年广东)某几何体的三视图如图K13-2-1，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π图K13-2-1 图K13-2-22. (2013年广东)某四棱台的三视图如图K13-2-2所示，则该四棱台的体积是( )A ．4 B.143 C.163D ．63．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图K13-2-3)，则球的半径是__________cm.图K13-2-34．(2012年天津)一个几何体的三视图如图K13-2-4(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.K13-2-45．(2011年全国)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球的球O 面上，且AB ＝6，BC ＝2 3，则棱锥O －ABCD 的体积为________．6．(2012年辽宁)一个几何体的三视图如图K13-2-5，则该几何体的体积为______________．图K13-2-5 图K13-2-67．(2012年上海)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．8．(2012年山东)如图K13-2-6，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为__________．9．如图K13-2-7，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且tan θ＝32.(1)证明：平面ACD ⊥平面ADE ；(2)记AC ＝x ，V (x )表示三棱锥A －CBE 的体积，求V (x )的表达式．图K13-2-710．(2012年湖北)某个实心零部件的形状是如图K13-2-8所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？图K13-2-8第2讲 空间几何体的表面积和体积1．C 2.B3．4 解析：设球的半径为r ，则由3V 球＋V 水＝V 柱，可得3×43·πr 3＋πr 2×8＝πr 2×6r ，解得r ＝4.4．18＋9π 解析：根据三视图可知，这是一个上面为长方体，下面有两个直径为3的球构成的组合体，两个球的体积为2×43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π，长方体的体积为1×3×6＝18，所以该几何体的体积为18＋9π.5．8 3 解析：设ABCD 所在的截面圆的圆心为M ，则AM ＝12(2 3)2＋62＝2 3，OM ＝42－(2 3)2＝2，V O －ABCD ＝13×6×2 3×2＝8 3.6．12＋π 解析：由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面直径为2，高为1，所以该几何体的体积为3×4×1＋π×12×1＝12＋π.7.33π 解析：因为半圆面的面积为12πl 2＝2π，所以l ＝2，即圆锥的母线l ＝2.底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，所以底面半径r ＝1，所以圆锥的高h ＝l 2－r 2＝ 3.所以圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×1×3＝33π.8.16 解析：方法一：因为点E 在线段AA 1上，所以1DED S ∆＝12×1×1＝12.又因为点F 在线段B 1C 上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以1D EDF V -＝1F DED V -＝13×1DED S ∆×h ＝13×12×1＝16.方法二：使用特殊点进行求解．不失一般性，令点E 在点A 处，点F 在点C 处，则1D EDF V -＝1D ADC V -＝13×S △ADC ×DD 1＝13×12×1×1×1＝16.9．(1)证明：∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC . ∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC . ∵DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACD . ∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD .又∵DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . (2)解：∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .∴∠EAB 为AE 与平面ABC 所成的角，即∠EAB ＝θ.在Rt △ABE 中，由tan θ＝BE AB ＝32，AB ＝2，得BE ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0<x <2)，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x 4－x 2.∴V (x )＝V A －CBE ＝V E －ABC ＝13S △ABC ·BE＝36x 4－x 2(0<x <2)． 10．(1)证明：因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的侧面是全等的矩形，所以AA 2⊥AB ，AA 2⊥AD .又因为AB ∩AD ＝A ，所以AA 2⊥平面ABCD .连接BD ，如图D91，因为BD ⊂平面ABCD ，所以AA 2⊥BD . 因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD . 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面． 又已知平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面BB 1D 1D ∩平面ABCD ＝BD ，平面BB 1D 1D ∩A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥BD . 于是由AA 2⊥BD ，AC ⊥BD ，B 1D 1∥BD ， 可得AA 2⊥B 1D 1，AC ⊥B 1D 1，又因为AA 2∩AC ＝A ，所以B 1D 1⊥平面ACC 2A 2.图D91(2)解：因为四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， 所以S 1＝2222A B C D S 正方形＋S 四个侧面＝(A 2B 2)2＋4AB ·AA 2＝102＋4×10×30＝1300(平方厘米)．又因为四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以S 2＝1111A B C D S 正方形＋S 四个侧面梯形＝(A 1B 1)2＋4×12(AB ＋A 1B 1)·h 等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋20)·132－⎣⎡⎦⎤12(20－10)2 ＝1120(平方厘米)．于是该实心零部件的表面积为S ＝S 1＋S 2＝1300＋1120＝2420(平方厘米)． 故所需加工处理费为0.2S ＝0.2×2420＝484(元)．。

