天津市红桥区2019届高三二模数学(理)试卷【含答案及解析】

高三数学（理）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）若i 为虚数单位，设复数i iiz 211++-=，则=z A. 0 B.21C. 1D. 2（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0002054y x y x y x ，则目标函数x y z 2-=的最大值为A. 7 B .5 C. 3 D .1（3）已知4log 3=a ，31)41(=b ，51log 31=c ，则c b a ,,的大小关系为 A.b a c >> B. c a b >> C. a b c >> D.c b a >>（4）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（5）若0>a ，0>b ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是A.211>abB. 111≤+b a C.2≥ab D.81122≤+b a（6）若如图所示的程序框图输出的S 是126，则n 条件为A. n ≤？5B. n ≤？6C. n ≤？7D. n ≤？8（7）双曲线12222=-by a x C ：)0,0(>>b a 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则双曲线的离心率为 A.34 B. 35 C. 310 D. 10 （8）若方程2112-=--kx x x 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是A. ()1,-∞-B. ()0,1-C. ()40，D. ()()4,11,0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．（9）已知集合{}Z Z,,1|),(U 22∈∈≤+=y x y x y x ，则集合U 中的元素的个数为______.（用数字填写）（10）在9)1(xx -的展开式中的常数项是______.（11）设直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t x l 23211:（t 为参数），曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x C ：（θ为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则=AB _______.（用数字填写）（12）若函数x x x f sin cos )(-=在[]a a ,-是减函数，则a 的最大值是__________. （13）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球O 的体积为______.（14）已知两点)3,1(),0,1(B A ,O 为坐标原点，点C 在第二象限，且 120=∠AOC ,设=+-λ2，R ∈λ，则实数=λ______.（用数字填写）三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,.已知B c A b sin 3sin =,3=a ，32c o s=B . （Ⅰ）求：b 的值；（Ⅱ）求：⎪⎭⎫ ⎝⎛-32cos πB 的值.（16）（本小题满分13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为31，乙每次投篮投中的概率为21，且各次投篮互不影响. (Ⅰ)求甲获胜的概率；(Ⅱ)求投篮结束时甲的投球次数 的分布列和期望.（17）（本小题满分13分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ,AB AD ⊥,DC AB //,2===AP DC AD ,1=AB ,点E 为棱PC 中点.（Ⅰ）证明：BE //平面PAD ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足AC BF ⊥,求二面角P AB F --的余弦值.（18）（本小题满分13分）设等差数列{}n a 的公差为d ，d 为整数，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22=b ，q d =，10010=S ，n ∈N*. (Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； (Ⅱ)设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和为n T .（19）（本小题满分14分）设椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的离心率为21，直线l 过点)2,0()0,4(B A 、，且与椭圆C 相切于点P . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点)0,4(A 的直线m 与椭圆C 相交于不同两点N M 、，使得AN AM AP ⋅=35362成立？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由.（20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(k e x f x +=（k 为常数）是实数集R 上的奇函数，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）讨论关于x 的方程m ex x x f x+-=2)(ln 2的根的个数．高三数学（理）参考答案一、选择题 每题5分二、填空题 每题5分9. 5 10. 84- 11. 1 12. 4π13. π34 14. 1三、解答题15.（本小题满分13分）（Ⅰ）由B c A b sin 3sin =，得bc ab 3=， ..................................2分即c a 3=，且3=a ，所以1=c ；................................................................................3分 因为B ac c a b cos 2222-+=..................................................5分 且32cos =B 解得6=b ...............................................................................7分（Ⅱ）因为32cos =B ，所以35sin =B ， .................................8分 则954cos sin 22sin ==B B B ， .........................................9分 911c o s 22c o s2-=-=B B ， ................................................10分 因为3sin 2sin 3cos 2cos 32cos πππB B B +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-..................11分 181154-=...............................................13分16. （本小题满分13分）（Ⅰ）设“甲获胜”甲获胜为事件A ，312132213231213231)(⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=A P ......................................3分2713=...........................................................................5分（Ⅱ）ξ的取值情况可能为1,2,3，()322132311=⨯+==ξP ()92213221323121322=⨯⨯⨯+⨯⨯==ξP ()91213221323=⨯⨯⨯==ξP ..........................................................8分 ξ的分布列为.........................................................11分所以=⨯+⨯+⨯=913922321ξE 913 ................................................13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）取PD 中点M ，连接AM ，EM ， 由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故DC EM //,且DC EM 21=， 又因为CD AB //，DC AB 21=，所以AB EM //且AB EM =，故四边形ABEM 为平行四边形，.........................................2分 所以AM BE //，且⊄BE 平面PAD ，⊂AM 平面PAD ， 所以 BE //平面PAD ...........................................4分（Ⅱ）依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得)0,0,1(B ，)0,2,2(C ，)0,2,0(D ，)2,0,0(P 。

参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9． 10．1411． 12．1 13． 14．③④三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：(1)f(x)＝sin 2x·ππcos sin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝ (6)所以，f(x)的最小正周期T ＝＝π (7)（Ⅱ）因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．..............9 又f(0)＝－2，，，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－2 (13)（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过2小时的概率分别为：, (1)甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=×+×+×= (4)（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8.....................................................5 P(ξ=0)=×=P(ξ=2)=×+×=P(ξ=4)=×+×+×=P(ξ=6)=×+×=P(ξ=8)=×= (10)数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8= (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接， 为正方形， 为 中点， 为 中点．所以在 中，，且，所以． (3)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． (4)所以， (5)又，所以是等腰直角三角形，且即 (6)，且所以又，所以． (7)（Ⅲ）如图，取的中点，连接，．因为，所以．因为，所以， (8)而，分别为，的中点，所以，又是正方形，故．因为，所以，．以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， (9)则有，，，．若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接，设．由（Ⅱ）知平面的法向量为．设平面的法向量为．因为，，所以由，可得，令，则，，故，所以， (12)解得，．所以，在线段 上存在点，使得二面角的余弦值为． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意可得：221213a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当不存在时，，1324OAB S ∆∴== ..........................5 ②当存在时，设直线为，222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................7 212122263313,13km m x x x x k k --+==++..........................8 2243(1)d r m k =⇒=+ .. (9)||AB ===2=≤...........................11 当且仅当即时等号成立 (12)11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=， ∴面积的最大值为，此时直线方程. (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）由得， (1)相减并整理得又由于，则，故是等差数列． (3)因为，所以故． (5)（Ⅱ）当，时，，，可解得，， (7)猜想使成立． (8)证明：恒成立．令②﹣①得：，故存在等比数列符合题意． (10)（Ⅲ） (12)则故． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）法一：根据题意：令，可得，所以经验证，可得当时，对任意，都有，所以 (3)法二：因为所以要使上式对任意恒成立，则须有即 (3)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以， (4)令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以解得或无解，所以的取值范围，可得， (7)由题意知，令，则．而当时，，即，所以在上单调递减，所以即时，． (10)（Ⅲ）因为，．令得，．由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点．又因为，所以在上递增，即时，恒成立．根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，恰有三个不同的零点． (14)。

