平方差公式_1

6.6平方差公式（1）
课型：新授课主备人：梁留军审核人：
【学习目标】
1.经历探索平方差公式的过程，进一步发展推理能力.
2.能熟练运用平方差公式进行有关的计算或变形.
【学习重点】
利用平方差公式进行运算.
【学习难点】
平方差公式的应用.
【复习回顾】（限时3分钟）：
1.回忆多项式与多项式的乘法法则.
2.计算:
（1）（x+2）(x－2)；(2) （1+3a）（1－3a）；
（3）（x+5y）（x－5y）；（4）（2y+z）(2y－z).
【新课导学】
一、小组合作（限时2分钟）：
认真观察上面4道计算题的计算结果，你发现了什么？再举两列验证你的发现：二、成果展示（限时2分钟）：试总结得出平方差公式：
（a＋b）（a－b）＝__________.
两数和与两数差的积，等于____ ____________.
三、典例精讲1（限时3分钟）.
认真学习44页例1，体会平方差公式的应用，并能独立写出解题过程.
（1）（5＋6x）（5－6x）; （2）（x－2y）（x＋2y）; (3) (-m＋n)(-m－n).
四、巩固练习1（限时5分钟）：45页随堂练习第1题.
五、典例精讲2（限时3分钟）：
认真学习例2，进一步体会平方差公式的用法，并独立写出解题过程.
(1) (﹣41x －y)( ﹣
4
1x ＋y); （2）（ab ＋8）(ab －8)
六、巩固练习2（限时5分钟）：做45页，随堂练习第2题.
七、达标测试（限时8分钟）：完成45页习题6.12.第1、2题.
八、课堂小结（限时3分钟）.
九、布置作业：《基训》平方差公式 第一课时
【课后反思】。

平方差公式(1)
教学目标：
知识与能力：
1、经历探索平方差公式过程，进一步发展学生的符号感和推理能力。

2、会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。

3、了解平方差公式的几何背景。

过程与方法：
经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力；
情感态度价值观：
培养学生有条理的思考及有逻辑的思维能力和语言表达能力。

教学重点：
1.弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点；
2、会用平方差公式进行运算。

教学难点：会用平方差公式进行运算
教学方法：探索讨论、归纳总结。

准备活动：
计算：1、2、3、
教学过程：
一、探索练习：
1、计算下列各式：
（1）（2）（3）
2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
3、猜一猜：－
二、巩固练习：
1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算
（1）（2）
（3）（4）
2、判断：
（1）（）（2）（）
（3）（）（4）（）
（5）（）（6）（）
3、计算下列各式：
（1）（2）（3）
（4）（5）
（6）
4、填空：
（1）（2）
（3）
（4）
三、提高练习：
1、求的值，其中
2、计算：
（1）
（2）
3、若
小结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算。

作业：课本P30习题1.11：1。

教学后记：。

1.7平方差公式1教学目标：一、知识与技能１、参与探索平方差公式的过程，发展学生的推理能力２、会运用公式进行简单的乘法运算。

二、过程与方法１、经历探索过程，学会归纳推导出某种特种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。

２、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。

三、情感与态度以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学情景，加深学生的体验，增加学习数学和使用的信心。

培养学生由观察－发现－归纳－验证－使用这一数学方法的逐步形成.教学重点：公式的简单运用教学难点：公式的推导教学方法：学生探索归纳与教师讲授结合课前准备：投影仪、幻灯片教学设计平方差公式（２）教学目标：一、知识与技能1、了解平方差公式的几何背景，一些代数问题能用几何图形解释，用以可培养学生数形结合的思想。

2、培养学生灵活运用公式的能力。

二、过程与方法１、借助于图形的分割拼凑，证实了平方差公式的正确性，“数”与“形”的转化，用代数语言描述一个几何图形，用几何图形表示一个代数上的结论，这种形式上的变换在以后学习中还经常要用，应逐步培养。

