高中数学均值不等式及变式常见题型总结精练含答案

均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧 技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式常考题型(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式练习题及答案均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件。

a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则时取“=”） *a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?*a?ba2?b2ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。

平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。

x?5 x2?7x?10的值域。

例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。

技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。

xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2*a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y4x?2?14x?5的最大值。

高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。

均值不等式 【2 】一、 根本常识梳理1.算术平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的几何平均值3.主要不等式：假如a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理：假如a ﹑b ∈R +,那么2a b+≥(当且仅当a=b 时,取“=”)均值定理可论述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.应用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.留意三个前提：“一正,二定,三相等”即：（1）各项或各因式非负;（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值.6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.有时为了达到应用均值不等式的前提,须要经由配凑﹑裂项﹑转化﹑分别常数等变形手腕,创设一个应用均值不等式的情景.二、 常见题型：1.分式函数求最值,假如)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的情势,且)(x g 在界说域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可应用均值不等式来求最值. 例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y2.题在给出和为定值,乞降的最值时,一般情形都要对所求式子进行变形,用已知前提进行代换,变形之后再应用均值不等式进行求最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且,求b a +的最小值. 解法一：169210991=+≥+++=+b a a b b a 思绪二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的前提均为12,4==b a .此类题型可扩大为：设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求321111a a a S ++=的最小值.)111)((1321321a a a a a a m S ++++=)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=m m 9)2223(1=+++≥,等号成立的前提是321a a a ==.3.题中所求的式子中带有根式,并且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情形都给出来x 的取值规模,依据取值规模来进行逆向转换. 例：求函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思绪：因为所给函数的情势为无理式,直接求解较艰苦,从所给区间]3,21[∈x 入手,可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或3=x 时取等号）,睁开此式评论辩论即可. 解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2m in =y4.不等式的变形在证实进程中或求最值时,有普遍应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或b a ab -≥-11. 例：已知a,b,c 均为,求证：c b a a c c b b a ++≥++222.证实：c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222,c b a a c c b b a a c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(222总之,均值不等式是高中数学的主要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用办法.在应用均值不等式时,不论如何变形,均需知足“一正二定三相等”的前提.【巩固演习】1.若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=2最值. 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2.求函数)0(132<++=x x x x y 的值域. 答案：[-3,0]3.已知正数y x ,知足,12=+y x 求y x 11+的最小值.答案：223+4.已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=y x S 的最小值.答案：295.若)0](,1[>∈a b a x ,求x b x ab y -+=)1(的最小值.答案：a6.设c b a ,,为整数,求证：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.三.应用不等式解题的典范例题解析：题型一：应用均值不等式求最值（值域）例1.（1）已知0>x ,求x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ,求x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1.若R x ∈,求x x x f +-=34)(的值域2.函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1.已知0,0>>y x 且191=+y x ,求y x +的最小值2.R x ∈,求1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3.当b a x ,,10<<为正常数时,求x b x a y -+=122的最小值 变式3：1.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点,若点A 在直线01=++ny mx 上,个中0>mn ,则n m 21+的最小值为2.求2)3(222++=x x y 的最小值为3.已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1.已知y x ,都是正实数,且053=+-+xy y x（1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值题型二：应用均值不等式证实不等式例2.已知R c b a ∈,,,求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1.已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证：c b a c ab b ac a bc ++>++2.已知R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：31222≥++c b a3.已知1,0,0=+>>b a b a ,求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。

均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。

均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

均值不等式应用（一）均值不等式* 也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。

（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值·形函数例：求函数2y =的值域。

(2)t t =≥2y =1(2)t t t ==+≥当1t t=时函数在x 轴正半轴有最小值，在y 轴负半轴有最大值，即1t =± ∵1t =±不属于区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

∵1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增， ∴52y ≥∴所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭·分离法例3.：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

解：当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（，当且仅当x ＝1时等号成立·换元法例：已知 ，则解：令 则·拼凑（系数、常数）例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.解：x 1＋y 2＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 2x 2＋(12 ＋y 22 )22 ≤ 342例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：∵54x <∴540x -> ∴11425432314554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭ 当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立 ∴当1x =时，max 1y =。

·化积为和（因式分解、平方）例：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。

是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。

尤其要注意它的使用条件。

a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 222. 若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*a?ba2?b2?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。

平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。

x?5 x2?7x?10的值域。

例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。

技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。

xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2；x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。

第二节 均值不等式题型87、利用均值不等式求函数最值❖ 知识点摘要：1. 均值不等式：如果+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）。

2. 均值不等式特例：21,0≥+a a a ＞；2≥+ab b a （b a ,同号）。

3. 均值不等式变形： ①2)(222b a b a +≥+（沟通两和b a +与两平方和22b a +的不等关系式）； ②222b a ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22b a +的不等关系式）； ③22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （沟通两积ab 与两和b a +的不等关系式）。

4. 不等式串： 2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（+∈R b a ,），既： 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值。

5. 均值定理：已知+∈R y x ,， 如果S y x =+（定值），则4222S y x xy =⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤（当且仅当y x =时取“=”），即“和为定值，积有最大值”； 如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”），即“积为定值，和有最小值”。

87.1.利用均值不等式求函数的最值，要注意条件的验证❖ 典型例题精讲精练：1. （2010·重庆）已知0＞t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为 。

2. （2004·湖北）已知25≥x ，则函数4254)(2-+-=x x x x f 有（ ） A .最大值45 B .最小值45 C .最大值1 D .最小值13. （2008·重庆）函数1)(+=x x x f 的最大值为 。

4. （2010·山东）对任意实数0＞x ，a x x x ≤++132恒成立，求a 的范围是 。

87.2、“1”的变换5. （2007·上海）若+∈R y x ，，且14=+y x ，则xy 的最大值是 。

2023年高三数学《均值不等式及其应用》知识梳理及专项练习（含答案解析）知识梳理1．算术平均值与几何平均值 给定两个正数,a b ，数2a b+称为,a b,a b 的几何平均值． 2．均值不等式 如果,a b都是正数，那么2a b+≥，当且仅当=a b 时，等号成立． 3.均值不等式求最值得关键在于“一正二定三相等” 一正：各项必须为正。

