第二章-拉伸、压缩与剪切

度的一个重要指标。
(3) 强化阶段 —过屈服阶段后，材料恢复了抵抗 变形的能力，要使试件继续变形，必须增大应
力。这种现象称为强化。
★ 强化阶段最高点e对应的应力是材料能承受的
最大应力，称为强度极限或抗拉强度（ζb）
(4) 局部变形阶段—— 过e点后，试件某一局部范围
内，横向尺寸突然急剧缩小，这种现象称为颈缩。
解 ：使用截面法，杆1-1截面， 左段受力图（b），有平衡方程
∑Fx= 0，得： Fl－FNl=0
FNl=F1=26(kN)(压)
同理，截面2-2的轴力FN2 (c) ， 平衡方程 ∑Fx = 0，得：F1－F2－FN2= 0 FN2=F1－F2=12(kN)(压)
24
1 F1=26KN 1 F1=26KN
根据材料的均匀性假设及前面的实验，可以得 到，横截面上每一点存在相同的应力；根据静力学 关系可得：
正应力
FN A
拉应力为正 压应力为负
F


FN
第四节
轴向拉伸与压缩时的变形
F
直杆在轴向拉力作用下，将引起轴 向尺寸的伸长和横向尺寸的缩短。 轴在压力作用下反之。
L+L L
d-d d
1. 长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变形；
36
三、横向变形
实验表明，材料在受力时，纵向伸长，横向缩短；纵 向缩短时，横向增大。杆件在拉力 F 作用下，
纵向伸长为： 横向收缩为： 则横向线应变为：
在弹性范围内，横向应变与纵向应变之比的绝 对值为一常数—— μ 称为泊松比。即
-
负号表示纵向与横向 变形的方向相反
【例2-2】求图所示阶梯状圆截面钢杆的轴向变形， 钢的弹性模量 E = 200 GPa。
★ 由于横截面积减小，试样继续伸长所需拉力减小， 应力降低，应力 - 应变曲线呈下降趋势，到 f 点， 试件在横截面最小处断开。
• 试件拉断后，其长度由原来的 l 变为 l1，定义
为延伸率 δ（断后伸长率） 。试件的塑性变形越大， δ也就越大，即断后伸长率是衡量材料塑性的指标。
★ 工程材料按断后伸长率分成两大类：
格区分，认为只要应力不超过ζe ，材料服从虎克定律。
(2) 屈服阶段 — 应力超过σe后，正应力σ仅作微小波
动而线应变ε急剧增加，这说明材料暂时丧失了抵
抗变形的能力，这种现象称作屈服，其对应的应 力称为材料的屈服极限（ζs）。 ★ 材料屈服时出现显著的塑性变形，这是一般工程
结构所不允许的。因此屈服极限 ζs 是衡量材料强
2. 粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形。
F
一、纵向变形
杆的轴向伸长（绝对变形）
伸长为正 缩短为负
杆的纵向线应变（相对变形）
用单位长度的变形量 ε 来反映杆的变形大小。
二、胡克定律
在轴向拉伸（压缩）中，当应力不超过材料的某 一限度时，应力和应变成正比。即
引入比例常数 E ，则有:
E的单位与应力相同。
标距
L0
d0
1．低碳钢拉伸时的力学性能
低碳钢是指含碳量在0.3％以下的碳素结构钢。
这类钢材在工程中使用较广，同时在拉伸试验中表
现出的力学性能也最为典型。
42
• 正应力σ = F / A 应变图 或 ζ- ε 曲线。
线应变ε= △ι/ι。
以ζ为纵坐标，ε为横坐标的曲线，称为应力-
低碳钢拉伸过程可分成四个阶段：
全相同。
(4)小变形假设——认为构件在外力作用下产生的变
形远小于构件的原始几何尺寸。
物体在外力作用下会的变形行为：
随外力卸除，物体能完全或者部分回复其原来的形状。
卸载后，消失的变形称为弹性变形，不能消失的变形 称为塑性变形。
材料力学中，主要研究材料在弹性范围内的受力性质。
弹性变形和塑性变形的区别
第三节 轴向拉伸或压缩时横截面上的应力
一、应力的概念 轴力并不能判断杆件是否有足够的强度。 内力是连续分布的，用截面法确定的内力是 这种分布内力的合力，为了描述内力的分布 情况，需要引入应力的概念。
在截面某一点 C 处取一微小面积△A，其上作用的内力为
△F，定义
称 pm 为作用在面积△A上的平均应力。当△A趋于零时， 即微小面积趋近于点C时，
FN1 2F
F
FN2
F
X
0 FN2 + F - 2F 0
FN2 F
2、轴力FN与轴力图
轴力正负的规定及其作用特点：
① 离开横截面的轴力为正，称为拉力，拉力引起杆 件轴向伸长； ② 指向横截面的轴力为负，称为压力，压力引起杆
件轴向缩短。
③ 拉压杆任一横截面上的轴力，数值上等于截面任 一侧所有外力的代数和。
二、截面法、轴力
为了分析拉压杆的强度和变形，首先需要了解杆 的内力情况；
材料力学中，采用截面法研究杆的内力。 轴力：受轴向拉伸和压缩的杆件，由于外力 F的 作用线与杆件轴线重合，内力的合力 FN 的作用 线必然与杆件轴线重合，所以称FN为轴力。
1、截面法
注意：外力的正负号取决于坐标， 与坐标轴同向为正， 反之为负。
δ＞5％称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；
δ＜5％称为脆性材料，如灰铸铁、陶瓷等。
• 试件拉断后，其断口处的横截面积由原来的 A变为
A1，定义
• 为断面收缩率 ，Ψ是衡量材料塑形的另一个指标。
2．低碳钢压缩时的力学性能
(MPa)
400 低碳钢压缩 应力应变曲线 E(b) C(上) f1(f)
解： (1 )内力计算 用截面法分别计算AB段和BC段的内力并作杆 的轴力图 (b)。
38
(2)各段变形计算
AB、BC 两段的轴力为FNl、FN2，横截面面积A1、 A2，长度 ι1，ι2均不相同，变形计算应分别进行。 AB段:
BC段: (3)总变形计算 △ι=△ι1 +△ι2= ﹣0.064 + 0.509 = 0.445 (mm) 计算结果表明，AB段缩短0.064mm，BC段伸长 0.509mm，全杆伸长0.445mm。
上式称为胡克定律。
胡克定律的另一表达形式 ：
表明——当应力不超过某一限度（弹性形变）时，杆
件的伸长△ι与轴力FN和杆件的原长ι成正比，与横截
面面积 A成反比。比例常数
E 称为材料的弹性
模量。它表示在拉压时材料抵抗变形的能力。
EA称抗拉压刚度，与E有何相同点和区别？
弹性模量 E 的值随材料而不同，通常用实验方法测定。
F p lim pm lim A0 A0 A
称 p 为C点的应力，它是分布力系在C点的集度，P是矢量。
应力 p 一般既不与界面垂直也不与截面平行，通 常将其分解： ① 垂直于截面的分量 ζ（正应力） ② 平行于截面的分量 η（切应力）
• 应力的单位是帕斯卡 (Pascal)，简称帕(Pa)。 • 1Pa=1N／m2，工程中常 用的应力单位为兆帕 (MPa)，1MPa=106Pa。

