复变函数第三章习题

第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。

2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。

3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。

柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。

解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。

积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。

解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

第三章习题详解1・沿下列路线计算积分J；' z2dz o1）自原点至3 + i的直线段；解：连接自原点至34-1的直线段的参数方程为：z =（3+》0<r<l dz =（3 + i）dt2）自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3 +八解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z = t 0</<1 dz = dt3 1=-33 «3连接自3铅直向上至3 +,的参数方程为：z = 3 + ir O<Z<1 dz = idt J J z2dz = £(3 + it)2 idt = -(34-17)3=-(3 + i)3彳" 3 n 3・・・ f z2dz = £t2dt 4- £(3 + it)2id/ = 133 4-1(3 4-1)3 - i33 = |(3 + i)33)自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3+i。

解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z = it 0</<1 dz = idtJ：Z2dz = J；(it)2 idt = | (i/)3= * 尸连接自i沿水平方向向右至3 + i的参数方程为：z = t^i 0<^<1 dz = dtr*edz=jo edz+广eaz=y+敦+厅-|/3=|（1+厅2.分别沿y =兀与y =兀2算出积分J；'（兀2 + iy^dz的值。

解：•/ j = x x2 + iy = x2 + ix ••• dz = (1 + i)dx・・・『(x2 + iy)dz = (1+ (x2 + ix)dx = (1 +•/ y = x2A x2 + iy = x2 4- ix2 = (1 + i)x2:. rfz = (1 + ilx)dxf 衣=［（3+03&二（3+讥♦3+i0=(3 + 厅0 d^ed Z=[\2dt=护而（W 宙討…T + 一 11.1.11 5. i = 1—i3 3 2 26 6/(z) =1 _ 1 z 2+2z + 4~ (z + 2)2在c 内解析，根据柯西一古萨定理,$匹J z 2 + 2z + 4/. £1+，(x 2+ iy)dz = (1 + /)£ * (1 + ilx)dx = (14-彳+ 设/(z)在单连通域〃内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。