二定：要求积的最大，其和必为定值，要求和的最小，其积必为定 三等：必须验证等号成立的条件。

4.均值不等式相关拓展推式：（12112a b a b++（2）ab b a 222≥+（3）)0(21>≥+a a a（4）()2,b aa b a b+≥同号题型战法题型战法一 均值不等式的内容及辨析典例1．下列不等式恒成立的是（ ） A ．12x x+≥B．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =−≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +−=−≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D变式1-1．已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y +且仅当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．变式1-2．已知0x >，0y >，则下列式子一定成立的是（ ）A2+≥x yB ．2+≥x y C ．2≥+xy x y D 22≥+x y 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，由基本不等式可得2x y+≥A 错； 对于B 选项，因为222x y xy +≥，所以()()2222222x y x y xy x y +≥++=+，所以，22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2+x y，B 错；对于C 选项，因为0x >，0y >，由基本不等式可得x y+≥=，2xyx y≥+，C 错； 对于D 选项，因为222x y xy +≥，()()2222x y x y +≥+，由不等式的性质可得()()2222x y xy x y ≥++，则(22x y x y +≥+22≥+x y，D 对. 故选：D.变式1-3．对于0s <，0t <，下列不等式中不成立的是（ ） A ．11s t+≥B ．2st t s+≥C ．22s t st +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．22222s t s t ++⎛⎫≤⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A ，令a ＝－1s ， b ＝－1t，则1s ＋1t＝－a －b ＝－(a ＋b )≤－s t =取等号，不成立；对于B ，st >0,t s >0，所以s t ＋ts≥2，当且仅当s t =取等号，成立；对于C ，st ＝(－s )(－t )≤2222s t s t −−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当s t =取等号，成立；对于D ，22222222124422s t s t st s t s t st +++++⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当s t =取等号，成立． 故选：A变式1-4．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ）A ．2a b +B 2a b +C2a b + D 2a b + 【答案】B 【解析】利用基本不等式或作差法判断选项. 【详解】∵a ，b ∈R +，且a ≠b ，∴a +b ＞2a b+， 而222()24a b a b ++−＝2()4a b −＞0，∴2a b +故选：B题型战法二 均值不等式的简单应用典例2．若0a >，0b >且4a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．4 B ．2C ．12D ．14【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，当且仅当2a b ==时取等号；故选：A变式2-1．已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．5 C ．32D ．52【答案】D 【解析】 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为2510a b +=≥52ab ≤，当且仅当5,12a b ==时，等号成立. 所以ab 的最大值为52. 故选：D变式2-2．已知0a >，0b >，2a b +=，则lg lg a b +的最大值为（ ） A ．0 B ．13C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质和基本不等式即可求解：2lg lg lg lg 2a b a b ab +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭. 【详解】∵0a >，0b >，2a b +=，∴2lg lg lg lg 02a b a b ab +⎛⎫+=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝1时，取等号.故选：A.变式2-3．设0a >，0b >，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则a b +的最小值为（ ） A．1 B ．2 C ．4 D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出1ab =，再利用基本不等式求解. 【详解】解：因为lg a 和lg b 的等差中项是0，所以lg lg lg()0,1a b ab ab +==∴=，所以2a b +≥=，当且仅当1a b ==时取等号. 所以a b +的最小值为2. 故选：B变式2-4．已知0x >，0y >，23x y +=，则93x y +的最小值为（ ）A ．27B ．C ．12D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为0x >，0y >，23x y +=，则29333x y x y +=+≥当且仅当232x y ==时，等号成立，因此，93x y +的最小值为故选：D.题型战法三 均值不等式相关拓展公式的应用典例3．已知正数a ，b 满足222a b +=，则下列结论错误．．的是（ ）． A ．1ab ≤ B ．2a b +≤C 2D ．112ab+≤【答案】D 【解析】 【分析】A 、B 、C 选项结合均值不等式证明即可，D 选项举出反例即可说明错误. 【详解】A ：222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，又因为222a b +=，所以22ab ≥，即1ab ≤，故A 正确；B ：()2222224a b a b ab ab +=++=+≤，当且仅当a b =时，等号成立，因为0,0a b >>，所以2a b +≤，故B 正确；C 2224a b =++≤+=，当且仅当a b =时，等号成立，2，故C 正确；D ：若1,2a b ==，则112a b +>，故D 错误；故选：D.变式3-1．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．112ab > B ．228a b +≥ C 2≥ D ．111a b+≤【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意0,0a b >>，且4a b +=，所以242+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭a b ab ，所以114ab ≥，所以A 选项错误. ()22221628a b a b ab ab +=+−=−≥，所以B 选项正确.2=，所以C 选项错误1141a b a b ab ab++==≥，所以D 选项错误. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 变式3-2．若0a >，0b >，且1a b +=，则（ ）A ．2212a b +≤ B 12C ．14ab≥ D ．114a b+≤【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可 【详解】因为0a>，0b>，且1a b+=，所以1a b=+≥12，当且仅当12a b==时取等号，所以B错误，12，得14ab≤，所以14ab≥，当且仅当12a b==时取等号，所以C正确，所以22211()212122a b a b ab ab+=+−=−≥−=，当且仅当12a b==时取等号，所以A错误，由0a>，0b>，且1a b+=，得()1111224b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⎝=⎪⎭，当且仅当12a b==时取等号，所以D错误，故选：C变式3-3．已知A．B．C．D．【答案】C【解析】【详解】本小题主要考查不等式的重要不等式知识的运用．由0,0a b≥≥,且2a b+=，∴222224()22()a b a b ab a b=+=++≤+，∴222a b+≥．变式3-4．已知0a>，0b>，4a+=，则下列各式中正确的是（）A．11a b+≤14B．11a b+>1 C 2 D．1ab≥1【答案】C【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用基本不等式证明正确选项.【详解】当2a b==时，111a b+=，所以AB选项错误，同时1114ab=<，所以D选项错误.对于C4222a b+==，当且仅当2a b==时等号成立.所以C 选项正确. 故选：C题型战法四 均值不等式“1”的妙用典例4．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A．3+B ．12 C ．8+D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，所以()112233y xx y x y x y ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当2y xx y =，即21,2x y ==时，等号成立. 故选：A.变式4-1．已知正数a ，b 满足1b +=，则19ab+的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．20【答案】C 【解析】 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b a a b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立. 故选：C .变式4-2．若正实数x ，y 满足12+=y x ，则4x y+的最小值是（ ） A ．4 B ．92C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】本题利用“1”的妙用技巧进行替换，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：因为x ，y 是正实数，所以0xy >故有(41141419552222x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4xy xy =，即32x =，43y =时取到等号. 故选：B.变式4-3．已知0x >，0y >，且420x y xy +−=，则2x y +的最小值为（ ）A ．16 B ．8+C ．12 D ．6+【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，241x y+=，再根据基本不等式乘“1”法即可得最小值.【详解】由题可知241xy +=，乘“1”得24822(2)8816x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号，则2x y +的最小值为16.