2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（3分）已知全集U ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，集合A ＝{﹣1，2，3}，B ＝{2，3}，则∁U （A ∩B ）＝（ ） A ．{0，4}B ．{0，1，4}C ．{1，4}D ．{0，1}2．（3分）设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0，则目标函数z ＝x +y 最小的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．（3分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．﹣14．（3分）若a ＝﹣log 215，b ＝log 24.5，c ＝20.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b5．（3分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3），则此双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 24=1 B ．x 24−y 23=1 C ．x 29−y 216=1D ．x 216−y 29=16．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（3分）如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →，则EC →⋅ED →的值是（ ）A ．−45B ．−1516C ．−14D ．−588．（3分）已知函数f （x ）={log 12(x +1)，−1＜x ＜0−x 2+2x ，x ≥0，若关于x 的方程f （x ）＝m （m ∈R ）恰有三个不同的实数根a ，b ，c ，则a +b +c 的取值范围是（ ） A ．（12，1）B ．（34，1）C ．（34，2）D ．（32，2）二、填空题．9．（3分）已知i 是虚数单位，则1−i 3+i= ．10．（3分）某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产量分别为400，800，600件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从C 种型号的产品中抽取 件．11．（3分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为√6，则四棱锥的体积为 ． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x ﹣y +1＝0，在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为 ．13．（3分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B =π3，b ＝2√3，则△ABC 周长的最大值是 ．14．（3分）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有 种．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数f （x ）＝cos x （sin x −√3cos x ），x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最大值； （2）讨论f （x ）在区间[π3，2π3]上的单调性．16．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会．已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为23．假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响．（1）求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；（2）记甲闯关的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．．17．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝4，∠ACB ＝90°，P 、Q 分别为AE ，AB 的中点．（1）证明：PQ ∥平面ACD ．（2）求异面直线AB 与DE 所成角的余弦值； （3）求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小．18．各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2＝3，a 4﹣2a 3＝9． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝（2n ﹣1）•log 3a 2n +2（n ∈N *），数列{1b n}的前n 项和为T n ，证明：T n ＜12．19．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（﹣1，0），上顶点为B 1，原点O 到直线B 1F 1的距离为√32． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点T 在圆x 2+y 2＝2上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C于点B （异于点A ），使得OT →=√147（OA →+OB →）成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20．设a ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ．（1）若a ＝2，求曲线y ＝f （x ）在点P （1，﹣2）处的切线方程； （2）若f （x ）无零点，求a 的取值范围；（3）若f （x ）有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1+x 2＞2a ．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．【解答】解：U ＝{0，1，2，3，4}，A ∩B ＝{2，3}； ∴∁U （A ∩B ）＝{0，1，4}． 故选：B ．2．【解答】解：作变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −y −1≤0x +2y −4≤0的可行域，如图：由：{2x +y −2=0x −y −1=0解得A （1，0），则直线z ＝x +y 过点A （1，0）时，z 取最小值1， 故选：D ．3．【解答】解：经过第一次循环得到s ＝3，i ＝2，不满足i ＞4， 执行第二次循环得到s ＝4，i ＝3，不满足i ＞4， 执行第三次循环得到s ＝1，i ＝4，不满足i ＞4， 经过第四次循环得到s ＝0，i ＝5，满足判断框的条件 执行“是”输出S ＝0． 故选：C ．4．【解答】解：−log 215=log 25＞log 24.5＞log 24=2，20.6＜21＝2； ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．5．【解答】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，∴以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2＝c 2，∵以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（4，3）， ∴{16+9=c 23=ba ×4，解得a ＝4，b ＝3，∴双曲线的方程为x 216−y 29=1．故选：D ．6．【解答】解：在三角形中，若a ＞b ，由正弦定理asinA=b sinB，得sin A ＞sin B ．若sin A ＞sin B ，则正弦定理a sinA=b sinB，得a ＞b ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的充要条件． 故选：C ．7．【解答】解：AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE →=3EO →， 可得OD →=−OC →，EO →=14AO →，EC →⋅ED →=（EO →+OC →）•（EO →+OD →）＝（EO →+OC →）•（EO →−OC →） =EO →2−OC →2=116−1=−1516． 故选：B ．8．【解答】解：作图可得，a ∈(−12，0)，b +c ＝2，所以a +b +c ∈（32，2），故选：D ． 二、填空题． 9．【解答】解：1−i 3+i =(1−i)(3−i)(3+i)(3−i)=2−4i 10=15−25i ．故答案为：15−25i ．10．【解答】解：由题意得从C 种型号的产品中抽取90400+800+600×600＝30件．故填：30．11．【解答】解：正四棱锥的底面边长为2，底面面对角线的一半为√2，所以棱锥的高为h =√6−2=2，∴V =13Sh =13×22×2=83． 故答案为：83．12．【解答】解：因为圆C 的方程为ρ＝2sin θ，所以x 2+y 2＝2y ，x 2+（y ﹣1）2＝1， 因此圆心到直线距离为√5＜1，所以直线l 与圆C 相交．故答案为：相交13．【解答】解：因为b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos π3，B =π3，b ＝2√3，所以12＝a 2+c 2﹣ac ＝（a +c ）2﹣3ac ≥（a +c ）2﹣3（a+c2）2=(a+c)24，当且仅当a ＝c时取等号， 因此（a +c ）2≤48， 可得：a +c ≤4√3，可得：a +b +c ≤6√3，即△ABC 周长的最大值是6√3． 故答案为：6√3．14．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在4个盒子中任选2个，作为“空盒”，有C 42＝6种不同的情况，②，将4个不同的小球放进剩下的2个盒子中，每个盒子中至少放一个，有24﹣2＝14种不同的放法，则恰有2个空盒的放法共6×14＝84种； 故答案为：84．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．【解答】解：（1）由题意，得f （x ）＝cos x sin x −√3cos 2x =12sin2x −√32（1+cos2x ）=12sin2x −√32cos2x −√32 ＝sin （2x −π3）−√32．所以f （x ）的最小正周期T =2π2=π，其最大值为1−√32． （2）令z ＝2x −π3则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是[−π2+2k π，π2+2k π]，k ∈Z ．由−π2+2k π≤2x −π3≤π2+2k π，得−π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z 设A ＝[π3，2π3]，B ＝{x |−π12+k π≤x ≤512π+k π，k ∈Z }， 易知A ∩B ＝[π3，5π12]．所以，当x ∈[π3，2π3]时，f （x ）在区间[π3，5π12]上单调递增；在区间[5π12，2π3]上单调递减．16．【解答】解：（1）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有 ，P （A ）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23=518（2）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2，3，4， 所以，P （ξ＝2）=12×23+12×12=712，P （ξ＝3）=12×（1−23）×23+（1−12）×12×23+12×13×13=13， ．P （ξ＝4）＝（1−12）×12×（1−23）=112 从而ξ2 3 4P71213112E （ξ）＝2×712+3×13+4×112=52．17．【解答】（1）证明：∵P 、Q 分别是AE 、AB 的中点， ∴PQ ∥BE ，PQ =12BE ， 又DC ∥BE ，DC =12BE ， ∴PQ ∥DC ，∵PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD ；（2）解：∵DC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，以点C 为坐标原点，分别以CD →，CA →，CB →的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则C （0，0，0），A （0，4，0），B （0，0，4），D （2，0，0），E （4，0，4）， AB →=(0，−4，4)，DE →=(2，0，4)， ∴cos ＜AB →，DE →＞=AB →⋅DE→|AB →|⋅|DE →|=√105，∴异面直线AB 与DE 所成角的余弦值√105； （3）解：由（Ⅱ）可知AB →=(0，−4，4)，AE →=(4，−4，4)， 设平面ABE 的法向量为n →=(x ，y ，z)．则{n →⋅AB →=−4y +4z =0n →⋅AE →=4x −4y +4z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)． 