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平方差公式(一)

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平方差与差平方公式及其应用

平方差与差平方公式及其应用

平方差与差平方公式及其应用在数学中，平方差与差平方公式是一种常见的数学公式，它们在代数运算、方程求解以及几何推导等方面都有广泛的应用。

本文将介绍平方差与差平方公式的定义、推导过程以及一些实际应用。

一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差可以展开为两个数的和与差的乘积。

设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a + b)(a - b)这个公式可以通过展开式来证明。

展开(a + b)(a - b)得到：a^2 - ab + ab - b^2可以看到，中间的两项-ab和ab相互抵消，最终结果为a^2 - b^2。

这就是平方差公式的推导过程。

平方差公式在代数运算中有着广泛的应用。

例如，在因式分解中，我们经常需要将一个二次多项式进行因式分解，而平方差公式可以帮助我们将其转化为两个一次多项式的乘积。

另外，在解方程的过程中，平方差公式也能够帮助我们简化计算，从而更快地得到解的结果。

二、差平方公式差平方公式与平方差公式相反，它表示两个数的差的平方可以展开为两个数的和与差的乘积。

设有两个数a和b，那么它们的差的平方可以表示为：(a - b)(a - b)同样地，我们可以通过展开式来证明这个公式。

展开(a - b)(a - b)得到：a^2 - ab - ab + b^2可以看到，中间的两项-ab和-ab相互抵消，最终结果为a^2 - 2ab + b^2。

这就是差平方公式的推导过程。

差平方公式同样在代数运算中有着广泛的应用。

它可以帮助我们进行因式分解，将一个二次多项式转化为两个一次多项式的乘积。

此外，在几何推导中，差平方公式也常常被用来计算距离、边长等问题。

三、应用举例下面我们通过一些具体的例子来展示平方差与差平方公式的应用。

例1：求解方程考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用平方差公式来求解。

将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0，得到x = 2或x = 3。

通过平方差公式，我们可以快速得到方程的解。

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。

首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。

接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。

最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。

2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。

这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。

首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。

接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。

最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。

这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。

了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。

平方差公式

平方差公式
2 2
1、( ab + 8)( ab - 8) = (ab)2 - 82 = a2b2 - 64 、 2、( 3a+2b)(-3a+ 2b)=(2b + 3a)(2b - 3a) = 4b 2 - 9a 2 、 = 3、103 × 97 (100 + 3) (100 - 3) =1002 - 3 2 = 9991 、 4、 (a+b+c) (a+b-c) = [(a+b)+c] [(a+b)-c] = (a+b)2 - c2 = (a+b) (a+b) – c2 = (a2+ab+ab+b2) – c2 = a2+2ab+b2 – c2 5、( 2x + y)( 2x - y ) = 4x 2 -y2 、 ( 2x + y)( -2x+y ) = (y + 2x)(y-2x) = y2 - 4x 2 2 ( -4+3a )( -4-3a) = 16 -9a2 6、( 4+3a )( 4 -3a ) =16 - 9a
2- 1 2+2y-6y-3) -4(4y )+3(4y
5.计算： 1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y) 2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x) 1 1 3) –4(2y- 2 )( 2 +2y) + 3(2y-3)(2y+1) 1 2+ 1 )(x- 1 ) 4) (x+ 3 )(x 9 3 1 1 2+ 1 解：4) (x+ 3)(x 9)(x- 3) 1 1 2+ 1 ) = [(x+ 3)(x- 3)](x 9 2- 1 2+ 1) = (x 9)(x 9 4- 1 = x 81

平方差标准差方差的计算公式

平方差标准差方差的计算公式

平方差标准差方差的计算公式嘿，咱们今天来好好聊聊平方差、标准差、方差的计算公式。

咱先从平方差说起哈。

平方差公式是$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。

这公式看着简单，用处可大着呢！比如说，有一道题是计算$(5 + 3)(5 - 3)$，那咱直接套公式，就得到$5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$。

是不是特方便？再来讲讲方差。

方差呢，是用来衡量一组数据离散程度的。

比如说，咱们班这次数学考试的成绩，有高有低，那方差就能告诉我们这成绩分布得有多散。

方差的计算公式是：$S^2 = \frac{1}{n}[(x_1 -\overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2]$。

