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ch10-3稳恒磁场的安培环路定理解读

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大学物理,稳恒磁场10-4安培环路定理概述.

大学物理,稳恒磁场10-4安培环路定理概述.

0I B
2πR
R
oR r
12
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：求无限长载流圆柱面的磁场分布。
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r

解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r 13

LB dl μ0 I

B d l
L

μ0 ( I1
I1
I1
I2)


μ（0 I1

I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
思考：

1） B 是否与回路 L 外的电流有关？


2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？ L
是否回路 L 内无电流穿过？
2πR
当 2R d 时，
螺绕环内可视为均匀场。
令：n N
2R
B μ0nI
第10章 稳恒磁场
d
R
10
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：无限长载流圆柱体的磁场。
I
解：1）对称性分析
2）选取回路

r R :
Bdl
l

μ0 I
RR
L
r
B
2 π rB 0I,
B μ0 I 2πr
电流共同产生的。
3）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而有限电 流（如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。
4）安培环路定理说明磁场性质 —— 磁场是非保守场，是涡旋场。

稳恒磁场 安培环路定理

稳恒磁场 安培环路定理

讨论
B
μ0 I 4πa
(cos θ1
cos θ2
)
⑴ 无限长直载流导线的磁场
θ1 0 θ2 π
B μ0I 2πr
I B
⑵ 半无限长直载流导线的磁场
π θ1 2 θ2 π
或 θ1 0
θ2
π 2
B μ0 I 4πr
I
2
B
or p
1
I
o r *P
例4 载流直螺线管的磁场
有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺线管，总匝数 为N，通有电流I。求管内轴线上一点处的磁感强度。
B MN
0
0
0
由安培环路定理有
N BMN μ0 l MN I
B μ0nI
长直载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
例2 一空心环形螺线管，尺寸如图所示，其上均匀密 绕有N匝线圈，导线中通有电流I。（1）求其磁场分布。 （2）若截面为矩形，求通过其截面的磁通量。
解：（1）分析对称性； 选圆形积分回路
2πr 2
若写成矢量式为
B
μ0
J
r
2
JI S
IR
J
r B
0 Ii
B i 2πr
若场点在圆柱外，即 r > R
IR
包围的电流为 Ii I
则磁感强度为
i
B
0I
2πr
J
r B
r <R
B
μ0
J
r
B
场的分布为
2
r > R B μ0 I
2πr
OR
r
（令 R 0 ，即长直载流导线）
求长为l的一段的磁通量: 建坐标如图，

稳恒磁场--安培环路定理

稳恒磁场--安培环路定理

方程。它表明磁场是涡旋场（非保守场）。
2）正确理解定理中各量的含义
B 空间所有（环路内外）电流共同产生
L 在磁场中任取的一闭合线
Ii内环路所包围的电流的代数和
i

讨论
B dl 0 Ii内
环B 沿路该外回的路电的流积对L 分空（间B任 的一环点i 流的）B无有贡贡献献。，而对
解：电流均匀分布，则电流密度为
II J S πR2
根据电流分布的柱对称性，取过 场点的圆作为安培环路

l B dl B2πr
由安环定理有 2πrB 0 Ii
i
IR
B Jr
2πrB 0 Ii
i
解得
μ0 Ii
B i 2πr
若场点在圆柱内，即 r < R
3）对一些具有对称分布的电流的磁感强度可 利用安培环路定理方便地计算。

B dl
l

μ0
Ii内 对比
i
1n
S
E dS
ε0
qi内
i 1
二、安培环路定理的应用
1、分析对称性
2、选取积分回路——安培环路

3、计算 B dl l
4、计算
I i内

5、应用定理求出 B
r
B
2πr
r <R
B

μ0
J

r
B
场的分布为
2
r > R B μ0 I
2πr （令 R 0 ，即长直载流导线）
OR
r
求长为l的一段的磁通量: 建坐标如图，
在任意坐标 r 处 宽为dr的面积 元的磁通量为

稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导

稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导

稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导以《稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导》为标题，本文旨在推导安培环路定理，即在两个恒定磁场真空中，电流在磁场中沿着固定的路径流动，并且电流在磁场中的总功率都是零的。