由已知可得平面ACD 的法向量为CB →=（0，0，4）， ∴cos ＜n →，CB →＞=n →⋅CB →|n →|⋅|CB →|=√22． 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45°．18．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a2＝3，a4﹣2a3＝9得3（q2﹣2q）＝9，解得q＝3或q＝﹣1．因为数列{a n}为正项数列，所以q＝3，所以，首项a1=a2q=1，故其通项公式为a n＝3n﹣1，n∈N*；（2）证明：由（1）得b n＝（2n﹣1）•log3a2n+2＝（2n﹣1）log332n+1＝（2n﹣1）（2n+1），所以1b n =1(2n−1)(2n+1)═12（12n−1−12n+1），即有前n项和S n=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜1 2．19．【解答】解：（1）由椭圆的一个焦点为F1（﹣1，0）知：c＝1，即a2﹣b2＝1．①．又因为直线B1F1的方程为bx﹣y+b＝0，即√b2+1=√32，所以b=√3．由①解得a2＝4．故所求椭圆C的标准方程为x24+y23=1．（2）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为y＝k（x﹣2），由{x24+y23=1y=k(x−2)，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．（*）因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且x A＝2．所以x A •x B =16k 2−123+4k 2，所以x B =8k 2−63+4k 2，即点B （8k 2−63+4k 2，−12k 3+4k 2）． 所以OA →+OB →=（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2），即OT →=√147（16k 23+4k 2，−12k 3+4k 2）． 因为点T 在圆x 2+y 2＝2上，所以27•[(16k 23+4k 2)2+(−12k3+4k 2)2]＝2，化简得48k 4﹣8k 2﹣21＝0，解得k 2=34，所以k ＝±√32． 经检验知，此时（*）对应的判别式△＞0，满足题意．故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±√32（x ﹣2）． 20．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝lnx ﹣2x ，所以f ′（x ）=1x −2． 故切线的斜率k ＝f ′（1）＝﹣1，则切线方程为y +2＝﹣（x ﹣1），即x +y +1＝0．（2）f ′（x ）=1x −a ，①当a ＝0时，f （x ）＝lnx 有唯一零点x ＝1，不合题意； ②当a ＜0时，则f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，+∞）上的增函数，因为f （1）＝﹣a ＞0，f （e a ）＝a ﹣ae a ＝a （1﹣e a ）＜0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）有唯一零点，不合题意；③当a ＞0时，令f ′（x ）＝0得x =1a ，所以，当x ∈（0，1a ）时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，1a ）上是增函数； 当x ∈（1a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（1a ，+∞）上是减函数． 所以在区间（0，+∞）上，函数f （x ）有极大值为f （1a ）＝ln 1a −1＝﹣lna ﹣1， ∵e a ＞a ＞0，故1e ＜1a，且e a ＞1， ∴f （1e ）＝﹣a −a e a =−a （1+1e a）＜0，且当x →+∞时，f （x ）→﹣∞， 若f （x ）无零点，则f （1a ）＜0，即﹣lna ﹣1＜0，解得a ＞1e ，故所求实数a 的取值范围是（1e ，+∞）． （3）设x 1＞x 2＞0，由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得lnx 1﹣ax 1＝0，lnx 2﹣ax 2＝0，∴lnx 1﹣lnx 2＝a （x 1﹣x 2），即a =ln x 1x 2x 1−x 2， 要证：x 1+x 2＞2a ，只需证a （x 1+x 2）＞2，即证：lnx 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2． 令t =x 1x 2＞1，于是ln x 1x 2＞2(x 1−x 2)x 1+x 2⇔lnt ＞2(t−1)t+1． 设函数h （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（t ＞1），求导得h ′（t ）=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0， 所以函数h （t ）在（1，+∞）上是增函数，所以h （t ）＞h （1）＝0，即不等式lnt ＞2(t−1)t+1在（1，+∞）上恒成立， 故所证不等式x 1+x 2＞2a 成立．。

高二模考试 数学试卷(理工类)第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数i t z +=21,i z 212-=,若21z z 为实数,则实数t 的值是( ) A ．41-B ．-1C ．41D ．1 2. 设集合}01{2<-=x x A ,},2{A x y y B x∈==,则=B A ( )A ．(0,1)B ．(-1,2)C ．),1(+∞-D ．)1,21(3. 已知函数⎩⎨⎧<≥∙=-0,20,2)(x x a x f x x (R a ∈).若1)]1([=-f f ,则=a ( )A ．41 B ．21C ．2D ． 1 4. 若a ,R b ∈，直线l :b ax y +=,圆C :122=+y x .命题p :直线l 与圆C 相交；命题q ：12->b a .则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件5. 为丰富少儿文体活动，某学校从篮球，足球，排球，橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是( ) A ．31 B ．21 C. 32 D ．656. 已知抛物线x y 82=的准线与双曲线116222=-y a x 相交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，ABF ∆为直角三角形，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．12+ C.2 D ．37. 若数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016)1(，nb n n 2017)1(2+-+=，且n n b a <，对任意*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．)21,1[-B ．[-1,1） C.[-2,1) D ．)23,2[-8. 已知函数⎩⎨⎧≤++<+=a x x x ax x x f ,25,2)(2，若函数x x f x g 2)()(-=恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[-1,1)B ．[-1,2) C. [-2,2) D ．[0,2]第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ．10.执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 值分别为0和9，则输出的i 值为 ．11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.已知0>a ，0>b ，且42=+b a ，则ab1的最小值是 ． 13.已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．14.如图，已知ABC ∆中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2==PBMPMC AM ，2=3=，︒=∠120BAC ，则∙的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x . （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）讨论函数)(x f 在区间]2,12[ππ-上单调性求出的值域. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与P ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率P ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 17. 如图，直三棱柱111C B A ABC -中，4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥，点D 在线段AB 上.（Ⅰ）证明C B AC 1⊥；（Ⅱ）若D 是AB 中点，证明//1AC 平面CD B 1；（Ⅲ）当31=AB BD 时，求二面角1B CD B --的余弦值. 18. 已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 832+=，}{n b 是等差数列，且1++=n n n b b a . （Ⅰ）求数列}{n b 的通项公式；（Ⅱ）令nn n n n b a c )2()1(1++=+，求数列}{n c 的前n 项和n T . 19. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，直线x y =被椭圆C 截得的线段长为5104. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AB AD ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.设直线BD ，AM 的斜率分别为1k ，2k ，证明存在常数λ使得21k k λ=，并求出λ的值.20.选修4-4：坐标系与参数方程 设函数xmx x f +=ln )(，R m ∈. （Ⅰ）当e m =时，求函数)(x f 的极小值； （Ⅱ）讨论函数3)()(xx f x g -'=零点的个数； （Ⅲ）若对任意的0>>a b ，1)()(<--ab b f a f 恒成立，求m 的取值范围.数学试卷（理工类）参考答案一、选择题1-5:ADABC 6-8:ADB二、填空题9. ),2(+∞ 10.3 11. 335 12. 21 13. π14.-2三、解答题15.解：（Ⅰ）+-=)32cos()(πx x f )4sin()4sin(2ππ+-x x++=x x 2sin 232cos 21 )cos )(sin cos (sin x x x x +- x x x x 22cos sin 2sin 232cos 21-++= x x x 2cos 2sin 232cos 21-+= )62sin(π-=x .∴周期ππ==22T . 由)(262Z k k x ∈+=-πππ，得)(32Z k k x ∈+=ππ. ∴函数图象的对称轴方程为)(32Z k k x ∈+=ππ. （Ⅱ）∵]2,12[ππ-∈x ，∴]65,3[62πππ-∈-x . )62sin()(π-=x x f 在区间]3,12[ππ-上单调递增，在区间]2,3[ππ上单调递减，当3π=x 时，)(x f 取最大值1.∵21)2(23)12(=<-=-ππf f . ∴12π-=x ，23)(max -=x f . 所以值域为]1,23[-. 16.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得161)1())(1(22=-=-p B P ， 解得43=p 或45=p （舍去），所以乙投球的命中率为43.（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知21)(=A P ，21)(=A P ，43)(=B P ，41)(=B P . ξ可能的取值为0,1,2,3，故P A P P )()0(==ξ321)41(21)(2=⨯=∙B B ， )()()1(B B P A P P ∙==ξ)()()(12A P B P B P C +3272141432)41(212=⨯⨯⨯+⨯=， )()()3(B B P A P P ∙==ξ329)43(212=⨯=， 3215)3()0(1)2(==-=-==ξξξP P P . ξ分布列为：所以321320++⨯=ξE 2323322=⨯+⨯+. 17. 解：（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系xyz C -.则)0,0,3(B ，)0,4,0(A ，)4,4,0(1A ，)4,0,3(1B ，)4,0,0(1C .)0,4,0(-=，)4,0,3(1--=B ，01=∙B ，所以C B AC 1⊥.（Ⅱ）解法一：)4,4,0(1-=设平面CD B 1的法向量),,(z y x =，由)4,0,3(1--=∙B 043),,(=--=∙y x z y x ， 且∙=∙)0,2,23(m CD 0223),,(=+=y x z y x ， 令4=x 得)3,3,4(--=m ，所以0)3,3,4()4,4,0(1=--∙-=∙m AC ， 又⊄1AC 平面CD B 1，所以//1AC 平面CD B 1； 解法二：证明：连接1BC ，交1BC 于E ，DE . 因为直三棱柱111C B A ABC -，D 是AB 中点， 所以侧面C C BB 11为矩形，DE 为1ABC ∆的中位线. 