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第七章粘弹塑性模型的基本概念

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弹性理论与塑性理论

弹性理论与塑性理论

弹性理论与塑性理论，弹性材料与塑性材料浅析经过一学期，弹性与塑性力学这门课程的学习结束了。

学习完弹性与塑性力学以后，我对弹性力学与塑性力学，弹性材料与塑性材料的区别与联系的认识进一步加深了。

首先谈一下有关弹性理论的基本知识。

弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。

在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。

材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。

弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。

它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。

绝对弹性体是不存在的。

物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。

弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。

连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。

这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。

从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。

但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。

所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。

数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。

塑性力学的基本概念和应用

塑性力学的基本概念和应用

塑性力学的基本概念和应用塑性力学是力学学科中的一个重要领域，研究物体在超过其弹性限度之后发生的塑性变形和力学行为。

它在工程领域中有着广泛的应用，可以用于设计和分析各种结构和材料。

本文将介绍塑性力学的基本概念和应用。

一、塑性力学的基本概念塑性力学研究材料在受力过程中的变形行为，重点关注材料的塑性变形和它们与应力应变关系之间的联系。

以下是塑性力学中的几个基本概念：1. 弹性和塑性：在外力作用下，材料会产生变形。

当外力移除后，材料能够完全恢复到其初始形状，这种变形称为弹性变形。

而当外力作用超过了材料的弹性限度时，材料会发生不可逆的塑性变形，导致永久性的形变。

2. 屈服点和屈服应力：材料在受力过程中，当应力达到一定数值时会开始产生塑性变形，此时的应力称为屈服应力。

屈服点是应力-应变曲线上的一个特定点，表示材料开始发生塑性变形的阈值。

3. 工程应力应变和真实应力应变：工程应力指材料在不考虑变形前尺寸的情况下受到的力与单位面积的比值，工程应变指材料在变形前尺寸和力的情况下的应变与原始尺寸比值。

真实应力和真实应变则考虑了材料在受力过程中的变形，分别是力和应变与变形的比值。

二、塑性力学的应用塑性力学在工程领域中有着广泛的应用，以下是其中几个典型的应用。

1. 金属成形加工：塑性力学在金属成形加工中扮演着重要的角色。

通过了解材料的塑性特性和应力应变关系，可以优化金属成形加工的工艺参数，提高材料的形变能力，减小残余应力，提高产品质量。

2. 板结构设计：在板结构的设计中，塑性力学可以用于评估结构的稳定性和承载能力。

通过分析材料的屈服点和塑性变形情况，可以确定合适的结构尺寸和加强措施，以满足结构的强度和刚度要求。

3. 地震工程：塑性力学在地震工程中的应用也很重要。

通过研究材料的塑性行为，可以评估结构在地震荷载下的响应和潜在破坏模式。

这有助于设计出抗震性能良好的建筑和结构，并提供灾害防护措施。

4. 仿真和模拟：在产品设计和工艺优化中，塑性力学可以被应用于数值模拟和仿真。

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性_塑性力学基本方程和解法

在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k

高分子物理chapter7粘弹性

高分子物理chapter7粘弹性
滞后现象与哪些因素有关? a.化学结构：刚性链滞后现象小，柔性链滞后现象大. b.温度：当不变的情况下，T很高时滞后几乎不出现，温度 很低，也无滞后。在Tg附近的几十度的温度范围内，链段既 可运动又不太容易，此刻滞后现象严重。 c. : 外力作用频率低时，链段的运动跟的上外力 的变化， 滞后现象很小； 外力作用频率不太高时，链段可以运动，但是不能完 全跟上外力的变化，表现出明显的滞后现象。 外力作用频率很高时,链段根本来不及运动,聚合物好 像一块刚性的材料，滞后很小。
26
f
F
σ 第7章 聚合物的黏弹性
σ
F
f
σ为拉伸应力 f为内摩擦力 F为回复力
Mechanical loss 力学损耗 Hysteresis loss 滞后损耗，内耗
σ0
1 2 3
第7章 聚合物的黏弹性
2.内耗: 的现象. 由于力学滞后或者力学阻尼而使机械功转变成热
产生的原因: 当应力与形变的变化相一致时,没有滞后现象,每次形变所 作的功等于恢复形变时所作的功,没有功的消耗
图4 线形非晶态聚合物的蠕变及回复曲线
12
第7章 聚合物的黏弹性
蠕变Creep
•加力瞬间，键长、键角立即产生形变，形变直线上升 •通过链段运动，构象变化，使形变增大 •分子链之间发生质心位移
Creep recovery 蠕变回复
•撤力一瞬间，键长、键角等次级运动立即恢复，形变直线下降 •通过构象变化，使熵变造成的形变恢复
②理想交联聚合物，不存在粘流态， 3 =0， =1+2
14
第7章 聚合物的黏弹性
蠕变的影响因素
（1）温度：温度升高，蠕变程度变大 原因：外力作用下，温度高使分子运动速度加快，松弛加快

