高二数学课件 圆的方程习题

高二数学圆的方程练习题1. 某圆的半径为3，圆心坐标为(2, -1)，求该圆的方程。

解析：设该圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²（a为圆心横坐标，b为圆心纵坐标，r为半径）根据已知条件得到：(x-2)² + (y+1)² = 3²将方程展开得：x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9整理得：x² + y² - 4x + 2y - 4 = 0所以该圆的方程为x² + y² - 4x + 2y - 4 = 02. 某圆的直径的两个端点分别为A(1, 2)和B(5, 6)，求该圆的方程。

解析：首先求出圆心坐标：圆心的横坐标为直径的中点的横坐标，纵坐标为直径的中点的纵坐标圆心的横坐标 = (1+5)/2 = 3圆心的纵坐标 = (2+6)/2 = 4所以该圆的圆心为(3, 4)然后求出半径：半径的长度等于直径的长度的一半直径AB的长度= √[(5-1)² + (6-2)²] = 2√2所以半径等于直径的一半：r = (2√2)/2 = √2圆心坐标为(3, 4)，半径为√2，所以该圆的方程为：(x-3)² + (y-4)² = (√2)²展开得：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 0所以该圆的方程为：x² + y² - 6x - 8y + 13 = 03. 已知圆的方程为：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0，求该圆的圆心坐标和半径。

解析：根据已知方程可得:(x+1)² + (y-2)² = 9将方程展开得：x² + y² + 2x - 4y + 1 + 4 - 9 = 0整理得：x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0可见，已知的方程与题目中给出的方程相同，所以该圆的圆心坐标为(-1, 2)，半径为3。

高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米 二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。

高二数学圆的一般方程练习题一、填空题1. 圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -3)，求圆C的一般方程。

2. 已知圆的一般方程为x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0，求圆的圆心坐标和半径。

3. 圆心在原点O，通过点A(3,4)，则圆的一般方程为________。

4. 圆C的圆心为(-2, 3)，与直线y = 2x + 1相切，求圆C的一般方程。

5. 给定两个圆的一般方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

二、解答题1. 已知圆C的一般方程为x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。

解答:将方程转化为标准方程:(x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 0(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20圆的圆心坐标为(-4, 2)，半径为√20。

2. 设点A(1, 2)，点B(4, 5)为直径所在直线上的两个点，求过点A且与直线Bx + 4y - 17 = 0相切的圆的一般方程。

解答:由于圆与直线相切，所以圆心到直线距离等于半径。

圆心到直线的距离公式为d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线的系数。

将直线的方程Bx + 4y - 17 = 0转化为一般方程：4y = -Bx + 174y + Bx - 17 = 0因此，直线的A、B、C分别为0、4、-17。

点A(1, 2)到直线的距离为d1 = |0*1 + 4*2 - 17|/√(0^2 + 4^2) = 13/2过点A的圆的一般方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (13/2)^2。

3. 已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 8y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

⾼⼆数学圆与⽅程（有练习,有答案,有讲解,有例题）【典型例题】例1. 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使AB C的⾯积等于21，求点A的坐标。

【解析】直线B C⽅程为2x＋5y－22 = 0， |B C| = ，设点A坐标（3y－3，y），则可求A到B C的距离为，∵AB C⾯积为21，∴，∴，故点A坐标为（）或（）.例2. 已知直线l的⽅程为3x+4y－12=0，求直线l′的⽅程，使得：（1）l′与l平⾏，且过点（－1，3） ;（2）l′与l垂直，且l′与两轴围成的三⾓形⾯积为4.【解析】（1）由条件，可设l′的⽅程为 3x+4y+m=0，以x=－1，y=3代⼊，得－3+12+m=0，即得m=－9，∴直线l′的⽅程为 3x+4y－9=0;（2）由条件，可设l′的⽅程为4x－3y+n=0，令y=0，得，令x=0，得，于是由三⾓形⾯积，得n2=96，∴∴直线l′的⽅程是或例3. 过原点的两条直线把直线2x＋3y－12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这两条直线的夹⾓。

