第一讲 优选法 四、分数法

优选法的五种方法
优选法是数学原理指导下的一种科学方法，用于合理安排试验，以尽可能少的试验次数尽快找到生产和科学实验中最优方案。

以下列举了五种优选法的具体方法：
1. 单因素优选法：如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题。

这个方法又细分为平分法、法（黄金分割法）、分数法、分批试验法等。

2. 多因素优选法：当涉及两个或更多因素时，可以采用降维法、爬山法、单纯形调优胜、随机试验法、试验设计法等。

3. 微分法：用于求解目标函数有明显的表达式的问题。

4. 变分法：一种用于求解泛函的极值的方法。

5. 极大值原理或动态规划等分析方法：适用于目标函数有明显的表达式的情况。

请注意，以上信息仅供参考，如需获取更多信息，建议查阅优选法的相关书籍或咨询该领域专业人士。

优选法分数法原理优选法分数法是一种常见的决策方法，它是基于评价对象之间的多维度和多标准的比较，以得出最终的优先级排序。

该方法通常用于解决复杂问题，如投资决策、供应商选择和市场调查等。

该方法的具体步骤为：1. 确定评价对象：定义评价对象，确定需要评估的特定方面。

例如，评价一家公司的商业模式可能涉及利润、销售渠道、客户满意度等方面。

2. 确定评价标准：确定评估每个对象的标准。

例如，在商业模式的例子中，评价标准可能包括收益、利润率、市场份额等。

3. 指定权重：根据评价对象和评价标准，分配权重，确定每个标准的重要性。

例如，有些标准可能比其他标准更重要。

4. 评价得分：对于每个评价对象和评价标准，给出得分。

例如，在商业模式的例子中，收益可能在10分到100分之间得到一个得分，而市场份额可以在1％到100％之间得到一个得分。

5. 计算得分：通过采用合适的公式计算每个评价对象的最终得分。

常用的公式是将得分乘以权重，并将所有标准的得分相加。

6. 排序评估结果：根据最终得分进行排序，确定评价对象的优先级排序。

优选法分数法相对其他方法的优势在于，它允许管理人员在许多因素中进行选择和判断，使得决策更加客观和全面。

例如，在投资决策中，对于不同类型的投资，可以通过比较预期的利润、风险和时间要求来选择最好的投资项目。

同样，在供应商选择中，可以通过比较价格、交货时间、质量等因素，选择最适合的供应商。

然而，优选法分数法也存在着一些限制。

例如，它可能会受到权重安排的缺陷和评价标准的准确性和可靠性等因素的影响。

此外，该方法在不同的场景中可能需要不同的适配和修改。

在实践中，优选法分数法是一种非常有指导意义的方法。

在使用该方法之前，我们需要清楚地了解评价对象和标准，确定各项标准之间的重要程度，并选择合适的计算方法。

此外，还需要精心设计评价系统，以确保可重复性、透明性和一致性。

使用优选法分数法是一个动态的过程，需要结合实践不断完善和改进。

探寻最佳化学实验条件的方法对化学实验条件进行控制的目的，就是要探寻最佳化学实验条件。

所谓最佳化学实验条件，是指那些能产生最佳化学实验效果的实验条件。

它具有相对性，实验目的不同，实验环境不同，最佳实验条件也不尽相同。

那么，如何探寻最佳化学实验条件呢？一般来说，主要有以下四种方法。

（1）全面比较法在科学实验中，通常将影响实验结果的实验条件称为因素，一般用A ，B ，C …表示；将实验条件的变化等级称为水平，一般用1．2．3…表示。

全面比较法是对影响实验的各种因素的所有水平进行全面搭配比较的一种实验方法。

例如，碳粉还原氧化铜实验。

影响该实验的主要因素有：A －加热方式；B －碳粉与氧化铜的质量比；A 取2种水平：1A －酒精灯；2A －酒精喷灯；B 取10种水平：1B －1︰1，2B －1︰2……10B －1︰10。

所谓全面搭配，就是将1A ，2A 分别与1B ，2B ……10B 进行搭配，即做如下20次试验：11B A ，21B A ……101B A ，12B A ，22B A ……102B A 。

从这全部20次试验中选出最佳实验效果的因素组合如32B A ，即为最佳化学实验条件。

全面比较法的优点是能够发现实验条件对实验结果影响的全貌，并且通过全面比较可以找到最佳实验条件。

缺点是试验次数太多，特别是当实验因素较多，且每个因素的水平数又较大时，实验工作量是惊人的。

（2）优选法优选法是指在单因素实验中，如果不需要考查因素对实验结果影响的全貌，而只需找出最佳实验条件，则可在因素所取水平的范围内，按照黄金分割法来确定试验点（在0.618和0.382的比例位置上）进行实验的一种方法。

