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北师大版高中数学必修二 圆的一般方程精品课件(共16张ppt)

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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)

高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)

此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)

可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)

(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值

圆的一般方程课件

圆的一般方程课件
的位置分别有什么特点？
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2

2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)

2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0

《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt

《圆的一般方程》课件1 (北师大版必修2).ppt
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆 配方得
( x 1) ( y 2) 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
不一定是圆
练习
• 判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2) ( y 3) 9 以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
圆心：两条弦的中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
方法二：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
小结：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0
2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0 2 7 (1) 2 7 D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0

2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)

2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
-3a-2 a+2 , ）必在直线CD上， 2 2 -3a-2 a+2 + =0, ∴a=0,∴B(-4,0), 2 2 又直线AC方程为：y-2=3(x-2),即y=3x-4, D（
x+y=0 ，得C(1,-1). 由 y=3x-4
(2)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
D=-4 解得 E=8 . F=4
6.（2010·宁德高一检测）圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y 轴交于两点A（0，-4），B（0，-2），则圆C的方程为___. 【解析】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由题意可知，-4，-2是方程y2+Ey+F=0的两个根.
m+n的取值范围是（
(A)(-∞,
5 ） 4
）
(B)(-∞,
5 ］ 4
(C)(
5 ,+∞) 4
(D)［
5 ,+∞) 4
【解析】选A.由题意可知m=0,
且D2+E2-4F=4+(-1)2-4n>0,
5 5 所以n< .从而m+n=n< . 4 4
3.与圆C：x2+y2-2x-35=0同圆心，且面积为圆C面积的一半的 圆的方程为（ (A)(x-1)2+y2=18 (C)(x-1)2+y2=6 ） (B)(x-1)2+y2=9 (D)(x-1)2+y2=3
一、选择题（每题4分，共16分）
Байду номын сангаас
1.方程x2+y2-2x+4y+6=0表示的图形（

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

(1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [自主解答] 设圆的标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，
∴圆的方程为x2＋y2＝64.
(2)∵圆心为(2,3)，半径为2， 即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝ 2－02＋－1－02＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.
[研一题] [例3] 求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5，
2)和点B(3，－2)的圆的方程．
[自主解答] 法一：设圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 2a－b－3＝0， 2 2 2 5－a ＋2－b ＝r ， 3－a2＋－2－b2＝r2， a＝2， 解得b＝1， r＝ 10.
a－b＝0， 解方程组 5a－3b＝8， a＝4， 得 b＝4， a＝1， 或 b＝－1.
a＋b＝0， 或 5a－3b＝8，
∴圆心坐标为(4,4)或(1，－1)． ∴可得半径 r＝|a|＝4 或 r＝|a|＝1. ∴所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16 或(x－1)2＋ (y＋1)2＝1.
2
x2＋y2＝r2
.
[小问题·大思维] 1．若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆 心坐标是什么？半径呢？
提示：圆心坐标为(－a，－b)，半径为|t|.
2．由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？ 提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和 半径．
[研一题] [例1] 写出下列各圆的标准方程．

圆的一般方程(16页)高二数学北师版选择性必修1

圆的一般方程(16页)高二数学北师版选择性必修1
思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得<m>，只有当D2+E2-4F >0时, 方程才表示以(-，-)为圆心， 以为半径的圆.
x2+y2+Dx+Ey+F＝0 (D2+E2-4F>0)
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)x2＋y2－4x－2y－5＝0.
解：(1)x2与y2系数不相等，方程不表示圆．(2)含xy项，方程不表示圆．(3)(－2)2＋(－4)2－4×10＝－20<0，此方程不表示圆．(4)(－4)2＋(－2)2－4×(－5)>0，此方程表示圆，圆心坐标(2，1)，半径r＝＝.
C
A
3.若点 在圆 外，则实数 的取值范围是__________．
根据本节课所学，回答下列问题：1.圆的一般方程是什么？2.待定系数法求圆的方程的步骤有哪些？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征：
1.x2与y2系数相同并且不等于0，即A=B≠0；2.没有xy这样的二次项，即C=0.
具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件.
例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．

2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)

2018-2019数学北师大版必修2课件：第二章2.2圆的一般方程 (35张)
－∞，15.
②将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 化为标准方程为(x＋ m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝
1－5m.
待定系数法求圆的一般方程
求圆心在y＝－x上且过两点(2，0)，(0，－4)的圆的一
般方程，并把它化成标准方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
[方法归纳] 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表 示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋ E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则 不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的 标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
1．(1)动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是 _[__2_，__＋__∞__)__． (2)若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 ①实数m的取值范围； ②圆心坐标和半径．
2．(1)已知 A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)，则△ABC 的外接 圆的方程为_x_2_＋__y_2＋__8_x_－__1_0_y_－__4_4_＝__0_．
(2)经过点(－1,3),圆心在直线 x－2y＝0 上,且半径等于 13的圆 的方程是_x_2_＋__y_2－__4_x_－__2_y_－__8_＝__0__或__x_2_＋__y_2＋__1_52_x_＋__65_y_－__5_56_＝__0_._． 解析：(1)设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有
＝x上”，其他条件不变，求圆的一般方程．
解：设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－
4F>0)，则圆心坐标为－D2 ，－E2，

