统计信号处理答案(估计部分)

一. 填空题1、一线性时不变系统，输入为x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为y(n-3) 。

2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为：fs>=2f max。

3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的N 点等间隔采样。

4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。

5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。

6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是(N-1)/2 。

7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。

8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。

9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。

10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。

12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示，其数学表达式为x m(n)=x((n-m))N R N(n)。

13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。

14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。

15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。

16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。

17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs，每次复数加需要1μs，则在此计算机上计算210点的基2 FFT需要10 级蝶形运算，总的运算时间是______μs。

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数字信号处理复习题一、选择题1、某系统)(),()()(n g n x n g n y =有界，则该系统（ A ）.A 。

因果稳定 B.非因果稳定 C 。

因果不稳定 D. 非因果不稳定2、一个离散系统（ D ）.A.若因果必稳定 B 。

若稳定必因果 C 。

因果与稳定有关 D.因果与稳定无关3、某系统),()(n nx n y =则该系统（ A ）.A.线性时变 B 。

线性非时变 C 。

非线性非时变 D 。

非线性时变4。

因果稳定系统的系统函数)(z H 的收敛域是（ D ）。

A.9.0<z B 。

1.1<z C 。

1.1>z D 。

9.0>z5.)5.0sin(3)(1n n x π=的周期（ A ）。

A.4 B 。

3 C.2 D.16。

某系统的单位脉冲响应),()21()(n u n h n =则该系统( C )。

A.因果不稳定 B 。

非因果稳定 C 。

因果稳定 D.非因果不稳定7。

某系统5)()(+=n x n y ，则该系统( B ）.A.因果稳定 B 。

非因果稳定 C 。

因果不稳定 D 。

非因果不稳定8。

序列),1()(---=n u a n x n 在)(z X 的收敛域为（ A ）.A 。

a z <B 。

a z ≤C 。

a z >D 。

a z ≥9。

序列),1()21()()31()(---=n u n u n x n n 则)(z X 的收敛域为( D ）. A 。

6*． 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程 序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分 别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换， 验证所编程序。
解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函 数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列 进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT

统计信号处理与应用导论第三章 部分习题解答3.2 Consider the binary symmetric channel shown in follow .εis the crossoverprobability ,i.e. probability that the channel output is 0(1) when the input is 1(0),and is small. Obtain a decision rule to minimize the total probability of error assuming equal prior probabilities. What is the probability of error? Assumeε<1/2Solution:})(:{,101η>Λ∈=z z Z Z Z Z()()[]()()()()()()()[]()()()()()[]dzH z p H P H z p H P H P dz H z p H P dz H z p H P H P dzH z p H P dz H z p H P P Z Z Z Z Z e ⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+=+-=∴000011000011011001要使e P 小，则()()()()[]dz H z p H P H zp H P Z ⎰-00011应为负。

()()()()时当0011H z p H P H z p H P <∴，判为0Z 区域，即：()()()()1001H P H P H z P H z P < 同理， ()()()()1001H P H P H z P H z P > 判为1Z 区域()()()()1**010011H H H P H z P H P H z P <>()()10101H H z H P z H P <>∴是MAP 准则。

x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)
h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)
由于
x(n)*δ(n)=x(n)
1
x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)
2
故
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 1 2
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，
要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)=
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］

(3sinω0T
−
2sin3ω0T
)
则判决规则变为
H1
I
> <
β
H0
两种错误判决的概率分别为
+∞
∫ P(D1 | H0 ) = β f (I | H0 )dI
《信号检测与估计》习题解答
β
∫ P(D0 | H1) = −∞ f (I | H1)dI
平均错误概率 Pe 为
∫ ∫ Pe
= P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0
T 0
[x(t
)−
B
cos(ω2t
+φ
)]2
dt
《信号检测与估计》习题解答
( ) ( ) ( ) f xH0 =
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
s
0
(t
)]2
dt
=
2π σ k
1
∫ − 1
e N0
T 0
[x
(t
)−
A
cos
ω1t
−
B
cos(ω
2
t
+φ
)]2
dt
2π σ k
根据最小差错概率准则有
0 N0
T 2 s2(τ )dτ = 2a2T
0 N0
N0
输出信号
xo (T
)
=
T
∫0
h(t )x(T
−
t )dt
=
∫Ts(T 0
− t)x(T
−
t )dt
=
T
∫0
2 N0
s(τ
)x(τ