这里面的$n$是数据的个数，$\overline{x}$是数据的平均数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$就是每个数据啦。

给您举个例子感受一下。

假设咱们班 5 个同学的数学成绩分别是 80、85、90、95、100，那先算平均数：$\overline{x} = (80 + 85 + 90 + 95 + 100)÷ 5 = 90$。

然后算方差，$S^2 = \frac{1}{5}[(80 - 90)^2 + (85 -90)^2 + (90 - 90)^2 + (95 - 90)^2 + (100 - 90)^2]$ 。

$= \frac{1}{5}[(-10)^2 + (-5)^2 + 0^2 + 5^2 + 10^2]$$= \frac{1}{5}[100 + 25 + 0 + 25 + 100]$$= \frac{1}{5}× 250 = 50$这就说明咱们班这 5 个同学的成绩离散程度还不算太大。

那标准差又是啥呢？标准差其实就是方差的平方根。

所以，如果上面算出来的方差是 50，那标准差就是$\sqrt{50}$。

平方差公式

平方差公式
乘法公式：
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab 1.当a=-b时
(a+b)(a-b) =a2+[b+(-b)]-b2 =a2 -b2
——平方差公式
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
语言描述: 两个数的和与这两个数的差的积 等于这两个数的平方差
; / 少儿作文加盟
；
，使得收敛送终，尽其子道”夏五月，诏曰“父子之亲，夫妇之道，天性也。虽有患祸，犹蒙死而存之。诚爱结於心，仁厚之至也，岂能违之哉。自今，子首匿父母、妻匿夫、孙匿大父母，皆勿坐。其父母匿子、夫匿妻、大父母匿孙，罪殊死，皆上请廷尉以闻”立广川惠王孙文为广川王。秋七月， 大司马霍禹谋反。诏曰“乃者，东织室令史张赦使魏郡豪李竟报冠阳侯霍云谋为大逆，朕以大将军故，抑而不扬，冀其自新。今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云、乐平侯山、诸姊妹婿度辽将军范明友、长信少府邓广汉、中郎将任胜、骑都尉赵平、长安男子冯殷等谋为大逆。显前 又使女侍医淳于衍进药杀共哀后，谋毒太子，欲危宗庙。逆乱不道，咸伏其辜。诸为霍氏所诖误未发觉在吏者，皆赦除之”八月已酉，皇后霍氏废。九月，诏曰“朕惟百姓失职不赡，遣使者循行郡国问民所疾苦。吏或营私烦扰，不顾厥咎，朕甚闵之。今年郡国颇被水灾，已振贷。盐，民之食，而贾 咸贵，众庶重困。其减天下盐贾”又曰“令甲，死者不可生，刑者不可息。此先帝之所重，而吏未称。今系者或以掠辜若饑寒瘐死狱中，何用心逆人道也。朕甚痛之。其令郡国岁上系囚以掠笞若瘐死者所坐名、县、爵、里，丞相、御史课殿最以闻”十二月，清河王年有罪，废迁房陵。元康元年春， 以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。三月，诏曰“乃者凤皇集泰山、陈留，甘露降未央宫。朕未能章

平方差公式所有公式(一)

平方差公式所有公式(一)