2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)

2. 2.1 圆的标准方程课件(北师大版必修二)

1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝
(y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为 . (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)

1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
2
4) x + y + 2ax - 4by - a + b = 0
2 2 2 2
( x - 1) + ( y + 2) = 3
2 2
( x + a ) + ( y - 2b) = 2a + 3b
2 2 2
2
例1:求过点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4,2) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
2 2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:
r=3
（3） 2 4) x
E = 2b, D = F = 0 D + E - 4F = 4b 圆心: (0, -b) 半径: | b |
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即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
北师大版高中数学必修二 2.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
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例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的 圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法1： x 2 y 2 D x E y F 0 ( D 2 E 2 4 F 0 )
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F 0
D 8
待定系数法D E F 2 0
解
得
E
6
4D 2E F 20 0 F 0
x所2求圆y2的方8x程为6:y0，即 (x4)2(y3)225
高中数学新课标北师大版必修二
§2.2 圆的一般方程
温故知新
1.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
2.圆的标准方程:(x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
特点： 直接可以看出圆心坐标为 (a,b),
半径为 r
小组活动
思考1：下列方程各表示什么图形？
2
2
4
(1)当D2＋E2－4F>0时，此方程表(示 D,以 E)
22
为圆心， 1 D 以 2E24F为半径的圆。 2
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(xD )2(yE )2D 2E 24 F
2
2
4
(2)当D2＋E2－4F＝0时，
此方程表示一个点 ( D , E ) ；
解出a，b，r（或D，E，F）， 代入标准方程（或一般方程）
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本课小结
1. 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为
x2y2DxEyF0 D2E24F0
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方 一般方程 展 开 标准方程(圆心,半径)
(1) x2 y2 4x2y10 (x22)(y12)4
(2) x2 y2 4x2y50 (x2)2(y1)20 (3) x2y22x4y60 (x1)2(y2)21
自主探究
把圆的标准方程 (x a )2 (y b )2 r2(r 0 )
展开，得
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。
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必做题：P82 练习1, 2
选做题：1.下列方程各表示什么图形?若是圆， 则求出圆心和半径.
(1 )2 x2 2 y2 4 x 8 y 1 0
(2 )x2y22 a y0 (a0 )
2. 求 过 两 点 A(0,4),B(4， 6),且 圆 心 在 直 线 xy30上 的 圆 的 方 程 。
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范围是________________．
答案a： 1
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(三)挑战自我
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
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（一）小试牛刀
例题1. 已知圆 C :x2y2DE x y F 0
的圆心坐标为(2,-3),半径为2,则 D, E, F分别
是（ ）
A .4, 6, 9
B . 4, 6, 9
22
(3)当D2＋E2－4F＜0时，
此方程无实数解,不表示任何图形．
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圆的一般方程： x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
( 1 ) 圆心 ( D , 坐 E )半 , 标 1 径 D 2 为 E 为 2 4 F ； 22 2
C . 4, 6, 3 D . 4 , 6 , 3
答案：B
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（二）课堂演练
例题2.若方程 x2 y2 2 a x 2 y a 3 0
表示圆心在第二象限的圆,则实数 a的取值
由于a, b, r均为常数
令 2 a D , 2 b E ,a 2 b 2 r 2 F
结论：任何一个圆的方程都可以写成下面形式：
x2y2Dx E y F0
自主探究 2.方程 x2y2Dx E y F0
一定表示圆的方程吗？
将x2y2DxEyF0左边配方
(xD )2(yE )2D 2E 24F
方法2：
解：设所求圆的标准方程为：
(xa)2(yb)2r2(r0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
待定系数法
(a)2 (b)2 r2
a 4
(1
a)2
(1
b)2
r2
解
得
b
3
(4 a)2 (2 b)2 r 2
r 5
所求圆的方程为：(x4)2(y3)225
即 圆 的 半 径 r 5 ,圆 心 坐 标 为 (4 ， 3 )
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
②没有xy这样的二次项．
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(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
① aD , bE , r1D 2E 2 4 F
2 22
②标准方程易于看出圆心与半径．
小组讨论：
二 元 二 次 方 程 A x2 B xy C x2D xE yF 0 在 什 么 条 件 下 表 示 圆 的 方 程 ？
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总结求圆方程的方法：
待定系数法
设 圆 的 方 程 为 (xa)2(yb)2r2 或 x2y2DxEyF0
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
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