第三章 习题课一、内容提要复变函数积分的定义，计算，性质。

柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式。

柯西不等式。

())(,1012重要的常用的积分⎩⎨⎧∈≠==-⎰Zn n n i a z dzncπ其中c 为包含a 在其内部的一条简单闭曲线 二、习题选解例1、沿第一象限中线路()2,1=ℑC ，计算积分xydy dx y x ic 222-+⎰，起点和终点分别为（1，0）和（0，1）1:12221=+=+y x c y x c ：解：（1）在t y t x c =-=,11上，则10,,≤≤=-=t dt dy dt dx()[](){}⎰⎰⎰-=-=-++--=-+∴11222211212)(1dt tdt t dx t t xydydx y x c（2）在)20(,sin ,cos 2πθθθ≤≤==y x c 上，⎰⎰⎰-=-+-=-+20220222235cos sin 2sin )sin (cos 2)(2ππθθθθθθθd d xydydx y x c例2，dz iz c 2)2(+⎰其中c 为从1到i +2的简单曲线 （引理）解：2)2(iz +在复平面上解析（连续），且有原函数3)2(31)(iz iz F +=[]{})1(313)2()2(231)1()2()2(332i i i i i F i F dz iz c +-=+-++=-+=+∴⎰ 例3、计算积分dz z i c )(-⎰，这里c 为（1）自0到i +1的直线段（2）自0到i +1的抛物线2x y =的弧段解：（1）从0到i +1的直线段的方程为ti t t i t z +=++⋅-=)1(0)1( 10≤≤t ，则()ii dti t dti i t t i ti t i dz z i c +-=+--=+--=+++-=++-=-⎰⎰⎰⎰211)12()1()1()1)(()(111（2）设弧段的方程为 10,2≤≤+=t i t t z 则dt ti i t t i dz z i c )21()()(102++-=-⎰⎰[]i dt t t t 322)1()32(1023+-=+-+--=⎰例4，计算dz z z e zz ⎰-=)1(23解：（一）积分闭路内有三个奇点z=0，-1，1，为此被积函数分解为部分分式，化为三个积分之和，使每个积分的被积函数只有一个奇点，再应用柯西公式，因为121121)1(2++-+-=-z e z e z e z z e z z z z)2(2212212121121)1(1133323-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅-=++-+-=---====⎰⎰⎰⎰e e i e i e i e i dz z e dz z e dz z e dz z z e zz z z z z zz ππππ 故（二）作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有)2()22(21)1(1)1(11)1()1()1()1(111222223321321-+=++=+⋅-+-⋅++⋅-=-+-+-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e i e e e i z dzz z e z dz z z e z dz z dzz z e dz z z e dz z z e dz z z e z cz c c zc z c z c z z ππ例5、计算：232)1(-⎰=z z dzz 解、被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 积12=z ，都在2=z 内，利用复合围线积分定理，作圆周4114121=-=z c z c ：，：23411324123412341222)1(1)0()1(1)1()1()1(1-+--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰=-====z z dz z z z z dz z z dzdz z z z z z z z 由高阶导数公式，得()0"11!22)1(02222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==⎰z z z i z z dz π例6，P 56，9（2）证明01)(22≥=≤+⎰Kez z dz iy x c ，，若为有半单位圆π 证明：因为在C 上，122=+y xππ≤+≤+≤++≤+=+⎰⎰dy iy x dz iy x C iy x C y x y x iy x c c 222222224422)(1有，由积分估值公式，的长度为，又上，故在而例7、P 56，14 通过计算)21(1121 ，，=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=n dz zz z nz 证明⎰⋅⋅-⋅⋅⋅=ππθθ2022642)12(5312cos nn d n证明：因为()θθθππθθd i id ee z dz z z n nni i nz ⎰⎰⎰=+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=20202221cos 21!)!2(!)!12(2!)!2(2)1(22!)22)(12(22)2!)(2!()!2(2cos )!()!2(2!)12()12(22!)12()12(211!)12()12(21211121002212112221n n n n n n n n n n n d n n i n n n n n izdz n n n n n dzz z z n n n n n z nz z z z z k i k dk z n n nn z nz n n nkz -=⋅-⋅--==⋅=+--=⋅+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++++=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎩⎨⎧-=-≠=⎰⎰⎰⎰==-=πππθθπππ 从而于是而0cos 2012=⎰-θθπd n 同理例8、计算221-⎰=z dzz解：因为，2=z 所以θπθθθd ie dz e z i i 2,20,2=≤==+===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=+-=---=-∴-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=====θθππθθπθθd i i dz z dz z i z z dz i z z z dz i z dz zdzid e ie i d dz z z z z z i i 202222222cos 45234)20(32114132452)1)(1(2122222或原式例9、P 56 6，8，16，17 6、)('z g 在D 内解析[])(')()()('')()(z g z f z g z f z g z f +=，积分与路径无关。

