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2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)

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2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.

(北师大)高中数学必修2课件：2.2.2圆的一般方程

(北师大)高中数学必修2课件：2.2.2圆的一般方程
数 学 第二章 解析几何初步
必修2
自主学习·新知 突破
合作探究·课堂 互动
高效测评·知能 提升
2．2 圆的一般方程
数 学 第二章 解析几何初步
必修2
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数 学 第二章 解析几何初步
必修2
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[提示] 可以，但有一定条件． [问题4] 给出二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的标准方程确定成 立的条件？ [提示] 可以．
数 学 第二章 解析几何初步
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1．了解圆的一般方程的特点，熟练掌握圆的两种方程的互化． 2．会根据已知条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题． 3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．
必修2
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解析： (1)∵D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，
∴方程 x2＋y2＋x＋1＝0 不表示任何图形；
Hale Waihona Puke (2)∵方程化为(x＋a)2＋y2＝0，
∴x＝－a，y＝0，
∴方程 x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)表示一个点(－a,0)．
a a 1 (3)∵方程可以化为x＋22＋y－22＝2a2，且 a≠0，
[思路探究] 解答本题可直接利用 D2＋E2－4F＞0 是否成立来判断，也可把 左端配方，看右端是否为大于零的常数．
数 学 第二章 解析几何初步

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
解析：由D2＋E2－4F＝1＋1＋4m>0， 1 得m>－2. 1 故当m>－2时，x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆．
答案：A
2．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
一般方程x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)
E＝F＝0
|b|＝r |a|＝r
D2－4F＝0 E2－4F＝0
因此，在用待定系数法求圆的方程时，应尽量注 意特殊位置圆的特点、规律性．其次，恰当地运用平 面几何知识，可使解法灵活简便．若涉及弦长有关的 问题，运用弦长、弦心距、半径之间的关系及韦达定 理等可简化过程．
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0 称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程 x ＋y ＋Dx ＋Ey＋F＝0
2 2
条件
图形 不表示任何图形
D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F=0
D E (－ 2 ，－ 2 ) 表示一个点
[例2] 坐标．
已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，
－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心
[思路点拨] 先设其外接圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey
＋F＝0，然后把三个点的坐标代入方程，得关于D，E，

F的方程组，解方程组得D，E，F的值代入原方程即可；
也可用几何法求出AB和BC的垂直平分线，进而求出圆心 坐标和半径，再利用圆的标准方程直接写出．

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2

2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)

2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)

）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d= |1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.

高中数学北师大版必修2 2.2 教学课件 《圆的标准方程》(数学北师大必修二)

高中数学北师大版必修2 2.2 教学课件 《圆的标准方程》(数学北师大必修二)

a2
北京师范大学出版社 | 必修二
二、知识应用： 题型三 已知两直线位置关系求直线方程
例 2. ABC 的三个顶点的坐标分别是 A5，1、B7， 3、C 2， 8 .
并求它的外接圆方程.
解：法一： AB 的垂直平分线： x 2 y 8 0 ； BC 的垂直平分线： x y 1 0
圆上点的坐标满足方程 方程的解为坐标的点在圆上
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授：
1.圆的标准方程： (x a)2 ( y b)2 r2 ，其中 a，b 为圆心， r 为半径.
注：(1) 如果圆心在坐标原点，这时 a 0，b 0 ，圆的方程就是 x2 y2 r2 .有关图形特征 与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时： | a | r ；圆与x轴相切 时： | b | r ；与坐标轴相切时： | a || b | r ；过原点： a2 b2 r2 .
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授：
2.点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ，圆心为 C a，b ，半径为 r ，则有
(1) 若点 M x0，y0 在圆上 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2 (2) 若点 M x0，y0 在圆外 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2 (3) 若点 M x0，y0 在圆内 | CM | r x0 a2 y0 b2 r 2
⑵ 请同学给出圆心、半径请其他的同学说出圆的标准方程或反之.
北京师范大学出版社 | 必修二
二、知识应用： 题型二 点和圆的位置关系
例 2.写出圆心为 A2,3,半径长为 5 的圆的方程，并判断

【数学】2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)


