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6第六讲、第二章 弹性力学平面问题(6、7、8)

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弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件

弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2

弹性力学第二章平面问题理论

弹性力学第二章平面问题理论


，
n
）。
1、首先求斜截面应力分量（ px ，py ）由三角形微分
体的平衡条件可得
px l x m yx , p y m y l xy
2、分别计算（ px ，py ）在斜面法向和切向的投影，
求得斜面上的正应力和切应力：
n lpx mpy l2x m2 y 2lm xy
x
y
O
因为任一横截面都可以看作对称面 所以各点都只能沿x 和y 方向移动,即w=0。 只要u,v位移分量。因此，此问题可称为 平面位移问题。
由对称性，
0, z 0, zx 0, zy 0( zx 0, zy 0) 只有平面应变分量 x , y , xy存在，
形变和位移间的关系 刚体位移
1、如果物体的位移确定，则形变完全确定。从物理 概念可知，当物体变形后各点的位置完全确定时，任 一微分线段上的形变（包括伸缩、转角）即完全确定。 从数学推导也可看出，由位移函数求形变是一个求导 过程，所以位移确定，形变即唯一确定。
2、如果形变分量确定，位移分量并不完全确定。从 物理概念可知，物体在保持内部形变不变的条件下还 可以做刚体运动（平移和转动）。从数学角度看，由 形变求位移是一个积分过程，在常微分中，要出现一 个任意常数；在偏微分中，要出现一个与积分变量无 关的任意函数。这些未定项正是刚体的平移和转动。
u
dy
y
所以
xy




v x

u y
(c)
平面问题中的几何方程：
x

u x
y

v y

xy

v x

u y
几何方程适用于 两类平面问题。

第二章 弹性力学

第二章 弹性力学

x , y , xy x , y , xy T u, vT
T
3个应力分量 3个应变分量 2个位移分量
但是其余的非独立未知分量却不完全相同： z 0; z x y ; xz 0; 平 平 xz 0; 面 面 yz 0; yz 0; 应 应 z 0 力 z E x y 变 xz 0; 问 问 xz 0; 题 题 yz 0; yz 0; w0 w0
0
xy yx
§2.2 平衡微分方程
第二章 弹性平面问题的基本理论
故平面应力问题的平衡方程为： x yx X 0 x y y xy Y 0 y x 注：1. 在平面应力问题的平衡方程中，包含三个基本未知 量 x , y , xy yx ,但平衡方程只有两个，故还必须要 考虑形变和位移，才能求解此问题。 2. 对于平面应变问题，在微元体上还有作用于前后面 的正应力 z ，但由于它们自成平衡，不影响面内的平 衡方程，故平面应力问题和平面应变问题具有相同的 平衡微分方程。 3.平面问题的平衡方程是一阶微分方程，求解需要给 出相应的应力边界条件。


第二章 弹性平面问题的基本理论
§2.2
平衡微分方程
弹性力学中，分析问题一般从静力学、几何学和物理学 三方面来考虑；本节首先考虑平面问题的静力学方面。根据 微元体的平衡条件，可以导出应力分量和体力分量之间的关 系，此即为平面问题的平衡微分方程。 首先考虑平面应力问题: y
D B dy A P dx
§2.3 几何方程、刚体位移
ox y
P
x
y 弹性体在外力作用下，一般其内部各点都会产生位移，位 移主要是由弹性体的变形引起的，本节从几何学方面考虑 弹性力学平面问题中任意一点的位移和变形之间的关系。 表示位移和应变之间关系的方程被称作几何方程。