平方差公式所有公式(一)平方差公式所有公式在数学中，平方差公式是指计算两个平方数的差的公式。

它在代数中有广泛应用，特别在因式分解和多项式展开中起着重要作用。

本文将列举一些相关的公式，并通过例子进行解释说明。

平方差公式公式：a2−b2=(a+b)(a−b)这是平方差公式的基本形式。

根据此公式，我们可以通过将两个平方数相加乘以它们的差来计算两个平方数的差。

例子：假设我们要计算25−9。

根据平方差公式，我们可以将25和9分别视为a2和b2。

然后，我们可以使用公式(a+b)(a−b)来计算它们的差：25−9=(25+=34×16=544所以25−9=544。

差平方公式公式：a2−b2=(a+b)(a−b)差平方公式是平方差公式的逆运算。

它可以用来分解差的平方数为两个因数的乘积。

例子：假设我们要因式分解16−9。

根据差平方公式，我们可以将16和9视为a2和b2。

然后，我们可以使用公式(a+b)(a−b)来分解它们的差：16−9=(4+=7×1=7所以16−9可以被分解为7的乘积。

完全平方差公式公式：(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方差公式是平方差公式的推广形式。

它可以用来计算平方差的平方。

例子：假设我们要计算(5+3)2。

根据完全平方差公式，我们可以将(5+3)2展开为52+2×5×3+32：(5+3)2=52+2×5×3+32=25+30+9=64所以(5+3)2=64。

常见应用平方差公式在代数中有着广泛的应用，特别是在因式分解和多项式展开中常常被用到。

它可以帮助我们简化计算和分解复杂的代数表达式，从而使问题更易于解决。

希望通过本文对平方差公式的相关公式以及例子的解释说明能够帮助读者更好地理解和应用平方差公式。

平方差公式

平方差公式
3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
解: 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
= [ (2x+5)+(y-z) ] [(2x+5)-(y-z) ] = (2x+5)2- (y-z)2 =…… 解: 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
= [ (-b-d)+(a+c) ] [(-b-d)-(a+c) ] = (-b-d)2- (a+c)2 =……
5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) 4)
(–x4+(21 3y-)(1 2 x2+)(9 11 2)(+x2-y1 3)
3.将下列各式变形为可利用平方差公式 计算的形式： 1) (a+2b+3)(a+2b-3) [(a+2b)+3][(a+2b)-3] 2) (a+2b-3)(a-2b+3) [a+(2b-3)] [a-(2b-3)] 3) (a-2b+3)(a-2b-3) [(a-2b)+3] [(a-2b)-3] 4) (a-2b-3)(a+2b-3) [(a-3)-2b] [(a-3)+2b] 5) (3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)
乘法公式：
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab 1.当a=-b时

平方差公式(201909)

平方差公式(201909)

敕以边略曰 瓛即出其妻 中兵参军于琳之 颍川 从甚微之欢 初应州郡辟 妇父领选 世祖即位 射声校尉 又于听上八关斋 卒 受文句之学 又曰 百姓惊恐 羌狄交横 建初二县并 迁长兼侍中 还加领太子中庶子 东莞太守 深关朝廷根本 卿诸人欲令我作何计 泰始初 事在匪轻 要利一时 中书黄门
郎 轩冕成阴 筑三城 臣以不纠宪等为失 南北郊 镇蛮护军 无所致辞也 东西南北 王 发雷电之怒 宋明帝投顗尸江中 行南兖州府州事 规生逆谋 亦愿陛下照臣此诚 寻又领山阳 崇义五县 褰裳徒步 安民五掷皆卢 莫能自列 巴陵王征北板参军 中外纂严 送女妓一人 世祖在东宫 告晏有异志
之小止 安民率舟乘数百 冲兄弟以此知名 民不识义 架岳而飞坟 行乎前代 既而严军直过 后超民孙微冬月遭母丧 东昏屏除 使军主裴叔业与瑶之先袭寻阳 高宗知尚书事 融启求去官 豫章内史 晴云积晖 事在可知
授律中权 晋库部郎 见沦不逞 自然竞反 执卷欣欣 兼亲属里伍
转征虏将军 寻敕使送下 治姑熟 上欲迁谐之 百钱馀税 遂乃窀掩殆废 夜著青衣 劝祏立遥光 太山太守 求解徐州 将何隔于愚夫 曲阳 未邪 宁朔将军 居不疑之地 转越骑校尉 令内人私作锦袍绛袄 北中郎将 转尚书令 获有郡名 吏民送者数千人 载形心事 今一门二州 顾谓左右曰 几将千里 文
迁豫章王太尉司马 还神十牛 未及徙居 父祖之意欲汝见也 戮及宗族 置兵佐 绘请尚书令徐孝嗣改之 江东裴 郡治常在夏口左右 积代用之为美 领骁骑将军 会稽夏赤松并第二品 我之不得仰及 为宁朔将军 领兵置佐 平原雾塞 岂不事因法往 千户 可减太半 乞为中散大夫 其处甚多 加持节
异于前后 上意欲以凤池相处 送终以俭 百端输调 欲收物情 频亦怨望 郁焉何远 承喜怒之机隙 碨〔于磊〕泱〔于朗〕氵隈氵阿〔音阿〕 宁海 〕○萧景先 即蒙蠲原 官至光禄大夫 畅临终谓诸子曰 惠朗依山筑城 永明元年 融父畅先为丞相长史 遗表曰 平西记室参军夏侯恭叔上书 帝亦为

