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第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。
概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：∑∑∑∑∑∑∑=-=-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-x T x x T T T x x TT T T T xT x N xT T x X xT x x xNx x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X~]21exp[]21exp[]21exp[21exp 21~1211212ξξμμμμμμμμξπξ[]相互独立。
与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X Y X M N T XY TXY M N Y XY X T YXNN NN∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∑∑∑∑∑∑∑∑++⨯⨯2121exp 2121exp 2100][221212212ππ 。
且，则，，则要使））（（则，为常量。
，其中设、证明：∑==-==∴====+-=----==+=x Tx x xx ee x T ee TTx x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m xa a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x),(ˆ00min ][][ˆ3φ∆=-=--T Hy)-)(E[( )]ˆ(ˆ[:6.1x Hy x x x x x E T）（、解][2][][T T T yy HE yx E xy E dHd +--=φ为随机误差。
==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤= }23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4.如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
习题二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。
证明：(,)(,)(,,,)x i j i j iji j i j i j R t t E x x x xp x x t t dx dx ==⎰⎰(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰ 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x y m m m=+和222w x y σσσ=+。
证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==； ②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。
习 题 二1、求证：,()(,)x i j x i j xi xj R t t C t t m m =+。
证明：(,)(,)(,,,)x i j i j i jijijijR t t E x x x x p x x t t dx dx==⎰⎰(,)[(),()](),()(,,,)()(,,,)(,)(,)i j i j j i i j i j j i i j i jx i j i x j x i x j x i j i j i ji j i x j x x x i j i j i j x i j x x x x x x x i j x x C t t E x m x m x m x m p x x t t dx dx x x x m x m m m p x x t t dx dx R t t m m m m m m R t t m m =--=--=--+=--+=-⎰⎰⎰⎰ 2、令()x n 和()y n 不是相关的随机信号，试证：若()()()w n x n y n =+，则w x ym m m =+和222w x y σσσ=+。
证明：(1)[()][()()][()][()]x ym E n E x n y n E x n E y n m m ωω==+=+=+ (2)2222222222[(())]{[()()()]}[(())(())][(())][(())]2[(())(())]2[]x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yE n m E x n y n m m E x n m y n m E x n m E y n m E x n m y n m m m m m m m m m ωωσωσσσσ=-=+-+=-+-=-+-+--=++--+=+即222x y ωσσσ=+3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明： ①当0τ=时，2(0),(0)x x x x R D C σ==；②当τ=∞时,2(),()0x x x R m C ∞=∞=。
证明：（1）1212()[()()]()()(,,)x R E x t x t x t x t p x x dx dx ττττ=+=+⎰⎰22(0)()(,)[]x R x t p x dxE x Dxτ===⎰2C ()()x x x R m ττ=-222C (0)(0)x x xx xR m Dx m σ=-=-=（2）2()lim ()lim []()()x x i j i j xR R E x x E x E x m τττ→∞→∞∞====2222()lim[()]lim ()0x x x x x x x C R m R m m m ττττ→∞→∞∞=-=-=-=4、设随机信号00()cos sin x t A t B t ωω=+，0ω为正常数，A 、B 为相互独立的随机变量，且()()0E A E B ==,2()()D A D B σ==.试讨论()x t 的平稳性。