所以1//AC DE ，因为⊂DE 平面CD B 1，⊄1AC 平面CD B 1， 所以//1AC 平面CD B 1. （Ⅲ）由（Ⅰ）知BC AC ⊥， 设)0,0)(0,,(>>b a b a D ， 因为点D 在线段AB 上，且31=AB BD ，即=31. 所以2=a ，34=b ，=BD )0,34,1(-. 所以)4,0,3(1--=C B ，)0,34,2(=. 平面BCD 的法向量为)1,0,0(1=n . 设平面CD B 1的法向量为)1,,(2y x n =，由021=∙n C B ，02=∙n CD ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0342043y x x ，所以34-=x ，2=y ，=2n )1,2,34(-. 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以613cos ==θ. 所以二面角1B CD B --的余弦值为61613. 18. 解：（Ⅰ）由题知，当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ；当1=n 时，1111==S a ，符合上式.所以56+=n a n .设数列}{n b 的公差d ，由⎩⎨⎧+=+=,,322211b b a b b a 即为⎩⎨⎧+=+=,3217,21111d b d b ，解得41=b ，3=d ，所以13+=n b n .（Ⅱ）112)1(3)33()66(+++=++=n nn n n n n c ，n n c c c T +++=...21，则 +⨯+⨯⨯=322322[3n T ]2)1(...1+⨯++n n ，+⨯+⨯⨯=432322[32n T ]2)1(...2+⨯++n n ，两式作差，得+++⨯⨯=-4322222[3n T ]2)1(2...21++⨯+-+n n n]2)1(21)21(44[32+⨯+---+⨯=n n n223+∙-=n n .所以223+∙=n n n T .19. 解：（Ⅰ）∵23=e ，∴23=a c ，4322222=-=a b a a c ，∴224b a =.①设直线x y =与椭圆C 交于P ，Q 两点，不妨设点P 为第一象限内的交点.∴5104=PQ ，∴)552,552(P 代入椭圆方程可得222245b a b a =+.② 由①②知42=a ，12=b ，所以椭圆的方程为：1422=+y x . （Ⅱ）设)0)(,(1111≠y x y x A ),(22y x D ，则),(11y x B --，直线AB 的斜率为11x y k AB =，又AD AB ⊥，故直线AD 的斜率为11x y k -=.设直线AD 的方程为m kx y +=，由题知 0≠k ，0≠m 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，得mkx x k 8)41(22++0442=-+m . ∴221418k mk x x +=+，)(2121x x k y y +=+24122k m m +=+，由题意知021≠+x x ， ∴1121211441x y k x x y y k =-=++=，直线BD 的方程为)(41111x x x y y y +=+. 令0=y ，得13x x =，即)0,3(1x M ，可得=2k 112x y -，∴2121k k -=，即21-=λ. 因此存在常数21-=λ使得结论成立. 20. 解：（1）由题设，当e m =时，x e x x f +=ln )(，易得函数)(x f 的定义域为),0(+∞， 221)(xe x x e x xf -=-='.∴当),0(e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 在),0(e 上单调递减； ∴当),(+∞∈e x 时，0)(>'x f ，)(x f 在),(+∞e 上单调递增；所以当e x =时，)(x f 取得极小值2ln )(=+=ee e ef ，所以)(x f 的极小值为2.（2）函数=-'=3)()(x x f x g 312x x m x --)0(>x ，令0)(=x g ，得x x m +-=231)0(>x . 设)0(31)(2≥+-=x x x x ϕ，则=+-='1)(2x x ϕ)1)(1(+--x x . ∴当)1,0(∈x 时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ在（0,1）上单调递增；∴当),1(+∞∈x 时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ在),1(+∞上单调递减；所以)(x ϕ的最大值为32131)1(=+-=ϕ，又0)0(=ϕ，可知： ①当32>m 时，函数)(x g 没有零点； ②当32=m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点； ③当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点； ④当0≤m 时，函数)(x g 有且只有1个零点.综上所述： 当32>m 时，函数)(x g 没有零点；当32=m 或0≤m 时，函数)(x g 有且仅有1个零点；当320<<m 时，函数)(x g 有2个零点. （3）对任意0>>a b ，1)()(<--ab a f b f 恒成立，等价于a a f b b f -<-)()(恒成立. )(*. 设=-=x x f x h )()()0(ln >-+x x x m x ，∴)(*等价于)(x h 在),0(+∞上单调递减. ∴011)(2≤--='xm x x h 在),0(+∞上恒成立， ∴=+-≥x x m 241)21(2+--x )0(>x 恒成立，∴41≥m （对41=m ，0)(='x h 仅在21=x 时成立）. ∴m 的取值范围是),41[+∞.。

【高考数学大题精做】第三篇立体几何专题02 各类角的证明与求解【典例1】【天津市南开区2019届高三第二学期模拟】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F 在SE上，且SF=2FE.（Ⅰ）求异面直线AF与DE所成角的余弦值；（Ⅰ）求证：AF⊥平面SBC；（Ⅰ）设G为线段DE的中点，求直线AG与平面SBC所成角的余弦值。

【思路引导】（Ⅰ）由题意可知DE∥AB，故∠FAB或其补角为异面直线AF与DE所成角；（Ⅰ）由（I）知AF⊥SE，易证BC⊥AF，从而AF⊥平面SBC；（Ⅰ）延长AG交BC于P点，连结PF. 由（II）知AF⊥平面SBC，所以PF为AP在平面SBC上的投影，故∠APF 即为直线AG 与平面SBC 所成角 【详解】 解（I ）.连结BF.在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，BC 的中点， ∴DE ∥AB ，∴∠FAB 或其补角为异面直线AF 与DE 所成角由AC=AB=SA=2，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，得∵SA ⊥底面ABC ，∴SA ⊥AE.在Rt △SAE 中，，可得AF =∵SA ⊥底面ABC ，∴.SA ⊥BC ，又BC ⊥AE ， ∴BC ⊥平面SAE ， ∴BC ⊥SE ，∵13EF SE BE ===∴BF=3∴cos FAB ∠=即异面直线AF 与DE 所成角的余弦值3。

（II ）.由（I ）知222AE EF AF =+，∴AF ⊥SE. ∵BC ⊥平面SAE ，所以BC ⊥AF.又SE I BC=E ，.AF ⊥平面SBC. （III ）.延长AG 交BC 于P 点，连结PF.由（II ）知AF ⊥平面SBC ，∴PF 为AP 在平面SBC 上的投影， ∴∠APF 即为直线AG 与平面SBC 所成角 ∵G 为线段DE 的中点， ∴CP=2PE ，又SF=2FE ，.∴133SC AP ==cos APF ∴∠=即直线AG 与平面SBC 【典例2】【天津市红桥区2019届高三一模】如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====.（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。

2019年天津市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，则目标函数z ＝3x +2y 的最大值为（ ）A ．﹣4B ．92C ．6D ．83．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为9，则输出的结果S 为（ ）A ．109B ．48C ．19D ．64．（5分）设x ∈R ，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，则PA →⋅PB →的最小值为（ ） A ．﹣2B ．−14C ．−12D ．06．（5分）已知函数f （x ）＝e |x |，令a =f(sin 3π4)，b =f(2−3)，c =f(log 123)，则a ，b ，c的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c7．（5分）已知抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 为双曲线C 2：x 2−y 23=1的顶点，过点F 的直线与抛物线C 1相交于M 、N 两点，点A 在x 轴上，且满足|MN |＝8，若|AM |＝|AN |，则△AMN 的面积为（ ） A ．3√6B ．6√3C ．6√2D ．8√28．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，且在(π12，5π12)上单调，把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，f （x 1）＝f （x 2），则f （x 1+x 2）＝（ ） A ．−√3 B ．√3 C ．﹣1 D ．1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．（5分）i 是虚数单位，复数−3+2i 1+i= ．10．（5分）在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于 ．11．（5分）已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 ．12．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−1+√2cosαy =√2sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝2√2．设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，则|PQ |的最小值为 ．13．（5分）若log 4(a +4b)=log 22√ab ，则a +b 的最小值是 ．14．（5分）已知函数f(x)={xlnx −2x ，x ＞0x 2+32x ，x ≤0，函数g （x ）＝f （x ）﹣kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且atanA=b 2sinB．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a ＝6，b ＝2c ，求△ABC 的面积．16．（13分）为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答． （Ⅰ）求王同学至少取到2道乙类题的概率；（Ⅱ）如果王同学答对每道甲类题的概率都是23，答对每道乙类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X 表示王同学答对题的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为√2211，求线段CG 的长．18．（13分）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，满足a 2＝5，S 5＝35，T n 是数列{b n }的前n 项和，满足T n ＝2b n ﹣1（n ∈N *）． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c n ={2S n ，n =2k −1a nb n ，n =2k(k ∈N ∗)，设数列{c n }的前n 项和P n ，求P 2n 的表达式．19．（14分）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，离心率为√22，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=−4√3y 的焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M （0，m ）（0＜m ＜b ）的直线交x 轴的负半轴于点N ，交C 于点A ，B （A 在第一象限），且M 是线段AN 的中点，过点A 作x 轴的垂线交C 于另一点D ，延长线DM 交C 于点G ．（i ）设直线AM ，DM 的斜率分别为k ，k ′，证明：3k +k ′＝0；（ii）求直线BG的斜率的最小值．20．（14分）已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．2019年天津市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1．【解答】解：集合A ＝{﹣1，1}，B ={x||x +12|＜32，x ∈Z}={x |﹣2＜x ＜1，x ∈Z }＝{﹣1，0}， ∴A ∪B ＝{﹣1，0，1}． 故选：C ．2．【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2≥0x −y +3≥02x +y −3≤0，作可行域如图．由z ＝3x +2y ，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A ，B 时，目标函数取得最值， 由：{x −y +3=02x +y −3=0，可得A （0，3），分别为z max ＝3×0+2×3＝6， 目标函数的最大值为6． 