1 e 当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0

序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
y 解: 序列 x(n) 的点数为 N1 6 ， (n) 的点数为 N 2 15， 故 x(n) y (n) 的点数应为
N N1 N 2 1 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N 1) 0
15 ( L)
又 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的15点的圆周卷积，即L＝15。
第三章习题讲解
n 1, 0 n 4 h(n) R4 (n 2) 3．设 x(n) 其他n 0, h 令 x(n) x((n))6 ， ( n) h((n)) 6 ，
试求 x(n) 与 h (n) 的周期卷积并作图。
解：
y ( n ) x ( m )h ( n m )
4 ( L N 1)
15 ( L)
34 ( L N 1)
混叠点数为N－L＝20－15＝5 n 0 ~ n 4( N L 1) 故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y (n)

N −1 n =0 N −1 − j 2 π kn e N n =0 −j −j 2π kN N 2π kN N
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N

2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1

一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。

答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。

从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。

2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。

答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。

信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。

3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。

答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。

与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。

加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。

三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。

答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。

匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。

2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。

答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。

由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。

从而起到加强信号，抑制噪声的作用。

对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。

(Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论
参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论
如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程
信号处理 问题
是 是一个多维问题
是 先验知识
P(T; ) exp(Tn ) n1 N N exp( Tn ) n1
两边取对数
N
L(T , ) ln P(T; ) N ln Tn n1
求导数
L(T, )
N
N
Tn
n1
0
那么 的 MLE 为
N
N
Tn
n1
7.从 PDF N(A, 2) 观测到 N 个 IID 样本，其中 A, 2 皆未知，求 SNR A2 / 2
是
代价已知
否
Cij
是
Cij＝dij
否 数据PDF已知 是
否
否
指定先验PDF
是
是 P(Hi)=1/M
贝叶斯风险 （5）
否
否
数据PDF已知
否 指定先验PDF
是
是
是 MAP（4）
数据PDF已知
指定先验PDF
否
否
是
是
ML（4）
多元假设检验的最佳贝叶斯方法
尝试广义 ML准则（15）
*注：
ARMA：自回归滑动平均 BLUE：最佳线性无偏估计 CFAR：恒虚警率 CRLB ：Cramer-Rao 下限 EM：数学期望最大化 GLRT：广义似然比检验 IID：独立同分布 LLR：对数似然比 LMMSE：线性最小均方误差 LMP：局部最大势 LRT：似然比检验 LSE：最小二乘估计 LSI：线性时不变 MAP：最大后验概率 MLE：最大似然估计 MMSE：最小均方误差估计 MVU：最小方差无偏 NP：Neyman-Pearson 准则 PRN：伪随机噪声 RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe 定理 ROC:接收机工作特性 UMP：一致最大势 WGN：白色高斯噪声 WSS：广义平稳