２、进一步掌握并运用平方差公式，培养学习数学的兴趣。

三、情感与态度观察了解一些实际问题，使之数字化，数学化，建立数学模型，用已掌握的数学手段加以解决，从中逐步体会到数学体现的是自然界的空间形式和数学关系。

乐于参与和体验数学活动、感受到数学中确实有简捷的美，和谐的美，哲理的美。

数学确实好玩并且人人都可以玩。

重点：熟练运用平方差公式。

难点：拼图证明平方差公式，正确运用平方差公式，体会数学的抽象化，符号化。

教学方法：学生活动与教师讲授相结合课前准备：投影仪、幻灯片，有条件可把拼图过程制作成动画课件，小组准备拼图纸片。

教学设计：。

平方差公式解一元二次方程平方差公式解一元二次方程：轻松搞定！一元二次方程，听起来是不是有点头疼？别急，今天我们用最简单的语言来聊聊怎么用平方差公式来解决它，让你也能轻松搞定这个数学问题。

准备好了吗？那就开始吧！1. 认识平方差公式1.1 平方差公式是什么？平方差公式，顾名思义，就是处理“平方”相关的问题。

具体来说，它的公式是：((a + b)^2 (a b)^2 = 4ab)。

这个公式的妙处在于，它能把复杂的二次方程问题化繁为简，让我们能够快速求解。

听起来有点复杂对吧？其实只要记住这个公式，就能在解题时如鱼得水了。

1.2 为什么要用平方差公式？你可能会问：“为什么偏偏用平方差公式？”嗯，这个公式能把一元二次方程中复杂的项简化为更易处理的形式，像是把“大山”变成“小山丘”，让我们一步步地攻克难关。

它帮助我们更快地找到方程的解，节省不少时间。

2. 实际应用平方差公式2.1 方程的基本形式首先，我们需要把一元二次方程写成标准形式，即 ( ax^2 + bx + c = 0 )。

为了用平方差公式，我们可能需要稍微变换一下方程。

比如，把它写成形如 ((x p)^2 q = 0)的形式。

这时，我们就可以用平方差公式来解题了。

2.2 例子演示让我们看个实际例子吧。

假设我们有方程 (x^2 4 = 0)。

这时，方程看起来就像是((x + 2)(x 2) = 0)。

这里，我们可以看到它正好符合平方差公式的形式：((x + 2)^2 (x2)^2)。

用平方差公式解这个方程，我们就能很快找到 (x = 2) 和 (x = 2) 这两个解。

3. 用平方差公式解题的步骤3.1 确定方程形式首先，你需要把方程化简成平方差公式的形式。

如果原方程不是这个形式，可以通过变换来实现。

这个步骤就像是找出谜题的线索，让我们知道接下来该怎么做。

3.2 应用公式一旦方程化为平方差公式的形式，你就可以直接用公式来解题了。

只要把已知的数值代入公式，计算出结果，就能得到方程的解了。

学习目标：1.会用文字语言、数学符号语言说出平方差公式；会用数学符号表示平方差公式，能根据不同实例说出公式中字母a、b的含义。

2.会准确找出平方差公式的结构特征。

3.结合不同层次的例题，获得运用平方差公式的计算方法与解题步骤。

会用平方差公式进行准确的计算。

学习重点：平方差公式、平方差公式的结构特征和应用。

学习难点：1. 平方差公式的灵活应用。

2.用公式的结构特征判断题目能否使用平方差公式。

学习过程：一、复习旧知，引起思考：1.回忆：说一说多项式与多项式是怎样相乘的呢？2.举例计算：（x+2）(x+5)=二、激发兴趣，合作探究1.探究发现：①计算下面各式：+x-x_______(=_______)()221(=-a3+a)()313)(3(=y)yz+z-y)(5)x________ 5________x(=+y-②思考：观察以上算式和结果，你发现了什么的规律？同桌互动交流，总结归纳规律。