高三数学空间几何体的表面积与体积试题答案及解析1.如图, 四棱柱的底面ABCD是正方形, O为底面中心, ⊥平面ABCD,．（1）证明: // 平面;（2）求三棱柱的体积．【答案】（1）证明详见解析；（2）体积为1.【解析】本题主要考查线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，由图象可得到，，，所以得到四边形为平行四边形，所以，利用面面平行的判定得证；第二问，由面ABCD，所以得到是三棱柱的高，利用体积转化法，得到三棱柱的体积.试题解析：（1）设线段的中点为，∵BD和是的对应棱，∴，同理，∵AO和是棱柱的对应线段，∴，且，且四边形为平行四边形且，面面.（2）∵面ABCD，∴是三棱柱的高，在正方形ABCD中，，在中，，，所以，.【考点】线线平行、面面平行、线面垂直、柱体的体积.2.（正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为________．【答案】.【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，∴正方体的外接球的体积V=．【考点】１．球的体积；２．球内接多面体．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD且EF＝BD．(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)求几何体ABCDEF的体积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2【解析】(1)利用线线平行，推证线面平行；(2)利用一个面内一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直，证明面面垂直；(3)将不规则几何体转化为主题或椎体的体积求解．试题解析：(1)证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵面ACE，面ACE，∴BF∥平面ACE；(2)证明：∵ED⊥平面ABCD，平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；(3)解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴题型BDEF的面积为，由(1)知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积VABCDEF ＝2VA－BDEF＝2×S BDEF·AO＝．【考点】空间直线与平面位置关系，几何体的体积4.如图，多面体的直观图及三视图如图所示，分别为的中点．（1）求证：平面；(2）求多面体的体积．【答案】（1）证明：见解析；（2）多面体的体积．【解析】（1）由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，由三角形中位线定理得，得证.（2）利用平面，得到,再据⊥，得到⊥平面，从而可得：四边形是矩形,且侧面⊥平面. 取的中点得到,且平面．利用体积公式计算.所以多面体的体积． 12分试题解析：（1）证明：由多面体的三视图知，三棱柱中,底面是等腰直角三角形，，平面,侧面都是边长为的正方形．连结，则是的中点，在△中，，且平面，平面，∴∥平面． 6分（2）因为平面，平面,,又⊥，所以，⊥平面，∴四边形是矩形,且侧面⊥平面 8分取的中点,,且平面． 10分所以多面体的体积． 12分【考点】三视图，平行关系，垂直关系，几何体的体积.5.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如下图所示，连接，因为是正三角形，且为中点，则，又因为面，故，且，所以面，所以是三棱锥的高，所以．【考点】1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.棱长为的正四面体的外接球半径为．【答案】【解析】记正四面体棱长为，外接球半径为，在正四面体中，利用棱，与棱共顶点的高及这条棱在对面上的射影构成的直角三角形可解得，因此中本题中.【考点】正四面体（正棱锥的性质）.7.如图，已知平面，，，且是的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求此多面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连结、，利用中位线证明，利用题中条件得到，进而得到，于是说明四边形为平行四边形，得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由平面得到，再利用等腰三角形三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，结合（1）中的结论证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用已知条件得到平面平面，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积.（1）取中点，连结、，为的中点，，且，又，且，且，为平行四边形，，又平面，平面，平面；（2），，所以为正三角形，，平面，，平面，又平面，，又，，平面，又，平面，又平面，平面平面；（3）此多面体是一个以为定点，以四边形为底边的四棱锥，，平面平面，等边三角形边上的高就是四棱锥的高，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.椎体体积的计算8.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，，分别为，中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.【解析】本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以. （1）因为，分别为，中点，所以∥，又平面，平面，所以∥平面. 4分（2）连结，因为∥，又°，所以.又，为中点，所以.所以平面，所以. 9分（3）因为平面平面，有，所以平面，所以. 14分【考点】线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积.9.棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为 .【答案】【解析】 .【考点】几何体的表面积.10.已知等腰梯形PDCB中(如图),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD(如图).(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行平面AMC.【答案】（1）见解析（2）M为线段PB的中点时（3）不平行【解析】(1)因为PDCB为等腰梯形,PB=3,DC=1,PA=1,则PA⊥AD,CD⊥AD.又因为面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,CD⊂面ABCD,故CD⊥面PAD. 又因为CD⊂面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.(2)所求的点M即为线段PB的中点.证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1,四棱锥P-ABCD的高为h2,当M为线段PB的中点时,==,所以===,所以截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA ∶VMACB=2∶1.(3)当M为线段PB的中点时,直线PD与面AMC不平行.证明如下：(反证法)假设PD∥面AMC,连接DB交AC于点O,连接MO.因为PD⊂面PBD,且面AMC∩面PBD=MO,所以PD∥MO.因为M为线段PB的中点时,则O为线段BD的中点,即=,而AB∥DC,故==,故矛盾.所以假设不成立,故当M为线段PB的中点时,直线PD与平面AMC不平行.11.棱长为2的三棱锥的外接球的表面积为（）A．6πB．4πC．2πD．π【答案】A【解析】由题意知,此三棱锥为正四面体,以此正四面体的各棱为正方形的对角线拓展出一个正方体,则三棱锥外接球的半径为正方体外接球的半径.因三棱锥棱长为2,所以正方体棱长为,其外接球的直径为所以三棱锥的外接球的表面积为6π．12.如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．【答案】【解析】因为且为中点，所以，因为平面平面，由面面垂直的性质定理可得，即。