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极坐标系 课件

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1.3极坐标系课件(上课)

1.3极坐标系课件(上课)
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有,(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+π+2kπ) k Z
作业
报纸1
为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
设M是平面内任意一点，它的直角坐标（x，y），
y
极坐标是（，）。从图1 — 14可以得出他们之
间的关系： y


0
x
M y
Nx
极坐标与直角坐标的互化公式。
x cos，y sin ①
2 x2 y2，tan y (x 0)
G(2, )
4
M
M 2，
4
O
X
G 2，
G

4
极径是负的时候M点为：
M 2，5

4
负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要 情况下，极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
两名新兵眼睁睁地看着飞机逐渐临近：7点30分，47英里；7点
39分，22英里。突然疾驶而来的机群一分为二，从雷达屏上消失 了。
几分钟以后，爆发历史上著名“珍珠港事件”……
•这种用方向和距离表示平面上 一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想.
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
x
当点不在第一象限内 时，是否还成立？ 原理是什么？
三 知识应用
例1：将点M的极坐标（5，2 ）化成直角坐标。
3
解：x 5cos 2 ，y 5sin 2 5 3
3
32
所以，点M的直角坐标（ 5，5 3 ）。 22

人教版高中数学课件-极坐标系

人教版高中数学课件-极坐标系
二 極坐標系 第1課時 極坐標系的概念
【自主預習】
1.極坐標系
(1)取極點:平面內取一個______. 定點O
(2)作極軸:自極點引一條射線Ox.
(3)定單位:選定一個長度單位,一個角度單位(通常取
弧度)及其正方向(通常取逆時針方向).
2.點的極座標
(1)定義:有序數對(ρ,θ)叫做點M的極座標,記為
2.如圖,在極坐標系中, (1)作出以下各點: A(5，0)，B(3，)，C(4，3)，D(2，－3). (2)求點E,F的6 極座標2(ρ,θ)(ρ2≥0,θ∈R).
【解析】(1)如圖,在極坐標系中,點A,B,C,D的位置是 確定的. (2)由於點E的極徑為4, 在θ∈[0,2π)內,極角 又因為點的極座標為(ρ,θ)(7ρ6≥，0,θ∈R),
【解析】因為 2 ，
3 62
故∠AOB=90°,故
AB 62 62 6 2.
【延伸探究】 1.本例已知條件不變,試求△AOB的面積.
【解析】因為 2 故 ∠，AOB=90°, 3 62
所以S△AOB=1 6 6 18. 2
2.本例已知條件不變,試求線段AB中點的極座標.
【解析】設線段AB中點M的極座標為(ρ,θ),
【變式訓練】1.在極坐標系中,極軸的反向延長線上一 點M與極點的距離為2,則點M的極座標的下列表示: ①(2,0);②(2,π);③(2,-π);④(2,2kπ)(k∈Z). 其中,正確表示的序號為____________.
【解析】由於極軸的反向延長線上一點M與極點的距離 為2,極角的始邊為Ox,終邊與平角的終邊相同,故點M的 極座標為(2,π+2kπ)(k∈Z),故②③正確. 答案:②③
兩點 A( 5, 5 )，B(7, 7 ) 間的距離是 ( )

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

极坐标系公开课精品PPT课件

极坐标系公开课精品PPT课件

（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be

极坐标系 课件

极坐标系 课件
所以 θ＝34π，所以直角坐标(－2,2)化为极坐标为2 2，34π.
(2)ρ＝ 22＋－2 32＝4，tan θ＝－22 3＝－ 3， θ∈[0,2π)，由于点(2，－2 3)
在第四象限，所以 θ＝53π，所以直角坐标(2，－2 3)化为极坐标为4，53π.
(3)ρ ＝
－ 23π2＋－32π2 ＝
【例题 2】 写出下列各点的直角坐标．
(1)4，23π；(2)2，56π；(3)4，－π3.
思维导引：由公式yx＝＝ρρscions
θ， θ
结合点的极坐标(ρ，θ)求解．
解析：(1)由x＝4cos23π＝4×－12＝－2， y＝4sin23π＝4× 23＝2 3，
得4，23π的直角坐标为(－2,2 3)．
(2)由x＝2cos56π＝2×－ 23＝－ 3， y＝2sin56π＝2×12＝1，
得2，56π的直角坐标为(－ 3，1)． (3)由yx＝＝44scions－－π3π3＝＝44××12－＝223，＝－2 3， 得4，－π3的直角坐标为(2，－2 3)．
•考点三 将点的直角坐标化为极坐标
• (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； • (2)注意极径和极角的取值范围．
1＋4－4×cosπ3＝ 3.
【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)(－2,2)；(2)(2，－2 3)；(3)－ 23π，－32π.
借助ρ＝ x2＋y2求ρ 思维导引：由已知―由―t―an―θ―＝―yx―x≠―0―求―θ→转化为极坐标． 解析：(1)ρ＝ －22＋22＝2 2，tan θ＝－22＝－1，θ∈[0,2π)，由于点(－2,2)在第 二象限，
【例题 1】 在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，