信号处理实例-时延估计⏹时延估计的统计模型⏹估计算法⏹仿真分析1.时延估计的统计模型02c R τ=距离估计等效于时延估计tτ0接收机输出幅度目标回波工程中常见问题：如何确定目标和传感器之间的距离?假定传感器的观测信号为:0()()()0z t as t w t t T=-τ+≤≤其中观测噪声w (t )是零均值高斯过程，功率谱密度和相关函数分别为()w G f 0/2N fBB-0sin(2)()2w B R N BB πττ=πτ12B12B-τ()w R τ1B20(0)w R N Bσ==12B12B-τ()w R τ1B对z (t )以∆=1/(2B ) 进行抽样0()()()0,1,...,1z n as n w n n N ∆=∆-τ+∆=-高斯白噪声序列0[][][]0,1,...,1z n s n n w n n N =-+=-00[/]n =τ∆假定a =10[][][]0,1,...,1z n s n n w n n N =-+=-00000[]01[][][]1[]1w n n n z n s n n w n n n n M w n n M n N ≤≤-⎧⎪=-+≤≤+-⎨⎪+≤≤-⎩ 问题转化成了对n 0的估计0 11M -[]s n n00[/]n =τ∆0 1n 01n M +-1N -[]z n n00[/]n =τ∆发射信号()000010001222120221222(;)([];)11exp []2211exp [][]2211exp []22N n n n n M n n N n n Mp n p z n n z n z n s n n z n -=-=+-=-=+=⎡⎤=-⎢⎥σ⎣⎦πσ⎡⎤⋅---⎢⎥σ⎣⎦πσ⎡⎤⋅-⎢⎥σ⎣⎦πσ∏∏∏∏z 2. 估计算法00/n =τ∆0 1n 01n M +-1N -[]z n n00[/]n =τ∆采用最大似然估计()001202/2201200211(;)exp [](2)21exp 2[][][]2N N n n M n n p n z n z n s n n s n n -=+-=⎡⎤=-⎢⎥πσσ⎣⎦⎡⎤⋅---+-⎢⎥σ⎣⎦∑∏z ()00120021exp 2[][][]2n M n n z n s n n s n n +-=⎡⎤---+-⎢⎥σ⎣⎦∑等效于最大化()00122[][][]n M n n z n s n n s n n +-=---∑或等效于最大0 M-1 N-1∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙[]s n n0 1 n 0 n 0+M-1 N-100/n =τ∆∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙0[]s n n -n由于00112200[][]n M N n n n s n n s n +--==-=∑∑因此，n 0的MLE 可由使下式最大来求得0010[][]n M n n z n s n n +-=-∑0'00'100'ˆarg max [][']n M n n n nz n s n n +-=⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑即由于R =c τ0/2=cn 0∆/2, 所以距离的最大似然估计为0ˆˆ(/2)R c n=∆0'00'100'ˆarg max [][']n M n n n nz n s n n +-=⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑[]z n '[]s n n -00'10'[][']n M n n z n s n n +-=-∑滑动窗n '0n3. 仿真分析⨯∑延迟调节器[]s n []z n '0[]s n n -搜索最大值0ˆn 0ˆˆ(/2)R c n =∆ˆR 距离估计器的实现框图050100150200250300350400450500123050100150200250300350400450500-55050100150200250300350400450500-1001000102030405060708090100-505MATLAB 仿真实现的结果小结：本讲讨论了一个信号处理的实例-时延估计1. 时延估计的统计模型00000[]01[][][]1[]1w n n n z n s n n w n n n n M w n n M n N ≤≤-⎧⎪=-+≤≤+-⎨⎪+≤≤-⎩ 2. 时延估计算法0'00'100'ˆarg max [][']n M n n n nz n s n n +-=⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑3. 仿真分析由于算法比较复杂，用解析的方法分析算法的性能存在一定的困难，一般需要借助计算机采用蒙特卡洛方法进行仿真分析。

第一章测试1.对于高斯随机变量而言，不相关与统计独立等价。

（）A:对B:错答案:A2.随机变量的概率密度函数取值范围为。

（）A:对B:错答案:B3.(特征函数与矩之间的关系为：。

（）A:错B:对答案:B4.设维随机变量的联合概率密度函数为。

若，则。

（）A:错B:对答案:A5.如果非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:一般关系B:正交C:统计独立D:不相关答案:D6.假如非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:一般关系B:不相关C:统计独立D:正交答案:C7.若非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:不相关B:统计独立C:一般关系D:正交答案:D8.假设非零随机变量与满足，则随机变量与之间的关系为（）A:统计独立B:正交C:不相关D:一般关系答案:D9.若非零随机变量与满足条件（）时，则随机变量与之间是统计独立的。

A:B:C:D:答案:BCD10.对于高斯随机变量，下列说法正确的是（）A:两个相互独立正态随机变量的和仍然服从正态分布；B:高斯随机变量经过平方律设备后仍然服从高斯分布；C:若，则随机变量服从对数正态分布。