本文将从磁场的基本原理开始，介绍磁流场的基本概念，然后推导安培环路定理。

一、磁场的基本原理根据定义，磁场是由磁力线构成，它们是在一个磁源(如电流)周围逆时针构成的。

由此可见，当静电荷移动在磁场中时，它会受到不同程度的磁引力控制，从而形成“磁流”。

磁流场可以看作是由一系列的极小的磁散的磁力线构成的。

由于每个磁性粒子的活动方向都受到磁场的影响，因此磁流场实际上是一系列磁性粒子的三维空间结构。

二、安培环路定理的推导安培环路定理指的是，在两个恒定磁场真空中，电流在磁场中沿着固定的路径流动，并且电流在磁场中的总功率都是零的。

因此，如果要推导安培环路定理，首先要根据磁流场的基本原理，求解出磁流场中电流的路径。

根据牛顿第二定律，电流在磁场中的动量满足方程：p=mv (1)其中，m为电流在磁场中的质量，v为电流在磁场中的速度。

根据动量守恒定律，结合磁流场的基本原理，可以得出：mv1 = mv2 (2)其中，v1为电流离开磁场的速度，v2为电流入入磁场的速度。

根据瓦特定律，可以得出：v1 Ib1 = v2 Ib2 (3)其中，Ib1为电流离开磁场的电流密度，Ib2为电流入入磁场的电流密度。

根据力矩平衡定律，电流在磁场中受到的力矩：T=Ib× Area (4)其中，T为电流在磁场中受到的力矩，Ib为电流在磁场中的电流密度，Area为磁流场中的面积。

由（2）、（3）、（4）三式可以得出，T1 = T2 (5)其中，T1为电流离开磁场的力矩，T2为电流入入磁场的力矩。

综合（1）、（2）、（3）和（5），可以得出安培环路定理：在两个恒定磁场真空中，电流在磁场中沿着固定的路径流动，并且电流在磁场中的总功率都是零的。

三、结论本文在介绍安培环路定理的基本概念之后，从磁场中磁流场的基本原理出发，通过牛顿第二定律、动量守恒定律、瓦特定律和力矩平衡定律等方面的推导，得出安培环路定理：在两个恒定磁场真空中，电流在磁场中沿着固定的路径流动，并且电流在磁场中的总功率都是零的。

安培环路定理课件

安培环路定理课件

电磁感应的概念
电磁感应是指因磁通量变化而引起感应电动势的现象，它是 能量转换的一种形式。
电磁感应在安培环路定理中扮演着重要的角色，它可以解释 磁场和电流之间的相互作用和变化规律。
03
CATALOGUE
安培环路定理的证明
证明方法一：利用积分
总结词
通过在闭合曲线上的积分，我们可以证明安培环路定理。
实验二：电磁力测量
总结词
电磁力测量是研究安培环路定理的重要实验，通过测量通电导线在磁场中所受的力，可 以验证安培环路定理的推论。
详细描述
该实验采用电磁力测量仪和不同大小的电流源，通过测量通电导线在磁场中所受的力， 可以验证安培环路定理的推论。在实验过程中，需要注意保持电流的稳定和避免空气阻
力的影响。
安培环路定理的应用场景
要点一
总结词
安培环路定理的应用场景广泛，包括电力工程、电子设备 、磁力设备和科学研究等。
要点二
详细描述
在电力工程中，安培环路定理可以用于计算电流产生的磁 场，从而设计合适的磁路和电磁铁。在电子设备中，安培 环路定理可以用于分析电磁干扰和射频干扰等问题。在磁 力设备中，安培环路定理可以用于设计磁力控制器和磁力 泵等装置。此外，安培环路定理也是科学研究的重要工具 ，可以用于研究电磁场和电磁波等物理现象。
有节点电流的求和。
基尔霍夫定律的应用
03
基尔霍夫定律在电路理论、电子工程、电力工程等领域都有广
泛的应用。
06
CATALOGUE
安培环路定理实验及解析
实验一：磁场分布测量
总结词
磁场分布测量是研究安培环路定理的基础实 验，通过测量不同电流下磁场的分布情况， 可以验证安培环路定理的正确性。

安培环路定理

安培环路定理

(1)管内:取L矩形回路 abcda
边在轴上，两边与轴平行,另
aP b
两个边垂直于轴。
LB dl Bab ab Bcd cd Bab ab
e
Q
f
0I 0nI ab
d
c
∞
B内 onI 其方向与电流满足右手螺旋.
(2)管外 :
取回路efbae同理可证，无限长直螺线管外任一点的磁场为
A(rQ )
0I 2
ln
r Q
r P
A(rP )
A(rQ
)
0I 2
ln
r Q
r
-I
r P
P
两式相加,得:
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
rP rQ
0I 2
ln
rP rP
A(rP )
A(rQ )
0I 2
ln
r P
r P
若选Q点的矢势为零,则
A(rP )
0I 2
ln
r P
r P
例2.一无限长载流圆柱导体,半径为R, 电流I均匀分布
ldr
0I 2
l
ln
rQ r
A(rP ) A(rQ )
0I 2
ln
rQ rP
+I
Q
若选Q点的矢势为零,则
A(rp
)
0I 2
ln
rQ rP
r P
注意:若选Q点在无穷远处或导线
上,磁矢势将无意义.
讨论:两根平行的载流直导线,电流大 小相等方向相反,求磁矢势.
选Q点在两直线电流之间垂线的中点处.
A(rP )
B dS 0

