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§6.5 同构及同态(离散数学)

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线性空间的同构与同态

线性空间的同构与同态

线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。

当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。

一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。

它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。

更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。

对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。

2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。

则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。

其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。

同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。

关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。

（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。

（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。

通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。

只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。

因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。

二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。

它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。

离散数学中的图的同构与同构不变性

离散数学中的图的同构与同构不变性

离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。

图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。

在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。

一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。

具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。

同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。

同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。

即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。

2. 同构关系保持图的基本性质。

如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。

3. 同构关系与图的表示方式有关。

同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。

二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。

具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。

同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。

在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。

对于同构的图，它们的度序列是相同的。

2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。

对于同构的图，它们的连通性是相同的。

3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。

同构及同态(离散数学)

同构及同态(离散数学)

例. 群（R，+）和 (R+, · )是同态的，
因为若令σ：x ex ， x∈R ， 则σ是R到R+的1-1映射，且对 任意x1, x2 ∈R ， 有 σ(x1+x2)=ex1+x2= ex1·ex2 =σ(x1) ·σ(x2)， σ是（R，+）到(R+, · )的满同态映射。
证明
(1) 因为群G非空，至少1∈G，故至少 σ(1)∈G′，即G′非空。 (2) 任取a’∈G′，b’∈G′， 往证a’b’∈G′。 因有a,b∈G, 使得 a’=σ(a), b’=σ(b)， 故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)， 而ab ∈G, 因而a’b’ =σ(ab) ∈σ(G), 即 a’b’ ∈G′。
综上，G’做成一个群， G’的壹1’=σ (1)，G’中σ(a)的逆是σ (a-1)。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 设G是一个群，K是一个乘法系统，
σ 是G到K内的一个同态映射，如果σ 是G 到σ (G)上的1-1映射，则称σ 是同构映射。 称G与σ (G)同构，记成G σ (G)。

例. 群（R+，· ）和（R，+）是同构的。因为若 令 σ：xlogx，x∈R+， 则σ是R+到R上的1-1映射，且对任意a,b∈R+， σ(a·b)=log(a·b)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。 故σ是（R+，· ）到（R，+）上的同构映射。
例. 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数 加法群，则对a∈G，n∈ Z，使得 a=gn， 令 f： a n 。 不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取 a,b∈G，则存在i,j∈Z，使得a=gi， b=gj， f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj), 因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。

离散数学-同态和同构

离散数学-同态和同构

离散算法设计
同态和同构可以用于设计高效的离散算法， 如通过同态映射将问题转化为易于处理的数
学形式，从而降低计算复杂度。
05
同态和同构的实例分析
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
二次方程的同态和同构分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
在二次方程中，同态和同构的概念主要应用于方程的变形 和等价分类。
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的拓扑性质，即如果映射$f: X rightarrow Y$是 拓扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$U subseteq X$，有$f(U)$是 $Y$中的开集当且仅当$U$是$X$中的开集。
保持连通性
拓扑同构映射保持了原拓扑空间中的连通性，即如果映射$f: X rightarrow Y$是拓 扑空间$X, Y$之间的同构映射，那么对于任意子集$A subseteq X, B subseteq Y$， 有$(A subseteq B) Leftrightarrow (f(A) subseteq f(B))$。
逻辑同构的性质
保持逻辑关系
逻辑同构映射保持了原逻辑系统中的逻辑关系，即如果映射$f: L_1 rightarrow L_2$是逻辑系统$L_1, L_2$之间的同构映射，那么对于任意命题$varphi in L_1, psi in L_2$，有$(L_1 models varphi) Leftrightarrow (L_2 models psi)$。
的。
同构的性质
同构是一种更强的相似性关系，它不仅保持了群的基本运算性质，还要求存在一个双射 的映射。这意味着原始群和目标群在某种程度上是完全相同的。

群论中的同态与同构理论

群论中的同态与同构理论

群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支，研究群的性质和结构。

在群论中，同态和同构是两个基本概念，它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。

一、同态的定义和性质在群论中，同态是指两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)，那么φ就是一个从G到H的同态。