【解析】设直线2x＋3y－12 = 0与两坐标轴交于A，B两点，则A（0，4），B（6，0），设分点为C，D，设为所求⾓。

∵，∴，∴C（2，）.⼜，∴，∴D（4，），∴.∴，∴.例4. 圆x2＋y2＋x－6y＋c = 0与直线x＋2y－3 = 0相交于P，Q两点，求c为何值时，OP OQ（O为原点）.【解析】解⽅程组消x得5y2－20y＋12＋c = 0，，消y得5x2＋10x＋4c－27 = 0，，∵OP OQ，∴，∴，解得c = 3.例5. 已知直线y =－2x＋b与圆x2＋y2－4x＋2y－15 = 0相切，求b的值和切点的坐标.【解析】把y =－2x＋b代⼊x2＋y2－4x＋2y－15 = 0，整理得5x2－4（b＋2）x＋b2＋2b－15 = 0，令= 0得b =－7或b =13，∵⽅程有等根，，得x =－2或x = 6，代⼊y = －2x－7与y = －2x＋13得y =－3或y = 1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.例6. 已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc+2＞a+b+c.【证明】设线段的⽅程为y=f （x）=（bc－1）x+2－b－c，其中|b|＜1，|c|＜1，|x|＜1，且－1＜b＜1.∵f（－1）=1－bc+2－b－c=（1－bc）+（1－b）+（1－c）＞0f（1）=bc－1+2－b－c=（1－b）（1－c）＞0∴线段y=（bc－1）x+2－b－c（－1＜x＜1＝在x轴上⽅，这就是说，当|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.例7. 某校⼀年级为配合素质教育，利⽤⼀间教室作为学⽣绘画成果展览室，为节约经费，他们利⽤课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌⾯的倾斜⾓为（90°≤＜180°），镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m，（a＞b）.问学⽣距离镜框下缘多远看画的效果最佳？【解析】建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的⼀点，在x轴的正半轴上找⼀点C（x，0）（x＞0），欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最⼤值.由三⾓函数的定义知：A、B两点坐标分别为（a cos，a sin）、（b cos，b sin），于是直线AC、BC的斜率分别为：k AC = t a n xCA=，于是t a n ACB=由于∠ACB为锐⾓，且x＞0，则t a n ACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成⽴，此时∠ACB取最⼤值，对应的点为C（，0），因此，学⽣距离镜框下缘cm处时，视⾓最⼤，即看画效果最佳.例8. 预算⽤2000元购买单件为50元的桌⼦和20元的椅⼦，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅⼦不少于桌⼦数，且不多于桌⼦数的1.5倍，问桌、椅各买多少才⾏？【解析】设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表⽰成不等式组，即约束条件为由∴A点的坐标为（，）由∴B点的坐标为（25，）所以满⾜约束条件的可⾏域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三⾓形区域（如上图）由图形直观可知，⽬标函数z=x+y在可⾏域内的最优解为（25，），但注意到x∈N，y∈N*，故取y=37.故有买桌⼦25张，椅⼦37张是最好选择.例9. 已知甲、⼄、丙三种⾷物的维⽣素A、B含量及成本如下表，若⽤甲、⼄、丙三种⾷物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合⾷物，并使混合⾷物内⾄少含有56000单位维⽣素A和甲⼄丙维⽣素A（单位/千克）600700400维⽣素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）⽤x，y表⽰混合⾷物成本c元；（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低.【解析】（Ⅰ）由题，，⼜，所以，.（Ⅱ）由得，，所以，所以，当且仅当时等号成⽴.所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元.点评：本题为线性规划问题，⽤解析⼏何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最⼤的点. 不难发现，应在点M（50，20）处取得.例10. 如果实数满⾜，求的最⼤值、2x－y的最⼩值。

高二圆的方程练习题在高二数学中，圆是一个重要的几何形状。

了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。

下面是一些高二圆的方程练习题，帮助你巩固和应用这方面的知识。

1. 已知圆C的半径为r，圆心坐标为(h, k)。

写出圆C的标准方程和一般方程。

解答：圆C的标准方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为：x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆，半径为r的标准方程和一般方程。

解答：过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。

标准方程为：x² + y² = r²一般方程为：x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1)，且圆心在y轴上。