第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。

1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。

解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++idz iy x102的值。

解：x y = ix x iy x +=+∴22()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。

第三章 复变函数的积分一、 判断题（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。

（ ） （2） 有界整函数必为常数。

（ ） （3） 积分⎰=--ra z dz az 1的值与半径)0(>r r 的大小无关。

（ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。

（ ）（5） 若)(z f 在10<<z 内解析，且沿任何圆周)10(:<<=r r z c 的积分等于零，则)(z f 在0=z 处解析。

（ ）（6） 设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v =。

（ ） （7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。

（ ） （8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。

（ ） 二、选择题：1．设C 为从原点沿0至i 21+的有向线段，则=⎰Cz z d Re ( )（A ）i -21 （B ）i +-21 （C ）i +21（D ）i --212．设C 为不经过点1,0与i -的正向简单闭曲线，则z i z z z Cd )()1(12⎰+-为( )（A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）(A)(B)(C)都有可能 3．设C 为从1沿1=+y x 至i 的直线段，则=-+⎰y xy x y x Cd 2d )(22( )（A ）i - （B ）i （C ）1 （D ）1-4．设C 为正向圆周2=z ，则=+⎰-z z e c zd )1(2( ) （A ）i π2- （B ）i e π2- （C ）i e π2 （D ）12i π5．设C 为正向圆周21=z ，则=+---⎰z z z z z C d 10621sin)2(23 ( ) （A ）)1sin 1cos 3(2-i π （B ）0 （C ）1cos 6i π （D ）1sin 2i π-6．设ξξξξd ze zf ⎰=-=43)()(，其中4≠z ，则='）i f π(( ) （A ）i π- （B ）1- （C ）i π （D ）17．设C 为正向圆周0222=-+x y x ，则=-⎰z z z C d 1)4sin(2π( ) （A ）i π22 （B ）i π2 （C ）0 （D ）i π22- 8．设C 为椭圆1422=+y x ，则积分⎰C z z d 1= （ ）（A ）i π2 （B ）π （C ）0 （D ）i π2-9．设c 为任意实常数，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是( )(A)c iz +2（B ） ic iz +2（C ）c z +2（D ）ic z +210．设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是( )（A ）),(),(y x iu y x v + （B ）),(),(y x iu y x v -（C ）),(),(y x iv y x u - （D ）xv i x u ∂∂-∂∂三、填空题1．设C 为负向圆周2||=z ，则=⎰C z z d2．设C 为正向圆周2=-i z ，则=-++⎰C z i z z z d )(12532 3．设,2)(2⎰-+-=Cd z z f ξξξξ其中曲线C 为椭圆19422=+y x 正向，则=)1(f =+')2(i f =-'')(i f4．设C 为正向圆周1=z ，则⎰Czzd 5．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的6．设C 是从π到i 的直线段，则积分=⎰Czz z e d cos7．设C 为过点i 32+的正向简单闭曲线，则当z 从曲线C 内部趋向i 32+时，=-⎰+→ξξξd ze c i z 32lim ，当z 从曲线C 外部趋向i 32+时，=-⎰+→ξξξd z c i z cos lim32 。

第三章、复变函数的积分 试题库：第一部分、判断与填空：1、设函数)(z f 在区域D 解析，为C 内D 任一条闭简单曲线，则0)(=⎰C dz z f .2、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数。

3、若函数)(z f 在区域D 解析，则积分与路径无关。

4、设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰C dz z 。

5、___cos 1=⎰C dz z。

6、若函数)(z f 在单连通区域D 解析，为C 内D 任一条闭简单曲线，则____)(=⎰C dz z f 。

7、___=⎰Cz dz ze 。

8、设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则___)(1=-⎰C n dz a z 。

9、设C 是以为a 心，r 为半径的圆周，则___122=-⎰C dz az 。

10、设函数)(z f 在区域D 解析，则它是任意阶可导的。

第二部分、证明与计算：1、计算积分：⎰-=ii z z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的左半圆；（2）单位圆的右半圆。

2、计算积分：z z I Ld Re ⎰=， 在这里L 表示单位圆（按反时针方向从1到1取积分）。

3、计算积分：z z I Ld Re ⎰= 在这里L 表示从1z 沿直线段到2z 。

4、设函数)(z f 当)10(||000<<>-r r z z 时是连续的。

令)(r M 表示|)(|z f 在00||r r z z >=-上的最大值，并且假定0)(lim =+∞→r M r 。

试证明0d )(lim =⎰+∞→r K r z z f在这里r K 是圆r z z =-||0。

5、如果函数)(z f 在00||r z z >-内解析，令)(r M 表示|)(|z f 在00||r r z z >=-上的最大值，并且假定 0)(lim =+∞→r M r 那么对任何0r r >，0d )(=⎰r K z z f6、计算积分：⎰=-2||4d 11z z z 。

