第三讲 简高次方程的解法

高次方程及解法 江苏省通州高级中学 徐嘉伟 一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。

一、±1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。

求出方程的±1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（x-1）或者（x+1）,降低方程次数后依次求根。

“±1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。

例1解方程x4+2x3-9x2-2x+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(x-1),(x4+2x3-9x2-2x+8)÷(x-1)= x3+3x2-6x-8观察方程x3+3x2-6x-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（x+1），∴（x3+3x2-6x-8）÷(x+1)=x2+2x-8，对一元二次方程x2+2x-8=0有（x+4）（x-2）=0, ∴原高次方程x4+2x3-9x2-2x+8=0可分解因式为：(x-1) (x+1)(x-2)(x+4)=0,即:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2= -1;当(x-2) =0时，有x3=2; 当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

高次方程及其解法求解程序编辑高次方程的根的求解，可以利用bairstow法，通过简单的matlab程序，求得方程的所有复根（实根和虚根）2定义编辑整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

3一般形式编辑高次方程的一般形式为anx^n+an-1x^n-1+-------+a1x+a0=高次方程等式两边同时除以最高项系数，得：anx^n/an+an-1x^n-1/an+--------+a1x/an+a0/an=0所以高次方程一般形式又可写为x^n+bnx^n-1+-------b1x+b0=04其它相关编辑解法思想通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．根与系数按这个高次方程的形式x^n+bn-1x^n-1+-------b1x+b0=0，那么有所有根相加等于系数bn-1的相反数所有根两两相乘再相加等于系数bn-2所有根三三相乘再相加等于系数bn-3的相反数依次类推，直到所有根相乘，等于（-1）^nb0成果伽罗华（Galois，1811——1832），法国数学家。

伽罗华15岁进入巴黎有名公立中学学习，偏爱数学。

后来想进工科大学，两次落榜只进一所代等的预备学校，此时，他专攻五次方程代数解法。

第一年写了四篇文章，1828年，17岁的伽罗华写了《关于五次方程的代数解法问题》等两篇论文送交法国科学院，但被柯西（Cauchy,1789——1875）遗失，后来，他又把一篇文章送给傅利（Fourier，1768——1830）。

不久，傅利就去世了，也就不了了之。

1831年，伽罗华完成了《关于用根式解方程的可解性条件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的审查意见却是“完全不能理解”，予以退回。

伽罗华不幸因决斗受重伤于1832年5月31日离世，时年不满21岁，在决斗前夜，他深知为女友决斗而死毫无意义，但又不甘示弱，当晚他精神高度紧张和极度不安，连呼“我没有时间了！”匆忙之中，把他关于方程论的发现草草写成几页说明寄给他的朋友，并附有如下一段话：“你可以公开地请求雅可比（Jacobi）或高斯，不是对于这些定理的真实性而是对于其重要性表示意见，将来我希望有人会发现这堆东西注释出来对于他们是有益的。

高次方程的解法与应用知识点总结高次方程，也称多项式方程，是一种含有高次幂的方程。

解决高次方程是数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用背景。

本文将对高次方程的解法和应用知识点进行总结。

一、高次方程的解法1. 因式分解法高次方程的因式分解法是根据高次方程的特殊形式来求解的。

如果方程能够分解成两个或多个较低次数的因式相乘的形式，就可以借助因式分解的方法求解。

例如：x^2 - 4 = 0，可以通过因式分解(x + 2)(x - 2) = 0求得解x =2和x = -2。

2. 配方法配方法是解决一些二次方程的常用方法，通过选择适当的变量替换和配方，将高次方程转化为较低次数的方程来求解。

例如：x^2 + 6x + 9 = 0，可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，从而解得x = -3。

3. 求根公式求根公式是解决二次、三次、四次方程的常用方法，它将高次方程的解与方程的系数之间建立了一种关系，通过求解这些关系式可以得到高次方程的解。

例如：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根的求解公式为x= (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