写出圆C的方程。

解答：设圆C的圆心坐标为(0, k)。

由于圆心在y轴上，所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。

将点A(2, 3)代入方程得：2² + (3 - k)² = r²。

将点B(4, 1)代入方程得：4² + (1 - k)² = r²。

由此可求得圆C的方程。

4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2)，写出圆C的方程。

解答：直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。

由于直径的中点即为圆心，所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。

圆C的半径为AB的一半，即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。

将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。

5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0，写出圆C的圆心坐标和半径。

圆的方程A 卷一、选择题 1、方程x 2 + y 2 +Dx + Ey + 4F = 0(D 2 + E 2－4F ＞0)表示的曲线关于x + y = 0成轴对称图形；则( )A 、D + E = 0B 、D + F = 0C 、E + F = 0D 、D +E +F = 0 2、圆x 2 + y 2 = 25截直线4x －3y = 20所得弦的中垂线方程是( )A 、x y 43=B 、x y 43-=C 、x y 34-=D 、x y 43=3、已知一圆的直径的两端点是A(x 1；y 1)；B(x 2；y 2)；那么此圆的方程是( ) A 、(x －x 1)(x －x 2) + (y －y 1)(y －y 2) = 0 B 、(x + x 1)(x + x 2) + (y －y 1)(y －y 2) = 0 C 、(x －x 1)(x －x 2)－(y －y 1)(y －y 2) = 0 D 、(x + x 1)(x + x 2)－(y ＋y 1)(y ＋y 2) = 04、从点P(x ；3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1作切线；切线长度最短为( ) A 、4 B 、62 C 、5 D 、5．5二、填空题5、过圆x 2 + y 2－8x －2y + 10 = 0内一点M(3；0)的最长弦所在直线方程是 。

6、圆心在直线4x + y = 0上；且与直线x + y －1 = 0切于点P(3－2)的圆的方程 。

7、两圆x 2 + y 2 + 4x －4y = 0；x 2 + y 2 + 2x －12 = 0相交于A 、B 两点；则直线AB 的方程是 。

8、圆心为(2；－3)；一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程 。

三、解答题9、已知圆C 的圆心坐标是)3,21(-；且圆C 与直线x + 2y －3 = 0相交于P 、Q 两点；又OP ⊥OQ ；O 是坐标原点；求圆C 的方程。

高二数学 上学期7.7圆的方程例题（一） 例1 求圆心在直线5x －3y =8上，又与两坐标轴相切的圆的方程. 解：设圆方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2由已知：a 2=b 2=r 2,5a －3b =8∴043 835222=--∴⎩⎨⎧=-=b b b a b a∴b =4或b =－1. 从而a =4或a =1故r 2=16或r 2=1∴(x －4)2+(y －4)2=16或(x －1)2+(y +1)2=1例2 如果实数x,y 满足x 2+y 2－4x +1=0（1）求xy 的最大值； （2）求y －x 的最小值. 解：（1）设x y =k ，而x 2+y 2－4x +1=0即(x －2)2+y 2=3 即圆上求一点P ，使其与O 点连线的斜率最大.由已知：CP =3，OC =2，k =3即xy 的最大值为3. （2）设y －x =b ,则y =x +b ,要使b 最小.则此直线与已知圆相切于第四象限， 此时C 到直线距离32|2|=+b ，2626---=∴或b所以y －x 的最小值为26--.例3 已知定点A （3，0），B 是圆x 2+y 2=1上的动点，∠AOB 的平分线交AB 于点M ，求M 点的轨迹.分析：此题利用三角形内角平分线的比例性质，将动点坐标转化到已知圆心，达到求解轨迹方程的目的.解：设点M （x,y ），B （x 0,y 0）因为OM 是∠AOB 的平分线，所以31==OA OB MA BM .由定比分点公式得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+⨯+=311031133100y y x x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413400∵12020=+y x ∴169)43(22=+-y x 即为所求轨迹方程，它表示以)0,43(为圆心，43为半径的圆. 例4 过圆：x 2+y 2=r 2外一点P （x 0,y 0）引此圆的两条切线，切点为A 、B ，则直线AB 的方程为_________. 分析：此题注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点.解：设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）则过点A 的圆的切线为x 1x +y 1y =r 2过点B 的圆的切线为x 2x +y 2y =r 2又点P （x 0,y 0）是两切线的交点，所以：x 0x 1+y 0y 1=r 2，说明点A （x 1,y 1）在直线x 0x +y 0y =r 2上x 0x 2+y 0y 2=r 2，说明点B （x 2,y 2）在直线x 0x +y 0y =r 2上所以直线AB 方程为：x 0x +y 0y =r 2例5 在圆⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x （θ为参数）上求一点P ，使点P 到直线y =x －6距离最小. 分析：要求学生解题方法的灵活性.解法一（点到直线距离公式）.设d 为点P 到直线y =x －6的距离，则2|6)4cos(22|2|6sin 2cos 2|-+=--=θπθθd 当1)4cos(=+θπ即4πθ-=时，d 最小=2232226-=-.∴,2)4sin(2,2)4cos(2-=-==-=ππy x ∴所求点为P （2,2-）.解法二（几何法）：由点O 作OQ ⊥l ,交圆于点P ，因为点到直线距离最短，所以点P 即为所求.如图△AOB 是等腰直角三角形，△OQB 也是等腰直角三角形，所以|OQ |=.223||,23||22-==PQ OB ∠QOB =45°，将4πθ-=代入圆参数方程可得2,2-==y x ,即P （2,2-）.。