③汇报交流，共同总结归纳：用字母a、b表示规律为：用文字语言叙述为：两数与这两数的积，等于它们的平方差。

2、交流研讨：观察平方差公式，思考交流：①公式的结构特征是什么？②公式中的字母a、b可以表示什么？③运用平方差公式计算的关键是什么？3、自主练习：例1：利用平方差公式计算：)(1(xx-5+（2）(x-2y)(x+2y) )66))(5--m-+3(n)(n)(m例2：利用平方差公式计算：)41)(41)(1(y x y x +--- )8)(8)(2(-+ab ab 23))()(3(n n m n m +-+三、智力冲浪显身手：练习1、口答下列各题：(l )(-a +b )(a +b )=_________ (2)(a -b )(b +a ) =__________(3)(-a -b )(-a +b )= ________ (4)(a -b )(-a -b ) = ________ 练习2：判断下列多项式乘法中，哪些可以用平方差公式来计算？①（x －2y ）（x ＋2y ） ( ) ②（a －2b ）（－a －2b ） ( ) ③（－2m －n ）(n + 2m) ( ) ④ (2c －b)( －b －2c) ( ) 练习3：利用平方差公式计算：)23)(23)(1(b a b a -+ )2)(2)(2(x y y x +---四、总结收获： 通过本节学习活动，你有什么认识？（1）.平方差公式用字母如何表示？怎样用文字叙述？（2）.平方差公式有什么结构特征？（3）．利用平方差公式计算要特别注意什么问题？（4）.你还有什么认识和收获？五、自我检测：1、找一找，填一填：(1)（a 5-+ ）（ b 3-） =-225a (2)（ + ）（ － ）= 228149n m -2、利用平方差公式计算：)3)(3)(1(b a b a -+ )14)(14)(2(+---a a )43)(43)(3(n m n m ---六、聪明屋：)4)(2)(2(2++-a a a学教反思：。

初中一年级数学公式总结（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a 、b 可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)?(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1. 在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1. 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2. 分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3. 如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4. 分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y ＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n 次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6. 类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

《平方差公式》导学案课型：新授课主编人：审核人：编号：班级：学习小组：共同体：小主人姓名：【课前预习】1、温故：回顾多项式的乘法法则，并计算：（1）（x+y）(x-y)= (2) (m+n)(m-n)=(3) (x+1)(x-1)=【学习目标】1.会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。

2、通过小组合作交流，展示质疑，经历探索平方差公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律。

3、激情参与，全力以赴，体验合作学的快乐。

【学习重点】掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。

【学习难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．2、知新：预习教材30-32页，完成下列问题：用多项式乘法计算 _______________________=_______________。

由此可得平方差公式____________________，即两个数的____与这两个数的_____的_____，等于这两个数的__________。

【课内探究】一．情景引入：王婕同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王婕就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。

售货员惊讶地说：“你好像是个神童。

怎么算得这么快？”王婕同学说：“过奖了，我利用了数学上刚学的一个公式。

”你知道王婕同学用的是一个什么样的公式吗？她是怎样计算出来的？二、探索新知环节1：观察在预习中计算的结果：（1）（x+y）(x-y)= (2) (m+n)(m-n)=(3) (x+1)(x-1)=以上等式的左边和右边，有什么规律吗？左边：右边：观察后猜想：（a+b）(a-b)=用语言叙述平方差公式：环节2：自主探究平方差公式的几何意义：做一做：在一块边长为a厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？还能通过剪纸拼图的方法来计算出这个图形的面积吗？”思考：平方差公式有何结构特征？环节3：学以致用1.判断下列各式能否运用平方差公式进行计算，如果能，指出其中相当于公式中a和b的部分：（1）（2m+n）(2m-n) (2) (3a-2b)(3a+2b) (3) (-x+y)(-x-y)总结平方差公式的结构特点：平方差要判断，分清a、b 是关键，相同的项是。

初中一年级数学公式总结（一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。

如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。

于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。

这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

这个公式就是平方差公式。

（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。

2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。

上面两个公式叫完全平方公式。

（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。

③有一项是这两个数的积的两倍。

（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。

这里只要将多项式看成一个整体就可以了。

（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。

（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。