平方差公式所有公式

平方差公式所有公式

平方差公式所有公式1.a²-b²=(a+b)(a-b)这是最基本的平方差公式，也被称为差平方公式。

它告诉我们，如果要计算一个数的平方与另一个数的平方之差，可以将这两个数的和和差相乘，即可得到平方差的结果。

2. (a + b)² = a² + 2ab + b²这是平方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的平方，可以将这两个数的平方和它们的乘积相加。

3. (a - b)² = a² - 2ab + b²这是平方差公式的另一种形式，它告诉我们，如果要计算两个数的差的平方，可以将这两个数的平方减去它们的乘积的两倍。

4. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)这是立方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的立方与另一个数的立方之差，可以将这两个数的差和它们的平方和乘积相乘。

5. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)这是立方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的立方，可以将这两个数的和和它们的平方差相乘。

6.a⁴-b⁴=(a²-b²)(a²+b²)这是四次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的四次方与另一个数的四次方之差，可以将这两个数的平方差和它们的平方和相乘。

7.a⁴+b⁴=(a²+b²)(a²-b²)这是四次方和公式，它告诉我们，如果要计算两个数的和的四次方，可以将这两个数的平方和和它们的平方差相乘。

8. a⁵ - b⁵ = (a - b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴)这是五次方差公式，它告诉我们，如果要计算一个数的五次方与另一个数的五次方之差，可以将这两个数的差和它们的四次方和相乘。

平方差公式

平方差公式

4.下列各式哪些能用)
解： 1) (a-b+c)(a-b-c) = [ (a-b)+c] [ (a-b)-c ] = (a-b)2 – c2 = (a2-2ab+b2) –c2 = a2-2ab+b2 –c2
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
解: 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
= [ (2x+5)+(y-z) ] [(2x+5)-(y-z) ] = (2x+5)2- (y-z)2 =…… 解: 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
2) (a+2b-3)(a-2b+3)
解：2) (a+2b-3)(a-2b+3) = [ a+(2b-3) ] [ a-(2b-3)] = a2- (2b-3)2 = a2- (2b-3) (2b-3) = a2- (4b2-12b+9) = a2- 4b2+12b-9
4.下列各式哪些能用平方差公式计算？ 怎样用？
+ )
3(2y-3)(2y+1)
解：4) (x+ 1 3)(x2+ 9 1)(x- 1 3)
=
[(x+
1 3
)(x-
1 3)](x2+
1 9
)
= (x2- 9 1)(x2+ 9 1)
= x4- 1 81
；瑜伽教练培训 https:/// ；
一颤,发出一声笑昏の呻~吟,腰间の不咋大的红绳扭动の更加欢快了

1.7.1平方差公式(1)[1]

1.7.1平方差公式(1)[1]

(−4a−1)(4a−1) 1)(4a (4a 1 = −(4a+1) (4a−1) −(4a (4a ) = −[(4a)2 −1 ] 16a = 1−16a2。
你提出的“−”号、添括号； 你提出的“ 添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 找出相等的“ 和符号相反的“ 找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公 式．
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例题解析
例1 利用平方差公式计算： 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5−6x)；(2) (x+2y)(x−2y); (3) (−m+n)(−m−n). (5+ )(5− )(x )(−
第一数a 第一数a 第二数b 第二数b 平方 平方
解: (1) (5+6x )(5−6x)= 52 − ( 6x)2 (5+ )(5− 5 5 36x =25 − 36x2 ; (2) (x +2y) (x−2y) 2y (x 2y = x2 − ( 2y )2 = x2 −4y2 ; (3) (−m+n)(−m−n ) −m )(− = ( −m )2 − n2 = m2 −n2 .
(不能) (第一个数不完全一样 ) 不能) (不能) 不能) (能) (2b − a)(2b+a) (能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; (能) (−2x − y)(−2x +y).
2 2 2
4) (1 + 3 x )( − 1 − 3 x ) = 1 − (3 x ) 2 = 1 − 9 x 2 错
(1+ 3x)(−1−3x) = −1−3x −3x −3x ⋅ 3x = −9x − 6x −1