例如，用优选法来探寻碳粉与氧化铜的最佳质量比。

首先将1︰1、1︰2……1︰10依次编为1号、2号……10号；然后按0.618和0.382乘以总个数之值取号进行实验，即可找出最佳实验条件。

10×0.618＝6.18 取第6号进行实验 10×0.382＝3.82 取第4号进行实验实验后发现第4号的实验效果比第6号的好，那么第二次则去掉7号－10号，在1号～6号中按照0.618和0.382乘以总个数之值取号进行实验，即： 6×0.618＝3.7 取第4号（实验已做过） 6×0.382＝2.2 取第2号进行实验实验后发现第2号的实验效果比第4号好，那么第三次则去掉5号－6号，在1号～4号中按照0.618和0.382乘以总个数之值取号进行实验，即： 4×0.618＝2.5 取第3号进行实验4×0.382＝1.5 取第2号（实验已做过）实验后发现第3号实验效果比第2号好，那么，第3号即1︰3为碳粉与氧化铜的最佳质量比。

四 分数法（一）一、基础达标1.有一种叫做“喷嚏麦”的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝从旧枝长出来，老枝和新枝条每层树叶片数如图所示，则最上层“？”处的树叶数为()A.12B.13C.14D.15解析 符合斐波那契数列，利用逆推关系可知“？”处为13，所以答案为B. 答案BA.512B.1219C.1033D.1解析13＋13＋13＝1033，所以答案为C. 答案 C3.用斐波那契数列{F n }：F 0＝1，F 1＝1，F 2＝2，…表示黄金分割常数ω＝5－12的渐近分数中的分子和分母，即F nF n ＋1，则ω的第8个渐近分数是( ) A.813B.1321C.2134D.3435解析 第8个渐近分数为F 7F 8＝2134.答案 C4.记ω是黄金分割常数，则下列各式不正确的是( )解析 D 选项⇒ω2－ω－1＝0⇒ω＝1±52≠－1＋52.答案 D答案 26.卡那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为(37±1) ℃，培养时间在16 h 以上.某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29～50 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法安排试验，则第一试点在__________处，第二试点在__________处. 解析 x 1＝29＋1321×(50－29)＝42(℃)，x 2＝29＋50－42＝37(℃)所以答案为45 ℃，37 ℃. 答案 45 ℃，37 ℃ 二、能力提升7.在斐波那契数列{F n }中，F 0＝1，F 1＝1，F n ＋2＝F n ＋1＋F n (n ≥0，n ∈N *)，则F 10＝__________.解析 利用递推公式可得.F 2＝2，F 3＝3，F 4＝5，F 5＝8，F 6＝13，F 7＝21，F 8＝34，F 9＝55，F 10＝89. 答案 899.“椰子果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐在沸水中进行杀菌，为了优化这道工序，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，试验范围为5 min到39 min，如何安排前二次的试验？解因为试验数据范围是[5，39]，等分为34段，分点为6，7，…，37，38，第一个试验点选在5＋21/34×(39－5)＝26(min)，第二个试验点选在5＋39－26＝18(min).三、探究与创新。

第一讲优选法一、优选法和单峰函数教学目标：1．通过丰富的生活、生产案例，使学生感受到生活中存在着大量的优选问题；2．了解优选法和单峰函数的概念。

教学重点：单峰函数的概念教学难点：单峰函数的概念的理解教学过程一、什么叫优选法？人们经常会遇到这样的问题：选取"合适"的配方；寻找"合适"的操作和工艺条件；给出产品的"合理"设计参数；把仪器调节器试到"合适"的程度；等等。

所谓"合适"、"合理"，数学上叫最优。

例如如何使产品质量最好、产量最高，或在一定质量要求下如何使成本最低、消耗原材料最少、生产周期最短等等"最优"性问题，都常常引起人们的关心。

怎样才能达到"最优"呢？举个最简单的例子，比如蒸馒头；要想蒸得好吃、不酸不黄，就要使碱适量。

假如我们现在还没有掌握使碱量的规律，而要通过直接实践的方法去摸索这个规律，怎样才能用最少的实验次数就找到最理想的结果呢？换句话说，用什么方法指导我们进行实验才能最快地找到最优方案呢？这个方法就叫作优选法。

优选法的用途很广。

上面以蒸馒头问题为例，是考虑到了它通俗易懂，而且能说明选优的问题处处有、常常见。

有许多例子说明优选法有许多更重要的用处。

例如，某仪器表研究所在制造某种仪表时，为了找到一种能去除金属表面氧化皮的酸洗液，在未掌握优选法时，在两年的时间中做了无数次试验，勉强找到了一个配方，配洗效果仍不理想；酸洗时间半小时，然后还要用刷子刷。

当掌握了优选法后，克服了盲目性，用了不到一天的时间，只做了十四次试验就找到了一种新的酸洗液配方。

按照新配方，只需三分钟，氧化皮就自然剥落，而且材料表面光滑，既不需用刷子刷，又没有腐蚀痕迹。

（1）最佳点：（2）优选问题：（3）优选法：优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法。

第一讲 优选法 四、分数法知识与技能：本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示. 情感、态度与价值：通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化. 一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列., , ,138,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10=11=22=33=54=85=136=F10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138F F =来代替0.618，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x在存优范围50~130ml 内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的nn n n F FF F 21--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn nn n n F FF FF F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +14F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.课后作业1.阅读教材P. 11-P.17；2.《学案》.。