D:高斯随机变量经过线性变换后仍然服从高斯分布；答案:ACD第二章测试1.随机过程可以看作随时间变化的随机变量，是一簇确定时间函数的集合。

（）A:错B:对答案:B2.两个随机过程联合宽遍历，则这两个随机过程一定联合宽平稳。

（）A:错B:对答案:B3.平稳随机过程自相关函数具有奇对称性。

（）A:错B:对答案:A4.联合平稳的两个随机过程的互相关函数是偶函数。

（）A:错B:对答案:A5.宽平稳高斯随机过程也是严平稳的随机过程。

（）A:错B:对答案:B6.对随机过程，如果，则称和是（）。

A:互不相关的随机过程B:相互独立的随机变量C:互不相关的随机变量D:相互独立的随机过程答案:C7.对随机过程X(t)，如果，则称随机过程在和时刻的状态是（）。

A:既不独立也不相关的；B:相互不独立但相关的C:相互独立的D:互斥的答案:C8.随机过程导数的数学期望等于它数学期望的（）。

信号处理-习题（答案）数字信号处理习题解答第二章数据采集技术基础2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中≥Ω<Ω=Ωππ30321)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。

试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。

解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率πππ32621=<=Ωh ，所以y 1(t )无失真；因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率πππ32652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1）该信号的最小采样频率；（2）若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。

○1采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即f s ≥2f m○2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s===解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz∴信号的最高频率f m =6000Hz由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号-???? ????? ??=?+???? ????? ??-???? ????? ??=????++???? ????? ??-+???? ????? ??=?+???? ????? ??+???? ????? ??=???====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，即kHzf f f kHzf f f ss 25000200052150001000512211======，，若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