1.2.1《极坐标系的概念》课件(新人教选修4-4).

1.2.1《极坐标系的概念》课件(新人教选修4-4).
6
C(3, )
2
F (4, )
第15页，共43页。
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
第16页，共43页。
要求写出各点： [1]最小正极角的极坐标 [2]最大负极角的极坐标
[3]点的极坐标的统一表达式。
第17页，共43页。
本节课总结：
[1]极坐标系的建立需确定几条？
极点；极径；长度单位和角度正方向。
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么 意思？
有比较才能有鉴别！
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确 定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
第21页，共43页。
五、4、正、负极径时，点的确定过程比较
画出点 （3，/4） 和（-3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4
想一想？
极点（0，）（ R） 即极点有无数个极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
第13页，共43页。
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他 4
表达式。
O 思：这些极坐标之间有何异同？
就叫做M的极坐标。
O X
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极 点O的距离；表示从OX到OM的角度，既以OX （极轴）为始边，OM 为终边的角。
第11页，共43页。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6

极坐标系 课件

极坐标系 课件

约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x y
cos sin
，或
2 tan
x2
y2， y. x
5. ① ② ③两种坐标系的单位长度相同.
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
(4,0)
2，π 4
3，π 2
(2)回答下列问题： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？
答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多 值性引起
极坐标系
1．极坐标系的建立 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．

极坐标系的概念 课件

极坐标系的概念 课件

4．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与__(ρ_， ___θ_＋__2_k_π_)_(k_∈__Z__)表示同一个点．特别地，极点 O 的坐标为 (0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有 无数 种表示． 如果规定 ρ＞0， 0≤θ＜2π ，那么除 极点 外，平面内的点可用 唯一 的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一 确定的．
极坐标系的概念
1．平面内点的位置 在平面直角坐标系中，点的位置用有序实数对确定，平面内的点的位置也可以用距离 和角度确定． 2．极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫作极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取 逆时针 方向)，这样就建立了一个极坐标系．
2．设点 A2，π3，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点 A 关于极轴， 直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ＞0，－π＜θ≤π)． 解析：如图所示，
C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π. 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆上．
D300
2，34π，E(300，π)，F150
2，34π.…………………………………12 分
[规律探究] 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随着极角的范围的不同， 点的极坐标的表示也会不同，只有在 ρ≥0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐 标才是唯一的．
3．极坐标 设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫作点 M 的 极径 ，记为 ρ；以极
轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的 极角 ，记为 θ.有序数对_(_ρ_，__θ_)_ 叫作点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ． 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ ≥ 0，θ 可取 任意实数 ． 特别地，当点 M 在极点时，它的极坐标为 (0，θ) ，θ 可以取 任意实数 ．

极坐标系 课件

极坐标系 课件

ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0.
.
[例 1] 已知点 Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点 P 的极 坐标．
(1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； (2)点 P 是点 Q 关于直线 θ＝π2的对称点． [思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和 极角两个量，为此应明确它们的含义．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的 极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的 极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的 对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一 对应的．
[例 2] (1)把点 A 的极坐标(2，76π)化成直角坐标； (2)把点 P 的直角坐标(1，－ 3)化成极坐标．(ρ>0， 0≤θ<2π)． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解 题．
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ，自极点O引一条射线Ox，叫做 极轴 ；再选定一个 长度单位 ，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取
逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一 点M，用ρ表示 线段OM长度，用θ表示 射线Ox到OM的
[解] (1)x＝2cos76π＝－ 3，
y＝2sin76π＝－1，
故点 A 的直角坐标为(－ 3，－1)．
(2)ρ＝
12＋－
32＝2，tan
－ θ＝ 1
3＝－
3.
又因为点 P 在第四象限且 0≤θ<2π，得 θ＝53π.
因此点 P 的和直角坐标互化的前提条件有三，即极点 与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位， 三者缺一不可．