习题三1. 计算积分2()d Cx y ix z-+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2. 计算积分(1)d Cz z-⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i 的弧段. 解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤()()111()Cz dz x ix d x ix i-=-++=⎰⎰(2)设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰3. 计算积分d Czz ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i 到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i 到点i. 解 (1)设z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i--===⎰⎰⎰(2)设i z e θ=. θ从32π到2π22332212i i Cz dz de i de iππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=. θ从32π到2π23212i Cz dz deiπθπ==⎰⎰6. 计算积分()sin zCz e z dz -⋅⎰,其中C为z a =>.解 ()sin sin z zC C Cz e z dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰ ∵sin z e z ⋅在z a =所围的区域内解析∴sin 0z Ce zdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰故()sin 0zCz e z dz -⋅=⎰7. 计算积分21(1)Cdzz z +⎰,其中积分路径C 为（1）11:2C z =（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=（4）43:2C z i -=解：（1）在12z =所围的区域内，21(1)z z +只有一个奇点0z =. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰（2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰（3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22CC dz dz i iz z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故42111111()2(1)22CC dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) 20cos 2i z dzπ+⎰(2)z ie dzπ--⎰ (3) 21(2)iiz dz+⎰(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5) 10sin z zdz ⋅⎰ (6) 211tan cos i z dz z +⎰解 (1)2201cos sin21222iiz zdz ch ππ++==⎰(2)2z ziie dz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰(4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰(5) 111100sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i i z dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11. 计算积分21zCe dzz +⎰,其中C为 (1)1z i -= (2)1z i += (3)2z =解 (1)221()()zz ziz iCC e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ (2)221()()zz ziz iCC e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3) 122222sin1111zz z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z|=1.(1) 5zC e dz z ⎰ (2) 3cos C z dz z⎰(3) 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1)(4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰(2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z iz ππ===-⎰(3)'2020tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计算积分331(1)(1)C dzz z -+⎰,其中积分路径C 为 (1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周 (2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周解：(1) C 内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z Ci idz z z z ππ===-++⎰(2) C 内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x x x x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,3223632u xx y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy yx ∂=--∂ 22666u x xy y y ∂=--+∂22612u x y x ∂=-∂ 22612u x y y ∂=-+∂从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2) 设w u i υ=+,cos 1xu e y =⋅+sin 1x e y υ=⋅+ ∴cos xu e yx ∂=⋅∂ sin x u e y y ∂=-⋅∂22cos x u e y x ∂=⋅∂ 22cos x u e y y ∂=-⋅∂从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.sin xe yx υ∂=⋅∂ cos x e y y υ∂=⋅∂22sin x e y x υ∂=⋅∂ 22sin x y e y υ∂=-⋅∂22220x y υυ∂∂+=∂∂,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22u x y =-,22xx y υ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+不是解析函数证明:2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y ∂=-∂∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函数.22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+∴22220x y υυ∂∂+=∂∂,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数. 22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+(1)22u x y xy =-+ (2)22,(1)0yu f x y ==+解 (1)因为 2u x y xy υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y x υ∂∂=-+=-∂∂ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy C υ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y=0,上式变为22()i()2x f x x C =-+从而22()i i 2z f z z C=-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy C y x x x y x x y C x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰2222()i(1)y xf z C x y x y =+-+++由(1)0.f =，得C=0()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭23.设12()()()()n p z z a z a z a =---,其中(1,2,,)i a i n =各不相同，闭路C 不通过12,,,na a a ,证明积分1()d 2π()Cp z z ip z '⎰等于位于C 内的p(z)的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k, 其零点分别为12,,...ka a a1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi()()...()111111...2πi2πi2πi111111...1...2πi2πin nk k n k k CCn CCCnCCk nk z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰其中G 为C 所围内部区域.证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆CR: R z =，将C 与Z 包含在内则f(z)在以C 及RC 为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z z ζζζζζζ=--⎰⎰因为()f z z ζζ-- 在Rζ>上解析，且()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外部时，有1()()2πiC f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z Az ζζζ=-+-⎰设Z 在C 内，则f(z)=0，即R 1()()0[]2πi C C f f d d z z ζζζζζζ=---⎰⎰故有：1()2πiC f d Az ζζζ=-⎰。