习题一、基本概念1．解： 设12345,,,,X X X X X 为总体的样本1）51151~(1,) (,,)(1)i ix x i X B p f x x p p -==-∏555(1)11(1),5x x i i p p x x -==-=∑2）λλλλλ55155151!!),,( )(~-==-∏∏==e x ex x x f P X i ixi i xi3）5155111~(,) (,,),,1,...,5()i X U a b f x x a xi b i b a b a ===≤≤=--∏所以5151,,1,...,5()(,,)0,a xi b i b a f x x ⎧≤≤=⎪-=⎨⎪⎩其他4）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∏=-=-5122/55125121exp 221),,( )1,(~2i i i x x e x x f N X i ππμ2.解： 由题意得：因为0110,(),1,n k k k x x k F x x x x n x x ++<⎧⎪⎪≤<⎨⎪≥⎪⎩，所以40,00.3,010.65,12()0.8,230.9,341,4x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩3．解：它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即(172,5.64)N 4．解：()55-5 510/2- -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=<k X k P k X P k X P μμμ 因k 较大()()()()()()()-555(15)2510.950.95P X k k k k k k k μ<≈Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=Φ=,5 1.65,0.33k k ==查表5．解：()-5250.853.8 1.1429 1.7143(1.7143)( 1.14296.3/6X P X P ⎛⎫<<=-<<=Φ-Φ- ⎪⎝⎭）0.9564(10.8729)0.8293=--=6．解：()()()~(20,0.3),~(20,0.2),~(0,0.5),0.3 0.30.3Y N Z N Y Z Y Z N P Y Z P Y Z P Y Z -->=->+-<-设与相互独立，0.42430.42431(0.4243)(1(0.4243))22(0.4243)P P ⎫⎫=>=+<-⎪⎪⎭⎭=-Φ+-Φ=-Φ220.66280.6744=-⨯= 7.解：101010222111~(0,4),~(0,1),2111 10.05,0.95444444ii i i i i i i X X N N c c c P X P X P X ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=-≤=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑则查卡方分位数表 c/4=18.31,c=73.24 8．解：由已知条件得：(1,),1()iX Y B p p F μ=-由i X 互相独立，知i Y 也互相独立，所以1(,),1().ni X i Y B n p p F μ==-∑9.解: 1))1(,)1(,2p Np DX ES np Np n DX X D Np EX X E -==-==== 2)λλλ======DX ES nn DX X D EX X E 2,, 3)()()12,12,2222a b DX ES n a b n DX X D b a EX X E -==-==+==4)1,1,2======DX ES nn DX X D EX X E μ10.解： 1)()22212)1()1()1()1(σ-=-=-=-=-∑=n DX n ES n S n E X X E ni i2)()222242221(1)(1)(1), ~(1)nii n S n S DXX D n S D n σχσσ=⎛⎫---=-=- ⎪⎝⎭∑ ()2412(1)ni i D X X n σ=∴-=-∑11.解：ππππππn X E dt e dy ey dy ey X nE Y E nn DY X E EY N X n Y n N X t y y 2)(,2)1(222222||21)(),11,0(),1,0(~),/1,0(~)102222==Γ==========-∞+-∞+-∞+∞-⎰⎰⎰ 令ππππππ211,2)1(222222||21),1,0(~)21102222===Γ====∑∑⎰⎰⎰==-∞+-∞+-∞+∞-n i i n i i t x x X E n X n E dt e dx ex dx ex X E N X12.解：1)()2224X E X E X E n μμ-=-=()244100.1X X D E n n⎡⎤=+=+≤⎢⎥⎣⎦ 40n ∴≥2)2222,2u u X u E u e du udu +∞+∞---∞===⎰⎰222220022002(1)0.1,80010,254.6,255u uutue du ue duue d e dtE X En nμπ+∞+∞--+∞+∞--===Γ=-==≤≥≥=∴≥⎰⎰⎰⎰3) ()()111P X P X Pμμ⎛-≤=-≤-≤=≤≤⎝⎭0.975210.95,2221.96,15.36,16u n n⎛⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-≥⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥=≥≥13.解：()()()112221111111,n ni ii iY XY X a X na X an b b n bEY EX a S Sb b==⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭=-=∑∑14．解：1）12345~(0,2),~(0,3)X X N X X X N+++~~(0,1)N N1111,, 2.23c d n∴===2）()2345222212~(2),~(1)3X X XX Xχχ+++()()22122234523~(2,1),,2,123XX F c m n X X X +===++15.解： 设1(1,)p F n α-=，即()1(1P F p P p α≤=-⇔≤≤=-()()12()2()12P T P T pP T p pP T ⇔≤-≤=-⇔≤=-⇔≤=-122112()()(1,)p p p t n tn F n α---=∴==16．解：()()()()()()()()()121222222221212222212121212212221212~(0,2),~(0,~~(0,1)~~(2)2210.1,2X X N X X N N N X X X X t P t P X X X X X X X X X X t P X X X X c χχ+-+⎛⎫⎛⎫++>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-++-⎝⎭⎝⎭⎧⎫+⎪⎪=-≤=⎨⎬++-⎪⎪⎩⎭=0.9(1,2)8.532tF ==17.证明： 1）2211122211()0,(),(0,)1(1)(1)n n n n n E X X D X X X X N nnn S n t n σσχσ+++++-=-=∴---=- 又2）2211111()0,(),(0,)n n n n n E XX D X X X X N nnσσ+++++-=-=∴- 3）2211111()0,(),(0,)n n E X X D X X X X N n nσσ---=-=∴- 18. 解：()()()62,47.61,96.125.0,975.025.0,95.0125.0225.0/25.025.0975.0≥≥=≥≥Φ≥-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤-=≤-n n u n n n n n X n P X P σμσμ 19.解[,]0,1,[,](),(),0,[,]1,X U a b x a x a b x af x F x a x b b a b a x a b x b ≤⎧⎧⎪∈-⎪⎪∴==<≤-⎨⎨-⎪⎪∉⎩>⎪⎩1(1)()(1())()n f x n F x f x -∴=-111()1(),[,]0,[,]1(),[,]()(())()0,[,]n n n n b a n x a b b a b a x a b x a n x a b f x n F x f x b a b ax a b ----⎧∈⎪=--⎨⎪∉⎩-⎧∈⎪==--⎨⎪∉⎩20.解：()()()()()()()55(1)(1)11515555555(5)111011011011101211121(1(1))1(11(1))1(1)0.5785121515 1.5(1.5)0.93320.70772i i i i i i i i i i P X P X P X P X X P X P X P X P =====<=-≥=-≥=--≤⎛-⎫⎛⎫=--≤- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=--Φ-=--+Φ=-Φ=-⎛⎫<==<=<=Φ== ⎪⎝⎭∏∏∏∏∏21. 解：1)因为21~(0,)mii XN m σ=∑，从而~(0,1)miXN ∑2221~()m ni i m Xn χσ+=+∑，所以~()miX t n ξ=2）因为22211~()mii Xm χσ=∑，22211~()m nii m Xn χσ+=+∑所以2121~(,)mi i m ni i m n X F m n m X =+=+∑∑3)因为21~(0,)m i i X N m σ=∑，21~(0,)m ni i m X N n σ+=+∑所以2212()~(1)mi i X m χσ=∑，2212()~(1)m ni i m X n χσ+=+∑故222221111~(2)m m n i i i i m X X m n χσσ+==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 22.解：由Th1.4.1 (2)()(),95.047.321),1(~122222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤---σχσS n P n S n查表:n 121,n 22-==23.解： 由推论1.4.3(2)05.095.0139.2139.2),14,19(~222122212221=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>S S P S S P F S S 24.解： 1)()()94.005.099.057.3785.10)20(~),1,0(~),,0(~2201222220122=-=≤≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---∑∑==χχχσμσμσμσμP X XN X N X i i i ii i2)()895.01.0995.058.381965.11),19(~192222222012=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=-∑=σχσσS P S X Xi i25. 解： 1)()4532.07734.0221)75.0(21431435/2080380=⨯-=+Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-U P X P X P2)()()05.01975.021064.21064.25/2674.780380=+⨯-=≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=>-T P X P X P 26.解： 1)8413.0120472.4472.4=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<σσσa X P a X P a XP 2)2222222222223132222222S P S P S P S P σσσσσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-<-<=<<=<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22199.528.50.950.050.9S P σ⎛⎫=<<=-= ⎪⎝⎭3)3676.3,328.120,1.020,9.02012020/1===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>-c c c T P cT P cS X P c S X P c X S P μμμ27．解：22cov(,)(,)1()()1cov(,)()1(,)1i j i j i j i j i j i j X X X X r X X X X n D X X D X X nX X X X E X X X X X X X X nr X X X X n σσ----=--=-=--=---=-∴--=--28.解：()2221212)1(2)1(,)1(,21),2,2(~σσμ-=-=-=-===+=∑∑==+n ES n ET S n Y Y T X Y n Y N X X Y Y Y ni i ni i in i i 令习题二、参数估计1．解：矩估计()1 3.40.10.20.90.80.70.766X =+++++=()()11111ln ln(1)ln nnni i i i nii L x x L n x αααααα===⎡⎤=+=+⎣⎦=++∏∏∑121ln ln 01ˆ10.2112ln n i i n ii d n L x d n x αααα====+=+=--=∑∑3077.0121ˆ,212)1()1(110121=--==++=++=+=⎰++X XX x dx x EX αααααααα所以12112ˆˆ,11ln n ii X nX X αα=⎛⎫⎪- ⎪==-+-⎪ ⎪⎝⎭∑，12ˆˆ0.3079,0.2112αα≈≈ 2．解： 1）3077.02ˆ,21====X X EX θθ111ln 0nni L nL θθθ====-=∏无解，依定义：21ˆmax ii nX θ≤≤= 2）矩法：211ˆˆ1.2,0.472212EX DX θθ====极大似然估计：22ˆˆ1.1,0.1833212EX DX θθ====3． 1）解：矩法估计：111ˆ,EX X Xλλ===最大似然估计：111,ln ln niii nnx x nii i L eeL n L x λλλλλ=--==∑===-∑∏2111ˆln 0,ni ni ii d n nL x d Xxλλλ===-===∑∑2)解：~()X P λ矩估计：X X EX ===1ˆ,λλ最大似然估计：1,ln ln ixnxnn i i iiL eeL n nx x x xλλλλλλ--====-+-∑∏∏2ˆln 0,d nx L n X d λλλ=-+==3）解：矩估计：()2,212b a a bEX DX -+==联立方程：()2*221ˆ2ˆa X b X a bX b a M ⎧=-⎪→+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎨=+⎪⎩极大似然估计：依照定义，11ˆˆmin ,max i ii ni na Xb X ≤≤≤≤== 4) 解： 矩估计：ln EX dx xxθθ+∞+∞==⎰，不存在22111,ln ln 2ln nnni i i i iL L n x x x θθθ=====-∑∏∏ln 0n L αθ∂==∂，无解；故，依照定义，(1)ˆX θ= 5)解： 矩法：()/0()(1)(2)x t xEX edx t e dt αβααβαββ+∞+∞---==+=Γ+Γ⎰⎰Xαβ=+=2222()(1)2(2)(3)t EX t e dt αβααββ+∞-=+=Γ+Γ+Γ⎰ 222222122()iM X nααββαββ=++=++==∑22222*2111ˆˆi M X X X M nX βαβ=-=-==-=∑即11ˆˆX X αβ=-===极大似然估计：()()/1111exp ,ln ln i nx n i n L e nx n L n nx αβαβαβββββ---=⎡⎤==--=--+⎢⎥⎣⎦∏2ln 0,ln ()0n n nL L x ααββββ∂∂===-+-=∂∂ α无解，依定义有：(1)(1)ˆˆ,L L X X X X αβα==-=- 7)解： 矩法：22223222(2)x x tx EX dx dte dt Xθθθ+∞+∞+∞---=====⎰⎰⎰ˆMθ=极大似然估计：22222211iixnxn ni ii iL x eθθ--==∑⎛⎫== ⎪⎝⎭∏222ln ln43ln ln ln iixL n n n xθθ=---∑∑233ˆln20,iLxnLθθθθ∂=-+==∂∑8)解：矩法：2222222222022222223(1)(1)[(1)](1)(1)(1)1221x x x x x xxxd dEX x xd dd dq Xdq dq qθθθθθθθθθθθθθ∞∞∞-===∞==--=-=---=====-∑∑∑∑2ˆM Xθ=极大似然估计：22221(1)(1)(1)(1)ln2ln(2)ln(1)ln(1)inx n nx ni iiiL x xL n nx n xθθθθθθ--==--=--=+--+-∏∏∑222ˆln0,1Ln nx nLXθθθθ∂-=-==∂-4解：11112112(,,)(1)(1)ln(,,)ln(1)ln(1)n ni ii i i iy yny y nninL p y y y p p p pL p y y y ny p n y p==--=∑∑=-=-=+--∏12(,,)0(1)ny pd L p y y y ndp p p-==-ˆp Y=记001,;0,i i i iy x a y x a=≥=<则(1,)iY B p；5.解：1,ln lninx n nxiL e e L n nxλλλλλλ--====-∏711120000ˆln 0,,2010001000i i i d n L nx X x v d X λλλ==-=====∑ 1ˆ0.05Xλ== 6解：因为其寿命服从正态分布，所以极大似然估计为：2211ˆˆ,()ni i x x n μσμ===-∑ 根据样本数据得到：2ˆˆ997.1,17235.811μσ==。