外力去除后，弹性变形可完全恢复。塑性变形不
可恢复。

弹性变形量随外力的增大而增大，而塑性变形却 可在恒定的外力下进行。

塑性变形总是在发生了一定量的弹性变形之后出 现。
工程中多为梁、杆结构，材料力学多以 杆、梁为主要研究对象， 。
材料力学研究的对象
杆件
轴线
横向尺寸远小于纵向尺寸的构件。
横截面
截面形心
等截面直杆（等直杆）：轴线是直线，各横截面均相同。
在外力的作用下，杆件可以产生下 列几种基本变形形式:
# 轴向拉伸与压缩 # 剪切 # 扭转 # 弯曲
（1）轴向拉伸和压缩
拉伸
变细变长
压缩 变短变粗
拉力与压力都ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ沿杆的轴线方向
拉 -压
（2）剪切
剪切变形 剪力FS
（3）扭转
Me
g
j
Me
p
杆件受到轴向拉伸(压缩)时，由于轴力FN垂直于杆的 横截面，所在横截面上存在正应力ζ。
二、轴向拉伸(压缩)时横截面上的应力
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形， 所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律，我们可以 做一个实验： F F
F
F
说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长量是相同的
F2=14KN
2 F3=12KN
2
FN1= - 26KN F2=14KN FN2= - 12KN
F1=26KN F(KN)
X FN=-26KN
FN=-12KN
I
II 150kN 100kN II
I
50kN
I
50kN
I
FNI
50kN
N
FNI=50kN
II
+
100kN
FNII II
100kN
FNII= -100kN |FN|max=100kN
(1)截——沿该截面假想地把构件分成两部分，
取一部分作为研究对象，弃去另一部分；
(2)代——利用作用于截面上的内力代替弃去部
分对留下部分的作用力；
(3)求——对留下部分用平衡方程求解内力。
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
2F 2F A 1 F B 2 C F
1
FN1
2
x
F
2F
X
0 FN1 - 2F 0
一、内力的概念
外力：是指由其他物体施加的力或由物体本身的质 量引起的力。
内力：是指在外力作用下物体内各个部分之间的作 用力。
★ 材料力学中的内力——在外力作用下，物体产生 变形的变化量，是一种因外力而引起的附加相互 作用力，即附加内力。