故选：A变式4-4．设m ，n 为正数，且2m n +=，则4111m n +++的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95【答案】B 【解析】将2m n +=拼凑为11144m n +++=，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可. 【详解】 ∵2m n +=，∴()()114m n +++=，即11144m n +++=， ∴4111m n +++41141114m n m n ++⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝++⎭+()1151414n m m n ++=++++54≥94=，当且仅当()11141n m m n ++=++，且2m n +=时，即 53m =，13n =时等号成立.故选：B .题型战法五 对勾函数与均值定理的关系与区别典例5．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x +… B ．当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4C ．当0x >2D ．当0ab ≠时，2baa b+…【答案】C 【解析】 【分析】A 选项：取特值，当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，由此可判断； B 选项：当sin 1x =时，4sin 5sin x x+=，由此可判断；CD 选项：取特值1a =，1b =−计算可判断.解：A 选项：当1ex =时，ln 1x =−，∴1ln 2ln x x+=−，故A 错误； B 选项：当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin (0,1]x ∈，∴当sin 1x =时，4sin 5sin x x +=，故B 错误；C选项：当0x >0>，2，1时，取等号，故C 正确；D 选项：当1a =，1b =−时，0ab ≠，2b a a b+=−，故D 错误. 故选：C.变式5-1．下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．44x x+≥ B ．1ln 2ln x x+≥C 2a b+ D ．222x x −+≥【答案】D 【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项. 【详解】对于A ，取2x =−，则44x x+=−<，故A 错. 对于B ，取1x e −=，则1ln 22ln x x+=−<，故B 错..对于C ，取1a b ==−112a b+=>−=，故C 错.对于D ，由基本不等式可得222x x −+≥=，当且仅当0x =时等号成立， 故选：D.变式5-2．已知函数()4(0)f x x x x=+<，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 有最小值4B ．()f x 有最大值4C ．()f x 有最小值4−D ．()f x 有最大值4− 【答案】D 【解析】根据基本不等式即可求出． 【详解】解：0x <Q ，0x ∴−>，()()44f x x x x x ⎡⎤∴=+=−−+⎢⎥−⎣⎦4≤−−， 当且仅当()4x x −=−，即2x =−时取等号，()f x ∴有最大值4−.故选：D ．变式5-3．若12x −<<，则12x x +−的（ ） A ．最小值为0 B ．最大值为4 C ．最小值为4 D ．最大值为0【答案】D 【解析】 【分析】结合拼凑法和基本不等式即可求解 【详解】因为12x −<<，所以20x −<，则11222022x x x x ⎛⎫+=−−+≤−= ⎪−−⎝⎭， 当且仅当122x x−=−，即1x =时取等号，此时取得最大值0， 故选：D ．变式5-4．已知1≥x 时，函数4y x x=+的最小值为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】根据基本不等式，即可求出函数的最小值. 【详解】当1≥x 时，44y x x =+≥=， 当且仅当4x x=，即2x =时，等号成立. 故选：C.【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.题型战法六 分式最值问题典例6．已知52x ≥，则()2452x x f x x −+=−有A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D 【解析】 【详解】依题意()122f x x x =−+−，类比对钩函数1y x x =+的性质可知，当122x x −=−，即3x =时，函数取得最小值为2.点睛：本题主要考查分离常数法，考查对钩函数的性质.对于分子分母都有x 的式子，可以采用分离常数的方法，将分子变简单.对钩函数1y x x=+在区间()0,1上递减，在()1,+∞上递增，而函数()122f x x x =−+−是由1y x x=+函数图像整体向右平移两个单位所得，故3x =时，函数取得最小值为2.变式6-1．若0x <，则231x x +−的最大值是（ ）A ．2B ．2−C ．4D ．4−【答案】B 【解析】 【分析】将所求的代数式整理为223(1)2(1)4412111x x x x x x x +−+−+==−++−−−，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为0x <，所以10x −>()()2212143412111x x x x x x x −+−++==−++−−− 412221x x ⎛⎫=−−++≤−=− ⎪−⎝⎭， 当且仅当411x x−=−，即1x =−时，等号成立， 故选：B.变式6-2．若11x −<< ，则22222x x y x −+=−有（ ）A ．最大值1−B ．最小值1−C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x −<<，则012x <−<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x −+=−⋅=−−+≤−⋅=−−−，当且仅当111x x−=−，即0x =时取“=”， 所以当0x =时，22222x x y x −+=−有最大值1−.故选：A变式6-3．设正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2C ．1D ．3【答案】C 【解析】 【分析】计算得出143xy x y z y x=+−，利用基本不等式可求得xyz的最大值.【详解】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z −+−=，则2243z x xy y =−+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=−++−，当且仅当20y x =>时取等号. 故xyz的最大值为1. 故选：C.变式6-4．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz−的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】C 【解析】由2221x y z ++=可得出22212z x y xy −=+≥，利用不等式的性质结合基本不等式可求得58xyz−的最小值. 【详解】2221x y z ++=，22212z x y xy ∴−=+≥，()225854254141xy xy z z ∴−=−⨯≥−−=+，由于x 、y 、z均为正数，则25841144xy z z z z z −+≥=+≥=， 当且仅当0140x y z z =>⎧⎪⎨=>⎪⎩时，即当12x y z ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立， 因此，58xyz−的最小值是4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.题型战法七 均值不等式的综合应用典例7．已知直线()100ax by ab +−=>过圆()()22122022x y −+−=的圆心，则11a b+的最小值为（ ） A．3+B ．3−C ．6 D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +−=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2a b b a =，即a =时取等号），11a b∴+的最小值为3+故选：A.变式7-1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若()22243a b c =−，当角A取最大值时，则sin C =（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得()22234a b c =−，结合余弦定理可得cos A ,角A 最大，即有2292a c = ，由此化简222cos 2a b c C ab +−==答案. 【详解】由题意得，()22234a b c =−， 故()222222374cos 28b c b c b c A bc bc +−−+==227b c =时取等号，即(0,),cos A A π∈=,角A 最大,此时2292a c =，故2229712cos 322a b c C ab +−+−== 而(0,)C π∈,所以sin C = 故选：B ．变式7-2．等比数列{}n a 的各项都是正数，等差数列{}n b 满足98b a =，则（ ） A ．313612a a b b +>+ B ．313612a a b b +≥+ C ．313612a a b b +≠+ D ．大小不定 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项、等差中项，结合基本不等式求解. 【详解】因为数列{}n a 是各项都为正数的等比数列， 所以3813,,a a a 成等比数列，所以31382+≥=a a a ， 又数列{}n b 是等差数列， 所以6912,,b b b 成等差数列， 所以61292+=b b b ， 又因为98b a =， 所以313612a a b b +≥+， 故选：B 变式7-3．函数21cos22cos y x x=+的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．-1【答案】B【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式将函数解析式构造为可以使用基本不等式的形式即可利用基本不等式求其最小值． 【详解】∵22211cos22cos 1112cos 2cos y x x x x =+=+−≥=， 当且仅当2212cos 2cos x x=，即21cos 2x =时取等号﹒故选：B ．变式7-4．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是（ ）A ．21B ．4C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定,λμ的关系，即31144λμ+=，可得134λλμλ−=+−，再利用基本不等式求最值即可．【详解】由条件可得()11314444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+， ∵,,0,0AM AB AN AC λμλμ==>>， ∴3144AD AM AN λμ=+， 因为,,M D N 三点共线，∴311 44λμ+=，∴134μλ=−，∵130,0,40λμμλ>>=−>，∴34λ>，则133444λλλμλλ⎛⎫−=−−=+−≥⎪⎝⎭；当且仅当3λλ=，即λ=故1λμ−的最小值是4；故选：C．。