4. 奇偶对称性对于某些高次方程，可以利用奇偶对称性来简化解法。

通过观察方程中各项的奇偶性，可以减少计算量，并找到方程的一些特殊解。

例如：x^5 - x^3 + x = 0，通过观察可以发现x = 0是方程的解，这是因为x^5和x都是奇次幂，而-x^3是偶次幂。

5. 数值逼近法对于一些无法用以上方法求解的高次方程，可以借助数值逼近法求解。

数值逼近法是通过不断逼近方程解的数值来求解方程的近似解。

例如：牛顿迭代法、二分法等。

二、高次方程的应用知识点1. 几何应用高次方程在几何学中有着广泛的应用。

例如，二次方程可以用来描述抛物线的形状和轨迹；三次方程可以用来描述三维空间中的曲线；四次方程可以用来描述圆锥曲线等。

2. 物理应用高次方程在物理学中也有着重要的应用。

高次方程的解法高次方程是指次数大于等于2的方程，例如二次方程、三次方程、四次方程等。

解高次方程是数学中的基本技能之一，能够帮助我们研究各种实际问题。

本文将介绍几种解高次方程的方法，包括因式分解、配方法、提取公因式和根的公式等。

一、因式分解法当高次方程可因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程。

举个例子，考虑解二次方程x^2 - 5x + 6 = 0。

首先，我们观察方程中的常数项6，寻找其因数。

可以得知6的因数有1、2、3和6。

然后我们将这些因数带入方程，并观察是否能够满足等式。

不难发现，当将2和3带入方程时，等式成立。

因此，我们可以得出以下因式分解形式：(x - 2)(x - 3) = 0。

由因式分解的性质可知，当一个方程的乘积等于0时，其中一个因式等于0。

因此，我们可以得到两个解：x - 2 = 0 和 x - 3 = 0。

进一步求解可得x的值，即x = 2和x = 3。

因此，原方程的解为x = 2和x = 3。

二、配方法对于一些特殊的高次方程，我们可以通过配方法来求解。

配方法适用于二次方程以及一些特殊的三次方程，例如x^2 + bx + c = 0。

我们仍以二次方程为例进行讲解。

考虑解方程x^2 - 8x + 12 = 0。

首先，我们观察方程中的系数，将常数项12分解为两个数的乘积，这里可以分解为2和6。

然后我们观察方程中的一次项系数-8，将其写成-2和-6之和。

然后将方程重新写成完全平方的形式：(x - 2)(x - 6) = 0。

继续通过因式分解的性质可以得到x的两个解：x - 2 = 0 和 x - 6 = 0。

求解可得x = 2和x = 6。

因此，原方程的解为x = 2和x = 6。

三、提取公因式法当高次方程中存在公因式时，我们可以通过提取公因式的方式简化方程，并进一步求解。

举个例子，考虑解方程x^3 - 4x^2 + 4x = 0。

首先，我们观察方程中的每一项，可以发现每一项都含有x。

高次方程是指方程中最高次数的项大于等于2的方程。

高次方程的解法较为复杂，需要运用代数的知识和数学推导方法。

本文将介绍高次方程的解法。

一般来说，高次方程的解法可以分为两种：一种是可以直接求解得到解析解的方程，另一种是无法得到解析解，只能通过数值逼近的方法求解。

对于可直接求解得到解析解的高次方程，我们可以通过一系列的代数操作将方程化简为一元二次方程、三次方程或四次方程等可以直接求根的方程。

例如，对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以使用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a来求解方程的根。