弹塑性本构模型理论课件

弹塑性本构模型理论课件

。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模

7 粘弹性

7 粘弹性
图7

t
18
第7章 聚合物的黏弹性
2、应力松弛 Stress Relaxation
• 在恒定温度和形变下，维持此形变所需的应力随时间增加而逐渐衰减
0e

0
t
松弛时间 交联高分子 应力衰减至某一平衡值
Crosslinked polymer
Linear polymer
0
t
未交联高分子 应力最终衰减至零
4
第7章 聚合物的黏弹性
5. 力学松弛 聚合物的力学性质随时间变化的现象，叫力学松弛。 包括蠕变及其回复，应力松弛和动态力学实验等。 蠕变 静态的黏弹性 力学松弛 动态黏弹性 力学损耗(内耗)
5
应力松弛 滞后现象
第7章 聚合物的黏弹性
二、静态黏弹性 应力或应变恒定，不同时间时，聚合物材料所表现出来 的黏弹现象。
恒值 (t>t2)
＝
t1
t2
t
3-----本体粘度
分子间滑移，不可恢复
11
图3 理想粘性流动蠕变
第7章 聚合物的黏弹性
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生，聚合物的总形变 方程:
2+3 1
1 2 3
t
( t ) 1 2 3 -t
(1 e ) t E1 E2 3
32
tanδ由小到大的顺序：
第7章 聚合物的黏弹性
内耗受温度影响较大
Tg以下，高聚物受外力作用后形变很小， 仅键长、键角变化，速度快，几乎跟得上 应力变化，内耗小
Tg Tf
T Tan
温度升高，高分子向高弹态过渡。链段开始运动，而体系粘度还很大， 链段运动时受到摩擦阻力比较大，高弹形变显著落后于应力的变化，内 耗也大 温度进一步升高，链段运动比较自由，内耗变小 因此，在玻璃化转变区域出现内耗峰 温度继续升高，高分子向粘流态过渡。由于分之间互相滑移，内耗急剧 增加

金属材料的力学行为模型

金属材料的力学行为模型

金属材料的力学行为模型引言:金属材料在人类社会中扮演着重要的角色，广泛应用于建筑、交通、电子等领域。

研究金属材料的力学行为模型对于优化设计、材料选择和结构安全具有重要意义。

本文将探讨金属材料的力学行为模型，并介绍常用的弹性、塑性和粘弹性模型。

第一部分：弹性模型弹性模型用于描述金属材料在受力后恢复原状的能力。

最简单的弹性模型是胡克定律，它表明应力与应变成正比。

然而，金属材料的力学行为往往不符合线性弹性假设。

因此，工程领域常采用线性弹性模型、非线性弹性模型和弹塑性模型等。

线性弹性模型假设应力与应变呈线性关系，其中应力是单位面积上的力，应变是单位长度上的形变。

最常用的线性弹性模型是胡克-杨模型，它描述了金属材料的正弹性行为。

然而，在高应力下，金属材料的力学行为不再符合线性弹性假设。

第二部分：塑性模型塑性模型用于描述金属材料在超过弹性极限后的可塑性变形。

金属材料在受力时会出现塑性变形，即无法完全恢复原状。

晶体塑性理论是研究金属材料塑性变形的重要方法。

它基于晶体的滑移理论和晶体微弱滑移的条件。

其中，最常用的塑性模型是von Mises模型，它假设金属材料在达到屈服点后会开始塑性变形。

该模型描述了材料的屈服条件，并引入了流动准则来确定塑性变形发生的条件。

第三部分：粘弹性模型粘弹性是介于弹性和塑性之间的力学特性，用于描述金属材料在应力施加后的时间依赖性。

与弹性相比，粘弹性模型考虑了材料的时间依赖性。

常见的粘弹性模型包括粘弹性弹簧模型和粘弹性体模型。

粘弹性模型的研究包括应力松弛实验和应变迟滞实验。

这些实验揭示了金属材料在受力后的时间依赖性行为，为粘弹性模型的建立提供了实验基础和理论依据。

结论:金属材料的力学行为模型对于优化设计和结构安全具有重要意义。

本文介绍了金属材料的弹性、塑性和粘弹性模型，并讨论了它们的适用范围和应用。

在工程实践中，根据材料的具体情况选择适当的模型进行分析和设计是至关重要的。

希望本文的探讨能够为金属材料力学行为模型的应用提供一定的指导和启示。

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
流体动力学
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。