同态具有以下性质：1. 同态保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。

2. 同态保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。

3. 同态保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。

二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射，它是一种双射，并且保持了群运算和群结构。

具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，满足以下条件：1. φ是一个双射，即φ是一个一一对应的映射。

2. φ保持群运算，即对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。

那么φ就是一个从G到H的同构。

同构具有以下性质：1. 同构保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。

2. 同构保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。

3. 同构保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。

三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。

它们可以帮助我们研究群的性质和结构，以及群之间的关系。

1. 同态的应用：同态可以用来研究群之间的映射关系。

通过同态，我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群，从而简化问题的研究。

同态还可以用来刻画群的性质，例如同态核和同态像等。

2. 同构的应用：同构可以将一个群与另一个群进行一一对应，从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。

同构还可以用来研究群的结构，例如分类群的同构分类问题。

四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念，我们来看几个具体的例子。

同态和同构的关系

同态和同构的关系

同态和同构的关系
在数学中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了两个代数结构之间的关系。

1.同态（Homomorphism）：同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射，保持运算结构的性质。

如果存在两个代数结构A 和B，以及一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，其中"*"表示A和B上的运算，而"="表示两个代数结构中的相等关系。

简而言之，同态保持了代数结构中的运算规则。

2.同构（Isomorphism）：同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系，使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。

如果存在两个代数结构A和B，以及一个映射f：A→B，满足以下条件：-f是一个双射，即对于A中的每个元素a，都存在唯一的元素b 在B中与之对应；
-对于A中的任意两个元素a1和a2，满足a1*a2=a3，则f(a1)*f(a2)=f(a3)；
-对于B中的任意元素b1和b2，满足b1*b2=b3，则存在A中的元素a1和a2，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2，f(a1*a2)=b3。

简而言之，同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。

因此，可以将同构看作是一种更严格的同态关系。

如果两个代数结构之间存在一个同构映射，那么它们在结构和性质上是完全相同的，只是元素的表示不同而已。

需要注意的是，在数学中，同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构，还可以应用于其他领域，如拓扑学、图论等。

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离散数学_第06章代数结构概念及性质

离散数学_第06章代数结构概念及性质

【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。

§6.5 同构及同态(离散数学)

§6.5 同构及同态(离散数学)

例. 设(G，*)，(K，+)是两个群，令 ， ， ， 是两个群， 是两个群 σ：x → e， x∈G， ： ， ， 其中e是 的单位元 的单位元。 其中 是K的单位元。 内的映射， 则σ是G到K内的映射，且对任意 是 到 内的映射 且对任意a,b∈G， ， 有 σ(a*b)=e=e+e=σ(a)+σ(b)。 。 的同态映射。 即，σ是G到K的同态映射。 是 到 的同态映射 σ(G)={e}是K的一个子群 记G～σ(G)。 的一个子群, 是 的一个子群 ～ 。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 是一个群， 是一个乘法系统 是一个乘法系统， 定义 设G是一个群，K是一个乘法系统， 是一个群 G到K内的一个同态映射 如果σ 内的一个同态映射， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G σ(G)上的1-1映射 则称σ是同构映射。 映射， 到σ( )上的 映射，则称σ是同构映射。 称G与σ( )同构，记成 σ( )。 与σ(G)同构，记成G σ(G)
例.设G1是整数加法群，G2是模 的整数加 设 是整数加法群， 是模n的整数加 法群， 上的运算⊕如下： 法群，G2上的运算⊕如下： a ⊕ b= a + b, 当a + b < n,
a + b n, 当a + b ≥ n
令σ：x →x(mod n)， x∈G1， ： ， ∈ 的满射，且对任意a,b∈ 则σ是G1到G2的满射，且对任意 ∈G1， 是 有 σ(a+b)=a+b(mod n) =a(mod n) ⊕ b(mod n) =σ(a) ⊕ σ(b) 。 σ是G1到G2的满同态映射。 的满同态映射。 是
6.5.3 同 态 核
上的一个同态映射， 定义. 是 到 上的一个同态映射 定义 设σ是G到G′上的一个同态映射，命 N为G中所有变成 中1′的元素 的集合，记 中所有变成G′中 的元素 的集合， 的元素g的集合 为 中所有变成 为σ-1(1′)，即 ， N=σ-1 ( 1′)={g∣ g∈G ,σ(g)=1′} ∣ ∈ 则称N为 的核 的核。 则称 为σ的核。 是整数加法群， 是模 的加法群： 是模3的加法群 例. 设G是整数加法群， G′是模 的加法群： 是整数加法群 {0，1，2}，σ：x → x（mod 3），x∈G ， ， ， ， ： （ ） ∈ 上的同态映射。 的核为 的核为3G。 则σ是G 到G′上的同态映射。σ的核为 。 是 上的同态映射