故选：C ．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得 k ＝9，n ＝1，S ＝1不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝4，S ＝6 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝7，S ＝19 不满足判断框内的条件n ＞k ，执行循环体，n ＝10，S ＝48 此时，满足判断框内的条件n ＞k ，退出循环，输出S 的值为48．故选：B ．4．【解答】解：由x 3＜27得x ＜3， 由log 13x ＞−1得0＜x ＜3，则“x 3＜27”是“log 13x ＞−1”的必要不充分条件，故选：B ．5．【解答】解：根据题意，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立坐标系，如图： 则B （2，0），A （0，2），D 为AB 的中点，则D （1，1）， 点P 是线段CD 上的动点，设P （m ，m ），（0≤m ≤1）； 则PA →=（﹣m ，2﹣m ），PB →=（2﹣m ，﹣m ），则PA →⋅PB →=（﹣m ）（2﹣m ）+（2﹣m ）（﹣m ）＝2m 2﹣4m ＝2（m ﹣1）2﹣2， 又由0≤m ≤1，则当m ＝1时，PA →⋅PB →取得最小值﹣2； 故选：A ．6．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝e |x |，有f （﹣x ）＝e |﹣x |＝e |x |＝f （x ），即函数f （x ）为偶函数，则有c ＝f （log 123）＝f （﹣log 23）＝f （log 23），又由当x ＞0时，f （x ）＝e x ，易得f （x ）为[0，+∞）上为增函数， 又由log 23＞1＞sin 3π4=√22＞12＞2﹣3，则有f （log 23）＞f （sin 3π4）＞f （2﹣3）， 则有b ＜a ＜c ； 故选：A ．7．【解答】解：由题意可知，抛物线C 1：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F （1，0），则p2=1，p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． 如图，设MN 所在直线方程为y ＝k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)y 2=4x ，得k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 则x 1+x 2=2k 2+4k2，由|MN |＝x 1+x 2+2＝8，得2k 2+4k 2=6，解得k ＝±1．∴x 1+x 2＝6，则MN 的中点坐标为（3，2），不妨取k ＝1，可得MN 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣1×（x ﹣3）， 即y ＝﹣x +5．取y ＝0，得A （5，0）．此时A 到直线x ﹣y ﹣1＝0的距离d =2=2√2． ∴△AMN 的面积S =12×8×2√2=8√2． 故选：D ．8．【解答】解：∵函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象过点B(0，√3)，∴2sin φ=√3，∴φ=π3．f （x ）在(π12，5π12)上单调，∴12•2πω≥5π12−π12，∴0＜ω≤3．把f （x ）的图象向右平移π个单位之后与原来的图象重合，∴k •2πω=π，k ∈Z ，∴ω＝2，f （x ）＝2sin （2x +π3）．当x 1，x 2∈(2π3，4π3)且x 1≠x 2时，2x +π3∈（5π3，3π），若 f （x 1）＝f （x 2），则x 1+x 2＝2•5π2=5π，f （x 1+x 2）＝2sin （10π+π3）＝2sin π3=√3，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．【解答】解：−3+2i 1+i =(−3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+5i 2=−12+52i ．故答案为：−12+52i ．10．【解答】解：由在(√x 3−1x)n 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256， 可得：2n ＝256，解得：n ＝8，又（√x 3−1x ）8的二项式展开式的通项为T r +1=C 8r （√x 3）8﹣r （−1x ）r ＝（﹣1）r C 8r x8−4r 3， 令8−4r 3=0，则r ＝2，即展开式中常数项等于（﹣1）2C 82=28，故答案为：28．11．【解答】解：∵圆锥的底面半径r ＝4，高h ＝3， ∴圆锥的母线l ＝5， ∴圆锥侧面积S ＝πrl ＝20π， 设球的半径为r ，则4πr 2＝20π， ∴r =√5，∴该球的体积为V =43•π•（√5）3=20√5π3． 故答案为：20√5π3．12．【解答】解：由C 1的参数方程消去参数α得曲线C 1的普通方程为：（x +1）2+y 2＝2， 由曲线C 2的极坐标方程以及互化公式可得C 2的普通方程为：x +y ﹣4＝0， 依题意可得|PQ |的最小值等于圆心到直线的距离减去半径， ∴|PQ |min =2−√2=32√2． 故答案为：32√2．13．【解答】解：∵log 4(a +4b)=log 22√ab =log 4（4ab ），∴a +4b ＝4ab ，{a +4b ＞04ab ＞0得{a ＞0b ＞0，得a+4b 4ab =1，即14b+1a=1，则a +b ＝（a +b ）（14b+1a）＝1+14+a 4b +b a ≥54+2√a 4b ⋅b a =54+1=94，当且仅当a4b=ba，即a ＝2b 时取等号，即a +b 的最小值为94， 故答案为：9414．【解答】解：由g （x ）＝f （x ）﹣kx +1＝0得kx ＝f （x ）+1， 当x ＝0时，0＝f （0）+1＝0+1不成立， 即x ≠0， 则k =f(x)+1x， 若g （x ）有四个零点，则等价为k =f(x)+1x有四个不同的根， 设h （x ）=f(x)+1x， 则当x ＞0时，h （x ）=xlnx−2x+1x =lnx +1x−2， h ′（x ）=1x −1x 2=x−1x 2，则当x ＞1时，h ′（x ）＞0，函数为增函数， 当0＜x ＜1时，h ′（x ）＜0，函数为减函数，即此时当x ＝1时，h （x ）取得极小值，极小值为h （1）＝﹣1， 当x →+∞，f （x ）→+∞，当x ≤0时，h （x ）=x 2+32x+1x =x +1x +32，h ′（x ）＝1−1x 2=x 2−1x2，由h ′（x ）＞0得x ＞1（舍）或x ＜﹣1，此时函数为增函数，由h ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜0，此时h （x ）为减函数，即当x ＝﹣1时，h （x ）取得极大值，极大值为h （﹣1）＝﹣1﹣1+32=−12， 作出函数h （x ）的图象如图： 要使k =f(x)+1x有四个根，则满足﹣1＜k ＜−12，即实数k 的取值范围是（﹣1，−12）， 故答案为：（﹣1，−12）三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得acosA sinA=b 2sinB，…………（2分）∵a sinA=b sinB ，∴cosA =12，…………（4分） ∵A ∈（0，π），∴A =π3．…………（6分） （Ⅱ）∵a ＝6b ＝2c ，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，…………（8分） 整理可得36＝4c 2+c 2﹣2c 2， ∴解得c =2√3，…………（10分）∴S △ABC =12bcsinA =12×4√3×2√3×√32=6√3．…………（13分） 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A ……（1分） P(A)=C 61C 42+C 43C 103=13⋯⋯（5分）（列式（2分），结果2分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3 ……（6分）P(X =0)=C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅(1−35)=245， P(X =1)=C 21⋅(23)⋅(13)⋅(1−35)+C 20⋅(23)0⋅(13)2⋅35=1145， P(X =2)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅25+C 21⋅23⋅13⋅35=2045=49 P(X =3)=C 22⋅(23)2⋅(13)0⋅35=1245=415⋯⋯（10分）（每个结果一分） X 0123P245114549415E(X)=0×245+1×1145+2×49+3×415=2915⋯⋯（13分）（列式（1分），结果2分） 17．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得CG ∥DE 且CG ＝DE ， 故四边形CDEG 为平行四边形，∴CD ∥EG ， ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ， ∴AB ∥EG ，又EG ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ， ∴EG ∥平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO ⊥DE 交DE 于点O ，过点O 作OK ∥CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ∩平面CDEF ＝DE ，AO ⊂平面ADE ， ∴AO ⊥平面CDEF ， ∵CD ⊥DE ，∴OK ⊥DE ，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则D （0，﹣1，0），E （0，2，0），C （3，﹣1，0），F （3，3，0），A(0，0，√3)，D （0，﹣1，0），∴DC →=(3，0，0)，DA →=(0，1，√3)，BE →=(−3，2，−√3)，设平面ABCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅DC →=0m →⋅DA →=0，即{x =0y +√3z =0， 令z ＝﹣1，则y =√3，m →=(0，√3，−1)， ∴cos ＜m →，BE →＞=m →⋅BE→|m →|⋅|BE →|=3√38，∴直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为3√38， （Ⅲ）CG →=λCF →=λ(0，4，0)（0≤λ≤1）∴G （3，4λ﹣1，0）． ∴AE →=(0，2，−√3)，EG →=(3，4λ−3，0)，设平面AEG 的法向量为p →=(x ，y ，z)，则{p →⋅AE →=0p →⋅EG →=0，即{2y −√3z =03x +(4λ−3)y =0，令y ＝3，则z =2√3，x ＝3﹣4λ，∴p →=(3−4λ，3，2√3)，平面AED 的法向量为q →=(1，0，0)，|cos ＜p →，q →＞|=|p →⋅q →||p →|⋅|q →|=|4λ−3|√(4λ−3)+21=√2211，解得(4λ−3)2=143，∴4λ=3±√423，∴|CG |＝λ|CF |＝4λ=3±√423， ∵|CG |≤4，∴|CG|=3−√423．18．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是等差数列S 5＝35 ∴S 5=5(a 1+a 5)2=35，a 3＝7， ∵a 2＝5， ∴d ＝2，∴a n ＝a 2+（n ﹣2）•2＝2n +1． 当n ＝1时 T 1＝2b 1﹣1， ∴b 1＝1．当n ≥2时 T n ﹣1＝2b n ﹣1﹣1 又∵T n ＝2b n ﹣1， ∴b n ＝2b n ﹣2b n ﹣1b n ＝2b n ﹣1∴{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． ∴b n =2n−1． （Ⅱ）∵S n =n(a 1+a n )2=n(n +2)， ∴2S n=2n(n+2)=1n−1n+2设前2n 项中奇数项的和为A n ，偶数项的和为B n A n =1−13+13−15+15−⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1=2n 2n+1．B n =a 2b 2+a 4b 4+⋯+a 2n b 2n =5×21+9×22+⋯+(4n +1)×22n−1①4B n =5×22+9×23+⋯+(4n +1)×22n+1②， ①﹣②得：−3B n =5×21+4×(23+25+⋯+22n−1)−(4n +1)×22n+1．−3B n =5×21+4×23−22n−1⋅41−4−(4n +1)×22n+1， −3B n =5×21+4×(−83+22n+13)−(4n +1)×22n+1−3B n =−23+(13−4n)⋅22n+1B n =(12n−1)⋅22n+19+29．∴P 2n=(12n−1)⋅22n+19+29+2n2n+1． 19．【解答】（Ⅰ）解：∵抛物线x 2=−4√3y 的焦点是(0，−√3)，∴b =√3⋯⋯（1分）． ∵ca =√22，a 2＝b 2+c 2∴a =√6，c =√3⋯⋯（2分）． ∴椭圆C 的方程x 26+y 23=1⋯⋯（3分）（Ⅱ）（i ）设A （x 0，y 0）那么D （x 0，﹣y 0）．