高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)及常见题型

..均值不等式归纳总结1. (1)假设R b a ∈,，那么ab b a 222≥+(2)假设R b a ∈,，那么222b a ab +≤〔当且仅当b a =时取“=〞〕 2. (1)假设*,R b a ∈，那么ab b a ≥+2(2)假设*,Rb a ∈，那么ab b a 2≥+〔当且仅当ba =时取“=〞〕(3)假设*,R b a ∈，那么22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=〞〕3.假设0x >，那么12x x +≥(当且仅当1x =时取“=〞〕假设0x <，那么12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=〞〕假设0x ≠，那么11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕4.假设0>ab ，那么2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=〞〕假设0ab ≠，那么22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=〞〕5.假设R b a ∈,，那么2)2(222b a b a +≤+〔当且仅当b a =时取“=〞〕『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等〞(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值X 围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求以下函数的值域〔1〕y＝3x2＋12x 2〔2〕y＝x＋1x解：(1)y＝3x2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞〕(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －〔－ x －1x 〕≤－2x ·1x=－2 ∴值域为〔－∞，－2]∪[2，+∞〕解题技巧技巧一：凑项例54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a=时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x>，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式 【2 】一、 根本常识梳理1.算术平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的几何平均值3.主要不等式：假如a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理：假如a ﹑b ∈R +,那么2a b+≥(当且仅当a=b 时,取“=”)均值定理可论述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.应用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.留意三个前提：“一正,二定,三相等”即：（1）各项或各因式非负;（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值.6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.有时为了达到应用均值不等式的前提,须要经由配凑﹑裂项﹑转化﹑分别常数等变形手腕,创设一个应用均值不等式的情景.二、 常见题型：1.分式函数求最值,假如)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的情势,且)(x g 在界说域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可应用均值不等式来求最值. 例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y2.题在给出和为定值,乞降的最值时,一般情形都要对所求式子进行变形,用已知前提进行代换,变形之后再应用均值不等式进行求最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且,求b a +的最小值. 解法一：169210991=+≥+++=+b a a b b a 思绪二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的前提均为12,4==b a .此类题型可扩大为：设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求321111a a a S ++=的最小值.)111)((1321321a a a a a a m S ++++=)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=m m 9)2223(1=+++≥,等号成立的前提是321a a a ==.3.题中所求的式子中带有根式,并且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情形都给出来x 的取值规模,依据取值规模来进行逆向转换. 例：求函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思绪：因为所给函数的情势为无理式,直接求解较艰苦,从所给区间]3,21[∈x 入手,可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或3=x 时取等号）,睁开此式评论辩论即可. 解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2m in =y4.不等式的变形在证实进程中或求最值时,有普遍应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或b a ab -≥-11. 例：已知a,b,c 均为,求证：c b a a c c b b a ++≥++222.证实：c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222,c b a a c c b b a a c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(222总之,均值不等式是高中数学的主要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用办法.在应用均值不等式时,不论如何变形,均需知足“一正二定三相等”的前提.【巩固演习】1.若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=2最值. 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2.求函数)0(132<++=x x x x y 的值域. 答案：[-3,0]3.已知正数y x ,知足,12=+y x 求y x 11+的最小值.答案：223+4.已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=y x S 的最小值.答案：295.若)0](,1[>∈a b a x ,求x b x ab y -+=)1(的最小值.答案：a6.设c b a ,,为整数,求证：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.三.应用不等式解题的典范例题解析：题型一：应用均值不等式求最值（值域）例1.（1）已知0>x ,求x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ,求x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1.若R x ∈,求x x x f +-=34)(的值域2.函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1.已知0,0>>y x 且191=+y x ,求y x +的最小值2.R x ∈,求1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3.当b a x ,,10<<为正常数时,求x b x a y -+=122的最小值 变式3：1.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点,若点A 在直线01=++ny mx 上,个中0>mn ,则n m 21+的最小值为2.求2)3(222++=x x y 的最小值为3.已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1.已知y x ,都是正实数,且053=+-+xy y x（1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值题型二：应用均值不等式证实不等式例2.已知R c b a ∈,,,求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1.已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证：c b a c ab b ac a bc ++>++2.已知R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：31222≥++c b a3.已知1,0,0=+>>b a b a ,求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a=时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x>，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式公式完全总结归纳均值不等式（Mean Inequality）是数学中的一种重要的不等式，它描述了一组数的算术平均值与几何平均值之间的关系。

这个不等式在数学中有广泛的应用，并且具有一般性质和特殊形式。

接下来我将对均值不等式的公式进行完全总结和归纳。

一、一般形式：设有n个实数a₁、a₂、..、aₙ，则它们的算术平均值（A.M., Arithmetic Mean）与几何平均值（G.M., Geometric Mean）满足以下不等式：G.M.≤A.M.二、特殊形式：1.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤H.M.≤A.M.其中H.M.表示它们的调和平均值（Harmonic Mean）。

这个不等式说明了几何平均值小于等于调和平均值，并且调和平均值小于等于算术平均值。

2.对于正实数a₁、a₂、..、aₙ，它们的平均值满足以下不等式：G.M.≤Q.M.≤A.M.其中Q.M.表示它们的平方平均值（Quadratic Mean），也称为均方根。

这个不等式说明了几何平均值小于等于平方平均值，平方平均值小于等于算术平均值。

三、加权均值不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和正实数w₁、w₂、..、wₙ（权重），则有以下加权均值不等式成立：A.M.≥G.M.≥H.M.≥Q.M.其中加权算术平均值（A.M.）大于等于加权几何平均值（G.M.），大于等于加权调和平均值（H.M.），大于等于加权平方平均值（Q.M.）。

四、一些常用的特殊不等式：1. Cauchy-Schwarz不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和b₁、b₂、..、bₙ(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²≤(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)2. Jensen不等式：对于实数a₁、a₂、..、aₙ和函数f(x)，如果f(x)是凸函数（或凹函数），则有以下不等式成立：f(a₁) + f(a₂) + ... + f(aₙ) ≥ nf(A.M.)其中f(A.M.)是函数f(x)在x=A.M.处的值。