同态与同构

同态与同构

离散结构同态与同构教学目标基本要求（1）掌握同态映射与同构映射的定义（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点（1）同态映射的证明同态映射定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) 如果f是单射，则称为单同态(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2，则称作自同态实例例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解：(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数实例例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n，f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令f: R→R*，f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射，f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a (x)=ax，f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态；为自同构；当a=±1时，称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。

离散数学同态与同构

离散数学同态与同构

❖同态、同态映射、同态象
例题2： f:NNk，对xN：f(x)=x mod k，验证f是 从<N,+>到<Nk,+k>的满同态。(Nk={0,1,2,…,k-1})
说明：对例如：k=5，则N5={0,1,2,3,4} 。 k1,k2 Nk：
k1 +k k2 =
k1 + k2 k1 + k2 - k
<A,>
A
a
b c
ac
f: AB
<B,*>
f(a)
f(A)
f(b)
f(c)
f(a)*f(c)
bc
f(b)*f(c)
❖同态、同态映射、同态象
定义1：<A,>和<B,*>是两个代数系统, f是从A到B的一个映射, 对a1,a2A , 有：f (a1a2) = f(a1) * f(a2), 则称f 为由<A,>到<B,*>的一个同态映射；称 <A,> 同态于<B,*>，记为A~B；<f(A),*>为<A, >的一个同态象;
❖同构
例题5：有三个代数系统如下： 它们彼此是同构的。
a b <{a, b}, >
aab
bba
★ 偶 奇 <{偶, 奇}, ★>
偶偶奇 奇奇偶
这3个系统运算规律 相同，只是符号不同。
* 0 180 <{0, 180}, *>
0 0 180 180 180 0
❖同态与同构
定义3： <A,*> 是一个代数系统， 若f是由<A,*>到<A,*>的同态映射，则称f是自同态； 若f是由<A,*>到<A,*>的同构映射，则称f是自同构。

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构

群同态定义,单、满同态,同构群同态定义，单、满同态，同构群与关于其不变子群的商群之间有某种联系，这种联系从代数角度来说，就是它们之间有某种相互联系的代数性质，或者可以建立某种对应关系.本节将介绍群与群之间的对应关系，这种对应关系保持某种代数性质.定义1 设是两个群，如果存在映射保持代数运算，即称是到的一个同态;如果同态还是满射，称是满同态; 如果同态还是单射，称是单同态;既是满同态又是单同态的同态称为同构，这时也称群与同构，记为，需要强调这个同构映射时，可记作;当时，同态映射称为自同态，同构映射称为自同构.需要说明的是:根据同态定义，在保持运算的等式中，左边式子的“?”是按照中的运算，而右边式子中的“?”是按照中的运算. 例1 设是两个群，是的单位元，令则0是到的一个同态，称其为零同态，这个同态在任意两个群之间都存在. 例2 设是虚数单位，令则是到的同态.例3 设是虚数单位，令.则按数的乘法构成一个群，并且是到的同态，(请读者验证) 是满同态. 例4设令注意是一般线性群，是到的同态,(请读者验证) 是单同态.今后,常用表示.例5 设是群，是的一个不变子群，由上节是关于的商群.令则是到的同态，并且是满同态.这个同态称为到其商群的自然同态，这是一个非常重要的同态，今后经常用到.例6 设是所有次单位根构成的群，其中是次本原单位根，令则是到模剩余类加群的同构映射，因此.我们知道，若是集合到的映射，是到的映射，则映射合成是到的映射. 这个事实对于群也同样成立.命题1 设是群到的同态，是群到的同态，则作为映射合成的是到的同态.证明:是到的映射, 又，故是到的同态.实际上我们还有如下性质:命题2(1)设是群到的单同态，是群到的单同态，则作为映射合成的是到的单同态;(2)设是群到的满同态，是群到的满同态，则作为映射合成的是到的满同态;(3)设是群到的同构，是群到的同构，则作为映射合成的是到的同构.命题3 设是群到群的同态，则(1) 的单位元在下的像是单位元;(2) 中元素的逆元在下的像;(3) 的子群在下的像是的子群，并且如果是限制在上的映射，则是到上的满同态.证明:(1) 故.(2)所以。