∵M 是线段AN 的中点∴A （x 0，2m ）D （x 0，﹣2m ）……（4分）． ∴k =2m−m x 0=m x 0，k ′=−2m−m x 0=−3m x 0⋯⋯（5分）， ∴3k +k ′＝0……（6分）（ii ）根据题意得：直线AM 的斜率一定存在且k ＞0 设直线AM 为y ＝kx +m ，则直线DM 为y ＝k ′x +m ＝﹣3kx +m 由{y =kx +m x 26+y 23=1可得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣6＝0……（7分） 利用韦达定理可知：x 0⋅x B =2m 2−61+2k2，∴x B =2m 2−6(1+2k 2)x 0⋯⋯（8分），∵3k +k ′＝0，∴同理可得x G =2m 2−6(1+2k ′2)x 0=2m 2−6(1+2(−3k)2)x 0=2m 2−6(1+18k 2)x 0⋯⋯（9分），∴k BG =y B −y G x B −x G =kx B +m−(−3kx G +m)x B −x G =kx B +3kx Gx B −x G=k 2m 2−6(1+2k 2)x 0+3k 2m 2−6(1+18k 2)x 02m 2−6(1+2k 2)x 0−2m 2−6(1+18k 2)x 0=k 1+2k 2+3k 1+18k211+2k 2−11+18k2=k+18k 3+3k+6k 31+18k 2−1−2k 2#/DEL/#=4k+24k 316k 2=14k +32k#/DEL/#∵k ＞0，∴k BG =14k +32k ≥2√14k ⋅32k =√62 当且仅当14k=32k 时 即为k =√66时 等号成立 ……（14分）（不求出k 值，不扣分）20．【解答】解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝x •e ﹣x ， ∴f ′（x ）＝e ﹣x ﹣x •e ﹣x ＝e ﹣x （1﹣x ）……（1分）∴f ′（0）＝1，f （0）＝0，∴函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x ．……（2分）（Ⅱ）由题意，f '（x ）＝（2ax +1）e ﹣x ﹣（ax 2+x +a ）e ﹣x ＝﹣e ﹣x [ax 2+（1﹣2a ）x +a ﹣1]＝﹣e ﹣x （x ﹣1）（ax +1﹣a ）．……（3分）（ⅰ）当a ＝0时，f '（x ）＝﹣e ﹣x （x ﹣1），令f '（x ）＞0，得x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＞1，所以f （x ）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（4分） （ⅱ）当a ＞0时，1−1a ＜1，令f '（x ）＞0，得1−1a ＜x ＜1；f '（x ）＜0，得x ＜1−1a 或x ＞1，……（5分） 所以f （x ）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a )，（1，+∞）单调递减，………（6分）（Ⅲ）令g （a ）＝e ﹣x （x 2+1）a +xe ﹣x ，a ∈（﹣∞，0]，当x ∈[0，+∞）时，e ﹣x （x 2+1）≥0，g （a ）单调递增，则g(a)max =g(0)=xe −x ，………………（7分）则g （a ）≤bln （x +1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln （x +1）≥g （a ）max ＝g （0），即xe ﹣x ≤bln （x +1），对x ∈[0，+∞）恒成立．………（8分）（ⅰ）当b ≤0时，∀x ∈（0，+∞），bln （x +1）＜0，xe ﹣x ＞0，此时xe ﹣x ＞bln （x +1），不合题意，舍去．…………（9分）（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则ℎ′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……（10分）其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……（11分）①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………（12分）②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h （0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……（13分）综上所述，b≥1．…………（14分）。

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．1255i -10．30 11．8312．相交 13．14．84三、解答题：（本大题共6个小题，共80分） 15．解： （Ⅰ）由题意，得2()cos sin f xx x x =- ………………………………1分1sin 2cos2)22x x =-+ …………………………………3分 1sin 2cos 2222x x =--sin(2)32x π=--.…………5分所以()f x 的最小正周期22T p ==p ，其最大值为12-. …6分（Ⅱ）令2,3z x π=-则有函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,22k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z . ………7分由222232k x k πππ-+π≤-≤+π,得5,.1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ………9分 设5,,,331212A B x k x k k π2π⎧ππ⎫⎡⎤==-+π≤≤+π∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z ， 易知,312AB π5π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. ………………………………………………………12分所以，当,33x π2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,312π5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 在区间1235π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减. ………………13分 16．解：（Ⅰ）设事件A 为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有2121125()1(1)23322318P A ⎛⎫=⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………………4分 （Ⅱ）由已知得：随机变量 的所有可能取值为2,3,4， ……………………………5分所以，()211232721221P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………6分 12112111(3)1(1)233223223313P ξ⎛⎫==⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭， ……………………8分()111411223212P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………………………………10分从而…………………………………………………12分所以，7115()234123122E x =???. …………………………………13分17．解：（Ⅰ）证明：因为,Q P 分别是,AE AB 的中点，所以，1//,2PQ BE PQ BE =，……2分 又1C//,2D BE DC BE =， 所以，//PQ DC ，PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD ，…………3分所以，//PQ 平面ACD . ……4分（Ⅱ）因为DC ⊥平面ABC ，90.ACB ∠=︒以点C 为坐标原点，分别以,,CD CA CB 的方向为,,z x y 轴的正方向建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………………………5分 则得(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,0,0),(4,0,4)C A B D E ， ………………………6分 所以(0,4,4),(2,0,4)AB DE =-=，……………………………………………7分 所以10cos ,5AB DE AB DE AB DE⋅==， ………………………………………8分 所以异面直线AB 与DE 所成角的余弦值5. …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知(0,4,4)AB =-，(4,4,4)AE =-，设平面ABE 的法向量为(),,,n x y z =00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则，⎩⎨⎧=+-=+-0444044z y x z y (0,1,1)n 所以=. ………………………10分 由已知可得平面ACD 的法向量为以(0,0,4)CB =， 所以2cos ,n BC n BC n BC⋅==. ………………………………………….……12分 故所求平面ACD 与平面ABE 所成锐二面角的大小为45︒.......……….………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为 ，.……………………………………………1分由432293a a a -=⎧⎨=⎩得222(2)93a q q a ⎧-=⎨=⎩，.......…………………………………………2分解得3q =或1q =-.......………………………………………………………………3分 因为数列{}n a 为正项数列，所以3q =，...………………………....………………4分 所以，首项211a a q==，..........………………………………………………………5分 故其通项公式为13n n a -=..........………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()32221log (21)(21)n n b n a n n +=-⋅=-+，.......…………………8分所以11111()(2n 1)(21)22121n b n n n ==--+-+，.......………………………10分 所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=-+-++--+ 1112422n =-<+.......……………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点为()11,0F-知:1c =，即221a b -=.①....………2分又因为直线11B F 的方程为0bx y b -+==b =.……4分 由①解得24a =.故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=....…………………………………………5分（Ⅱ）假设存在过点A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在，于是可设直线l 的方程为()2y k x =-，...............…………………………………6分由()221432x y y k x +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得()2222341616120k x k x k ++-=-.（*）.......………8分 因为点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且2A x =所以22161234A B k x x k-⋅=+，所以228634B x k k -+=， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭....……………………………………………………10分 所以2221612,3434k k OA OB k k ⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭，即222141612,73434k k OT k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭. 因为点T 在圆222x y +=上，所以2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，……11分化简得42488210k k --=，解得234k =，所以2k =±. ………………12分经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意. ………………………13分故存在满足条件的直线l ，其方程为)2y x =-. ……………….……14分 20．解：（Ⅰ）当2a =时，()ln 2f x x x =-，所以1()2f x x'=- ...............………………1分 ()1121f '=-=-， ..........………………………………………….....……...……2分则切线方程为()21y x +=--，即10x y ++=. ………………....……………3分 （Ⅱ）①当0a =时，()ln f x x =有唯一零点1x =；…………………............………4分②当0a <时，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，因为()10f a =->，()()10a a a f e a ae a e =-=-<，所以()()10a f f e ⋅<，即函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ………6分③当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数； 且-∞→→)(,0x f x ； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 是在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上是减函数， 且-∞→+∞→)(,x f x ；所以在区间()0,+∞上，函数()f x 的极大值为11ln1ln 1f a a a⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， …8分 由10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，即ln 10a --<，解得1a e >， 故所求实数a 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………………………………………9分（Ⅲ）设120x x >>，由()10f x =，()20f x =，可得11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，所以()1212ln ln x x a x x -=-. 所以1212ln ln x x a x x -=-…........................…10分要证122x x a+>，只需证12()2a x x +>, 即证121212ln ln ()2x x x x x x -⨯+>-，即()1212122ln x xx x x x ->+. …………………11分令121x t x =>，于是()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++， …………………12分 设函数()()()21ln 11t h t t t t -=->+，求导得()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++， 所以函数()h t 是()1,+∞上的增函数，所以()()10h t h >=，即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式122x x a+>成立. …………………………………………………14分。