大学物理安培环路定理

10-4 安培环路定理静电场的一个重要特征是电场强度E 沿任意闭合路径的积分等于零，即0d =⋅⎰l E l，那么，磁场中的磁感强度B 沿任意闭合路径的积分⎰⋅ld lB 等于多少呢？可以证明：在真空的稳恒磁场中，磁感强度B 沿任一闭合路径的积分（即B 的环流）的值，等于0μ乘以该闭合路径所包围的各电流的代数和，即∑⎰==⋅ni lI10 d il B μ （10-8）安培环路定理与静电场环路定理的比较 讨论：安培环路定理的证明如图(a)所示，有一通有电流I 的长直载流导线垂直于屏幕平面，且电流流向垂直屏幕平面向内. 在屏幕平面上取两个闭合路径1C 和2C ，其中闭合路径1C 内包围的电流为I ，而在闭合路径2C 内没有电流. 从图（b ）可以看出，由于磁感强度B 的方向总是沿着环绕直导线的圆形回路的切线方向，所以对闭合路径1C 或2C 上任意一线元l d ，磁感强度B 与l d 的点积为ϕαd cos d d Br l B ==⋅l B式中r 为载流导线至线元l d 的距离. 由第10-2节二中例1的式（2），上式可写成ϕμϕμd π2d π2d 00Ir rI==⋅l B （1）对于图（a ）的闭合回路1C ，ϕ将由0增至π2. 于是，磁感强度B 沿闭合路径1C 的环流为这就是真空中磁场的环路定理，也称安培环路定理。

它是电流与磁场之间的基本规律之一。

在式（10-8）中，若电流流向与积分回路呈右螺旋关系，电流取正值；反之则取负值。

⎰⎰===⋅1000π2π2d π2d CIIIμμϕμl B （2）可见，真空中磁感强度B 沿闭合路径的环流等于闭合路径所包围的电流乘以0μ，而与闭合路径的形状无关.然而，对于图（a ）中的闭合路径2C ，将得到不同的结果，当我们从闭合路径2C 上某一点出发，绕行一周后，角ϕ的净增量为零，即⎰=0d ϕ于是，由式（1）可得⎰=⋅20d c l B （3）比较式（2）和式（3）可以看出，它们是有差别的. 这是由于闭合路径1C 包围了电流，而闭合路径2C 却未包围电流. 于是我们可以得到普遍的安培环路定理：沿任意闭合路径的磁感强度B 的环流为⎰∑=⋅20d c I μl B式中∑I 是该闭合路径所包围电流的代数和 人物简介：安培简介安培(Andre Marie Ampere,1775-1855)，法国物理学家，对数学和化学也有贡献，他在电磁理论的建立和发展方面建树颇丰。

谈论对稳恒磁场安培环路定理的理解

谈论对稳恒磁场安培环路定理的理解
稳恒磁场安培环路定理是磁场的重要场方程，它反映了磁场的涡旋性及磁场与电流的关系，给出通过电流的分布求解具有某种对称性系口均匀性磁场的途径。

在稳恒磁场中，磁场强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。

这个结论称为安培环路定理。

安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。

它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。

我将从以下几个方面谈谈对稳恒磁场安培环路定理的理解
一、稳恒磁场安培环路定理的推导
二、稳恒磁场安培环路定理的表达式及描述
在磁场中,沿任何闭合曲线B矢量的线积分(B矢量的环流),等于真空的磁导率#乘以穿过以该闭合曲线为边界所张任意曲面的个恒定电流的代数和,它表达了电流与它激发磁场之间的普遍规律,即
_____________________
上式中电流的……
三、对稳恒磁场安培环路定理的进一步理解
正如在静电场的高斯定理一节中我们曾强调过的……
四、稳恒磁场安培环路定理的应用：安培环路定理以积分形式表达了恒定……利用安培环路定理求磁场的基本步骤
1.首先用磁场叠加原理对载流体的磁场作对称性分析；
2.根据磁场的对称性和特征，选择适当形状的环路；
3.利用公式（1）求磁感强度。