离散数学-同态和同构

离散数学-同态和同构
所以, 代数<F, ·, f 0>和<N4, +4, 0>同构。
一、同态与同构
例1(c)：证明代数< N, +>和< I+,·>是不同构的。
证明：使用反证法。假设h是从<N, +>到<I+, ·>的一个同构。因为h
是从N到I+的一个满函数, 必有x∈N( x≥2) 和某质数p(p≥3), 使h(x)=p
(h(x1)*′h(x2))*′h(x3)=h(x1*x2)*′h(x3)=h((x1*x2)*x3) =h(x1*(x2*x3))=h(x1)*′h(x2*x3) =h(x1)*′(h(x2)*′h(x3))
所以, *′是可交换(或可结合的)。证毕。
二、同态代数的性质
例2：设S = {a, b, c, d}, S′={0, 1, 2, 3}, 代数A=<S, *>和B=<S′,* >由下表
· f0 f1 f2 f3 f0 f0 f1 f2 f3 f1 f1 f2 f3 f0 f2 f2 f3 f0 f1 f3 f3 f0 f1 f2
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
一、同态与同构
例1(b)证明：<F, ·, f 0>，F={f 0, f 1, f 2, f 3};< N4, +4, 0>，N4={0, 1, 2, 3}
作映射h∶F→N4, h(f i) = i (i=0, 1, 2, 3) (1) h∶F → N4双射； (2) h(f 0) =0； (3)任取f i， f j∈F， i， j∈ N4, 因为h(f i) = i ， h(f j) = j ,所以 h(f i·f j) = h(f i+j) = h(f (i+j) mod 4) = (i+j) mod 4 = i +4 j = h(f i) +4h(f j)。