材料力学中的非线性本构模型

材料力学中的非线性本构模型

材料力学中的非线性本构模型材料力学是许多工程领域的基础，它研究材料受力后的力学行为，包括力的大小、方向、分布和变形等问题。

不同材料的力学行为需要采用不同的本构模型来描述，常见的材料本构模型有线性弹性模型、非线性本构模型等。

本文将重点介绍材料力学中的非线性本构模型。

一、非线性本构模型的概念在材料力学中，当受力材料的变形与施加的力之间呈非线性关系时，就需要采用非线性本构模型来描述其力学行为。

非线性本构模型可以分为弹塑性模型、粘弹塑性模型、本质非线性模型等不同类型，其中弹塑性模型在实际应用中被广泛采用。

二、弹塑性模型弹塑性模型又称弹塑性本构模型，它是一种介于线性弹性模型和塑性本构模型之间的模型。

弹塑性模型假设材料的力学行为在一定范围内是线性弹性的，但在超出一定应力范围后就会出现不可逆变形，这种不可逆变形称为塑性变形。

弹塑性模型可分为单轴应力状态下的本构模型和多轴应力状态下的本构模型。

其中单轴应力状态下的本构模型包括拉伸本构模型、压缩本构模型等，多轴应力状态下的本构模型包括Mises本构模型、Drucker-Prager本构模型等。

三、拉伸本构模型拉伸本构模型是弹塑性模型中最简单的模型之一，它假设材料的力学行为在拉伸状态下是线性弹性的，且材料的强度随着应力增大而增大。

在达到材料的屈服点后，材料的强度就不再随应力增大而增大了，这时材料开始出现塑性变形。

拉伸本构模型将材料的应力-应变曲线分为弹性阶段和塑性阶段来描述材料的力学行为。

四、Mises本构模型Mises本构模型也称为圆锥形模型，它是多轴应力状态下最常用的弹塑性模型之一。

该模型假设材料的塑性行为是由等效应力和应力状态判据决定的，等效应力可以通过应力张量得到，应力状态判据则基于材料力学的实验性质，通过外部应力来得到。

Mises本构模型能够较为准确地描述材料在多轴应力状态下的力学行为，并在应用中获得广泛的应用。

五、Drucker-Prager本构模型Drucker-Prager本构模型是一种常用的粘塑性模型，它假设材料有两种塑性机制：一种是塑性流动，另一种是摩擦滑移。

第七章 粘弹塑性模型的基本概念

第七章 粘弹塑性模型的基本概念

第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。

弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。

理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。

实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。

理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。

其本构方程为虎克定律。

一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为： E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。

剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。

三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。

（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。

通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。

粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。

活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。

一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为： σϕε= （7.1.7） τηγ= （7.1.8）式中 ϕ、η ——粘滞系数。

由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。

与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。

（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型 理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。

高分子物理chapter7粘弹性

高分子物理chapter7粘弹性

特点:受外力作用平衡瞬时达到，除去外力应变立即恢复.
2.理想的黏性液体：符合牛顿流体的流动定律的流体,＝ 特点:应力与切变速率呈线性关系，受外力时应变随时间线 性发展，除去外力应变不能恢复.
“黏”指糨糊或胶水等所具有的能使一个物体附着在另一个物 体上的性质，如黏性液体、黏米等；“粘”指黏的东西附着在 物体上或相互连接，或用黏的东西使物件连接起来，如粘连。
29
第7章 聚合物的黏弹性
P194 式7-14
30
内耗的表达
第7章 聚合物的黏弹性
弹性形变的动力
克服摩擦阻力 反映弹性大小
反映内耗大小
第7章 聚合物的黏弹性
内耗的表达
当 t 0sin t时, 应力 ( t ) 0sin t
展开 : ( t ) 0 cos sin t 弹性形变的动力 0sin cost 消耗于克服摩擦阻力
' '
0 如果E 定义为同相的应力和应变的比值, E cos 0 0 '' E 为相差90角的应力和应变的振幅的比值E" sin 0
32
第7章 聚合物的黏弹性
应力的表达式
( t ) 0 E 'sin t 0 E ' 'cost
第7章 聚合物的黏弹性 Polymer Viscoelasticity
本章的主要内容 内部尺度－－弹性和黏性
黏 弹 性 外观表现－－4个力学松弛现象 力学模型描述 时温等效原理－－实用意义，WLF方程
1
第7章 聚合物的黏弹性
一、黏弹性的基本概念 1.理想弹性固体：受到外力作用，形变立刻响应，且符合胡 克定律。 ＝E= /D, E杨氏模量, D柔性模量.