高二数学 上学期7.7圆的方程例题（三）［例1］求下列条件所决定的圆的方程(1)已知圆过两点A (3，1)、B (-1，3)，且它的圆心在直线3x -y -2=0上；(2)经过三点A (1，-1)、B (1，4)、C (4，-2).选题意图：考查待定系数法求圆的方程.解：(1)设所求圆的圆心为C (a ,b )，∵｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜＝ｒ，点C 在直线3x -y -2=0上，∴⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=---++=-+-42023)3()1()1()3(2222b a b a b a b a .10)1()3(22=-+-==b a CA r∴所求圆的方程是(x -2)２+(y -4)２=10.(2)设圆的方程为x ２+y ２+Dx +Ey +F =0,将A 、B 、C 三点坐标代入，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=+-23720241742F E D F E D F E D F E D∴所求圆的方程为x ２+y ２-7x -3y +2=0.说明：两题中求圆的方程选用了不同形式.如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系常选用一般方程.［例2］已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A (a ,0)(a ≠0)距离的比为k (k ≠1)的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.选题意图：考查圆的另一种叙述形式.解：设M (x ,y )是曲线上的任意一点，也就是M 属于集合P ＝｛Ｍ｜k AM OM=｝.由两点间的距离公式，点M 所适合的条件可以表示为k y a x y x =+-+2222)(，两边平方得22222)(k ya x y x =+-+,化简得.02)1()1(2222222=+--+-a k ax k y k x k ∵0＜k ＜1或k ＞1，∴k ２-1≠0, ∴01122222222=-+--++k a k x k a k y x 0)1(414)1(442222222222222 -=---=-+k a k k a k k a k F E D ∴所求曲线的方程是01122222222=-+--++k a k x k a k y x ，曲线是一个圆.说明：此例说明了k ≠1时，曲线是一个圆，它比课本例5更有一般性.当k =1，显然曲线是线段OA 的垂直平分线.［例3］⊙A 的方程为072222=---+y x y x ，⊙B 的方程为ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＋２ｙ－２＝０，判断⊙Ａ和⊙Ｂ是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由.选题意图：考查两圆的位置关系及两圆相交时，过两交点的直线的求法.解：⊙Ａ的方程可写为9)1()1(22=-+-y x⊙Ｂ的方程可写为4)1()1(22=+++y x ∴两圆心之间的距离满足2322)11()11(2322+=+++=- AB .即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.∴两圆相交⊙Ａ的方程与⊙B 的方程左、右两边分别相减得－４ｘ－４ｙ－５＝０即4x +4y +5=0为过两圆交点的直线的方程.说明：判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d 与两圆半径的和及差的绝对值比较大小.即当｜Ｒ－ｒ｜＜ｄ＜Ｒ＋ｒ时，两圆相交.。

高二数学 上学期7.7圆的方程例题〔二〕［例1］求经过两点A (-1,4)、B (3，2)且圆心在y 轴上的圆的方程.选题意图：考查圆的标准方程的求法.解：∵圆心在y 轴上，∴a =0.设圆的标准方程是x ２+(y -b )２=r ２.∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-101 ,)2(3)4()1(2222222r b rb r b 所以圆的方程是x ２+(y -1)２=10.说明：求圆的标准方程时，可先设出标准方程，而后用待定系数法求圆心坐标和半径.［例2］求由以下条件所决定圆x ２+y ２=4的切线方程：(1)经过点P (3，1)； (2)经过点Q(3，0)；(3)斜率为-1.选题意图：考查圆的切线的方程的求法.解：(1)∵(3)２＋１２＝４， ∴点P (3，1)在圆上，故所求切线方程为3x +y =4.(2)∵3２＋０２＞4,∴点Q 在圆外.设切线方程为y =k (x -3),即kx -y -3k =0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，∴552,2132±==+-k k k∴所求切线方程为)3(552-±=x y 即2x ±5y -6=0.(3)设圆的切线方程为y =-x +b ,代入圆的方程，整理得2x ２-2by +b ２-4=0.∵直线与圆相切∴Δ=(-2b )２-4×２〔b ２－４〕＝０.解得b =±2.2∴所求切线方程为x +y ±22=0.说明：(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.［例3］求与x 轴切于点(5，0)并在y 轴上截取弦长为10的圆的方程.选题意图：考查直线与圆相交时，弦长的求法.解：设所求圆的方程为222)()5(b b y x =-+- 并且与y 轴交于A 、B 两点，由方程组 250)()5(2222-±=⎩⎨⎧==-+-b b y x b b y x 得∵,10=-A B y y25,10252522±==-+--+∴b b b b b ， ∴所示圆的方程为50)25()5(22=±+-y x .说明：此例也可用弦心距、半弦长、半径之间的关系来求.。