离散数学知识点全归纳

离散数学知识点全归纳

离散数学知识点全归纳离散数学是数学的一个分支，研究的是离散对象和离散结构。

在计算机科学、信息技术以及其他领域中，离散数学具有重要的应用价值。

以下是离散数学的一些重要知识点的全面总结。

1. 集合论和逻辑- 集合：基本概念、运算、包含关系、并集、交集、差集、幂集等。

- 命题逻辑：命题、命题的连接词、真值表、逻辑等价、析取范式、合取范式等。

- 谓词逻辑：谓词、量词、逻辑推理、存在量词和全称量词等。

2. 证明方法- 直接证明：利用已知事实和逻辑推理，直接得出结论。

- 对证法：从假设的反面出发，利用矛盾推理得出结论。

- 数学归纳法：证明基础情况成立，再证明递推步骤成立。

3. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度、连通性等。

- 图的表示：邻接矩阵、邻接表等。

- 最短路径：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。

- 最小生成树：Prim算法、Kruskal算法等。

4. 关系与函数- 关系及其性质：自反性、对称性、传递性、等价关系等。

- 函数及其性质：定义域、值域、单射、满射、双射等。

- 逆函数和复合函数：求逆函数、复合函数的定义和性质。

5. 组合数学- 排列和组合：排列、组合的计算公式和性质。

- 递归关系：递推公式、递归算法等。

- 图的着色：色数、四色定理等。

6. 代数系统- 半群、幺半群、群、环、整环和域的定义和性质。

- 同态：同态映射、同构等。

- 应用：编码理论、密码学等。

以上是离散数学的一些重要知识点的概括。

深入理解和掌握这些知识，对于解决实际问题和在相关领域中取得成功非常重要。

在学习过程中，建议结合实际例子和习题进行练习，加深对知识的理解和应用能力。

同构及同态和环

同构及同态和环
不难验证f是G到Z上的同构映射。因此，GZ。
定义6.5.3 设G是一个群，若σ是G到G上的同构映 射，则称σ为自同构映射。
自同构映射的最简单的例子就是恒等映射，称为恒 等自同构映射。在恒等自同构映射下，群中每个 元素都保持不变。下面再举几个自同构映射的例 子。
第9页，本讲稿共48页
例6.5.6 设（Z，+）是整数加法群， 令σ：n-n，nZ，
证明：因为N是正规子群，故Nb=bN，今设A=aN， B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一个陪集。
第14页，本讲稿共48页
定理6.5.3 按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一个群.
命σ：a→aN，则σ是G到 上G的一个同态映射,其核为N.
证明： 由σ引(a理)σ1，(bG)中=a乘Nb法N=封ab闭N ，映射σ使
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以上所述说明了:若σ是G到G′上的同态映射,则其 核N为一正规子群。反过来，我们要问： 设N是G的一个正规子群,是否有一个群G′以及一 个G到G′上的同态映射σ,使N为σ的核？
回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。
引理1 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则 AB也是N的陪集。
是的。
证：因 -1(H’)表示H’在G中全体原象集，故 在下再看象集必是H’。 (6)若H是G正规子群，则H’=(H)是G’正规子 群。 证：对任g’G’ 往证g’H’g’-1H’ 因为必有gG 使(g)=g’而 g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg1)=(H)=H’ 所以，H’正规子群。
则σ是R+到R上的1-1映射,且对a,bR+， σ（a·b）=log（a·b）=log a+log b
=σ（a）+σ（b）。 故σ是R+到R上的同构映射。 Log x是以e为底的x的对数,若取σ(x)=log2x，或

《离散数学》课程简介

《离散数学》课程简介

《离散数学》课程简介
离散数学是计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。

离散数学在教给学生离散问题建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力和严密的逻辑推理能力，通过本课程的学习，不仅使学生掌握进一步学习其他课程所必需的离散数学知识，而且可以增强学生使用离散数学知识进行分析问题和解决实际问题的能力。

为后续的计算机专业课程打下坚实的基础。

本课程的主要内容包括集合论、数理逻辑、图与网络、数论基础、抽象代数和格论及布尔代数方面的基础知识。

集合论主要介绍集合论的基础知识，包括关系、映射和基数等知识；数理逻辑部分主要介绍命题逻辑和谓词逻辑的基础知识；图与网络包括图与网络的数据结构，有向图与Euler路，无向图与Hamilton路等内容；数论基础部分主要包括整除性、质因数分解、合同、一次同余式等；抽象代数部分包括代数系统、半群与群、群的同构与同态、环的性质、环的同态与同构、域的特征、素域、多项式的整除性、多项式的根等内容；格论与布尔代数包括半序格与代数格、对偶原理、格的性质、格的同态与同构、有界格、有余格、分配格、模格、布尔代数的性质等内容。