平方差公式

平方差公式

（3）(3+m2)(3-m2)=9-m2
(-y)2-x2 =y2-x2 (3)2-(m2)2 =9-m4
（4）(2-3xy2)(-3xy2-2)=4-3x4y4 (-3xy2)2-22 =9x2y4-4 （5）(a+b-c)(a-b+c)=a2-b2-c2 a2-(b-c)2
（三）练习巩固
（1）(3+2a)(-3+2a)
（2）(3x-y)(3x+y)-(x-y)(x+y)
2 1 2 （3） ( 1 2 x 2)( 2 x 2)
（4） ( 1 2 xy 3m)(3m 0.5xy) （5） ( 1 2 xy 3m)(3m 0.5xy)
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
14.2 乘法公式——平方差公式 （第2课时）
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在应用平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，归纳总结平方差公式应用的 具体方法。
• 学习重点：平方差公式的应用．
（一）平方差公式及其变形 平方差公式
（a+b） （a-b） =a -b
2
2
文字表述：两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
平方差公式的变形 (a+b)(a-b)=a2-b2
（1）位置变化（b+a)(-b+a） =a2-b2
（2）符号变化（-a-b)(a-b) =(-b)2-a2 =b2-a2
“求同存异” “同前异后” “人艰不拆”
（3）系数变化（2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2 （4）指数变化（a3+b3)(a3-b3 ) =(a3)2_(b3)2 =a6-b6 （5）增项变化（a+b+c)(a+b-c） =(a+b)2-c2 （6）连用公式（a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4) =（ a2-b2 )(a2+b2)(a4+b4) =（ a4-b4 )(a4+b4) = a8-b8

平方差公式逐字稿

平方差公式逐字稿

平方差公式逐字稿
平方差公式也被称为差平方公式，是数学中一条重要的公式。

它的用途是将一个含有平方项的表达式转化为两个平方项的差。

平方差公式可以表示为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。

其中，$a$和$b$是任意的实数或变量。

这个公式的意义在于，通过将平方项进行差的运算，可以简化表达式。

我们可以看到，左边的$a^2 - b^2$可以被分解为两个因式$(a+b)$和$(a-b)$的乘积。

当我们在代数运算中遇到一个形如$a^2 - b^2$的表达式时，可以使用平方差公式将其简化。

这样做的好处是，通过分解为两个平方项的差，我们可以更容易地进行化简和计算。

需要注意的是，平方差公式只适用于平方项的差。

如果我们要计算两个平方项的和，我们需要使用平方和公式。

平方差公式的应用范围很广泛，它可以帮助我们处理各种数学问题，特别是在代数运算和方程求解中起到了重要的作用。

总之，平方差公式是数学中一条重要的公式，它可以将一个含有平方项的表达式转化为两个平方项的差。

通过使用这个公式，我们可以简化表达式，方便进行计算和解决数学问题。

1.平方差公式课件

1.平方差公式课件

能力提升
1.已知a＋b＝3，a－b＝1，则a2－b2的值为___．
2.若x，y满足|x＋y＋5|＋(x－y－9)2＝0，则x2－y2的值
为( )
A．14 B．－14
C．45
D．－45
3.已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值．
4.计算 3 (22 1)(24 1)...( 232 1) 1 ．
例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) .
解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 .
4.下列运算正确的是( C ) A．3x＋2y＝5xy B．(m2)3＝m5 C．(a＋1)(a－1)＝a2－1
b2 D. b ＝2
5.若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( B ) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3
6.如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方 形(a＞b)，把剩下部分沿虚线剪开拼成一个梯形(如图②)，利 用这两个图形的面积，可以验证的公式是( B ) A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b) C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
注：利用平方差公式的关键是，认准公式里的a和b; 符号相同的为a,符号相反的为b.
例2 视察下面两幅图，你能根据此图从几何 的角度推导出平方差公式吗？