4
中国科学技术大学—信号统计分析
多维连续型随机变量：
二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数是 F ( x, y) ，存在非负函 数 f ( x, y) ，使得对任意实数 x, y 有
∫ ∫ F ( x, y) = x y f (u, v) dudv −∞ −∞
随机变量X 的方差：
{ } Var {X } = E ⎡⎣ X − E {X }⎤⎦ 2
=
∞
∫−∞
(
x
−
E
{
X
})2
f
( x)dx
=
E{X 2}−(E{X})2
通常称 Var{X } 为随机变量X 的均方差或标准差，习惯
上用
σ
2 X
表示
Var{X } 。
方差基本性质：
（1）Var{C} = 0, C 为常数。
P ( y − Δy < Y ≤ y + Δy) > 0 , 若对任意实数x，极限
lim P ( X ≤ x y − Δy < Y ≤ y + Δy)
Δy → 0
存在，则称此极限为在 Y = y 条件下X 的条件分布函数，记为
P(X ≤ x Y = y) 。
独立性：
若对任意实数x 和y，有F ( x, y) = FX ( x) FY ( y) ,
随机变量
X
=
⎧0, ⎨⎩1，
当A出现时 当A出现时
X 表示在试验中事件A出现的次数，并设P ( A) = p (0 < p < 1)，
则X 的概率分布为
P ( X = k ) = pk (1− )p 1−k , k = 0,1
这时称 X 服从参数为 p 的0-1分布，记为 X ~ B (1, p)。