即：x2+y2+Dx+Ey+F=0（1） 可见任何圆的方程都可以写成（1）式，
将（ ）配方得（x 1 D 2 ) (y
2
E 2
)
2
D E 4F
2 2
(2)
4
圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D E 4F x y 2 2 4
2
y 2x 4y 6 0____
2
2
y 2ax b
2
2
0________
1 1的 圆 .
2 2
( 2 )圆 心 为 ( 1, 2 ), 半 径 为
(3)当a, b不同时为0时，圆心为(a, 0), 半径为 a b 的圆 .当a, b同时为0时，表示一个点。
C O ①
A x
化简得 x2+y2+2x3＝0 这就是所求的曲线方程． 把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4． 所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， A(3，0)距离的比为 1 的点的轨迹，求此曲 2 线的方程，并画出曲线。
y
M
2 2
若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.
练习： 求过三点
A ( 0 , 0 ), B ( 6 , 0 ), C ( 0 ,8 ) 的圆的方程
2 2
.
设圆的方程为
x y Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
6
2
6D F 0

高中数学 第2章 2.2 圆的一般方程优质课件 北师大版必修2

答案:D=4,E=4.求经过6,三F=点-3(sān diǎn)A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程
待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
第十六页，共19页。
1.圆的一般方程的形式(xíngshì)及特点:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F (D2 E2 4F 0)
待定系数
D E F 2 0,
4D 2E F 20 0,
(xìshù)
解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0, 法
半径为 r 1 D2 E2 4F 5 2
圆心坐标为(4,-3).
第十三页，共19页。
【提升(tíshēng) 用待总定结系】数(xìshù)法求圆的方程的步
一般方程）
第十八页，共19页。
不是什么(shén me)人都可以交往的，慎交朋 友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.
第十九页，共19页。
2
2
4
2.利用待定系数(xìshù)法求圆的方
程：
第十七页，共19页。
设方程为 (x - a)2 +(y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
列关于(guānyú)a，b，r（或D， E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准(biāozhǔn)方程（或
（ 2 ） 当 D2 E2 4F 0 时 ， 方 程 ( ) 只 有 一 个 实 数 解
x

D,y
E ，所以方程 ( ) 表示一个点 ( D , E ) .

高中数学 2.2.2 圆的一般方程课件 北师大版必修2

第二十三页，共36页。
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)


( x - 1) + ( y + 2) = 3
2 2
( x + a ) + ( y - 2b) = 2a + 3b
2 2 2
2
例1:求过点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4,2) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
( x + 2) + ( y + 1) = 7
2 2
2 2
x + y + 4x + 2 y - 2 = 0
2
练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心 坐标及半径
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
2
4) x + y + 2ax - 4by - a + b = 0
2 2 2 2
2 2 2 2
当 a + b 0时, 圆心: ( - a ,0) 半径: 当 a 2 + b 2 = 0 时, 表示点: (0,0)
a +b
2
2
练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:
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-4-2=-E , 即 E=6 . (-4)(-2)=F F=8 D -3）在直线2x-y-7=0上， 又点（ - ， 2 ∴-D+3-7=0,即D=-4.
∴圆的一般方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 答案：x2+y2-4x+6y+8=0
三、解答题
7.（2010·白山高一检测）求过原点及A（1，1），且在x轴 上截得的线段长为3的圆的方程. 【解析】设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将点（0，0）和A（1，1）的坐标代入方程得
一、选择题（每题4分，共16分）
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（
(A)是一个点 (B)是一个圆 (C)是一条直线 (D)不存在
）
【解析】选D.∵D2+E2-4F=(-2)2+42-4〓6<0, 故选D.
2.若关于x,y的方程x2+y2+mxy+2x-y+n=0表示的曲线是圆，则ຫໍສະໝຸດ m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
）
(B)(-∞,
(C)(
5 ,+∞) 4
5 ） 4
(D)［
5 ,+∞) 4
5 ］ 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
(2)若E=0，即圆心坐标在x轴上时，有
r=
1 2 D +12=2. 解得D=2或D=-2. 2
又D>E,∴D=2. 所以，所求圆的方程为x2+y2+2x-3=0. 综上可知所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0或x2+y2+2x-3=0.
9.(10分)已知△ABC中，顶点A（2，2），边AB上的中线CD
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d=
|1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
9 D= 4 22 +22 +2D+2E+F=0 11 2 则 （-4）-4D+F=0 得 E= 4 1+1+D-E+F=0 F=-7 ∴△ABC外接圆的方程为 x2 +y2 + 9 x- 11 y-7=0. 4 4
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
用r=2求出E的值，用D>E这一条件取舍便可.
【解析】圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心坐标为
D E 半径 r= 1 D2 +E2 +12. (- ,- ), 2 2 2 1 2 r= E +12=2. (1)若D=0，即圆心坐标在y轴上时，有 2
解得E=2或E=-2，又D>E,∴E=-2. 所以，所求圆的方程为x2+y2-2y-3=0.
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
【解析】（1）由题意可设B（-3a-4,a),则AB的中点
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2