均值不等式应用求最值的技巧_题型分析

例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。

本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。

1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。

例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。

2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。

如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。

如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。

对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。

3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。

例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。

我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。

同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。

4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。

当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。

我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。

5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。

在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。

综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。

通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。

用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是数学中的一种重要的不等式关系，用于描述一组数据的平均值与其他性质之间的关系。

它可以应用于各种问题，如最值问题、优化问题等。

使用均值不等式来求解最值问题的方法和技巧有以下几个方面。

1.确定使用哪种均值不等式：均值不等式有许多种，如算术均值不等式、几何均值不等式、平方均值不等式等。

不同的均值不等式适用于不同的情况。

在解题时，要根据具体情况选择适合的均值不等式。

通常，当问题中涉及到平方和、乘积、根号等运算时，选择平方均值不等式；当问题中涉及到和、平均数等运算时，选择算术均值不等式；当问题中涉及到几何平均数、平方根等运算时，选择几何均值不等式。

2.清晰确定问题的条件和目标：在解决最值问题时，首先要清晰地确定问题的条件和目标。

条件是指问题中已知的信息，目标是指要求解的最值。

只有明确了条件和目标，才能有针对性地选择适合的均值不等式，并通过变换和推导进行求解。

3.运用不等式性质进行变换：在使用均值不等式进行求解时，可以根据题目中给出的条件进行变换，使得问题更容易求解。

如将含有平方和的表达式进行整理，将含有乘积的表达式进行拆分等。

变换后可利用不等式的性质，如对称性、单调性、对数性质等来推导和求解。

4.找到合适的等号成立条件：根据均值不等式的性质，等号成立的条件通常与数据的性质相关。

找到合适的等号成立条件不仅是验证结果的正确性，还可以通过这些条件求解最值问题。

例如，在求解两个数的平方和的最小值时，可通过设等号成立条件来求解。

5.结合其他方法进行求解：在使用均值不等式解决最值问题时，有时候也需要结合其他方法和技巧进行求解。

例如，可以结合求导、代数方法、几何方法等来解决一些复杂的最值问题。

这样可以提高问题的求解效率和准确性。

综上所述，运用均值不等式求解最值问题需要根据题目的条件和目标选择合适的不等式，进行变换和推导，并找到合适的等号成立条件。

同时，也可以结合其他方法和技巧进行求解。

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。

它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。

下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。

1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。

这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。

2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。

对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。

使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。

3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。

对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。

4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。

对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。

用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式（Mean Inequality）是数学中常用的一种方法和技巧，用于求解包含均值的不等式问题。

它的核心思想是通过求解众多数据的平均值来确定问题的最值范围。

1.均值不等式的基本形式均值不等式分为均值-均值不等式和均值-次方均值不等式两种基本形式。

均值-均值不等式：对于任意给定的两个非负实数a和b，以及两个实数λ和μ满足λ+μ≠0，有：√(λa^2+μb^2)≥，λa+μb，/√(λ+μ)均值-次方均值不等式：对于任意给定的n个非负实数x₁，x₂，…，xₙ，以及实数p≥q>0，有：((x₁^p+x₂^p+…+xₙ^p)/n)^(1/p)≥((x₁^q+x₂^q+…+xₙ^q)/n)^(1/q)2.求解最值的一般步骤步骤1：根据不等式问题的具体情况，确定合适的均值不等式形式，即选择均值-均值不等式还是均值-次方均值不等式。

步骤2：根据题目给出的条件，选取合适的数据进行计算和代入，找到不等式中的系数和指数。

步骤3：应用均值不等式，将不等式转化为计算均值的形式。

步骤4：通过简化计算和代入数值，利用均值不等式得到最终的结果。

3.常见应用场景和例题分析均值不等式常用于求解最值问题，特别是在高中数学中的函数极值和数列极限中经常用到。

例如，求解非负整数a，b，c的最小值问题，已知条件是ab+bc+ca=8，可以利用均值不等式进行求解。

解题思路：设S=a+b+c，则利用均值-均值不等式可得：(S^2 + S^2 + S^2) / 3 ≥ (ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2) / 6代入条件ab+bc+ca=8，化简后可得：S^2≥(8+a^2+b^2+c^2)/4而根据平方平均不等式可得：(a^2+b^2+c^2)/3≥((a+b+c)^2)/9将其代入上式化简，可得：S^2≥20/3同时，由于a，b，c都是非负整数，所以可以得到S=√(a^2+b^2+c^2)的最小整数部分为4因此，a+b+c的最小整数部分为44.注意事项和常见误区在应用均值不等式求解最值问题时，需要注意一些常见的误区和陷阱。

均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。

一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。

(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 3227y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。

例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。

用均值不等式求最值的方法和技巧均值不等式是数学中常用的一种求最值的方法和技巧，它通过将数列中各个数的和与它们的平均值相比较，从而得到最值的估计。

本文将详细介绍均值不等式的定义、性质、应用以及解题步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一重要的不等式求解问题。

一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类关于平均值的不等式，通常用来对一组具有其中一种关系的数值进行比较。

假设有n个非负实数a1、a2、…、an，则它们的平均值和它们的几何平均值之间存在以下关系：(a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1*a2*…*an) 或(a1+a2+…+an)/n ≥(a1+a2+…+an)/n ≥ ∛(a1*a2*…*an)其中，等号当且仅当a1=a2=…=an时成立。

二、均值不等式的性质1.单变量均值不等式：对于任意n个非负实数a1、a2、…、an，有(a1^p+a2^p+…+an^p)/n ≥ [(a1+a2+…+an)/n]^p其中，p为实数且p≥12.双变量均值不等式：对于任意两个非负实数a和b以及实数p≥1，有[(a^p+b^p)/2]^1/p≥[(a^q+b^q)/2]^1/q其中，p≥q且p、q均不等于0。