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹性本构关系：弹性本构关系是描述材料的弹性行为的数学模型。

常见的弹性本构模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型。

线性弹性模型假设应力与应变之间的关系是线性的，而非线性弹性模型则考虑了应力与应变之间的非线性关系，如Hooke定律和多项式模型等。

塑性本构关系：塑性本构关系是描述材料的塑性行为的数学模型。

常见的塑性本构模型有单一的本构模型和多线性本构模型。

单一本构模型假设应力与应变之间的关系是单调递增的函数，而多线性本构模型则将塑性行为分段描述，适用于复杂的应力和应变关系。

一般在工程中，弹性本构关系常与塑性本构关系相结合，用于模拟材料在加载过程中的弹性和塑性变形。

有限元方法：有限元方法是一种将连续介质离散成有限个子域，并建立一个代表离散网格的有限元模型进行求解的方法。

在弹塑性有限元方法中，将结构或材料划分成无限形状的有限个单元，每个单元都有一组本征坐标。

然后根据问题的对称性和几何形状，选择适当的数学模型，建立方程组。

模拟方法：在弹塑性有限元法中，首先要确定问题的边界条件，包括力、位移或边界反应。

然后，应用合适的数值方法，如有限差分法或有限元法，对弹塑性问题进行离散求解。

通常采用迭代法进行求解，不断更新单元应力和应变，直到达到一定的收敛准则。

在实际应用中，弹塑性有限元法可以用于模拟多种材料和结构的力学行为，如金属、混凝土、岩土、复合材料等。

通过合理选择材料模型和有限元网格，可以准确地模拟材料的应力、应变分布以及变形情况。

总之，弹塑性有限元法是一种基于有限元法的理论框架，用于模拟材料和结构在加载过程中的弹性和塑性行为。

它包括弹性本构关系、塑性本构关系、有限元方法和模拟方法等几个方面，可以应用于各种材料和结构的力学分析和设计中。

高分子物理-第七章

高分子物理-第七章
交联：橡胶交联后，应力松弛大大地被抑制，而且 应力一般不会降低到零。其原因：由于交联的存在， 分子链间不会产生相对位移，高聚物不能产生塑性 形变。
和蠕变一样，交联是克服应力松弛的重要措施。
影响应力松弛的主要因素
7.1.3 滞后和内耗
1）概述
在实际使用中，高分子材料往往受到交变应力的 作用，即外力是周期性地随时间变化 （=0sinwt），例如滚动的轮胎、传动的皮带、 吸收震动的消音器等，研究这种交变应力下的力 学行为称为动态力学行为。
a.普弹形变：当高分子材料受到应力作用时，分 子内的键角和键长会瞬时发生改变。这种形变量很 小，称为普弹形变。
b.高弹形变
2
0
E2
1 et /t'
1 et /t'
当外力作用时间和链段运动所需的松弛时间有相
当数量级时，链段的热运动和链段间的相对滑移，
使蜷曲的分子链逐步伸展开来，此时形变成为高 弹形变，用2表示。 2较大，除去外力后， 2逐 步恢复。
E ' 0 sin wt E '' 0 cos wt
此时，模量表达式正好符合数学上复数形式
E* E ' iE ''
E* (t) ：复数模量，它包括两部分①实数模量或储能模量
(t)
E ' ，反映了材料形变时能量储存的大小即回弹力；②虚数模量
或损耗模量 E '' ，反映材料形变时能量损耗大小。
W
2
d
0
2 0
0
sin
wtd
0
sinwt
0 0 sin
拉伸回缩中最大储存能量 Wst
1 2
0
0
cos

一般力学与力学基础的弹塑性分析方法

一般力学与力学基础的弹塑性分析方法

一般力学与力学基础的弹塑性分析方法弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域之一。

本文将介绍弹塑性分析方法的基本概念、应用领域以及常用的数学模型和计算方法。

一、弹塑性分析方法的基本概念弹塑性分析方法是一种综合运用弹性力学和塑性力学理论的方法，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。