2019届天津市红桥区高三二模数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}321012=---，，，，，A ，{}23=≤B x x ，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{101}-，， C ．{0}1，D ．321{012}---，，，，， 【答案】D【解析】求解出集合B ，根据交集定义求得结果. 【详解】{}{}2333B x x x x =≤=-≤≤则{}3,2,1,0,1,2AB =---本题正确选项：D 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2．设变量x y ，满足约束条件203263903-≥⎧⎪+≥⎪⎨-+≥⎪⎪≤⎩y x x y x y x ，则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．152B ．92C ．94D ．2【答案】B【解析】根据约束条件得到可行域，将问题转化为2y x z =-在y 轴截距的问题，可知当截距最小时，z 取最大值；通过平移可知当过B 时满足题意，代入B 点坐标得到结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由2z x y =-可得：2y x z =-则当2y x z =-在y 轴截距最小时，z 取最大值 由2y x =平移可知，当2y x z =-过点B 时，截距最小由320x y x =⎧⎨-=⎩得：33,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭max 392322z ∴=⨯-= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查线性规划求解最值问题，关键是能够将问题转化为截距最值问题的求解，属于常规题型.3．已知 1.22a =，52log 2=b ，1ln 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】利用指数和对数函数的单调性分别判断出,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】1.21222a =>=5552log 2log 4log 51b ==<=且55log 4log 10b =>=1ln ln3ln 13c e ==-<-=-即1012c b a <-<<<<<a b c ∴>>本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性判断大小的问题，属于基础题. 4．已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由线面垂直的判定定理可得充分性成立；由l α⊂或//l α可得必要性不成立，从而可得结论. 【详解】由线面垂直的判定定理可得，若l α⊂，l β⊥则αβ⊥，充分性成立； 若l β⊥，αβ⊥，则l α⊂或//l α,必要性不成立，所以若l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选A. 【点睛】本题通过线面垂直的判断主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．如图所示的程序框图，则输出的s 值为（ ）A ．2B ．13C ．12-D ．3-【答案】A【解析】根据程序框图运行程序，直到4i =时输出结果即可. 【详解】根据程序框图运行程序，输入：02i s =⎧⎨=⎩，符合4i <，循环；则1211213i s =⎧⎪-⎨==⎪+⎩，符合4i <，循环；则211131213i s =⎧⎪⎪-⎨==-⎪+⎪⎩，符合4i <，循环； 则31123112i s =⎧⎪⎪--⎨==-⎪-+⎪⎩，符合4i <，循环； 则431231i s =⎧⎪--⎨==⎪-+⎩，不符合4i <，输出结果：2s = 本题正确选项：A 【点睛】本题考查程序框图循环结构计算输出结果问题，属于基础题.6．已知函数2(sin 2cos ()+∈f x x x x x R ，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为（ ） A ．3- B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】根据二倍角公式和辅助角公式将()f x 整理为2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据()sin y A ωx φ=+值域的求解方法求得最值.【详解】()2sin 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1s i n 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()[]0,3f x ∴∈，则()min 0f x =本题正确选项：D 【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+的值域求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式对函数进行化简，解题关键是利用x 的范围得到x ωϕ+整体的范围，根据sin x 的图象得到函数的值域.7．己知点A 是抛物线212(0)=>︰y px p C 与双曲线222221(00)-=>>︰，x y a b C a b 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】C【解析】根据点到准线距离求得A 点坐标，根据A 在渐近线上可得,a b 的关系，再利用222c a b =+得到离心率. 【详解】设()00,A x y ，则02p x p +=00,2p x y p ⇒===± 由双曲线方程可得渐近线方程为：by x a=± 若A 为抛物线与b y x a =交点，则,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得2b a = 即：224b a = 22225c a b a ∴=+=ce a∴==由对称性可知，A 为抛物线与by x a=-交点时，结论一致 本题正确选项：C 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到双曲线的几何性质、抛物线的几何性质的应用，属于基础题.8．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2 B ．-2C ．4D ．-4【答案】D【解析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3m OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S DCD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=得：12333m OA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD uuu r 反向共线 3OD mm CD ∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.二、填空题9．若i 为虚数单位，复数122+-+ii的虚部是________． 【答案】1-【解析】根据复数除法运算将复数整理为a bi +的形式，根据复数虚部概念得到结果. 【详解】()()()()1221252225i i i ii i i i +--+-===--+-+-- ∴虚部为：1-本题正确结果：1- 【点睛】本题考查复数的基本概念，关键是利用复数除法运算将复数进行化简，属于基础题. 10．一个正方体的表面积为24，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是_______． 【答案】43π 【解析】根据正方体表面积求得棱长，再根据内切球半径等于棱长的一半求得半径，代入球的体积公式得到结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则2624a = 2a ⇒= 球内切于正方体，可知该球为正方体的内切球 正方体内切球半径为正方体棱长的一半，即112R a == ∴球的体积0.9M kg =本题正确结果：43π 【点睛】本题考查正方体内切球体积的求解，关键是能够明确正方体内切球半径等于棱长的一半，属于基础题.11．极坐标系中，曲线23πθ=与6sin ρθ=的两个交点之间的距离为_______．【答案】【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程，从而将问题转化为直线被圆截得的弦长问题，利用弦长等于. 【详解】由23πθ=得：y =0y += 由6sin ρθ=得：226x y y +=，即()2239x y +-=0y +=被圆()2239x y +-=截得的弦长∴==即两个交点之间的距离为本题正确结果：【点睛】本题考查极坐标系中两点间的距离问题，常将极坐标方程化为直角坐标方程，转化成直角坐标系中的问题来进行求解.12．从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数的个数为__________．【答案】36【解析】分别讨论个位数为0和5两种情况下的无重复数字的三位数个数，利用加法原理求得结果. 【详解】被5整除的数个位为：0或5个位数为0时，符合题意的三位数有：2520A =个 个位数为5时，符合题意的三位数有：214416A A +=个∴符合题意的三位数共有201636+=个【点睛】本题考查排列组合综合应用问题，易错点是在个位数为5时，忽略0是否被取出，造成求解错误.13．设a 、b 是正实数，且2a b +=，则14a b+的最小值是_________． 【答案】92【解析】将所求式子变为()1142a b a b ⎛⎫⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，整理为符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果. 【详解】()141141414145222b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅+=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,a b 是正实数 40,0b a a b ∴>>44b a a b ∴+≥= 当且仅当4b aa b=，即2b a =时取等号 ()min 14195422a b ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭本题正确结果：92【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是构造出符合基本不等式的形式，从而得到结果，属于常规题型.14．已知113k ≤<，函数()21=--x f x k 的零点分别为1212()x x x x <，，函数()2121=--+x kg x k 的零点分别为3434()<，x x x x ，则4321()()x x x x -+-的最小值是_________． 【答案】2log 3【解析】根据零点的定义分别求解出1234,,,x x x x ，代入()()4321x x x x -+-中可得到()()421234log 31x x k x x ⎛⎫-⎪--⎝+=⎭-，根据k 的范围得到24log 31k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的最小值，从而得到结果. 