选修极坐标系(课堂PPT)

化成直角坐标. 解:
5 3 3 x 3cos 6 2 5 3 y 3sin 6 2
3 3 3 点M的直角坐标为 ( 2 , 2 )
所以,
例2.（2） 将点M的直角坐标 (
3, 1)
化成极坐标. 解:
( 3) （ 1） 2
2 2
7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
1 3 tan 3 3
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A ( 3, 3 )
B (1, 3 )
C ( 5 ,0 ) E ( 3,3)
D (0,2)
F (3, 0)
小结
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) x=ρcosθ, y=ρsinθ
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
例1.（1）在极坐标系中，画出以下点
A(2, ) 6 B(3, ) 6 2 C (1, ) 3

E (5, 0)
F (0, )
G (0, ) 3Βιβλιοθήκη D(4, )
特别规定： 当点M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值
例1.（2）说出下图中各点的极坐标


2
5 6
C E D O B A X
二、极坐标和直角坐标的互化
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 ( x, y ) 极坐标为(ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ

（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be

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4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
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以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
请问： 去广州塔怎么走？
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以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
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从这向东 2000米。
请问： 去广州塔怎么走？
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请分析这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
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3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，

4

M
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
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在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的 还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她 写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦 截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡 尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了 这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊 在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。这最后一封 信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。 国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告 人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没 有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每 天闷闷不乐，便把这封信给了她。

数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
4
（2）已知两点P（5、5 ），Q（1， ），求线段PQ的长度。
4
,4
（3）说明满足条件 , 0的点M（，）所组成的图形
3
若（3）中的 R，则M表示什么样的图形？
思考：在本节开头关于修建高速公路的问题中能否
M
思考: 对比直角坐标系，比较异同。
(1)要素：_极__点__、_极__轴__、__长__度_单__位__、_
计__算__角__度_的__正__方__向_______；O
(2) 平面内点的极坐标用_(_,__)_表示.
X
极点的极坐标为 (0, ), 可为任意值. ____________________
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
极坐标系
建构数学
1、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点. 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和计算角度的正方向。 （通常取逆时针方向）.
O X
这样就建立了一个极坐标系.
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度, 用表示以射线OX为始边,射线OM为终边所成的 角,叫做点M的极径, 叫做点M的极角,有序数对 (,)就叫做M的极坐标。

将点的直角坐标化为极坐标
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定 ρ≥0,0≤θ<2π)．
(1)(－2,2 3)；(2)( 6，－ 2)；(3)(32π，32π)． 【思路探究】 利用公式 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)，但 求角 θ 时，要注意点所在的象限．
【自主解答】 (1)∵ρ＝ x2＋y2＝ －22＋2 32＝4， tan θ＝yx＝－ 3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,2 3)在第二象限， ∴θ＝23π. ∴点的直角坐标(－2,2 3)化为极坐标为(4，23π)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 62＋－ 22＝2 2， tan θ＝yx＝－ 33，θ∈[0,2π)， 由于点( 6，－ 2)在第四象限， ∴θ＝116π. ∴点的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标为(2 2，116π)．
(3)∵ρ＝ x2＋y2＝ 32π2＋32π2＝3 22π，tan θ＝xy＝1， θ∈[0,2π)．
直线，分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标 (限定 ρ>0，－π<θ≤π)．
【思路探究】 欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ 的值．
【自主解答】如图所示，关于极轴的对称点为 B(2，－π3)．
关于直线 l 的对称点为 C(2，23π)． 关于极点 O 的对称点为 D(2，－23π)． 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
将点的极坐标化为直角坐标 写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点
在第几象限． (1)(2，43π)；(2)(2，23π)；(3)(2，－π3)；(4)(2，－2)． 【思路探究】 点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsionsθθ ―→点
的直角坐标(x，y)―→判定点所在象限．

答案：③④
【拓展提升】极坐标系与点的极坐标的特点
(1)极坐标系是由始边、终边构成的角为背景的平面坐标系， 点M的极坐标(ρ,θ)的几何意义是 r = OM ， ∠xOM=θ(一般 用弧度数表示). (2)在极坐标系中，点M的极坐标不惟一，可以表示为 (ρ,θ+2kπ)(k∈Z)，其中θ∈［0,2π).
【变式训练】 1.极坐标系中，点M(1,θ ),θ ∈［0,π ］的轨迹为( A.点 B.射线 C.圆 D.半圆 )
2.极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2， 则点M的极坐标的下列表示：①(2,0)；②(2,π )； －π )；④(2,2kπ )(k∈Z). 其中，正确表示的序号为________. ③(2,
1.点与极坐标可以建立一一对应关系吗？ 提示：由于极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)都有 惟一确定的点与之对应，但是，对于给定一点 M,可以有无数 个有序数对(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)与之对应，所以极坐标系中 的点与极坐标不能建立一一对应关系 .
2.如图所示，已知△OM′M是等腰直角 三角形，且｜OM′｜= 2 ,则点M的一个 极坐标是______________.
类型 一
极坐标系与点的极坐标
【典型例题】 1.在极坐标系中，极坐标(1,π )表示的点M与极点O之间的距 离为______，点M的极角为______.
2.关于极坐标的下列叙述： ①极轴是一条直线； ②极坐标(ρ ,θ )表示的点不惟一； ③极坐标(2,2kπ )(k∈Z)表示的点在极轴上；
p ( r , ④点 3 )(r ? 0) 的轨迹是端点为极点的射线.
【解析】1.选D.极坐标系中，由于点M(1,θ),θ∈［0,π］ 的极径为1，极角θ∈［0,π］是一个变量，故点M的轨迹为 圆心在极点，半径为1的上半圆. 2.由于极轴的反向延长线上一点M与极点的距离为2，极角的 始边为Ox，终边与平角的终边相同，故点M的极坐标为 (2,π+2kπ)(k∈Z)，故②③正确. 答案：②③

如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他表达式 . O
思考：这些极坐标之间有何异同？
极径相同，不同的是极角。
M X
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
4
，2
k
π
+
π 4
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练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
C.(－ρ,θ＋π) D.(－ρ,π－θ)
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26
3.在极坐标系中,与点(－8, 6 )关 于极点对称的点 的一个坐标是
(A)
A.(8, )
6
C. (－8, 5 )
6
B. (8, － 5 )
6
D.(－8, － )
6
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课堂小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？ 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
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4
巩固练习
选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。 y
F
E
A
O
D
x
B
C
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五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标
M [1]极径是正的时候：
3，2k
4
O
[2]极径是负的时候：