在弹塑性分析中，材料会先发生弹性变形，当应力达到一定临界值时，开始发生塑性变形。

弹塑性分析方法可以更准确地预测材料的变形和破坏行为。

二、弹塑性分析方法的应用领域弹塑性分析方法广泛应用于工程结构、土力学、岩石力学等领域。

例如，在工程结构的设计中，使用弹塑性分析方法可以预测结构在外载荷作用下的变形和破坏行为，从而确定结构的合理尺寸和材料强度要求。

在土力学和岩石力学中，弹塑性分析方法可以用于预测土体和岩石的变形和破坏特性，为工程施工和地质灾害的预测提供依据。

三、弹塑性分析的数学模型弹塑性分析方法使用了多种数学模型来描述材料的力学行为。

其中常用的模型包括线性弹性模型、单一参数塑性模型和本构模型等。

1. 线性弹性模型：线性弹性模型假设材料的应力与应变之间呈线性关系，常用于描述小应变范围内的材料行为。

2. 单一参数塑性模型：单一参数塑性模型假设材料的塑性行为由一个参数来描述，常用于描述中等应变范围内的材料行为。

3. 本构模型：本构模型是更为复杂的数学模型，可用于描述广泛的材料行为。

常见的本构模型包括弹塑性本构模型、弹塑性本构模型、弹粘塑性本构模型等。

四、弹塑性分析的计算方法弹塑性分析方法使用了多种计算方法来求解材料的变形和应力分布。

其中常用的计算方法包括有限元法、边界元法和等。

这些方法可以将实际结构离散成有限个子区域，通过求解子区域的变形和应力，得到整个结构的变形和应力分布。

这些计算方法具有高精度和较强的通用性，广泛应用于工程和科学研究领域。

综上所述，弹塑性分析方法是一般力学和力学基础中重要的研究领域，用于描述材料在外力作用下的弹性变形和塑性变形过程。

第七章_粘弹性概述

第七章_粘弹性概述

（4）结构 主链钢性：分子运动性差，外力作用下，蠕变小
ε（%）
2.0 1.5 1.0 0.5
聚砜
ABS（耐热级）
聚苯醚
聚甲醛
聚碳酸酯 尼龙
改性聚苯醚 ABS
1000 2000 3000
其应变速率： d d1 d2
dt dt dt
弹簧： d1 1 d1
dt E dt
粘壶：
d2 2 dt
d 1 d1 2 dt E dt
Maxwell 运动方程
模拟应力松弛：
d 根据定义：ε=常数（恒应变下）， / dt 0
1 d1 2 0 E dt
(t) (1 t / ) t
e 1
2
3
E E 1
2
3
2、应力松弛
所谓应力松弛，就是在恒定温度和形变保持不变的情况下，高 聚物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
一个问题的两个方面， 都反映高分子内部分子的三种运动情况 不平衡构象到平衡构象
根据模型：
1 2
1 d 0 E dt
分离变量：
d E dt
当t=0 ，σ=σ0 时积分：
(t) d E
t
dt
0
0
(t) E
ln t
0

(t)

Et
e
0
Et
(t) 0e
令τ=η/E
σ (t) ε(t)

σ0

(t) 0 sin wt (t) 0 sin(wt )
2 3 wt
对弹性材料：（ t） 0 sin wt形变与时间t无关，与应力同相位

弹塑性力学基础与材料变形分析

弹塑性力学基础与材料变形分析

弹塑性力学基础与材料变形分析弹塑性力学是力学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的变形和应力响应。