习题1.考虑检测问题：
其中 是常数， 是 上均匀分布的随机参量； 是高斯白噪声。
(a)求判决公式及最正确接收机结构形式。
(b)如果 ，证明最正确接收机可用 作为检验统计量，并对此加以讨论。
解：〔a〕设 是均值为0、功率谱密度为 的正态白噪声，那么有
由于
所以
按照贝叶斯准那么
或者
两边取对数得到
最正确接
因此 的均值、二阶原点矩和方差分别为
9.假设随机过程 的自相关函数为 ，求 的功率谱密度。
解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有
利用欧拉公式，可得
11.平稳随机过程 具有如下功率谱密度
求 的相关函数 及平均功率 。
解：
而自相关函数 与功率谱密度 是一对傅立叶变换，
〔b〕不管是否有条件 ，
都可选 作为检验统计量。
当 时，由于
所以判决规那么为
第六章多重信号检测
思考题1：为何要进行多重信号的检测？
答：利用多重信号检测的优势是可以增加检测系统的信噪比，从而增强系统的检测性能。
思考题3：何谓随机相位相干脉冲串信号和随机相位非相干脉冲串信号？
答：通常把多个脉冲信号组成的一串信号称为脉冲串信号，各个脉冲叫做子脉冲，整个信号叫做脉冲串信号。如果脉冲串信号的初相随机，但各个子脉冲信号的相位一致，那么称之为随机相位相干脉冲串信号。如果各子脉冲信号的相位都是随机变化的，且彼此独立变化，那么称之为随机相位非相干脉冲串信号。
〔1〕求 的最大似然估计。
〔2〕假设 的概率密度
求 的最大后验概率估计。
解：〔1〕由题意可写出似然函数
按最大似然估计方程 ，由此解得
〔2〕当 时，可按最大后验概率方程 求解，得到