均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。

比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。

这时候就可以直接用均值不等式啦。

由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。

这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。

就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。

这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。

二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。

比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。

这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。

那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。

因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。

根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。

高中数学平均值不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知a>0，若y=3a2+a+9a3，则下列说法正确的序号是（）①y有最小值9√3；②y有最小值9；③y有最大值9．A.①B.②C.③D.以上都不正确2. 若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（）A.18B.6C.2√3D.2√343. 若n>0，则n+32n2的最小值为（）A.2B.4C.6D.84. 已知x，y∈R+，且满足x2y=32，则x+y的最小值为（）A.1B.2C.6D.45. “a>b>0”是“ab<a2+b22”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数f(x)=5x+20x2(x>0)的最小值为（）A.10B.15C.20D.257. 已知a，b，c是正实数，且ab+bc+ac=1，则abc的最大值为（）A.√39B.√33C.1D.√38. 在△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+2b2=3c2，a=6sin A，则c的最大值为( )A.2√7B.√7C.3D.49. 定义函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．已知f(x)=lg x，x∈[10, 100]，则函数f(x)=lg x在x∈[10, 100]上的均值为（）．A.3 2B.34C.710D.1010. 设a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，则1a +1b+1c的最小值为（）A.9B.12C.6+2√2D.6+4√211. 已知函数f(x)的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得√f(x1)⋅f(x2)=M成立，则称函数f(x)在D上的几何平均数为M．已知函数g(x)= 3x+1(x∈[0, 1])，则g(x)在区间[0, 1]上的几何平均数为________．12. 若a>−2，则a+16a+2的最小值为________.13. 设x>0，则函数y=2x+1x2+3的最小值是________．14. A（不等式选做题）若x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y的取值范围是________．B（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则线段DO的长等于________．C（坐标系与参数方程选做题）曲线{x=2+cosθy=−1+sinθ（θ为参数）上一点P，过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L，则点P到直线L距离的最小值为________．15. 若正数a，b，c满足a+b+c=1，则13a+2+13b+2+13c+2的最小值为________．16. 设f(x)是定义在(0, +∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点（a, f(a)），（b, −f(b)）的直线与x轴的交点为(c, 0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a, b)，例如，当f(x)=1(x>0)时，可得M f(a, b)=c=a+b2，即M f(a, b)为a，b的算术平均数．（1）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数；（2）当f(x)=________(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）17. 若x2+y2=2，设z=1x2+2yx，则z的最小值为________．18. 函数f(x)=3x+12x2(x>0)的最小值为________．19. 已知实数a1，a2，a3不全为零，(I)则a1a2+2a2a3a12+a22+a32的最大值为________；(II)设正数x，y满足x+y=2，令xa1a2+ya2a3a12+a22+a32的最大值为M，则M的最小值为________．20. 设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为________．21. 求证：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9．22. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2c−ba =cos Bcos A.(1)求角A的大小；(2)若a=1，求b+c的最大值．23. 若a>0，b>0，且1a +1b=√ab．(Ⅰ)求a3+b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．24. 设a，b，c为正实数，求证：a3+b3+c3+1abc≥2√3．25. （1）已知矩阵M =[2a21]，其中a ∈R ，若点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)(I)求实数a 的值；(II)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 25.（2）在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2+y 2−8x cos θ−6y sin θ+7cos 2θ+8=0(a ∈R)的圆心为P(x 0, y 0)，求2x 0−y 0的取值范围． 25.（3）已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0． ①求证：a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214；②求实数m 的取值范围．26. 已知函数f (x )=|x −1|+|x +3|． (1)解不等式：f (x )≤6；(2)若a ，b ，c 均为正数，且a +b +c =f (x )min ，证明：(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27. 已知x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)2+1(x−y)2的最小值．28. 设a >0，b >0，已知函数f(x)=ax+b x+1．(Ⅰ)当a ≠b 时，讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当x >0时，称f(x)为a 、b 关于x 的加权平均数．(i)判断f(1)，f(√ba )，f(ba )是否成等比数列，并证明f(ba )≤f(√ba )； (ii)a 、b 的几何平均数记为G ．称2ab a+b为a 、b 的调和平均数，记为H ．若H ≤f(x)≤G ，求x 的取值范围．29. 已知x >0，y >0，z >0，且xyz =1，求证：x 3+y 3+z 3≥xy +yz +xz ．30. 已知关于x 的不等式|x −m|+2x ≤0的解集为(−∞,−1]，其中m >0． (1)求m 的值；(2)若正数a，b，c满足a+b+c=m，求证：b2a +c2b+a2c≥1．31. 已知P为单位圆上一动点，A(0, 2)，B(0, −1)，求|AP|×|BP|2的最大值．32. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin B=b sin B+C2.(1)求A；(2)若b+c=2，求a取最小值时△ABC的面积S.33. 已知a，b∈R，且a>b，求证：2a+1a2−2ab+b2≥2b+3．34. 已知a，b，c均为正数，且满足√a2b2c23+ab+bc+ca=4.证明：(1)ab+bc+ca≥3；(2)a+b+c≥3．35. 已知函数f(x)=m−|x+2|，m∈R，且f(x−2)≥0的解集为[−3, 3].(1)求m的值；(2)若a，b，c都是正实数，且a+2b+3c=m，求证：1a +12b+13c≥3.36. 已知函数f(x)=|2x−2|+|x+1|．(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)若函数y=f(x)+|x+1|的最小值为k，求km+2m2(m>0)的最小值.37. 选修4−5：不等式选讲．若a，b，c均为正数，且a+b+c=6，√2a+√2b+1+√2c+3≤|x−2|+|x−m|对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．38. 写出三元均值不等式的形式并证明．（默认已知二元均值不等式）39. 选做题：不等式选讲．已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a+b2−√aba+b+c3−√abc3≤32，并指出等号成立的条件．40. （1）选修4−4：坐标系与参数方程已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．(I)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 40.（2）选修4−5：不等式选讲，设x+2y+3z=3，求4x2+5y2+6z2的最小值．参考答案与试题解析高中数学平均值不等式练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】根据函数的特点结合基本不等式进行判断即可．【解答】解：当a=1时，y=3+1+9=13，故；①y有最小值9√3错误．③y有最大值9错误．当a>0，若y=3a2+a+9a3≥3√3a2⋅a⋅9a33=3⋅√273=3×3=9，当且仅当3a2=a=9a3时取等号，此时方程无解，即y=3a2+a+9a3>9，故②y有最小值9，错误，故选：D．2.【答案】B【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】3a+3b≥2√3a⋅3b=2√3a+b=6，当且仅当a=b=1时取等号．故3a+3b的最小值是6；点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件．3.【答案】C【考点】平均值不等式【解析】利用题设中的等式，把n+32n2的表达式转化成n2+n2+32n2后，利用平均值不等式求得最小值．