弹性力学（第二章平面问题的基本理论）

弹性力学（第二章平面问题的基本理论）
弹性力学
学
大 第二章 平面问题的基本理论
安伟
长 任 授课教师： 任 伟
2013年3月
弹性力学
学
大 内容提要
安 伟 1、平面应力问题与平面应变问题
2、平衡微分方程
长 任 3、平面问题中一点的应力状态
弹性力学
学 2—1 平面应力问题与平面应变问题
大 任 何 一 个 实 际 的 弹 性 力 学 问 题 都 是 空 间 问
长 y
任dx
τ yx
+∂τ yxdy ∂y
σy
+∂σ ydy ∂y
(σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1
+(τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)
dx
×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
弹性力学
2—2 平衡微分方程
∑ 学 Fx = 0
大 ( σ x
+
∂σ x
∂x
dx)
dy
×1
−σ xdy ×1+( τ yx
+
∂τ yx
∂y
dy)dx ×1
−τ yxdx ×1
+
fxdxdy ×1 =
0
∂σ x
安 伟 ∂x
+
∂τ yx

0
长 任 ∂τxy ∂x
+
∂σ y
∂y
+
fy
=
0
弹性力学
学2—2 平衡微分方程
∂ σx + ∂ τ yx + f = 0

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论
应力边界条件：
在应力约束 面上： 设 面法线与x轴正向夹角
的余玄为l，与y轴正向夹角
的余玄为m。
混合条件：
位移约束与应力约束的组合。
边界条件举例
x
y q
x
y
p
圣维南原理及其应用
圣 维 南 （ Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant ， 1797～1886）原理：如果把物体的一小部分边界上的面力， 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同 一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著改变， 但是远处所受的影响可以忽略不计。
— 边界条件
按位移求解平面应力问题(5)
— 小结
按位移求解平面问题需要：
1. 位移分量满足微分方程：
2.边界条件：
按位移求解平面问题(5)
— 举例
x
ρg
y=h y
按位移求解平面问题(6)
— 举例
x
ρg
y=h y
按应力求解平面应力问题(1)
— 用位移表达应变（几何方程）
形变协调方程或相容方程 连续体的形变分量不是相互独立的，它们之间必须满足 相容方程，才能保证真实的位移分量存在。
因此，由 中第一式：
最后得到：
由 中第二式：
常体力情况下的简化（5）
— 平衡方程的解
通解
特解
常体力情况下的简化（6）
— 艾里应力函数表示的相容方程
应力调和方程 代入
得到：
简写为：
常体力情况下的平面问题
常体力情况下的平面问题需要满足：
1.艾里应力函数表示的相容方程：
2.边界条件
3.位移单值条件
弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

圣维南定理
总结词
圣维南定理是弹性力学中的一个重要定理，它表明在弹性体的局部区域，改变内力的分布不会影响该 区域以外的应力分布。
详细描述
圣维南定理指出，在一个弹性体上施加一个集中力或分布力，只会影响该力作用点附近的应力分布， 而不会影响远离作用点的应力分布。这个定理在解决弹性力学问题时非常重要，因为它可以帮助我们 忽略某些局部细节，从而简化问题。
04
弹性力学的基本方程
平衡方程
平衡方程描述了弹性体在受力作用下的平衡状态，其数学表达式为：$frac{partial sigma_{xx}}{partial x} + frac{partial sigma_{xy}}{partial y} = 0$，其中 $sigma_{xx}$和$sigma_{xy}$分别为应力分量。
几何方程反映了物体在变形过程中满足连续性和均匀性的条 件，是解决弹性力学问题的重要基础。
本构方程
本构方程描述了应力与应变之间的关系，其数学表达式为： $sigma_{xx} = lambdaepsilon_{xx} + 2muepsilon_{xx}$， 其中$lambda$和$mu$分别为拉梅常数，$epsilon_{xx}$为 应变分量。
平面应变问题的应用场景
1 2 3
土木工程
在桥梁、建筑等土木工程结构中，常常需要考虑 平面应变问题，以分析结构的稳定性、承载能力 和抗震性能。
机械工程
在机械零件和设备的设计中，如板、壳等结构， 也需要考虑平面应变问题，以确保其在使用过程 中的安全性和稳定性。
地球科学
在地质工程、地震工程等领域，平面应变问题也 是重要的研究内容，用于分析地壳的应力分布、 地震波传播等。
弹性力学第二章平面问题的 基本理论