材料的变形分析则是根据弹塑性力学理论，对材料在外力作用下的变形行为进行研究和分析。

本文将介绍弹塑性力学的基础概念和理论，并探讨材料变形分析的方法和应用。

1. 弹性力学基础在弹塑性力学中，弹性是指物体在外力作用下发生的可恢复变形。

弹性力学的基本定律是胡克定律，它描述了物体的应力与应变之间的关系。

根据胡克定律，线性弹性材料的应力与应变呈线性关系，即应力等于弹性模量与应变的乘积。

除了胡克定律，还有切应力与切变变形之间的关系由牛顿黏性定律给出。

2. 塑性力学基础与弹性力学不同，塑性力学是描述物体在外力作用下发生的不可恢复变形的力学学科。

塑性力学的基本理论是流变学，它研究物体在外力作用下的蠕变行为。

塑性变形通常会导致材料内部的晶格滑移和塑性畸变。

在材料受到足够大的应力时，塑性变形将取代弹性变形。

3. 弹塑性力学弹塑性力学是弹性力学和塑性力学的结合，用于描述物体在外力作用下同时发生弹性和塑性变形的情况。

在弹塑性力学理论中，材料的应力应变关系一般采用应力-应变本构关系来表示。

应力-应变本构关系通常是非线性的，可以根据具体材料的特性进行模型建立。

常见的弹塑性本构模型有弹塑性理想化塑性模型和弹塑性可生长模型等。

4. 材料变形分析方法材料变形分析是基于弹塑性力学理论的数值模拟方法，用于预测材料在外力作用下的变形行为。

常用的材料变形分析方法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。

这些方法可以通过研究材料的应力分布、应变分布和位移分布等来揭示材料的本构特性和变形机理。

材料变形分析方法在工程设计和材料选择等方面起着重要的作用。

5. 材料变形分析的应用材料变形分析在工程领域有广泛的应用。

例如，在机械设计中，通过材料变形分析可以预测零件在使用过程中的变形量，以及材料是否会发生塑性变形，从而指导设计者选择合适的材料和结构。

此外，材料变形分析也可以用于材料的疲劳寿命预测、变形加工工艺的优化和材料损伤分析等方面。

材料力学中的弹塑性本构模型建立

材料力学中的弹塑性本构模型建立

材料力学中的弹塑性本构模型建立在工程和力学实践中，弹塑性是一种非常重要的材料本构模型。

它能够对许多材料的力学性能进行准确预测，因此在设计和分析中得到广泛应用。

本文将介绍弹塑性本构模型的基本概念和建立方法。

一、弹塑性基本概念弹塑性是一种材料可能表现出的力学特性，它包括两个不同的行为：弹性和塑性。

弹性是指材料恢复原来形状和大小的能力，这是由于分子等微观结构的作用而产生的。

而在材料接受持续变形时，会发生形变不可逆的情况。

这种现象被称为塑性。

当材料被施加应力时，如果应力不超过一定范围，材料会发生弹性形变；一旦应力超过一定界限，材料就会发生塑性变形。

材料的弹塑性是由其微观结构决定的，因此不同的材料会表现出不同的弹塑性特性。

二、弹塑性本构模型的基本原理弹塑性本构模型是描述材料弹塑性问题的一类物理模型。

它基于能量守恒原理，建立材料固体在应力和应变作用下的不同状态之间的关系。

本构模型的目的是把材料行为和材料力学特性建立起来，便于进行物理和工程分析。

所以在材料力学中，弹塑性本构模型是一个非常重要的基本理论。

材料弹塑性本构模型的建立过程包含以下三个步骤。

1. 实验数据获取该步骤是建立弹塑性本构模型的基础。

通过物理实验，可以得到材料的应力-应变曲线，即通过外力施加不同载荷，测量材料在相应的应力状态下的应变表现。

从这些实验数据中可以得到材料的力学特性。

2. 建立本构关系本构关系是弹塑性本构模型中最基本的方程。

它建立材料中的形变应力与形变大小和方向之间的关系。

大多数情况下，本构关系并不只是一个公式，而是一系列方程的集合，不同的方程适用于不同的材料。

在建立本构关系时，通常需要将材料划分为一定数量或限制条件下的应力状态，并在这些状态下建立相应的方程形式。

然后，通过插值或其它数值方法可以精确地计算出材料弹塑性的行为。

3. 参数确定弹塑性本构模型的参数是过程中最难确定的部分。

参数在本构模型中的作用类似于提供具体材料的物理性质或形状。

弹塑性力学基本知识

弹塑性力学基本知识
2
面在 π 平面上的投影为圆形。根据式（18）可知，Mises 屈服条件的物理意义为：当材料的 八面体剪应力达到一定值时，材料屈服；根据式（26）可知，Mises 屈服条件的物理意义也 为：当材料的剪切应变能达到一定值时，材料屈服。注意，Mises 屈服条件考虑了中间主应 力的影响，但也忽略了静水压力的影响。
0
则材料稳定， （2） 加载面 f σ ij , ξ β = 0 外凸。这也可以由式（42）推出。 （3） 正交流动法则（ dλ 的物理意义：反映塑性应变增量的大小，称作比例因子。 ） ：
P dε ij = dλ
(
)
∂f ∂σ ij ∂f s ∂σ ij
（43）
或： dε ij = dλs
P
（44）
p
得：
h=−
∂
( ∫ dε )
p
∂f
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
（60）
对于 Mises 材料，设材料等向硬化，且内变量为累积塑性应变，结合式（51） ，有：
2 ∂f
∂f
3 ∂σ ij ∂σ ij
=1
（61）
结合式（61） ， （59） ， （60） ，可得：
dλ = d ε p ； h =
( 2σ 2 − σ 1 − σ 3 )
当采用极坐标表示时，则有：
⎧ rσ = x 2 + y 2 = 2 J 2 ⎪ ⎨ y 1 ⎛ 2σ 2 − σ 1 − σ 3 ⎞ 1 μσ ⎪ tan θσ = = ⎜ ⎟= x 3 ⎝ σ1 − σ 3 3 ⎩ ⎠
z Tresca 屈服条件 当 τ max =
（59）
结合式（43）和式（14） ， （注意：当屈服与静水压力无关，体积应力不产生塑性应变） ， 可得：