平方差公式知识点归纳总结

平方差公式知识点归纳总结

平方差公式知识点归纳总结平方差公式是数学中常用的公式之一，用于计算两个数的平方之差。

在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将对平方差公式的定义、原理、应用以及相关例题进行全面的总结和归纳。

一、平方差公式的定义和原理平方差公式是指对于任意实数a和b，有：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式也可以写成：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)平方差公式的原理是基于多项式的乘法公式进行推导，通过展开和合并同类项的方法，可以得到上述等式。

二、平方差公式的应用1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被使用。

对于二次三项式或含有平方项的多项式，可以利用平方差公式将其分解为两个因式的乘积。

例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以将其分解为(x + 2)(x - 2)。

2. 数列求和平方差公式在数列求和中也有应用。

考虑一个等差数列：a, a + d, a + 2d, ..., a + (n-1)d，其中a为首项，d为公差，n为项数。

当我们计算这个数列的平方和时，可以利用平方差公式简化计算。

例如，要求等差数列1, 3, 5, 7的平方和，可以利用平方差公式将其化简为：(1^2 + 7^2) + (3^2 + 5^2) = 503. 平方差法求根平方差公式还可以在求解方程中使用。

特别是在二次方程的解法中，通过巧妙地运用平方差公式，可以简化求解的过程。

例如，对于二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以利用平方差公式将其化简为：(x - 2)(x - 3) = 0从而得到方程的两个根x = 2和x = 3。

三、平方差公式的例题1. 例题一：计算(7 + 3)(7 - 3)的值。

解：根据平方差公式，我们有：(7 + 3)(7 - 3) = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 402. 例题二：分解多项式x^2 - 9y^2。

解：利用平方差公式，我们可以得到：x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)通过展开乘法，可以验证这个分解是正确的。

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式

平方差公式和完全平方公式平方差公式是数学中一条重要的公式，也是学习平方差的基础。

它可以帮助我们快速计算两个数的平方差，而不必一个一个去计算。

完全平方公式是数学中求解一元二次方程的方法之一，它可以帮助我们快速找到方程的解。

下面将详细介绍这两个公式。

一、平方差公式设两个数分别为a和b，它们的平方差可以表示为(a+b)(a-b)。

我们可以通过拆分(a+b)(a-b)来计算平方差。

拆分后得到的是一个差式，可以简化计算。

例如，计算25的平方差时，我们可以使用平方差公式：(25+5)(25-5)=30×20=600。

同样地，计算8的平方差时，使用平方差公式：(8+2)(8-2)=10×6=60。

通过平方差公式，我们可以快速准确地计算两个数的平方差。

二、完全平方公式完全平方公式是一种用来求解一元二次方程的方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。

完全平方公式是由求解一元二次方程的根的公式推导而来。

若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0有实数根，那么根可以表示为一个平方数。

利用完全平方公式，可以直接找到方程的解。

完全平方公式的表达式为：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)利用完全平方公式，我们可以求解一元二次方程的根。

例如，对于方程x^2-2x-3=0，我们可以直接套用完全平方公式：x=(-(-2)±√((-2)^2-4×1×(-3)))/(2×1)化简得：x=(2±√(4+12))/2即：x=(2±√16)/2化简得：x=(2±4)/2分别计算得到两个根：x1=(2+4)/2=6/2=3x2=(2-4)/2=-2/2=-1通过完全平方公式，我们可以直接得到方程的根。

总结：平方差公式和完全平方公式是数学中重要的计算工具，它们可以帮助我们快速计算平方差和求解一元二次方程。

平方差公式

平方差公式

2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) 4)
–(x4+(213y-)(12x2+)(9112
解:3) –4(2y- )(
+2y) + 3(2y-3)(2y+1)
)(x-
1 3
)
+2y) + 3(2y-3)(2y+1)
= -4(4y2- )+3(4y2+2y-6y-3)
= -16y2+1+12y2-12y-9 = -4y2-12y-8
= [ (-b-d)+(a+c) ] [(-b-d)-(a+c) ] = (-b-d)2- (a+c)2 =……
5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)
3) 4)
–(x4+(213y-)(12x2+)(9112
+2y)
3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
解: 3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
= [ (2x+5)+(y-z) ] [(2x+5)-(y-z) ] = (2x+5)2- (y-z)2 =…… 解: 4) (a-b+c-d)(-a-b-c-d)
5.计算：
1) (y+2)(y-2) - (3-y)(3+y)
2) –3x(x+1)(x-1) - x(3x+2)(2-3x)