本课程即使一门基础理论课程，又是一门与实际问题紧密相连的课程，学生既要注重对课程内容的理解，又要加强理论联系实际，这样才能掌握本课程的精髓与要旨。

(大学)离散数学：第四章代数系统 第二节 代数系统间的同构与同态

(大学)离散数学：第四章代数系统 第二节 代数系统间的同构与同态
例2 设B={0,1}，< B,∨ >是代数系统，∨是B上的或运算，运算表见表2 。
表1
∪ A A AAA
表2
∨0 1 001 111
• 由例1和例2可以看到，在这两个代数系统中，虽然集合不同，运算不同，
但这两个二元运算的运算表却如此相似，如用∪代替∨，用 代替0，
用 A 代替 1，那么就会得到两张完全一样的运算表；反之也一样。这说 明这两个代数系统除符号外，没有实质上的不同。
⑴ 对Nm中的任意元素[i] ，取 i＋m N，则有 h(i＋m )= [i] ， 故h是满射的。
⑵ i，j N，有
h(i＋j)=[(i＋j) mod m] =[i mod m]＋m [ j mod m]=h(i)＋m h(j) 故 h 对＋和＋m 满足同态公式。
由定义4知，h 是从< N, ＋> 到 < Nm , ＋m >的满同态函数， 即<Nm , ＋m >是< N, ＋ >的满同态象。
定理1 代数系统间的同构关系R是X上的等价关系, 其中 X=｛A | A是代数系统}。 由等价关系的定义知要证R是 1）自反的； 2）对称的； 3）传递的。
2.3 代数系统间的同态
定义4 设A1= < X,f1,f2,···,fm> 和A2= < Y,g1,g2, ···,gm> 是两个同类 型的代数系统。若存在函数h：XY，对A1 和A2 中每一对相 应的运算满足同态公式，则称 h 是从 A1到 A2的同态函数，并 称< h(X),g1,g2, ···,gm> 是A1的同态象。
• 同时有h-1：E →N, h-1(i)= i∕2。由初等数学可知h-1是双射函数,且 i，j E 有： h-1(i＋j)=(i＋j)∕2= i∕2＋j∕2= h-1(i)＋h-1(j)
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例. （R*，）与（R，+）不可能同构。 ） ， ）不可能同构。 证明：用反证法。假设（ 证明：用反证法。假设（R*，）与（R，+） ） ， ） 同构， 可设映射σ为 同构 ， 可设映射 为 R*到 R上的一个同构映 上的一个同构映 射，于是必有 σ：1 → 0， ： ， -1 → a， a ≠ 0。 ， 。 从而， 从而， σ(1) σ(( σ((-1) ( )) σ( )=σ(( )(-1)) =σ( )+σ( )=a+a=2a。 σ(-1) σ( σ(-1) σ( 。 则有2a=0，a=0，与a ≠ 0矛盾。故，原假 矛盾。 则有 ， ， 矛盾 设不对，（ ，（R 设不对，（ *，）与（R，+）不可能同构。 ） ， ）不可能同构。
对群(Z， 和 例. 对群 ，+)和(C*，) ，若令 σ：n → in， n ∈ Z， ： ， 其中i是 的虚数单位 的虚数单位。 其中 是C的虚数单位。 则σ是Z到C*内的一个映射，且对 是 到 内的一个映射，且对m,n∈Z， ， 有 σ(m+n)=im+n= imin=σ(m)σ(n)。 。 的同态映射， 即，σ是(Z，+)到(C*，)的同态映射， 是 ， 到 的同态映射 Z～σ(Z)。 ～ 。 σ(Z)={1，-1，i，-i}是C*的一个子群。 ， ， ， 是 的一个子群。
(4) 往证 有左壹而且就是 往证G′有左壹而且就是 有左壹而且就是σ(1)， ， 即证对于任意的a’∈ ， 即证对于任意的 ∈G’，有σ(1)a’=a’。 。 因有a∈ 使得 因有 ∈G,使得 a’ =σ(a) ，按σ的同态性 的同态性 σ(1)a’ = σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=a’。 。 (5) 往证 中任意元素 往证G’中任意元素 中任意元素σ(a) 有左逆且就是 -1)。 有左逆且就是σ(a 。 是群， 由a∈G，且G是群，知a-1∈G，故σ( a-1 ) ∈G’。 ∈ ， 是群 ， 。 由σ的同态性 的同态性 σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ(1)。 。 综上， 做成一个群 做成一个群， 综上，G’做成一个群， G’的壹 ’=σ( )，G’中σ(a)的逆是σ( -1)。 的壹1’ σ( σ(1) 的逆是σ( 的壹 中 的逆是σ(a