【解答】解：∵n+32n =n2+n2+32n∴n+32n2=n2+n2+32n2≥3√n2×n2×32n23=6（当且仅当n=4时等号成立）故选C【答案】 C【考点】 平均值不等式 【解析】由x 2y =32，可得y =32x 2，又x ，y ∈R +，利用均值不等式可得x +y =x +32x 2=x2+x2+32x 2≥3√x 2⋅x 2⋅32x 23即可得出． 【解答】解：∵ x 2y =32，∴ y =32x 2， 又∵ x ，y ∈R +，∴ x +y =x +32x =x 2+x 2+32x ≥3√x 2⋅x 2⋅32x 3=6，当且仅当x =2√23时取等号．∴ x +y 的最小值为6． 故选C ． 5. 【答案】 A【考点】 平均值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】a 2+b 2≥2ab 中参数的取值不只是指可以取非负数．均值不等式满足a+b 2≥√ab,(a >0,b >0)．点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件． 6.【答案】 B【考点】 平均值不等式 【解析】 函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2，利用基本不等式可得结论．【解答】解：函数f(x)=5x +20x 2=2.5x +2.5x +20x 2≥3√2.5x ⋅2.5x ⋅20x 23=15， 当且仅当2.5x =20x 2，即x =2时，函数f(x)=5x +20x 2(x >0)的最小值为15． 故选：B ． 7. 【答案】【考点】 平均值不等式 【解析】 由题意可得13=ab+bc+ca3≥√(abc)23(abc)2≤127，由此求得abc 的最大值．【解答】解：∵ a ，b ，c 是正实数， 且ab +bc +ac =1， ∴ 13=ab+bc+ca3≥√(abc)23，∴ (abc)2≤127， ∴ abc ≤√39， 即 abc 的最大值为 √39， 故选A ．8. 【答案】 A 【考点】 余弦定理 正弦定理 平均值不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a 2+2b 2=3c 2，又c 2=a 2+b 2−2ab cos C ，∴ a 2+b 2−2ab cos C =13a 2+23b 2，即2ab cos C =23a 2+13b 2≥2√23ab ，∴ cos C ≥√23.又sin 2C =1−cos 2C ≤1−29=79，∴ 0<sin C ≤√73，∵csin C=a sin A=6，∴ c =6sin C ≤2√7.故选A . 9.【答案】 A【考点】 平均值不等式 【解析】根据定义，函数y =f(x)，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)2=C ，则称函数f(x)在D 上的均值为C ．充分利用题中给出的常数10，100．当x 1∈【10，100】时，选定x 2=1000x 1∈【10，100】容易算出．【解答】解：根据定义，函数y=f(x)，x∈D，若存在常数C，对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=C，则称函数f(x)在D上的均值为C．令x1⋅x2=10×100=1000当x1∈【10，100】时，选定x2=1000x1∈【10，100】可得：C=lg(x1x2)2=32故选A．10.【答案】D【考点】平均值不等式【解析】先利用a+2b+c=1与1a +1b+1c相乘，然后展开利用均值不等式求解即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵a，b，c都是正数，且a+2b+c=1，∴1a +1b+1c=(a+2b+c)(1a+1b+1c)=4+2ba +ab+ca+ac+cb+2bc≥4+2 √2+2+2√2=6+4√2，当且仅当a=c=√2b时等号成立．∴1a +1b+1c的最小值是6+4√2．故选D．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】平均值不等式【解析】我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g(x)=x，D=[0, 1]，代入即可得到答案．【解答】解：根据已知中关于函数g(x)在D上的几何平均数为C的定义，结合g(x)=3x+1在区间[0, 1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C=√1×4=2，故答案为：2．12.【答案】6【考点】平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：a+16a+2=(a+2)+16a+2−2≥2√(a+2)×16a+2−2=6(当且仅当a=2时，等号成立)故答案为：6.13.【答案】6【考点】平均值不等式基本不等式【解析】首先对函数式进行整理，把2x变成x+x，这样凑成符合均值不等式的形式，利用均值不等式写出最小值，且等号能够成立．【解答】解：∵x>0，∴函数y=2x+1x2+3=x+x+1x2+3≥3√x⋅x⋅1x23+3=6当且仅当x=1x2，即x=1时，等号成立．故答案为614.【答案】[3+2√2, +∞),3,5√22−1【考点】平均值不等式点到直线的距离公式与圆有关的比例线段参数方程与普通方程的互化【解析】A根据x>0，y>0且x+2y=1，则1x +1y=(1x+1y)(x+2y)，然后化简整理，最后利用均值不等式即可求出所求．B根据直角三角形中的射影定理可知CD2=AD⋅BD，求出AD，从而求出DO；C先根据sin2θ+cos2θ=1将参数θ消去，得到曲线方程，再求出直线L的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可求出所求．【解答】解：A、∵x>0，y>0且x+2y=1，∴(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2∴ 1x +1y 的取值范围是[3+2√2, +∞)故答案为：[3+2√2, +∞)B 、∵ ∠ACB =90∘，CD ⊥AB ∴ CD 2=AD ⋅BD 即16=AD ×8 ∴ AD =2，则AB =10，OB =5，DO =8−5=3 故答案为：3C 、∵ {x =2+cos θy =−1+sin θ（θ为参数）∴ (x −2)2+(y +1)2=1过点A(−2, 0) B(0, 2)的直线记为L 的方程为x −y +2=0 圆心到直线的距离为d =√2=5√22∴ 点P 到直线L 距离的最小值为 5√22−1故答案为：5√22−115.【答案】 1【考点】 平均值不等式 【解析】根据a +b +c =1，得到(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=9，结合柯西不等式证出9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，从而13a+2+13b+2+13c+2≥1，当且仅当a =b =c =13时等号成立，由此可得13a+2+13b+2+13c+2的最小值．【解答】解：∵ a +b +c =1，∴ (3a +2)+(3b +2)+(3C +2)=3(a +b +c)+6=9 ∵ [(3a +2)+(3b +2)+(3C +2)](13a+2+13b+2+13c+2) ≥(√3a +2√3a +2√3b +2√3b +2√3c +2√3c +2)2=(1+1+1)2=9∴ 9(13a+2+13b+2+13c+2)≥9，得13a+2+13b+2+13c+2≥1当且仅当3a +2=3b +2=3C +2，即a =b =c =13时，13a+2+13b+2+13c+2的最小值为1故答案为：1 16. 【答案】 √x ．（2）设f(x)=x ，(x >0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a −b−a =x−ab−a ， 令y =0，求得x =c =2aba+b ，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，故答案为：x．【考点】平均值不等式【解析】（1）设f(x)=√x，(x>0)，在经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=√ab，从而得出结论．（2）设f(x)=x，(x>0)，在经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=2aba+b，从而得出结论．【解答】解：（1）设f(x)=√x，(x>0)，则经过点(a, √a)、(b, −√b)的直线方程为√a−√b−√a=x−ab−a，令y=0，求得x=c=√ab，∴当f(x)=√x，(x>0)时，M f(a, b)为a，b的几何平均数√ab，（2）设f(x)=x，(x>0)，则经过点(a, a)、(b, −b)的直线方程为y−a−b−a =x−ab−a，令y=0，求得x=c=2aba+b，∴当f(x)=x(x>0)时，M f(a, b)为a，b的调和平均数2aba+b，17.【答案】−3 2【考点】平均值不等式【解析】设x=√2cosθ，y=√2sinθ，则z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ，化简为12(tanθ+2)2−32，再利用二次函数的性质求得函数z的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴设x=√2cosθ，y=√2sinθ，z=1x2+2yx=12cos2θ√2sin√2cosθ=1+4sinθcosθ2cos2θ=sin2θ+cos2θ+4sinθcosθ2cos2θ=12tan2θ+2tanθ+12=12(tanθ+2)2−32，故当tanθ=−2时，函数z取得最小值为−32，故答案为：−32．18.【答案】 9【考点】 平均值不等式 【解析】将函数式的两项拆成3项，再利用平均值不等式，即可得到当且仅当3x2=12x 2时即x =2时，函数的最小值为9． 【解答】解：∵ x >0 ∴ 3x +12x =3x 2+3x 2+12x ≥3√3x 2⋅3x 2⋅12x 3=9当且仅当3x2=12x 2时，即x =2时，等号成立 由此可得，函数f(x)=3x +12x 2(x >0)的最小值为9 故选：9 19. 【答案】√52,√22【考点】 平均值不等式 【解析】观察分式的分子和分母的代数式的不同，进行拆分a 22项，构造均值不等式求最值． 【解答】解：由题意知： (1)a 1a 2+2a 2a 3a 12+a 22+a 32=a 1a 2+2a 2a 3a 12+15a 22+45a 22+a 32 ≤a a +2a a 2√12225+2√22325=a 1a 2+2a 2a 32√51a 2+2a 2a 3)=√52(2)xa 1a 2+ya 2a 3a 12+a 22+a 32=xa 1a 2+ya 2a 3a 12+x 2x 2+y 2a 22+y 2x 2+y 2a 22+a 32≤xa 1a 2+ya 2a 3xa 1a 222+ya 2a 322=√x 2+y 22 ∴ M =√x 2+y 22即M≥√22(x+y2)=√22∴M的最小值为√22．故(1)√52(2)√2220.【答案】7【考点】平均值不等式【解析】把式子1x+y +9(x+y)y+z中的1换成已知条件(x+y)+(y+z)=1，化简后再利用基本不等式即可．【解答】解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，∴1x+y +9(x+y)y+z=x+y+y+zx+y+9(x+y)y+z=1+y+zx+y+9(x+y)y+z≥1+2√y+zx+y×9(x+y)y+z=7，当且仅当y+zx+y =9(x+y)y+z，x+y+y+z=1，即x+y=14，y+z=34时，取等号．∴则1x+y +9(x+y)y+z的最小值为7．故答案为7．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab+ca+ac+cb+bc．由均值不等式得ba +ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有3+ba +ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a、b、c全部相等时，等号成立．