粘弹塑性统一本构模型理论

粘弹塑性统一本构模型理论

收稿日期:1999-12-27.作者简介:冯明珲(1964-),男,固体力学博士,辽宁省水利水电工程局副局长,吕和祥(1939-),男,教授,博士生导师.文章编号:1007-4708(2001)04-0424-11粘弹塑性统一本构模型理论冯明珲,　吕和祥,　郭宇峰(大连理工大学工程力学系,大连116024)摘　要:文章在已有的统一本构模型的基础上,将粘弹性变形引入到统一本构模型之中,成功地改善了材料过渡段的变形模拟情况。

通过Ha st elloy-X的变形模拟及与其它统一本构模型的变形模拟比较,证明了粘弹塑性统一本构模型的合理性。

关键词:粘弹塑性;统一本构模型;Hastelloy-X　变形中图分类号:O343.5;O343.9 文献标识码:A1　引　言50年代以来,现代高精尖技术的飞速发展,带动了相应的实验技术提高,材料在极端热力学条件下的一些特殊性质被高精度的实验逐步地揭示出来。

60年代后出现的M T S、Instro n、Schenk等厂商提供的电子计算机控制试验机,将经典力学实验技术带进了一个新的时代。

通过这些高精密度仪器设备,可以模拟在航天航空、核电站、热电站等领域内的某些部件在极端工作条件下的荷载历史,全过程实时模拟加载过程,对材料在单调荷载、循环荷载等不同加载情况下的弹性、塑性、粘性等性质所表现出的循环硬化、蠕变、松弛、热恢复、疲劳等现象有了新的认识,开始了对能够更准确地模拟材料的各种力学行为的本构关系的探讨。

上述的这些性质表明材料变形特性与加载历史和加载速率是相关的。

许多科学工作者的实验研究都揭示出:对动态荷载的反应,材料的屈服极限显然地提高了。

通过许多实验研究发现具有明显屈服极限的那些金属,对于应变率是十分敏感的,低碳钢的率效应是许多科学工作者的研究课题。

实验中发现的各种率相关现象用经典的弹性-理想塑性、经典粘弹性理论或是硬化模型都难以解释,更无法用经典理论来描述循环硬化和软化(热恢复)特性。

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第七章粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。

弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F独自反映材料本构关系的一个方面的特性。

理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。

实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。

理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1（ a ））。

其本构方程为虎克定律。

一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：E（7.1.1）G （7.1.2）式中E——弹性模量、G剪切模量。

剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：G E—（7.1.3）2 1式中——泊松比。

三维条件下本构方程可表示为下述形式：(7.1.4)m K式中K ——体积弹性模量。

(a) (b)图7-1理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示:(7.1.6)理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。

通常用一粘壶(或称阻尼器)表示(图7-2 ( a ))。

粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。

活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。

一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：&(7.1.7)& (7.1.8)式中、——粘滞系数由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。

与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：(7.1.9)理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关,(7.1.10)这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。

在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为:(7.1.11)理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。

通常采用 两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a ））。

面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用 在面上的法向压力无关，是一常数。

若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发 生变形。

一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时， 物体不发生变形.当软祠应力或剪应力等于某数值时， 物体产生流动，变形无限 制增长.理想塑性模刮的体积应变等于零， 即体积不发生改变。

在三维条件下理 想塑性体的本构方程可表示为：式中 粘性应变速率的横向比值。

(a )即不具有体积粘性。

因此，应等于0.5 于是式7.1.9成为:S j 图7-2理想粘性模型式中H j ——起始摩擦阻力，或称塑性条件;――比例常数。

式7.1.12表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多 复杂模型。

由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。

由弹性模(a )(b )图7-3理想塑性体模型当qm 时，列o]当Sj可时,S j 2 & J(7.1.12 )型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。

由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。

由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。

理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。

在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。

利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。

但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。

因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。

在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。

7 . 2 粘弹性模型既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。

蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。

对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：mna0 a1 &L a m b0 b1&L b n （7.2.1 ）式中a i ,b i ——与材料性质有关的参数。

下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。

7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又称松弛模型。

它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7 -4 （a ）所示。

在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即（7.2.2 ）或& & & （7.2.3 ）式中, ——分别为线性弹簧和粘壶的应变；&, & ——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。

考虑到线性弹簧有& &E 和牛顿粘壶有& / ，则式723可改写成:图 7-4 Maxwoll 模型写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为:n& & (7.2.5) 式中n ――松驰时间，n 己，量纲为时间。

式7.2.5 称为Maxwell 方程。

若物体获得初始应变 °以后总应变保持不变（图7-4b ），即& 0,式7.2.5成为：n& 0（7.2.6）积分上式，得Ce t/n（ 7.2.7）式中C ——积分常数。

应用初始条件，t 0， 0代人式7.2.7解出C ，再代人式7.2.7 , 得t/n 0e（7.2.8 ）式7.2.8表示，Maxwell 模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减 的松弛现象，如图7-4c 所示。