而对于三次方程和四次方程，我们可以使用卡尔达诺公式和费拉里公式来求解方程的根。

然而，对于高于四次的高次方程，我们无法直接求解得到解析解。

这是由于高于四次的高次方程在一般意义上是不可解的。

对于这种情况，我们可以通过数值逼近的方法来求解方程的近似解。

常用的方法有二分法、牛顿迭代法和割线法等。

这些方法通过不断的迭代计算，逐渐逼近方程的解，并可能得到任意精度的解。

除了上述的解法之外，高次方程还存在一些特殊的解法。

例如，对于特殊形式的高次方程，我们可以使用因式分解的方法来求解。

对于齐次方程，我们可以使用换元的方法将方程转化为更简单的形式。

对于含有参数的高次方程，我们可以通过改变参数的值来研究方程解的变化规律。

除了解析解和数值逼近的方法之外，我们还可以使用图像分析的方法来研究高次方程的解的性质。

通过绘制方程的图像，我们可以获得方程解的一些性质，例如解的个数、解的分布等。

这对于我们理解方程的解具有重要的启示作用。

综上所述，高次方程的解法包括可直接求解得到解析解的方程、通过数值逼近方法求解的方程，以及一些特殊解法和图像分析方法。

对于高次方程的解法，我们需要灵活运用代数的知识和数学推导方法，并结合具体的问题进行分析和求解。

通过研究高次方程的解法，我们可以进一步深入理解和探索数学的奥秘。

高次方程及解法✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双1-6=-5）÷原高次方程:当(x-1)=0时,有x1=1;当(x+1)＝０时，有x2=-1;当(x-2)=0时，有x3=2;当(x+4)=0时，有x4=-4点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,Q（Ｐ、Q是互质整数），那么，即方程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根PＰ一定是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。

对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。

依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

432 62+x+1x －解：将原方程化为３（x 3-32x 2＋３x-２）＝０此时，“常数项”为-2，它的约数为±1，2±，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P Q =-32f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3X -2）。

简易高次方程的解法高次方程一直以来是数学中的难点之一，尤其是高于四次方程，没有通式可言，无法用简单的方法解决。

但是对于低于四次方程的情况，我们可以采用一些比较简单的方法来求解。

本文将介绍一些简易高次方程的解法。

一、一次方程和二次方程一次方程和二次方程是最简单的两类方程，它们的解法也是数学基础中最基础的一部分。

一次方程指的是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，需要求出未知数x的值。

解法很简单，只需要把方程移到等式左边，就得到x = -b/a。

二次方程指的是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，需要求出未知数x的值。

解法包括两种：一种是使用求根公式，即x = (-b ± √(b²-4ac))/2a；另一种是配方法，即通过求出b²-4ac的值，再用公式x=(-b±√d)/2a来求解，其中d=b²-4ac。

二、三次方程对于三次方程，通式较为复杂，因此我们需要采用别的方法来求解。

一种方法是使用维达定理，即给定一个三次多项式ax³+bx²+cx+d=0，我们可以通过令x=y-b/3a来把多项式化简为y³+py+q=0的形式，其中p=(3ac-b²)/3a²和q=(2b³-9abc+27a²d)/27a³。

然后我们可以通过求解y³+py+q=0的实根来求得三次方程的解。

另一种方法是使用卡尔达诺公式。

卡尔达诺公式是16世纪意大利学者卡尔达诺发现的，它通过三次方程的根与二次无理数的关系，构造出一个广义立方体方程，再通过这个方程来求得三次方程的根。

具体的推导过程比较复杂，这里不再展开。

三、四次方程四次方程的通式也比较复杂，但特殊情况下也有简单的解法。

例如如果四次方程的项次中只有一次和四次项，那么我们可以通过配方法来解决。

具体来说，形如ax⁴+bx+c=0的四次方程可以化为(x²+p)(x²+q)=0的形式，其中p和q是已知的一次方程，通过解决这个二次方程，我们就可以得到四次方程的解。

高次方程及解法✍✍✍✍✍✍✍✍✍江苏省通州高级中学✍徐嘉伟一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。

对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“±1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成例1-6=-52-6x-8）÷原高次方程x4时,有x1=1;当234=-4 点拨提醒：在运用“±1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。

二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0可分解出因式P x-Q,即方Q（Ｐ、Q 是互质整数），那么，Ｐ一定程a n x n＋a n-1x n-1+ +a1x+a0=0有有理数根P是首项系数a n 的约数，Q 一定是常数项 a 0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。

“常数项约数求根法”分为两种类型：第一种类型：首项系数为1。

对首项（最高次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，就是方程的根。

依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解。

例）（x+3）+x+1 －Ｑ），3为 ±1，2± ，根据“±1判根法”排除±1，这时，代人原方程验算的只能是P Q =32，或P Q = -32f (32)=3⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛3232332323223⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22278278=3⨯0=0 所以原方程中有因式（3 X -2）。

（3x 3-２x 2＋９x -6）÷(3x -2)= x 2+3解方程式x 2+3=0 x=23i ±， x 1=23i ，x 2=-23i ∴原方程的解为x 1=23i ，x 2= 23i -，x 3=32 三、倒数方程求根法1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。