故(a+b+c)(1a +1b+1c)≥9成立．【考点】平均值不等式【解析】不等式的左边即3+ba +ab+ca+ac+cb+bc，由均值不等式证得此式大于或等于9．【解答】证明：当a、b、c为正数时，(a+b+c)(1a +1b+1c)=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba +ab +ca +ac +cb +bc ．由均值不等式得 ba+ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，故有 3+b a+a b+c a+a c+c b+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当正数a 、b 、c 全部相等时，等号成立．故 (a +b +c)(1a +1b +1c )≥9 成立． 22.【答案】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ， 在△ABC sin C ≠0， cos A =12，∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc ,又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，当且仅当b =c 时取到等号成立， 所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 【考点】 正弦定理 余弦定理 平均值不等式 【解析】由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosA =sinC ，又sinC ≠0，即可得cosA =12，即可求得A 的大小．由余弦定理及不等式的解法得1=b 2+c 2−bc ，化简得bc ≤1从而得解． 【解答】解：(1)(2c −b )cos A =a cos B,a sin A=b sin B=c sin C，(2sin C −sin B )cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A −sin B cos A =sin A cos B ， 2sin C cos A =sin (A +B )=sin C ， 在△ABC sin C ≠0， cos A =12,∠A =π3.(2)由余弦定理得：1=b 2+c 2−bc , 又b 2+c 2≥2bc ,即bc ≤1，所以1+3bc =b 2+c 2+2bc =(b +c )2,当bc =1时,(b +c )2取最大值，即b +c 的最大值为2. 23. 【答案】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a +1b ≥2√1ab ，∴ ab ≥2， 当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立． 【考点】 平均值不等式 【解析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab ≥2，再利用基本不等式求得a 3+b 3的最小值． (Ⅱ)根据 ab ≥2及基本不等式求的2a +3b >8，从而可得不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6． 【解答】（1）∵ a >0，b >0，且1a+1b =√ab ，∴ √ab =1a+1b≥2√1ab，∴ ab ≥2，当且仅当a ＝b =√2时取等号．∵ a 3+b 3≥2√(ab)3≥2√23=4√2，当且仅当a ＝b =√2时取等号， ∴ a 3+b 3的最小值为4√2．（2）∵ 2a +3b ≥2√2a ⋅3b =2√6ab ，当且仅当2a ＝3b 时，取等号． 而由（1）可知，2√6ab ≥2√12=4√3>6， 故不存在a ，b ，使得2a +3b ＝6成立． 24. 【答案】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立． 所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…【考点】 平均值不等式 【解析】由条件可得a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，再由3abc +1abc ≥2=2√3，从而得到a 3+b 3+c 3+1abc ≥2√3．【解答】证明：因为a ，b ，c 为正实数，所以a 3+b 3+c 3≥3√a 3b 3c 33=3abc >0，当且仅当a =b =c 时，等号成立．…又3abc +1abc ≥2√3，当且仅当3abc =1abc 时，等号成立． 所以，a 3+b 3+c 3+1abc≥2√3．…25. 【答案】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4． 当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)． 所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)， 所以−√73≤2x 0−y 0≤√73． （3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1． 【考点】特征值、特征向量的应用 圆的参数方程 平均值不等式【解析】(1)(I)点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(−4, 0)，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a 的值；(II)先求矩阵M 的特征多项式f(λ)，令f(λ)=0，从而可得矩阵M 的特征值，进而可求特征向量．（2）先将圆的一般式方程转化成圆的标准方程，从而求出圆心的参数方程，利用参数方程将2x +y 表示成8cos θ−3sin θ，然后利用辅助角公式求出8cos θ−3sin θ的取值范围即可；（3）①根据柯西不等式直接证明即可；②将①中的a 、b 、c 用等式a +b +c +2−2m =0，a 2+14b 2+19c 2+m −1=0．代入，消去a 、b 、c 得到关于m 的不等关系，解之即可求出m 的范围． 【解答】解：(1)(I)由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．(II)由(I)知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为 f(λ)=[λ−232λ−1]=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4． 当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．（2）将圆的方程整理得：(x −4cos θ)2+(y −3sin θ)2=1 由题设得x 0=4cos θ，y 0=3sin θ(θ为参数，θ∈R)． 所以2x 0−y 0=8cos θ−3sin θ=√73cos (θ+φ)， 所以−√73≤2x 0−y 0≤√73． （3）：①根据柯西不等式可得(a 2+b 24+c 29)(1+22+32)≥(a ×1+b 2×2+c3×3)2=(a +b +c)2 ∴ a 2+14b 2+19c 2≥(a+b+c)214．②∵ a +b +c +2−2m =0，a 2+b 24+c 29+m −1=0∴ 1−m ≥(2m−2)214解得：−52≤m ≤1． 26. 【答案】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3； 当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]， 当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.【考点】 不等式的证明绝对值不等式的解法与证明 平均值不等式【解析】（1）答案未提供解析． 【解答】(1)解：f(x)={−2x −2,x <−3，4,−3≤x ≤1,2x +2,x >1,当x <−3时，−2x −2≤6，即x ≥−4，解得−4≤x <−3； 当−3≤x ≤1时，4≤6，满足题意；当x >1时，2x +2≤6，即x ≤2，解得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤6的解集为{x|−4≤x ≤2}. (2)证明：由(1)知f(x)min =4， ∴ a +b +c =4，∴ (a +1)+(b +1)+(c +1)=7， ∴ [(a +1)+(b +1)+(c +1)]2=49，∴ 49=(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2+2(a +1)(b +1)+2(a +1)(c +1)+ 2(b +1)(c +1)≤3[(a +1)2+(b +1)2+(c +1)2]， 当且仅当a =b =c =43时等号成立，∴ (a +1)2+(b +1)2+(c +1)2≥493.27.【答案】解：∵ x 2+y 2=2，∴ (x +y)2+(x −y)2=4．∵ ((x +y)2+(x −y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴ 1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x =±√2，y =0，或x =0,y =±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．平均值不等式【解析】由题意可得(x+y)2+(x−y)2=4，再根据((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，求得1(x+y)+1(x−y)的最小值．【解答】解：∵x2+y2=2，∴(x+y)2+(x−y)2=4．∵((x+y)2+(x−y)2)(1(x+y)2+1(x−y)2)≥4，∴1(x+y)2+1(x−y)2≥1，当且仅当x=±√2，y=0，或x=0,y=±√2时，1(x+y)2+1(x−y)2取得最小值是1．28.【答案】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)2∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．【考点】利用导数研究函数的单调性等比数列的性质平均值不等式(Ⅰ)确定函数的定义域，利用导数的正负，结合分类讨论，即可求得数f(x)的单调性；(Ⅱ)(i)利用函数解析式，求出f(1)，f(√ba )，f(ba)，根据等比数列的定义，即可得到结论；(ii)利用定义，结合函数的单调性，即可确定x的取值范围．【解答】（1）函数的定义域为{x|x≠−1}，f′(x)=a−b(x+1)∴当a>b>0时，f′(x)>0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递增；当0<a<b时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞, −1)，(−1, +∞)上单调递减．(2)(i)计算得f(1)=a+b2，f(√ba)=√ab，f(ba)=2aba+b．∵(√ab)2=a+b2×2aba+b∴f(1)，f(√ba )，f(ba)成等比数列，∵a>0，b>0，∴2aba+b≤√ab∴f(ba )≤f(√ba)；(ii)由(i)知f(ba )=2aba+b，f(√ba)=√ab，故由H≤f(x)≤G，得f(ba )≤f(x)≤f(√ba)．当a＝b时，f(ba )＝f(x)＝f(√ba)＝f(1)＝a，此时x的取值范围是(0, +∞)，当a>b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，这时有ba ≤x≤√ba，即x的取值范围为b a ≤x≤√ba；当a<b时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，这时有√ba ≤x≤ba，即x的取值范围为√b a ≤x≤ba．