3.形式化均值不等式：设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，则对于任意无穷个非负实数a1、a2、…，有f(∫(a1→∞)f(x)dx) ≤ ∫(a1→∞)f(x)dx/lna1其中，a1为自然对数的底数。

三、均值不等式的应用均值不等式在数学中有着广泛的应用，特别是在求最值、证明不等式和优化问题中。

以下是几个常见的应用场景：1.证明不等式：通过应用均值不等式，可以证明很多重要的不等式，如柯西不等式、霍尔德不等式和克劳斯不等式等。

2.求极值：通过应用均值不等式，可以求解一些极值问题，如求最大面积、最小周长和最优化问题等。

3.优化设计：在工程和经济学中，均值不等式可以帮助优化设计，如在材料使用、成本控制和资源分配等方面。

用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。

一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。

一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。

2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。

三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。

2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。

均值不等式的应用技巧均值不等式：当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式。

用“均值不等式”求最值是求最值问题中的一个重要方法，也是高考考查的一项重要内容。

应用该不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件“一正、二定、三相等”。

在此过程中往往需要采用“变系数、凑项、分离、取倒数、平方”等变形技巧构造定值，下面是笔者总结归纳的一些变形方法和技巧。

一、凑系数例1、求函数的最大值。

分析：由于不是常数，所以需将x的系数1变为2，使和为定值。

解：由，知所以：当且仅当：，即时取等号，所以的最大值是二、凑项例2、已知，求函数的最大值。

解：因为，所以，故所以=0当且仅当：，即或时，等号成立，但不合条件，舍去，故当时，。

三、分离例3、求函数的最大值分析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋2）的项，再将其分离。

解：因为，所以，所以由及得即当时，。

四、取倒数例4、若，求函数的最大值。

分析：此题形式上无法直接用均值不等式，但通过取倒数则可解：因为，所以故五、平方法例5、求函数的最大值。

解析：注意到的和为定值，所以又，所以当且仅当，即时取等号。

故。

评注：本题将解析式两边平方构造出摵臀ㄖ禂，为利用均值不等式创造了条件。

六、整体代换例6、已知，且，求的最小值。

解：不妨将乘以1，而1用代换。

=16当且仅当，且时取等号所以时，的最小值是16。

七、换元例7、求函数的最大值。

解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当：，即时取等号，此时故。

八、化归转化，例8、设，求的最小值。

解：因为当且仅当，即时取等号所以点评：若与分别利用平均值不等式，再相乘求最值，会出现前后取等号条件不一致。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1）注意“正数”。

例1、求函数的值域。

误解：（仅当时取等号），所以值域为。

这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。

（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。

显然要，这样的不存在，故导致错误。

此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。

所以。

例3、误解：所以的最大值为。

这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。

正确解法：仅当时取等，所以。

如取（3）注意“定值”例4、已知。

误解：，。

以上过程只能说明当。

但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：，所以仅当。

二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。

解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。

（2）裂项例6、设，求函数的最小值。

解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。

（3）添项例7、求函数的最小值。

解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。

所以当。

例8、若.的最小值。

解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。

用均值不等式求最值的方法和技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。

就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。

比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。

因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。

根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。

，则12x x +³ ( (当且仅当当且仅当1x =时取“时取“==”）;若0x <，则12x x+£- ( (当且仅当当且仅当当且仅当 _____________ _____________时取“时取“时取“==”） 若0x ¹，则11122-2x x x x x x +³+³+£即或 ( (当且仅当当且仅当当且仅当____________________________________时取“时取“时取“==”） 2.2.若若0>ab ，则2³+ab b a ( (当且仅当当且仅当当且仅当____________________________________时取“时取“时取“==”） 若若0ab ¹________。

解：因为x >0，y>0，所以234343xy x yxy +³=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy £， 3.xy \£，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=\xy 即xy=16 21211211==³+\xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

的最大值。

解：5,5404x x <\->，11425434554y x x x x æö\=-+=--++ç÷--èø231£-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y=。

例3. 3. 当当时，求(82)y x x =-的最大值。

均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形111.若 x 0，则 x 2 （ 当且仅当 x 1时取“ =”）;若x 0，则 x 2 （ 当且仅当xx ______________________________________________________ 时取“ = ”） 若 x 0 ，则 x 1 2即x 1 2或x 1-2 （ 当且仅当 ________________________________________________ 时取“ =”）xxx2.若 ab 0，则 a b2 （ 当且仅当 _________________________ 时取“ =”）ba若 ab 0 ，则a b 2即 a b2或 a b-2 （ 当且仅当 ___________ 时取“ =”）b a ba b a注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” ．（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例 1 已知 x,y R ，且满足 x y1，则 xy 的最大值为 __________________________________________________________________ 。

34解：因为 x>0 ，y> 0，所以 x y2x yxy（当且仅当 x y，即x= 6，y= 8时取等号 ），，即 x 1 时，上式等号成立，故当 x 1 时， y max 1。

y x （8 2x ） 的最大值。

当 x ＝ 2 时， y x （8 2x ） 的最大值为 8。

xy 3. ，故 xy 的最大值 3.变式：若log 4 x log 4 y 2 ，11 的最小值 .并求 x,y 的值xy解：∵log 4x log 4 y 2log 4 xy 2即 xy=161 1 1 12x y 2x y技巧二：配凑项求5例 2：已知 x，4 21 xy求函数当且仅当 x=y 时等号成立y 4x 21的最大值。