解：（1）均值为0000[()][cos sin ][cos ][sin ]0x m E x t E A t B t E A t E B t ωωωω==+=+= （2）自相关函数为0000200002000020000(,)[(),()][(cos sin )(cos ()sin ())][cos cos ()cos sin ()sin cos ()sin sin ()][cos cos ()][cos sin ()][si x R t t E x t x t E A t B t A t B t E A t t AB t t AB t t B t t E A t t E AB t t E AB ττωωωτωτωωτωωτωωτωωτωωτωωτ+=+=++++=+++++++=++++20000n cos ()][sin sin ()]t t E B t t ωωτωωτ+++A Q 、B 相互独立0EAB EAEB ∴==故：20(,)cos x R t t τσωτ+=与起始时间无关 （3）2(0)x Dx R σ==<∞可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义平稳的随机信号。
5、设随机信号2()x t At Bt =+，A 、B 是两个相互独立的随机变量，且()4,()7,()0.1,()2E A E B D A D B ====。
求()x t 的均值、方差、相关函数和协方差函数。
解：（1）222()[()][][][]47x m t E x t E At Bt E At E Bt t t ==+=+=+ （2）2222224322243234[()][()][2][][]2[]0.1562Dx E x t E At Bt E A t B t ABt E A t E B t E ABt t t t ==+=++=++=++2223422240.1562(47)15.947x xDx m t t t t t t t σ=-=++-+=-- （3）222222222222(,)[(),()][()(()())][()()()()]0.1()2()28()28()x R t t E x t x t E At Bt A t B t E A t t B t t ABt t ABt t t t t t t t t t ττττττττττττ+=+=++++=+++++++=+++++++(,)(,)()()x x x x C t t R t t m t m t τττ+=+-+22()[()][()()]4()7()x m t E x t E A t B t t t ττττττ+=+=+++=+++ 22222222(,)0.1()2()28()28()(47)[4()7()]15.9()47()x C t t t t t t t t t t t t t t t t t t τττττττττ+=+++++++-++++=-+-+6、若两个随机信号()x t ，()y t 分别为()()cos x t A t t =，()()sin y t B t t =，其中()A t ,()B t 是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。
试证明()()()z t x t y t =+是广义平稳的。
证明：E[z(t)] = E[A(t) cos t + B(t) sin t] = E[A(t)] cos t + E[B(t)] sin t = 0z A B R (t , t +)= E[z(t)z(t+)]= E{[A(t) cos t + B(t) sin t][A(t+) cos(t+) + B(t+) sin(t+)]}= E[cos t cos(t + )A(t)A(t+) + sin t sin(t + )B(t)B(t + )]= cos t cos(t + )R () + sint sin(t+)R ()= ττττττττττττττA cos ()R ττz A D(z) = R (0) = R (0) = D(A) < ∞均值为零、自相关函数与时间t 无关、方差有限，故其是广义平稳的7、设随机信号0()cos()x t A t ωϕ=+，式中A 、ϕ为统计独立的随机变量，ϕ在[0，2π]上均匀分布。
试讨论()x t 的遍历性。
解：（1）首先讨论()x t 的平稳性1,02()20,p ϕπϕπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它 ()()p x p x x dx d ϕϕϕϕ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩0200200()[()]()()cos()()1cos()2sin()20x m t E x t x t p x dxx A t p d x A t d At ππϕωϕϕϕϕωϕϕπωϕπ∞-∞∞-∞==∂∂=+∂∂=+=+=⎰⎰⎰0200()[()]()()cos()()1cos()2[]00x m t E x t x t p x dxA t p d A t d E A πωϕϕϕωϕϕπ∞-∞∞-∞===+=+=•=⎰⎰⎰[]0022000200(,)[(),()]cos()cos(())()11[cos((2)2)cos ]222cos 4cos 2x R t t E x t x t xA t A t p d x E A t d E A D A πττϕωϕωτϕϕϕϕωτϕωτϕππωτπωτ∞-∞+=+∂∂=+++∂∂⎡⎤=+++⎣⎦⎡⎤⎣⎦==⎰⎰ 与t 无关[](0)2x D A Dx R ==<∞故()x t 是平稳随机信号 （2）遍历性01lim()21lim cos()0()2TT x T T Tx TT m x t dt TA t dt m t T ωϕ-→∞-→∞==+==⎰⎰ 0020001()lim()()21lim [cos()cos(())]21lim [cos(22)cos ]22TT x TT TTT T T T R x t x t dtT A t A t dt T A t dt T ττωϕωτϕωϕωτωτ-→∞-→∞-→∞=+=+++=+++⎰⎰⎰ 20cos 2()x A R ωττ=≠ 故()x t 不具有广义遍历性8、随机序列0()cos()x n n ωϕ=+，ϕ在[0，2π]上均匀分布，()x n 是否是广义平稳的？解：由已知得1,02()20,p ϕπϕπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它①()[]02002000()cos()()1cos()21[cos cos sin sin ]20x m n E x n n p d n d n n d ππωϕϕϕωϕϕπωϕωϕϕπ+∞-∞==+=+=-=⎰⎰⎰○2 002000020000(,)[(),()]cos()cos()()11[cos()cos ()]221cos ()41cos ()21cos 2x R m n E x m x n xm n p d x m n m n d m n d m n ππϕωϕωϕϕϕϕωωϕωϕπωϕπωωτ∞-∞=∂∂=++∂∂=+++-=-=-=⎰⎰⎰○31(0)2x Dx R ==<∞ 均值为与t 无关常数，自相关函数与t 无关，瞬时功率有限，故平稳 9、若正态随机信号()x t 的相关函数为：①12()x R be ττ-=； ②sin ()x R bπττπτ=试分别写出随机变量()x t ，(1)x t +，(2)x t +的协方差矩阵。