H1 : f ( x | H 1 ) f s ( x ) f n ( x )

e x
2
/2
f s ( x n) f n (n)dn
Байду номын сангаас
1 x n 1 n2 / 2 e e dn 2 2 x 2 2 1 1 e x n n / 2 dn e n x n / 2 dn x 2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 e 2 ( x 1) e 2 [1 ( x 1)] 2 2
f ( x | H1 ) 2 x2 x 1 2 x2 x 1 2 2 ( x) e ( x 1) e [1 ( x 1)] f (x | H0 ) 2 2
2
2
（2）假设先验概率分别为 P( H 0 ), P( H1 ) ，则检测门限为
t t T 解： h(t ) (u )du dU (u ) U (t ) U (t T ) gT (t ) t T t T 2
gT (t ) TSa(
Tw T Tw ) h(t ) gT (t ) TSa( )e jwT /2 H ( jw) 2 2 2

功率谱密度函数
S y ( ) | H ( j) |2 S x ()
又， S x ( )

Rx ( )e j d S x1 ( ) S x1x2 ( ) S x2 x1 ( ) S x2 ( )
则 S y ( ) | H ( j) |2 S x () | H ( j) |2 [ S x1 () S x1x2 () S x2 x1 () S x2 ()] 2-12 均值为零、方差为 x 2 的白噪声序列 x n 先通过一个平均器，其输出