弹性力学第二章平面问题的基本理论

应力边界条件对于确定物体在受力作用下的变形和位移非常 重要，特别是在解决工程实际问题时，这些条件对于预测结 构的响应和稳定性至关重要。
位移边界条件
位移边界条件描述了物体边界上的位 移情况，即位移函数。这些条件规定 了物体在某些特定方向上的位移限制 ，例如固定、自由或受限制的位移。
位移边界条件对于确定物体的变形和 应力分布具有重要意义，特别是在解 决结构分析问题时，这些条件有助于 确定结构的刚度和稳定性。
平衡方程的数学表达式为
div F = 0，其中 F 是应力向量，div 是散度算子。
几何方程
它由两个部分组成
一部分是位移引起的形变，另一部分是应力引起的形变。
几何方程的数学表达式为
grad u = 0，其中 u 是位移向量，grad 是梯度算子。
物理方程
它由两个部分组成
一部分是线性弹性关系，另一部分是材料常数。
物理方程的数学表达式为
sigma = D*epsilon，其中 sigma 是应力矩阵，D 是弹性矩阵，epsilon 是应变矩阵。
03
平面问题的边界条件
应力边界条件
应力边界条件描述了物体边界上的应力分布情况，即应力函 数。在弹性力学中，应力边界条件通常由应力分量来表示， 这些分量与物体表面的外力有关。
近似法
近似法是通过近似的方式来 求解弹性力学平面问题的一
种方法。
1
它通常适用于无法通过解析 法和数于弹性力学的基本 方程和边界条件，通过物理 模型、经验公式等方式进行 近似求解。
近似法的优点是简便易行， 能够快速得到近似解，但缺 点是精度难以保证，可能存 在误差较大的情况。
地震工程
在地震工程中，弹性力学用于研究地震波在结构 中的传播和响应，为抗震设计和减震措施提供依 据。

弹性力学平面问题总结


P
思考题
① 试证明微分体绕 z 轴的平均转动分量是
1 2 v x u . y
② 当应变为常量时，x=a, y=b, xy=c, 试 求对应的位移分量。
第二章 平面问题的基本理论
2-1 平面应力问题与平面应变问题 2-2 平衡微分方程 2-4 几何方程 刚体位移 2-5 物理方程
物理方程
物理方程描述应力分量和应变分量之间
z
x
y
z
x
y
xy
zx
zy
1 G 1 G 1 G
xy ,
xy
) E
0,
xy ,
zx ,
zx
zy .
zy
0.
物理方程
平面应力问题的物理方程：
x
y
1 E 1 E 2(1
x
y
, ,
y
x
) E
xy
xy .
此外， z
E
x
y
,
zx
zy
0.
平面应力问题，虽然 σz=0，但一般 εz≠0。
物理方程
平面应变问题： z
0,
(在V 中)
xy 存在。
故只有平面应力 σx , σy ,
平面应力问题
(2) 由于板为等厚度，外力、约束沿 z 向不变， 故应力 x , y , xy 仅为 f x , y 。
所以归纳为平面应力问题：
a.应力中只有平面应力 x , y , xy 存在；
b.且仅为 f x , y 。
几何方程
平面问题中的几何方程：
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u . y
当弹性体的位移分量完全确定时，应变分 量即完全确定。反之，当应变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论


o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N为该面的外 法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答

界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
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（ 1）
AC 边界：
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。
例6 图示构件，试写出其边界条件。
例5 图示楔形体，试写出其边界条件。 上侧：
下侧：
例6 图示构件，试写出其应力边界条件。 上侧：
N