【详解】由()0f x =得：21xk -=，则121x k -=-，221x k -=121x k ∴=-，221x k =+则()12log 1x k =-，()22log 1x k =+由()0g x =得：2121xk k -=+，则32121x k k -=-+，42121xk k -=+ 32121x k k ∴=-+，42121xk k =++ 则3221log 1log 2121k k x k k +⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，42231log 1log 2121k k x k k +⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()()43212222311log log log 1log 12121k k k k k k x x x x ++-∴-+++-++--= ()22222314311314log log log log log 311111k k k k k k k k k --++++⎛⎫=+===- ⎪+----⎝⎭由113k ≤<得：4331k-≥- ()()43212log 3x x x x ∴-+-≥本题正确结果：2log 3 【点睛】本题考查函数零点的具体应用，关键是通过零点的定义求得零点的坐标，从而可将所求式子化简为关于变量k 的函数，根据对数型函数最值得求解方法求得结果.三、解答题15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin sin a b a cC A B+-=-．Ⅰ.求：角B ； Ⅱ.若3b =，cos 3A =求：ABC ∆的面积． 【答案】I.3B π=；II.ABC S ∆=【解析】I.根据正弦定理化简边角关系式，构造出cos B 的形式，求得cos B ，从而得到B ；II.由同角三角函数关系求得sin A ，用正弦定理求得a ，再利用()sin sin C A B =+求得sin C ，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】I.由正弦定理可得：a b a cc a b+-=-，即222a b ac c -=- 整理可得：222a c b ac +-=则2221cos 22a cb B ac +-==()0,B π∈ 3B π∴=II.由cos 3A =得：sin 3A = 由正弦定理sin sin a b A B=可得：3sin 2sin b Aa B === 又()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=11sin 2322ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和差的正弦公式应用、三角形面积公式的应用，熟练应用定理和公式进行边角关系式的化简和未知量的求解是解题的关键，属于常规题型.16．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字． I.求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；II.求随机变量ξ的分布列和期望． 【答案】I.23；II.见解析 【解析】I.根据古典概型首先求出()P A ，利用()()1P A P A =-求得结果；II.首先确定ξ所有可能的取值，分别计算每个取值所对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得期望. 【详解】I.一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A 则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同()115831013C C P A C ∴== ()12133P A ⇒=-=II.由题意可知ξ所有可能的取值为：2,3,4,5()2112222231041212030C C C C P C ξ+====；()21124242310162312015C C C C P C ξ+====； ()21126262310363412010C C C C P C ξ+====；()21128282310648512015C C C C P C ξ+==== ξ∴的分布列为：则()1238132345301510153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查古典概型求解概率问题、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解问题，属于常规题型. 17．四边形是正方形，平面ABCD ，，，F ，G ，H 分别为，，的中点．I.证明：FG ∥/平面PED ；II.求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小；III.在线段PC 上是否存在一点M ，使直线FM 与直线PA 所成的角为60°？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且【解析】试题分析：（1）要证明线面平行，只要证线线平行，由中位线定理易得，注意写出线面平行判定定理的所有条件，都能得出结论；（2）求二面角，图形中有交于同一点的两两相互垂直的三条直线，如，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，可写出图中各点坐标，从而求得平面与平面的法向量，由法向量的夹角可得二面角（本题要求的是锐二面角）；（3）存在性命题，研究性命题，一般假设存在，并设，其中，这样可得出点坐标，由向量和向量的夹角的余弦值的绝对值等于出两异面直线的夹角的余弦，由引可求得（如求不出，说明不存在），进而可得线段长．试题解析：（1）证明：因为分别为的中点，所以又平面平面所以平面；（2）因为平面所以平面所以，又因为四边形是正方形，所以如图，建立空间直角坐标系，因为，所以因为分别为的中点，所以所以设为平面的一个法向量，则，即再令，得设为平面的一个法向量，则，即再令，得，所以所以平面与平面所成锐二面角的大小为；（3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为依题意可设，其中，由，则又因为，所以因为直线与直线所成角为，所以，即所以所以在线段上存在一点，使直线与直线所成角为，此时.【考点】线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．【名师点睛】求二面角，一种方法是根据定义作出二面角的平面角（必须证明），然后解三角形而得，这对与二面角的棱垂直的直线易知的情况较适用，另一种也是常用的方法是找出图形中两两垂直的交于同一点的三条直线，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角，可先求出二面角两个面的法向量，由法向量夹角和二面角的关系得解，这是立体几何中求空间角常用方法，主要是计算，减少了推理过程．18．已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列(*)n N ∈，24a =，且21+a 是1a 与3a 的等差中项．I.求数列{}n a 的通项公式；II.设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111=++++n nT S S S S ，证明：12n T ≤<．【答案】I.()*2n n a n N =∈；II.见解析【解析】I.根据等差中项性质得到()21321a a a +=+，再根据等比数列通项公式构造方程求得q ，从而可求得通项公式；II.根据n a 求得n b ，利用等差数列求和公式得到n S ；再根据裂项相消法求得n T ，根据2011n <≤+证得结论. 【详解】I.由题意得：()21321a a a +=+ 设数列{}n a 公比为q ，则()22221a a a q q+=+，即22520q q -+= 解得：12q =（舍去）或2q = 则212a a q== ()1*12n n n a a q n N -∴==∈ II.由I.得：2log 2nn b n ==，可知{}n b 为首项为1，公差为1的等差数列则()()1122n n n b b n n S ++== ()1211211nS n n n n ⎛⎫∴==⨯- ⎪++⎝⎭ 1111111122121222334111n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭2011n <≤+ 21221n ∴≤-<+ 即12n T ≤< 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和问题，关键是能够确定需求和的数列的通项公式符合裂项相消法的形式，从而使问题得以解决.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点A 为椭圆的右顶点，点B为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且FAB ∆的面积是1+． Ⅰ.求椭圆C 的方程；Ⅱ.设直线1x my =+与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为1P （1P 与Q 不重合），则直线1PQ 与x 轴交于点H ，求PQH ∆面积的取值范围． 【答案】I. 2214x y +=；II.PQH S ∆⎛∈ ⎝⎭ 【解析】I.根据离心率和FAB S ∆以及222a b c =+可求得,,a b c 的值，从而得到椭圆方程；II.联立直线方程与椭圆方程，假设,P Q 坐标，可得1P 坐标及根与系数的关系式：12224m y y m +=-+，12234y y m =-+；根据直线1PQ 的两点式方程表示出H 点坐标，代入根与系数关系式可求得()4,0H ，从而将所求面积变为：32换元整理后得到26611PQH t S t t t ∆==++，利用t >求得所求面积的取值范围.【详解】 I.由2c e a==得：2c a =则()111122FAB S a c b ab ∆⎛=+⋅=⨯+=+ ⎝⎭2ab ⇒= 则22222434a b c a a =+=+，解得：2a =，则1b =，c =∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=II. 由1P 与Q 不重合可知：0m ≠联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：()224230m y my ++-=，0m ≠ 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()111,P x y -则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+ 直线1PQ 的方程为：()211121y y y y x x x x ++=--令0y =，解得：212112112112x x x y x yx x y y y y y -+=+⋅=++又111x my =+，221x my =+ 则()()()211212121212121211221my y my y my y y y my y x y y y y y y +++++===++++2266411314224m m m m m m --+=+=+=+=--+即直线1PQ 与x 轴交点为：()4,0H ()12134122PQHS y y ∆∴=⨯-⨯-==，0m ≠令t =>223m t =-26611PQH t S t t t∆∴==++当t >时，1t t+单调递增，则1t t+>61t t∴<=+，又601t t>+ PQH S ∆⎛∴∈ ⎝⎭【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能够通过已知条件确定出H 点坐标，从而将所求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所求范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难题. 20．己知函数()()2xf x ax ea R =-∈，()f x '是()f x 的导数（e 为自然对数的底数）． I.当1a =时，求曲线()y f x =在点（()00f ，）处的切线方程；II.若当0x ≥时，不等式()1f x x ≤--恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】I. 10x y ++=；II. 1,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【解析】I.利用解析式和导数分别求解出切点坐标和斜率，根据点斜式方程写出切线方程；II.将问题转化为()210xg x ax e x =-++≤在[)0,+∞上恒成立；当12a ≤时，根据导数可验证出()g x 单调递减，从而满足恒成立的结论；当12a >时，根据导数可知[)0,ln 2x a ∈时，()g x 单调递增，导致不等式不恒成立，从而可确定a 的范围.【详解】I.当1a =时，()2xf x x e =-，()2xf x x e '=-则()0001f e =-=-，()0001f e '=-=-∴切线方程为：()110y x +=--，即10x y ++=II.当0x ≥时，()1f x x ≤--恒成立，即：210x ax e x -++≤在[)0,+∞上恒成立 设()21xg x ax e x =-++则()21xg x ax e '=-+，()2xg x a e ''=-①当12a ≤时，21a ≤，此时01x e e ≥=，则()0g x ''≤ 可知()g x '在[)0,+∞上单调递减，则()()00g x g ''≤=()g x ∴在[)0,+∞上单调递减 ()()00g x g ∴≤=即()1f x x ≤--恒成立 12a ∴≤满足题意 ②当12a >时，令()0g x ''=，解得：ln2x a = 当[)0,ln 2x a ∈时，()0g x ''>，则()g x '单调递增 此时()()00g x g ''≥=，则()g x 在[)0,ln 2a 上单调递增()()00g x g \?即当[)0,ln 2x a ∈时，()1f x x ≥-- 即()1f x x ≤--不恒成立，可知12a >不合题意综上所述，1,2 a⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数解决不等式恒成立问题，处理自变量取值范围的临界点恰为恒成立的式子取等号的点的恒成立问题时，通常采用构造函数的方式，将问题转变成与零的大小比较，根据导数符号恒定即函数单调性恒定，确定取值范围；再说明在所得范围的补集上不恒成立，从而使问题得以解决.。