若物体获得初始应力°以后，保持应力不变，即 & 0,则式7.2.5成为：（729 ）(7.2.4)[T（a ）(c )E(b )式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。

下面讨论松弛试验的情况。

在松弛试验中，首先对试件施加应变°，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。

松弛试验中应变可记为：u t （7.2.10）式中u t ——单位阶梯函数。

单位阶梯函数定义为：0,t t iu t t i （7.2.11）1, t t i在松弛试验中t10 u t t1可表示为u t。

将式7.2.10 代人式7.2.5，得E t（7.2.12）& 一n式中t ――脉冲函数， d t u t 。

dt脉冲函数定义为：7.2.13）t0,t 0（,t 0tt dt 1（7.2.14）脉冲函数具有下述性质，对于任何连续函数ft,当t右时，有tf t1 d f t1 u t t1 （7.2.15）利用式7.2.15，积分式7.2.12，可得t E 0e t/n u t （7.2.16）式7.2.16表示Maxwell模型的应力松弛规律，简记为：t t 0 （7.2.17）式中t ——松弛函数，其表达式为E 0常量 (7.2.22)t/nt Ee u t722 Kelvl n模型Kelvln 模型又称非松弛模型。

这种模型曾由 W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt — Kelvin 模型。

它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5(a )所示。

在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应 力之和，即(7220)积分上式，得(7218 )(7219)若在t 0时，瞬时地加上应力，并保持不变，则由式7.2.19可得式中 由式7.2.21可知，当t 若物体获得初始弹性应变之后保持应变不变，即& 0。

由式7.2.19得(a )滞后时间。

rLaaf衰减系数,，应变趋于个稳定值 0/E 。

上式表明在这种情况下应力不衰减。

下面讨论蠕变试验的情况。

在蠕变试验中，首先对试件施加应力 保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。

若取瞬时加载的时刻为t 0 ,则 加载过程可表示为：oU t（7223）式中 u t ——单位阶梯函数。

将式7.2.23 代人式7.2.19，得& —u t注意到单位阶梯函数有如下性质t tf u t | d u 1ft1d（7.2.25）此处 为积分变量。

积分式7.2.24， 得t1 Ee t u t （7.2.26）式中1 E_ n式 7.2.26 表示 Kelvin 模型的蠕变规律， 可简记为：tt（7.2.27）式中t蠕变函数。

蠕变函数的表达式为1 t - 1Ee t u t（7.2.28）7.2.3三元件粘弹性模型图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。

它是由线性弹簧和Kelvin 模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶， 共三个元件，故称三元件粘弹性模型。

用表Kelvin 模型的应变，表示与Kelvin 模型串联的线性弹簧的应变，表示Kelvin 模型中线性弹簧中的应力，表示牛顿粘壶中的应力，和分别表示总应力和总应变。

分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：（7.2.29），然后（7224）(7230 )(7231 )E (7.2.32 )(7.2.33 )式中E ――与Kelvin模型串联的线性弹簧的弹性模量；E ―― Kelvin模型中线性弹簧的弹性模量；――牛顿粘壶的粘滞系数。

结合式7.2.29至式7.2.33各式，消去组成元件中的应力和应变，得E E & EE E & (7.2.34)式7.2.34还可改写为：n& nH & E ( 7.2.35)式中n (7.2.36)E ErLiia厂壬图7-6三元件粘弹性模型上式表示的应变随时间的变化规律如图 7-6 (b )所示。

图中应变起始值为 /H , 最终值为/ E ，其应变速率由起始时的最大值逐渐趋于零。

若物体获得初始弹性应变最初的H 0衰减到最终值E 0传函数，它表示在 时刻作用的应力对时刻t 的变形的影响。

H EE E E •E E若物体作用有初始应力，且保持不变，即&于是，由式7.2.35可求得应变的变化规律为：H E 彳-- ----------- 1 e H HE(7237) (7238)0 ,且在t 0时,/H 。

Et/Hn(7239 )后总应变保持不变，即，& o 且在t 0时,H 0。

于是，由式7.2.35可求得应力随时间的变化规律为:E t/nH E °e(7240)上式表示的应力变化规律如图7-6 (b )所示。

由图可以看到，物体中的应力从若物体初始时作用有应力以后随时间变化作用有应力t 。

根据叠加原理，由式7.2.39可以得到在时刻t 时物体的变形, 」H E 1 0 1 H HEe Et/Hn H E 」 E t /Hn HE(7241)对上式右端进行分部积分,则式7.2.42可改写为H 2nH E H 2n/Hn(7242)(7243)(7244)式7.2.44通常称为线性遗传方程。