下侧：
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
图(a)：
—— 位移边界条件
—— 应力边界条件
图(b)： —— 应力边界条件
—— 位移边界条件
平面问题的基本方程：
（1）平衡方程：
（3）物理方程：
（2-2） （2-15） （2）几何方程： ——平面应力问题 （2-9） （4）边界条件： （1） ——位移边界条件 （2）
——应力边界条件
ZS《Rock Mass Mechanics》
（1）平衡方程： （3）物理方程：
（2-2） （2-15）
（2）几何方程：
未知量数：
方程数： 结论： 8个 8个
（2-9）
在适当的边界条件下，上述8个方程可解。
2. 边界条件及其分类
边界条件： 建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。 是力学计算模型建立的重要环节。 （1）位移边界 边界分类 （2）应力边界 （3）混合边界 —— 三类边界 O q P x
（3）两类平面问题物理方程的转换：
（2-15）
（2-16）
—— 平面应力问题的物 理方程 (1) 平面应力问题 平面应变问题
—— 平面应变问题的物 理方程 (2) 平面应变问题 平面应力问题
材料常数的转换为：
材料常数的转换为：
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
ZS
1. 弹性力学平面问题的基本方程
2016/2/18
ZS
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程 3. 物理方程
（应力问题） 4. （2-9） 边界条件 （2-17）
位移：
应力： （2-18）
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
ZS
下一讲再见！
ZS《Rock Mass Mechanics》
（1）位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界
y
用us 、 vs表示边界上的位移分量， 表示边 界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为： 说明： （2-17） 称为固定位移边界。
—— 平面问题的位移边界条件
（2）应力边界条件
给定面力分量 由前面斜面的应力分析，得 边界 —— 应力边界
左侧面：

由应力边界条件公式，有
右侧面：
例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，
证明在板中间突出部分的尖点A处无应 力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB
力作用。即 AB 边界：
边界上无面
由应力边界条件公式，有 （ 2）
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2 P P/2
P
3.圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： 主要边界 B
A
P
次要边界
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
ZS
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
左侧面：
ZS
物理方程：平面问题中应力与应变的关系
物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。
1. 各向同性弹性体的物理方程
在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料 力学中的广义虎克（Hooke）定律。
（2-13）
其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收 缩系数，又称泊松比。
（1）平面应力问题的物理方程
ZS
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 形变分量、位移分量完全满足8个基本方程 相对容易，但要使边界条件完全满足，往往 很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条 件无法列写。
P
P
P
1. 静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系 为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
（2-7）
（2-8） 表明：σ1 与 σ2 互相垂直。
τmax、 τmin 的方向与σ1
（ σ2 ）成45°。
（2-9） ——几何方程
O x P
说明：
u
dx A
v
dy B y
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
7
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
O q
x P
式中取：
y
得到：
（2-18） O P A px
x
—— 平面问题的应力边界条件 式中：
l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向
余弦。如： y B
dx dy ds
垂直 x 轴的边界： 垂直 y 轴的边界：
py
N
（3）混合边界条件
(1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为 应力边界条件。如：
2016/2/18
ZS
例1 如图所示，试写出其边界条件。
(1)
q
h h
x
(2) (4)
a
y
(3)
例2 如图所示，试写出其边界条件。
(1) AB段（y = 0）： A 代入边界条件公式，有 N l C p(x) B
p0
x
h
y
(3)
AC段（y =x tan β）:
(2) BC段（x = l）：
例3 图示水坝，试写出其边界条件。
由于平面应力问题中
（2-15）
—— 平面应力问题的物 理方程
注：
(1)
—— 物理方程的另一形式 (2)
（2）平面应变问题的物理方程
由于平面应变问题中
由式（2-13）第三式，得
（2-16）
—— 平面应变问题的物 理方程
注： (1) 平面应变问题中
，但
（2-13）
(2)
平面应变问题 物理方程的另一形式：
ZS《Rock Mass Mechanics》
ZS《Rock Mass Mechanics》
2016/2/18
2
（1）斜面上的应力
O （2-3） （2-4） P dx dy ds A px
x
（2-5） y （2-6）
B py
p
N
（2-18）
—— 平面问题的应力边界条件
（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力
yx
y
代入应力边界条件公式
右侧面：
对O点的力矩等效：
代入应力边界条件公式，有
x方向力等效：
上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。
注意：
y方向力等效： 必须按正向假设！
上端面：（方法2） 取图示微元体， 由微元体的平衡求得，
x
y
注意：
可见，与前面结果相同。 必须按正向假设！
ZS《Rock Mass Mechanics》