29.【答案】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．【考点】平均值不等式【解析】根据算术平均数不小于其几何平均数可得：x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，相加得出结论．【解答】证明：因为x>0，y>0，z>0，所以x3+y3+z3≥3xyz，x3+y3+1≥3xy，y3+z3+1≥3yz，x3+z3+1≥3xz，将以上各式相加，得3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz，又因为xyz=1，从而x3+y3+z3≥xy+yz+xz．30.【答案】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.【考点】绝对值不等式平均值不等式【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：|x−m|+2x≤0，即{x≥m，x−m+2x≤0，或{x<m，m−x+2x≤0，化简得：{x≥m，x≤m3，或{x<m，x≤−m，由于m>0，所以不等式组的解集为(−∞,−m].由题设可得−m=−1，即m=1. (2)证明：由(1)可知，a+b+c=1，又由均值不等式有b 2a +a≥2b，c2b+b≥2c，a2c+c≥2a，三式相加可得：b 2a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a，所以b 2a +c2b+a2c≥a+b+c=1.31.【答案】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．【考点】平均值不等式两点间的距离公式【解析】设P(cosα, sinα)，S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式即可得出．【解答】设P(cosα, sinα)，则S＝|AP|×|BP|2=√cos2α+(sinα−2)2[cos2α+(1+sinα)2]，整理可得：S＝8√(1+sinα2)2(54−sinα)，利用均值不等式可得：S≤8×√(1+5 43)3=3√3，当且仅当sinα=12时，等号成立．因此|AP|×|BP|2的最大值为3√3．32.【答案】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A=π3.(2)在△ABC中由余弦定理知：a2=b2+c2−2bc cos A=(b+c)2−3bc≥(b+c)2−3(b+c2)2=1，所以a≥1，当且仅当b=c=1时等号成立，此时S=12bc sin A=√34.【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式平均值不等式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为a sin B=b sin B+C2，所以a sin B=b sin(π2−A2)，即a sin B=b cos A2，由正弦定理得sin A sin B=sin B cos A2，由于B为△ABC的内角，所以sin B≠0，所以sin A=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，由于A为△ABC的内角，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，又因为A∈(0,π)，所以A2=π6，A =π3.(2)在△ABC 中由余弦定理知：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =(b +c )2−3bc ≥(b +c )2−3(b+c 2)2=1，所以a ≥1，当且仅当b =c =1时等号成立， 此时S =12bc sin A =√34. 33.【答案】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b=2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a −2ab+b ≥2b +3． 【考点】 平均值不等式 【解析】根据均值不等式即可求出 【解答】解：∵ a ，b ∈R ，且a >b ， ∴ 2a +1a 2−2ab+b 2−2b =2(a −b)+1(a −b)2=(a −b)+(a −b)+1(a −b)2≥3√(a −b)⋅(a −b)⋅1(a−b)23=3，当且仅当a −b =1时取等号，∴ 2a +1a 2−2ab+b 2≥2b +3． 34. 【答案】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)， b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)，(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)， 即a +b +c ≥3. 【考点】 不等式的证明 平均值不等式 基本不等式 【解析】 【解答】证明：(1)由√a 2b 2c 23=√ab ×bc ×ca 3≤ab+bc+ca3，有ab +bc +ca +ab+bc+ca3≥4，得ab +bc +ca ≥3（当且仅当a =b =c =1时取等号）. (2)由a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取等号)，b 2+c 2≥2bc (当且仅当b =c 时取等号)， c 2+a 2≥2ca (当且仅当c =a 时取等号)，有a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca (当且仅当a =b =c 时时取等号)， (a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥3(ab +bc +ca)≥9 (当且仅当a =b =c =1时取等号)， 即a +b +c ≥3. 35.【答案】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|， 所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]， 故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数， 由均值不等式得1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号， 即1a +12b+13c≥3.【考点】 不等式的证明绝对值不等式的解法与证明 平均值不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：因为f(x)=m −|x +2|， 所以f(x −2)≥0等价于|x|≤m . 由|x|≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x|−m ≤x ≤m}，又f(x −2)≥0的解集为[−3,3]， 故m =3.(2)由(1)知a +2b +3c =3，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得1a +12b+13c=13(a +2b +3c)(1a+12b+13c)=13(3+a 2b +a 3c +2b a +2b 3c +3c a +3c 2b ) =13[3+(a 2b+2b a)+(a 3c+3c a)+(2b 3c+3c 2b)]≥13(3+2+2+2)=3，当且仅当a =2b =3c 时取等号， 即1a +12b +13c ≥3. 36.【答案】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4， 所以k =4，所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m 2≥3√2m ⋅2m ⋅2m 23=6， 当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 【考点】绝对值不等式的解法与证明 平均值不等式【解析】 此题暂无解析 【解答】解∶(1)①当x ≤−1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4 可化为(2−2x )−(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x =−1； ②当−1<x <1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为(2−2x )+(x +1)≤4，得x ≥−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式|2x −2|+|x +1|≤4可化为 (2x −2)+(x +1)≤4，得x ≤53，故有1≤x <53 .综上，不等式f (x )≤4的解集为[−1,53].(2)因为y =f (x )+|x +1|=2|x −1|+2|x +1|=2(|x −1|+|x +1|)≥2|x −1−(x +1)|=4， 所以k =4， 所以km +2m 2=4m +2m 2=2m +2m +2m ≥3√2m ⋅2m ⋅2m 3=6，当且仅当2m =2m 2，即m =1时“=”成立，所以km +2m 2的最小值为6. 37. 【答案】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立． 又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3．【考点】 平均值不等式 【解析】利用平均值不等式求得√2a +√2b +1+√2c +3≤4√3，由绝对值的性质可得|x −2|+|x −m|≥|m −2|，结合题意可得|m −2|≥4√3，由此求得m 的范围． 【解答】解：(√2a +√1+2b +√3+2c)2=(1×√2a +1×√2b +1+1×√2c +3)2≤(12+12+12)(2a +2b +1+2c +3)=3(2×6+4)=48．∴ √2a +√1+2b +√3+2c ≤4√3．当且仅当√2a =√2b +1=√2c +3即2a =2b +1=2c +3时等号成立． 又a +b +c =6，∴ a =83，b =136，c =76时，√2a +√2b +1+√2c +3有最大值4√3．∴ |x −2|+|x −m|≥4√3．对任意的x ∈R 恒成立． ∵ |x −2|+|x −m|≥|(x −2)−(x −m)|=|m −2|， ∴ |m −2|≥4√3，解得m ≤2−4√3．或m ≥2+4√3． 38. 【答案】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =12(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz) =12(x +y +z)[(x −y)2+(y −z)2+(x −z)2]≥0，∴ x 3+y 3+z 3≥3xyz ，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 即a +b +c ≥3√abc 3，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴a+b+c 3≥√abc 3．【考点】 平均值不等式 【解析】类比二元均值不等式得出三元均值不等式，利用作差法证明． 【解答】若a >0，b >0，c >0，则a+b+c 3≥√abc 3（当且仅当a ＝b ＝c 时取等号）．证明：令x =√a 3，y =√b 3，z =√c 3，则xyz =√abc 3，∴ x 3+y 3+z 3−3xyz ＝(x +y)3−3x 2y −3xy 2+z 3−3xyz ＝(x +y)3+z 3−3x 2y −3xy 2−3xyz＝(x +y +z)[(x +y)2−z(x +y)+z 2]−3xy(x +y +z) ＝(x +y +z)(x 2+y 2+z 2+2xy −xz −yz −3xy) =1(x +y +z)(2x 2+2y 2+2z 2−2xy −2xz −2yz)。