25.安培环路定理详解

解一. 用叠加原理
o dI' dI
dI jdx dB 0dI
2r
由对称性：Bz dBz 0
B
dB x
dB cos
jdx 0 2r
z r
0zj
2
dx x2 z2
0 zj 1 arctg x
2 z
z
0 j
2
29
解二. 用安培环路定理
j
z
L
l
x
在对称性分析的基础上
选如图安培环路
E dS
1
s
0
q内
求解具有某些对称分布的静电场
LB dl I 0 (穿过L) i
求解具有某些对称性的磁场分布
适用条件：闭合稳恒电流的磁场
求解条件：电流分布(磁场分布)具有某些对称性，
以便可以找到恰当的安 培环路L，使 LB dl 能积 出，从而方便地求解 B 。
17
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
8
2) 若电流反向（包围电流的圆周路径 L ）：
I
o r
LB
LB
dl
2
0
r
I 0
2 r
dlcos
I 0
2 r
2
0
r
dl
I 0
规定:当电流流向与积分路径的绕行方向成
右手螺旋关系时,电流为正;反之为负.
Bdl L
0I
9
3)
LB
在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
dl
LB cosdl
L
0
B1
B
1 2
B2
r1 P
o 1
2 r2
d o'

[理学]稳恒磁场与安培环路定理


L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r
小结：
• 应用安环定理求磁场分布的关键:选择合适闭合路径 • 要求: • 1)闭合路径经过待求场点；
• 2)B与dl的夹角θ最好为0，π，或π/2；
I
I
I
I
S
I
S
N
N
磁感线是不相交，无头无尾的闭合曲线.（涡旋场）
dS B
B dm dS
磁场中某点处垂直B矢量 的单位面积上通过的磁感 线数目等于该点 B的数值.
nB
s s
B dS
B
四 磁通量： 通过某一曲 面的磁感线数为通过此曲 面的磁通量.
Φ BS cos BS
Φ B S B nS dΦ B dS
3）x 0 4）x R
B 0I
2R
B
0IR 2
2x3
，
B
0 IS
2π x3
（1） I
R o
B0
x
B0
0I
2R
（2 ） I R
o
B0
0I
4R
（3） I R o
B0
0I
8R
（4）
（5） I
BA
0I
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0
0I
4R2
0I
4R1
0I
4π R1
例4 载流直螺线管轴线上的磁场
如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺 线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管 放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.
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L ( 穿 过L )

b c d a B dl B dl B dl B dl B dl 0
a b c d
2018/9/26
19/31
B d c
d
a b
a b
B
内
0
B外 0
I
2018/9/26
内
NI
1 r
0 NI B内 2r
o
R1
R2
r
26/31
练习： 若螺绕环截面为正方形，求通过螺绕环截面的磁通量 .
N ,I
h R2 R1
dS
dS hdr ( R2 R1 )dr d m B内 dS
c
n, I
d 得： B dl B dl 0
b a c d B dl B dl b a c
B dl
c d
即：Bab ab Bdc dc ， 由此可得： Bab Bcd Bab Bcd
不穿过 L 的电流：对 L上各点 B有贡献； 对 B dl 无贡献。
L
2电场
高斯定理
环路定理
1 E dS
S
0
q
内
E dl 0
L
有源场
保守场、有势场
B dS 0
S
B dl 0
I
B
作矩形安培环路如图，
规定： +
b
a
d

c

L
b c d a B dl B dl B dl B dl B dl
a b c d
B cos ab 0 0 0 Bab
流的贡献
L
0
( 穿 过L )
2018/9/26
I
L
L
i
穿过L电流的贡献
7/31
2.推广：稳恒磁场的安培环路定理

L
B dl 0
(穿 过L )
I
B
i
稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合路径 L 的线 积分（环流）等于穿过闭合路径的电流的代数和与真 空磁导率的乘积. 成立条件：稳恒电流的磁场
0 Ir B内 r 2 2R
o
R
r
10 - 14 （旧) 14/31
思考：无限长均匀载流直圆筒 B ~ r 曲线？
B
1 r
o
B内 0
r
0 I 2r
R
B外
B外方向与 I 指向满足右旋关系
等价于全部电流集中于轴线的无限长直电流
2018/9/26
15/31
[例二] 无限长载流直螺线管的磁场（ I . n . 线密绕）
以便可以找到恰当的安培环路 L ，使积分
能够积出，从而方便地求解 B
2018/9/26