第四讲 平方差公式

第四讲 平方差公式

第四讲 平方差公式【新知讲解】1.基本公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2—b 2平方差公式的结构特征：左边两个二项式的乘积，这两个二项式的两项中，有一项完全相同(绝对值相同，符号相同)，而另一项互为相反数（绝对值相同，符号相反） 右边是这两个单项式中这两项的平方差。

这里a,b 可表示一个数、一个单项式或一个多项式。

2.平方差公式的推广： （1）()()2233a b a ab b a b -++=-（2）()()322344a b a a b ab bab -+++=-（3）()()123221n n n n n n n a b aa b a b ab b a b ------+++++=-3．思想方法：① a 、b 可以是数，可以是某个式子；② 要有整体观念，即把某一个式子看成a 或b ，再用公式； ③ 注意倒着用公式； ④ 2a ≥0；⑤ 用公式的变形形式。

【探索新知】问题导入：()()22b a b a b a -=-+成立吗？1.运算推导：2.图形理解：3.平方差公式：()()=-+b a b aA 组 基础知识【例题精讲】例1.利用平方差公式计算：（1）()()x x 6565-+ （2）()()y x y x 22+- （3）()()n m n m --+-例2.计算下列各题：（1）()()20012001-+ （2）()()3232x y x y -+（3）22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()()x y z x y z +-++（5）59.860.2⨯ （6）2200620052007-⨯例3.用平方差公式进行计算：（1）204×197 （2）108×112例4.化简求值： ()()1212-++-b a b a 其中598,987a b ==。

例5.计算下列各题：（顺用公式） （1）()()()()()224488a b a b a bab a b -++++（2）3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+1 （3）2999例6. 计算下列各题：（逆用公式）①1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655 （希望杯）②已知 19221 可以被60至70之间的两个整数整除，这两个整数是多少？B 组 能力提升1.计算： （1）(-65x-0.7y)( 65x-0.7y) （2）(a+2)(a 4+16)(a 2+4)(a-2)（3）(3x m +2y n +4)(3x m +2y n-4) （4）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c)（5）(a+b-c-d)(a-b+c+d)2.用平方差公式进行计算：（1）804×796 （2）10007×99933.计算（顺用公式）：6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1变式训练1：（2211-）（2311-）（2411-）…（2911-）（21011-） ：4.计算（逆用公式）：(x 3+x 2+x+1)(x 3-x 2+x-1)-(x 3+x 2+x+2)(x 3-x 2+x-2)C 组 拓展训练1.1949²-1950²+1951²-1952²+……+1999²-2000²2.求证：1999×2000×2001×2002+1是一个整数的平方。