定理6.5.1 定理
是一个群， 是一个乘法系统 是一个乘法系统， 是 设G是一个群， K是一个乘法系统， σ是G 是一个群 中的一个同态映射， 到K中的一个同态映射， G’=σ(G) ，则 中的一个同态映射 G’是一个群， 是一个群， 是一个群 G’的单位元 ’就是 的单位元 的映像 的单位元1’就是G的单位元 的单位元1的映像 的单位元 σ(1) ，即，1’= σ(1)； ’ ； 对任意a 对任意 ∈G， （σ(a)）-1 = σ(a-1) 。 ， ） 同态， 称G和G′同态，记为 ～G′。 和 同态 记为G～ 。
例. 群（R+，）和（R，+）是同构的。因为若 ） ， ）是同构的。 令 σ：x→logx，x∈R+， ： → ， ∈ 上的1-1映射 则σ是R+到R上的 映射，且对任意 ∈R+， 是 上的 映射，且对任意a,b∈ σ(ab)=log(ab)=log a + log b=σ(a)+σ(b)。 。 故σ是（R+，）到（R，+）上的同构映射。 是 ） ， ）上的同构映射。 Log x是以 为底的 的对数，若取 是以e为底的 的对数， 是以 为底的x的对数 若取σ(x)=log2 x，或 ， 若取σ(x)=log10 x，则得到R+到R上的不同的同构 若取 ，则得到 上的不同的同构 映射。 映射。 由此可见， 由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同 构映射。 构映射。
无限循环群同构于整数加法群。 例. 无限循环群同构于整数加法群。 证明： 证明： 设G=（g）是无限循环群，Z为整数 （ ）是无限循环群， 为整数 加法群，则对a∈ ， ∈ ， 加法群，则对 ∈G，n∈ Z，使得 a=gn， 令 f：a → n。 ： 。 上的1 映射； 不难验证 f 是G到Z上的1-1映射；任取 到 上的 a,b∈G，则存在i,j∈Z，使得a=gi， b=gj， a,b∈ ，则存在i,j∈ ，使得 i,j f(gi gj)= f(gi+j )=i+j=f(gi )+ f(gj), f( f( )=i+j=f( f( 因此， 上的同构映射， 因此， f 是G到Z上的同构映射，即G Z。 到 上的同构映射 。
自同构映射
定义. 是一个群， 定义 设G是一个群，若σ是G到G上的同 是一个群 是 到 上的同 构映射，则称σ为自同构映射 为自同构映射。 构映射，则称 为自同构映射。 恒等映射，称为恒等自同构映射。 例. 恒等映射，称为恒等自同构映射。 例. 设（Z，+）是整数加法群，令 ， ）是整数加法群， σ：n → -n， n∈Z ， ： ， ∈ 的一个自同构映射。 则σ是Z的一个自同构映射。 是 的一个自同构映射 是一个Abel群，将G的每个元素都 例. 设G是一个 是一个 群 的每个元素都 映到其逆元素的映射σ： 映到其逆元素的映射 ：a → a-1 ( a∈G） ∈ ） 的一个自同构映射: 是G的一个自同构映射 的一个自同构映射 σ(ab)= (ab)-1 = b-1a -1 =a-1b -1=σ(a)σ(b)
证明
先证N是 的子群 的子群。 先证 是G的子群。 1）证N非空。因为 非空。 ） 非空 因为σ(1)=1ˊ，所以 ∈N。 ˊ 所以1∈ 。 2）若a∈N，b∈N，往证 -1∈N。由 ） ∈ ， ∈ ，往证ab 。 σ（a）=1′，σ（b）=1′， （ ） ， （ ） ， 可得 σ(ab-1)=σ(a)σ(b-1)=σ(a)(σ(b))-1 =1’(1’)-1=1’， ， 故ab-1∈N。 。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 是一个群， 是一个乘法系统 是一个乘法系统， 定义 设G是一个群，K是一个乘法系统， 是一个群 G到K内的一个同态映射 如果σ 内的一个同态映射， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G σ(G)上的1-1映射 则称σ是同构映射。 映射， 到σ( )上的 映射，则称σ是同构映射。 称G与σ( )同构，记成 σ( )。 与σ(G)同构，记成G σ(G)