均值不等式及其应用【1】一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

应用一：求最值例 1：求以下函数的值域（1） y ＝ 3x 2＋112x 2（ 2） y ＝x ＋ x解题技巧：技巧一：凑项例 1：(2) y 2x1, x 3 。

x3变式：已知 x5 1的最，求函数 y 4 x 24x 45大值。

技巧二：凑系数例 1. 当 时，求 y x(8 2x) 的最大值。

变式： 1、设 0 x3，求函数 y 4x(3 2x)2的最大值。

并求此时x 的值2．已知 0x 1，求函数 y x(1 x) 的最大值 .；3．0 x2 x(2 3x) 的最大值 .，求函数 y3技巧三： 分别例 3. 求 yx 2 7x 10 ( x1) 的值域。

x 1变式(1)yx23x 1,( x 0)x技巧六：整体代换：2：已知 x0, y 0 1 9 y 的，且1，求 xxy最小值。

1x, y R 且 2x y 1，求变式： （ ）若11 的最小值x y(2) 已知a, b, x, y R 且ab1，求 x y x y的最小值4 、求S n 123n 222232n数列乞降问题1111111 1、求S nn( n 1) 5 、求S n(n 122334 2 232n 1)246、已知 a n 2 n3n 1 ，求S n 2、求通项问题S n11111、在数列{ a n }中， a1 1,a n 1a n 2n，求数558811(3n1)(3n2)2列的通项公式a n3、已知数列 { a n } 的前n项和为S n，且 2 、在数列{ a n}中，a11,a n 1a n n 1，求a n n 2 n，求 S数列的通项公式 an n3、在数列{ a n}中，a11, a n 1 2 n a n，求数列的通项公式a n4、在数列中，已知a11a n n，(n 2) ，a n 1n 1试求通项公式a n5、已知数列a n的前 n项和为S n2n2n,求数列an的通项公式 .。