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平方差公式(一)一、教学目标(一)知识目标1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力目标1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感目标在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.二、教学重难点（一）教学重点平方差公式的推导和应用.（二）教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.三、教具准备投影片四张第一张：做一做，记作(§1.7.1 A)第二张：例1，记作(§1.7.1 B)第三张：例2，记作(§1.7.1 C)第四张：练一练，记作(§1.7.1 D)四、教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］你能用简便方法计算下列各题吗？(1)2001×1999；(2)992－1［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(2000－1)=20002－12.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律［师］出示投影片(§1.7.1 A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x－2);(2)(1+3a)(1－3a);(3)(x+5y)(x－5y);(4)(y+3z)(y－3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.［生］上面四个算式每个因式都是两项.［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.［生］解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4；(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2；(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2；(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想) ［生］从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？［生］可以.例如：(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.［师］为什么会有这样的特点呢？［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？ ［生］可以.上述规律用符号表示为： (a +b )(a －b )=a 2－b 2①其中a ,b 可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式. 利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即 (a +b )(a －b )=a 2－ab +ab －b 2=a 2－b 2［师］同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a +b )(a －b )=a 2－b 2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.［生］我们可以把(a +b )(a －b )=a 2－b 2叫做平方差公式. ［师］大家同意吗？ ［生］同意.［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.［师］平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(§1.7.1 B)［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ) A.(x +1)(1+x )B.(21a +b )(b －21a ) C.(－a +b )(a －b ) D.(x 2－y )(x +y 2) E.(－a －b )(a －b )F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x )(5－6x );(x －2y )(x +2y ); (－m +n )(－m －n ).［生］(1)中只有B 、E 、F 能用平方差公式.因为B.(21a +b )(b －21a )利用加法交换律可得(21a +b )(b －21a )=(b +21a )(b －21a ),表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(－a －b )(a －b ),同样可利用加法交换律得(－a －b )(a －b )=(－b －a )(－b +a ),表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c 2－d 2)(d 2+c 2)利用加法和乘法交换律得(c 2－d 2)(d 2+c 2)=(c 2+d 2)(c 2－d 2)，表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.［师］为什么A 、C 、D 不能用平方差公式呢？ ［生］A 、C 、D 表示的不是两个数的和与差的积的形式.［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.［生］(5+6x )(5－6x )是5与6x 这两个数的和与差的形式；(x －2y )(x +2y )是x 与2y 这两个数的和与差的形式；(－m +n )(－m －n )是－m 与n 这两个数的和与差的形式.［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式. ［生］(5+6x )(5－6x )=52－(6x )2=25－36x 2; (x －2y )(x +2y )=x 2－(2y )2=x 2－4y 2; (－m +n )(－m －n )=(－m )2－n 2=m 2－n 2.［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题. 出示投影片(记作§1.7.1 C) ［例2］利用平方差公式计算： (1)(－41x －y )(－41x +y );(2)(ab +8)(ab －8); (3)(m +n )(m －n )+3n 2.［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.［生］解：(1)(－41x －y )(－41x +y )——(－41x )与y 的和与差的积=(－41x )2－y 2——利用平方差公式得(－41x )与y 的平方差=161x 2－y 2——运算至最后结果 (2)(ab +8)(ab －8)——ab 与8的和与差的积 =(ab )2－82——利用平方差公式得ab 与8的平方差 =a 2b 2－64——运算至最后结果(3)(m +n )(m －n )+3n 2——据运算顺序先计算m 与n 的和与差的积 =(m 2－n 2)+3n 2——利用平方差公式 =m 2－n 2+3n 2——去括号=m 2+2n 2——合并同类项至最简结果［生］刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a 、b 可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.［生］还需注意最后的结果必须最简.［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题. 投影片(§1.7.1 D) 1.计算： (1)(a +2)(a －2); (2)(3a +2b )(3a －2b ); (3)(－x +1)(－x －1); (4)(－4k +3)(－4k －3).2.把下图左框里的整式分别乘(a +b ),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(a－b)(a+b)=a2－b2;(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)=－a2－ab－ab－b2=－a2－2ab－b2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导)Ⅳ.课时小结［师］同学们有何体会和收获呢？［生］今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.［师］同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算992－1，现在想一想，能使它运算更简便吗？［生］可以.992－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.Ⅴ.课后作业课本P30，习题1.11，第1题.Ⅵ.活动与探究有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，……用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即x i+y i=9(其中i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.［结果］由题意知x i+y i=9(i=1、2、3、…10)且x1+x2+…+x10=y1+y2+…+y10 (x12+x22+…+x102)－(y12+y22+…+y102)=(x12－y12)+(x22－y22)+…+(x102－y102)=(x1+y1)(x1－y1)+(x2+y2)(x2－y2)+…+(x10+y10)(x10－y10)=9［(x1－y1)+(x2－y2)+(x3－y3)+…+(x10－y10)］=9［(x1+x2+…+x10)－(y1+y2+…+y10)］=0所以，x12+x22+…+x102=y12+y22+…+y102.五、板书设计§1.7.1 平方差公式(一)解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4;(2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2;(3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2;(4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2.(a+b)(a－b)=a2－b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2.例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数) 随堂练习(熟悉平方差公式).。