为整数加群， 为实数加群， 例. 设G为整数加群，G’ 为实数加群， 为整数加群 σ：x → -x， x∈G， 令 ： ， ， 则σ是G到G’内的映射， 是 到 内的映射， 内的映射 且对任意x 且对任意 1, x2 ∈G， ， 有 σ(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=σ(x1)+σ(x2)， ， 所以σ是 到 的同态映射 的同态映射， 所以 是G到 G’的同态映射，显然是单射 但不是满射， 的子群。 但不是满射，σ(G)=Z 是G’的子群。 的子群
再证N是 的正规子群 的正规子群， 再证 是 G的正规子群，即证对于任意的 g∈G，gNg-1 N。事实上， ∈ ， 。事实上， σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1) =σ(g)1’σ(g)-1=σ(g)σ(g)-1=1’。 。 故gNg-1 N。 。 任取x∈ 则有n （任取 ∈ gNg-1 , 则有 ∈N，使得 ， x= gng-1 ,故 σ(x)=σ(gng-1 ) =σ(g)σ(n) σ (g-1 ) ) = σ(g)1’σ (g-1 )=σ(g) (σ(g))-1=1’， ， 因此， ∈ 。 因此， x∈ N。
(3) 往证 中有结合律成立： 往证G’中有结合律成立 中有结合律成立： 任取a’ 任取 ,b’,c’∈G’，往证 a’ (b’c’)=(a’b’)c’。 ∈ ， 。 因有a,b,c∈G,使得 因有 ∈ 使得 a’ =σ(a), b’=σ(b), c’=σ(c)， ， 故按σ的同态性， 故按 的同态性， 的同态性 a’ (b’ c’) = σ(a)(σ(b)σ(c)) = σ(a(bc)) (a’b’)c’= (σ(a)σ(b))σ(c) = σ((ab)c) 因群G中有结合律成立 中有结合律成立,所以 因群 中有结合律成立 所以 a(bc)=(ab)c。 。 于是 σ(a(bc))=σ((ab)c)。 。 因此， 因此， a’ (b’ c’)=(a’b’)c’。 。
证明
因为群G非空 至少1∈ ， 非空， (1) 因为群 非空，至少 ∈G，故至少 σ(1)∈G′，即G′非空。 非空。 ∈ ， 非空 (2) 任取 ∈G′，b’∈G′， 任取a’∈ ， ∈ ， 往证a’b’∈G′。 往证 ∈ 。 因有a,b∈ 因有 ∈G, 使得 a’=σ(a), b’=σ(b)， ， 故按σ的同态性 的同态性， 故按 的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)， ， 因而a’b’ =σ(ab) ∈σ(G), 而ab ∈G, 因而 即 a’b’ ∈G′。 。
§6.5 同构及同态
6.5.1 同 态 映 射 6.5.2 同 构 映 射 6.5.3 同 态 核
6.5.1 同 态 映 射
定义. 是一个群， 定义 设G是一个群，其运算是 ；K是一 是一个群 其运算是* 是一 个乘法系统，其运算为 个乘法系统，其运算为 ，称G到K的一个 到 的一个 映射σ是一个同态映射 如果对G中任意元 是一个同态映射， 映射 是一个同态映射，如果对 中任意元 素a，b ，有 ， σ(a * b)=σ(a) σ(b) 注意： 注意：这个映射既不一定是单射也不一定 是满射。 是满射。
群的第一同态定理
定理6.5.2 设σ是群 到Gˊ上的一个 是群G到 ˊ 定理 同态映射，于是， 同态映射，于是， 的核N是 的一个正规子群 的一个正规子群， σ的核 是G的一个正规子群， 对于Gˊ的任意元素aˊ， 对于Gˊ的任意元素aˊ ˊ)={x|x∈G ,σ( σ(x)= aˊ} σ-1 ( aˊ) ˊ) ∈ σ( ˊ 中的一个陪集， 是N在G中的一个陪集，因此，Gˊ的 在 中的一个陪集 因此， ˊ 元素和N在 中的陪集一一对应 中的陪集一一对应。 元素和 在G中的陪集一一对应。