L
B dl
12/31
[例一] 无限长均匀载流圆柱体 I , R 内外磁场.
（电流分布均匀）
I
R
o
r
P

L
r L o '
I dI
dI
' dB
P
dB
对称性分析
在 I 平面内，作以 o 为中心、半径 r 的圆环 L ， L 上各点等价： B 大小相等，方向沿切向 。 以 L为安培环路 ，逆时针绕向为正: + 2018/9/26 13/31
R l ，对邻近场点
n
单位长度上 的匝数

l
o
n, I
R

线密绕模型：螺距为零，视为一系列平行圆电流紧 密排列
2018/9/26
16/31
回顾上节：P 276 [例4]载流直螺线管轴线上磁场.
5/31
4）闭合路径不在垂直于电流的平面内
将Ｌ投影到垂直于电流的平面 （即 B 线所在的平面）内
I
o
o
L
dl dl
dl dl// dl
L
dl //
LB dl L B ( dl // dl ) B dl // B dl L L B dl // 0 cos 0
求： 解： 内部

B?

R
等效于长直螺线管： B 0 nI 单位长度上电流：
nI ?
nI 2R 2
B 0 nI 0 R B 0 R
2018/9/26
24/31
[例三]
载流螺绕环的磁场分布（ R1 . R2 . N . I
对环流的贡献为正，反之为负。
如果规定
与 L 绕向成右旋关系 与 L 绕向成左旋关系
I 0
I 0
统一为：
2018/9/26

L
B dl 0 I
3/31
2）选在垂直于导线平面内围绕电流的任意闭合路径
0 I LB dl LB cosdl L 2 r rd
§ 10.3
磁场的高斯定理和安培环路定理（续）
一般方法： 用高斯定理和环路定理描述空间矢量场的性质。 比较
S
高斯定理
环路定理
内
1 静电场 E dS
稳恒 磁场
2018/9/26
0
q
有源场 无源场
E dl 0
L
保守场
B dS 0
S
LB dl ? ？
x x1 2
R P

n
I
B
x
BP
0 nI
2 2 x2 R2
x2
2 x1 R2 x1
L
无限长：
x1 ; x2 ,
I
2018/9/26
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
L
o
r
B
2/31
若电流反向
I
o
2 r I 0 B d l L 0 2 r dlcos
L
r B
0 I 2 r dl 0 I 2 r 0
与环路绕行方向成右旋关系的电流
L
0 I
2018/9/26
( I穿过L )
6/31
0 ( I不穿过L )
5）空间存在多个长直电流时
I2
I1
I3
L
I4
B B1 B2 Bn
由磁场叠加原理
LB dl L ( B1 B2 Bn ) dl B1 dl B2 dl Bn dl 空间所有电
（2）各点磁感应强度方向只能与轴线平行。
B
2018/9/26
18/31
下面证明螺线管内外磁场均匀：
B d c
a b
n, I
在螺线管内作如图矩形回路 abcd，其包围的电流为零， 由安培环路定理： B dl 0 I i 0
）
I,N
r
o
R1
L
R2
对称性分析
B 大小相等的点的集合： 同心圆 环上各点 B 方向： 切向
以中心 o ,半径
2018/9/26
r 的圆环为安培环路
+
25/31
I,N
r
o
R1
L

L
B dl B 2r 0 I内
R2
r R1 , r R2 :
I
R1 r R2 :
L
稳恒 磁场
i （穿过 L）
I
无源场
非保守场、无势场 （涡旋场）
安培环路定理揭示磁场是非保守场（无势场，涡旋场） 2018/9/26 11/31
三 .安培环路定理的应用 ——求解具有某些对称性的磁场分布

L
B dl 0
(穿 过L )
I
i
适用条件：稳恒电流的磁场
求解条件：电流分布（磁场分布）具有某些对称性，
螺线管内磁场是均匀的。
在螺线管外作如图矩形回路 abc d 螺线管外的磁场也是均匀的。
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，同理可证
20/31
下面说明螺线管内外磁场大小：
B
螺距为零，
磁感应线 不泄漏。
又：螺线管外的磁场是均匀的。
B外＝0
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下面求螺线管内磁场：
n
c
上节例题：无限长圆截面螺线管轴线上 B 0nI 本例：螺线管截面可以是任意异形截面， 螺线管内为均匀磁场。 B 内 0 nI 思考： 如果螺距不为零（螺旋电流） 对以上结果有无影响？ Bo =10－4
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Bi
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练习：
半径 R无限长均匀带电圆筒绕轴线匀速旋转
已知： .R .
B : 环路上各点总磁感应强度（包含空间穿过 L ，
L 的所有电流的贡献） 不穿过 2018/9/26
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L : 场中任一闭合曲线 — 安培环路（规定绕向）

(穿 过L )
L
B dl 0