极坐标系的概念课件ppt

极坐标系的概念课件ppt

C
3
5
2
3
(-, +)
E(3,- )
6
11 6
F(-4,-
3
)
都是同一点的
Page ▪ 17 (, 2k+) (-, +(2k+1))
极坐标.
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
Page ▪ 18
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
课后作业
思考:
从这向南 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素?
它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
Page ▪ 4
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
Page ▪ 16
寒假来临，不少的高中毕业生和大学 在校生 都选择 去打工 。准备 过一个 充实而 有意义 的寒假 。但是 ，目前 社会上 寒假招 工的陷 阱很多
5
2
3•
F
6 B•
A•
2
D

高二数学(理)《极坐标系》(课件)

高二数学(理)《极坐标系》(课件)

湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
4. 例题感悟: 点 M ( , ) ,则M关于 下列条件对称的点M'坐标:
①关于极轴; ②关于θ=
③关于极点。
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012坐标和直角坐标的互化公式;
2. 极坐标和直角坐标的互化体现
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
《考一本》P8-P11
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
③圆 x 2 + y 2 = 4 的极坐标方程为______.
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
拓展2：已知椭圆的中心为O, 长轴、 短轴分别长为2a, 2b(a>b>0), A、B分别 为椭圆上的两点, 且OA⊥OB。
1 1 (1)求证： 为定值。 2 2 | OA | | OB | ( 2)求S AOB 的最值。
了什么数学思想?
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期
3. 完成教材P11例3、例4，体会点 坐标的互化.
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
拓展1：①曲线的极坐标方程ρ=4sinθ 化为直角坐标方程为______;
p p 2 ②点 ( 2 , ) 到曲线 p sin(q - ) = 4 4 2 的距离等于_________；
极坐标系
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2012年上学期
研读教材P9-P10: 1. 极坐标系的概念及其作用; 2. 如何在极坐标系中刻画任意 一点M的极坐标?利用P9例1及P10例2 再体会.
湖南长郡卫星远程学校 制作 12 2012年上学期

极坐标的概念第一课时课件

极坐标的概念第一课时课件
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应. 原因在于：极角有无数个.
[3]如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π那么除极点外,平面内 的点和极坐标就可以一一对应了.
练习1：用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图书馆,实验楼,办公楼的位置,建立适当的极坐标
系,写出各点的极坐标。（规定： 0, 0，2 ）
(,)就叫做M的极坐标.
0, R
O
M (,)
X
例1.在极坐标系里描出下列各点.
A(3, 0) , B(5, 2 ) , C(4, 5 ) , D(5, 4 ) , E(3, 5 )
3
3
6
例2. 如图,在极坐标系中,写出点A,B,C的极坐标
B A
C
极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的 一点M；
的对称点.
注意点P的极坐标具有多值性.
直角坐标系与极坐标系的区别和联系
外在形式 相同点
直角坐标系
原点, 横 、纵坐标
极坐标系
极点,极轴
都是用有序数对表示平面内点的坐标，都可以求两 点间距离，都可以用来描述曲线。
点的坐标表示
平面内点与坐 标的对应关系
横、纵坐标(x, y) 一一对应
极径、极角(, )
3.极坐标系的建立
在平面内取一个定点O，叫做极点 引一条射线OX，叫做极轴 再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取 弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）
这样就建立了一个极坐标系
O
X
4.极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,
用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的角,
叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对

市属优质课极坐标PPT课件

市属优质课极坐标PPT课件

120m
（1）如图建系，C点的坐标 还有其它表示方法吗？
（2）这些极坐标有关系吗？
x
（３）在极坐标系下一个点和它的 极坐标是一一对应的吗？
F
思考二：
D
C
120m
E 50m
45oபைடு நூலகம்
60 o
B
A 45o 60m
50m
G
120m
观察图中点C与点F的位置关系， E与G的位置关系，请问它们的极坐标 有联系吗？你能得出怎样的结论？
6
12
12
(３)如图，求在极坐标系下： A、B两点间的距离， B、C两点间的距离。
2
A(3,
)
3
o
C(2,0)
x
B(3,-
)
3
小结：
（１）建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向
（２）极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个。（ρ，2kπ+θ）
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内 的点和极坐标就可以一一对应了.
x
F
牛刀再试：
（1）已知点 P(3, ) ，下列坐标表示的点
6
与点P重合的有
与点P关于极轴对称的有
与点P关于极点对称的有
（２）P点绕着极点顺时针旋转 4 后的点的坐标为
A(3, )
6
B(3, 13 )
6
C(3, 11 )
6
D(3, 5 )
6
E(3, 7 )
6
F (3, 5 )
5
G(3, )
H (3, )
的坐标.
实 验 室 D C图 书 馆
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OX到OM 的角度， 叫做M的极
径， 叫做点M的极角，有序数对 O
（，）就叫做M的极坐标。
x
特别强调：表示线段OM的长度，既点M到极点O的距离； 表示从OX到OM的角度，既以OX（极轴）为始边，OM 为终 边的角。
例1：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
3
G 5
3
特别规定：当M在极点时，它的极坐标
四、负极径
4.正、负极径时，点的确定过程比较
画出点（3，/4）和（-3，/4）.
①点（3，/4）
1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的上取一点M，使OM= 3.
M O
P X
②点（-3，/4）
1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的反向延长线上取一点M， 使OM= 3.
P
O
X
M
四、负极径
特别强调：以后不特别声明， 0 。 因为，负极径只在极少数情况用。
练习：写出下列各点的负极径的极坐标。
（3，/4） （3，-/4）
答：（-3， + /4）（-3， - /4）
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
探索点M（3，4 ）的所有极坐标
1.极径是正的时候：
3，2k
4
P M
O
X
5.负极径的实质
P
从比较来看，负极径比正极径多了一个 M
操作，将射线OP“反向延长”。
O
X
而反向延长也可以说成旋转 ，因此，
P
所谓“负极径”实质是管方向的。这
与数学中通常的习惯一致，用“负”
表示“反向 ”。
O
X
M
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 . 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示“反向”.
= 0， 可以取任意值。 极点（0，）（ R）
即极点有无数个极坐标。
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他表达式。
1.这些极坐标之间有何异同？
极径相同，不同的是极角。
O
2.这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
4，2kπ+
π 4
M x
例2：在极坐标系里描出下列各点.
A(3, 0)
D(5, 4 )
3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) E(3, 5 )
6
C(3, )
2
F (4, )
A(3, 0), B(6, 2 ),C(3, ), D(5, 4 ), E(3, 5 ), F(4, ),G(6, 5 )
2 3
6
3
2
4
5
6
C E
F
A O
B X
4
D
3
G 5
3
1.极坐标系的建立需确定几条？ 极点；极径；长度单位和角度正方向。
2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角引起的。
1.建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
2.极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个。
3.一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ，2kπ+θ）
3.一点的极坐标有否统一的表达式？
有。
，2k
4
四、负极径
1. 负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下， 极径也可以取负值。
对于点M（，）负极径时的规定：
1.作射线OP，使XOP= ;
P
2.在OP的反向延长线上取
一点M，使OM=
O
X
M
四、负极径
2.负极径的实例
在极坐标系中画出点 M（-3，/4）的位置.
解：1.作射线OP，使XOP= /4; 2.在OP的反向延长线上取一点M， 使OM= 3.
O
M
P = /4
X
四、负极径
3.关于负极径的思考
“负极径”真是“负”的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所
说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？
把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定 过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？
极坐标系
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 （通常取逆时针方向）。
O x
这样就建立了一个极坐标系。
极坐标系的四要素？
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表
M
示线段OM的长度，用 表示从
2.极径用“-3”：
（ 3，2k )
4
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
1.首先，给定极坐标M（，）在平面
上可以确定唯一的一点，却有
无数个极坐标。
O
X
原因：极径有正有负；极角有无数 P
个。但是，有统一表达式两个。
如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.