第一讲 优选法 四、分数法
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第一讲 优选法 四、分数法
知识与技能:
本节结合具体问题介绍分数法,让学生认识到分数法最优性的含义,并能初步了解它的推导原理,注意斐波那契数列的表示. 情感、态度与价值:
通过本节内容的学习,丰富了数学内容,传播了数学文化. 一、复习
黄金分割法适用目标函数为单峰的情形,第1个试验点确定在因素范围的0.618处,后续试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.
用0.618法确定试点时,从第2次试验开始,每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此,n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ
二、新课
案例1 在配置某种清洗液时,需要加入某种材料.经验表明,加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量,该量杯的量程分为15格,每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.
斐波那契数列和黄金分割
每个月兔子数构成的数列:.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1
这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的,为了纪念他,此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用,其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列.
, , ,138
,85 ,53 ,32 ,211
+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中,加入量大于130ml 时肯定不好,因此试验范围就定为0~130ml.
我们看到,
10=11=2
2=3
3=54=85=13
6=F
10ml ,20ml;,30ml ,…,120ml 把试验范围分为13格,对照ω的渐进分数列,如果用6
5
138
F F =
来代替0.618,那么我们有80)0130(13
8
01=-⨯+
=x 用“加两头,减中间”的方法,508013002=-+=x
在存优范围50~130ml 内:
继续用“加两头,减中间”的方法确定试点,几次试验后,就能找到满意的结果. 优选法中,像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.
如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成,试点只能取某些特定数,这是只能采用分数法.
案例2 在调试某设备的线路中,要选一个电阻,但调试者手里只有阻值为0.5K Ω,1K Ω,1.3K Ω,2K Ω,3K Ω,5K Ω,5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?
如果用0.618法,则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时,可以先把这些电阻由小到大的顺序排列:
为了便于分数法,可在两端增加虚点(0),(8),使因素范围凑成为8格,用8
5 代替0.618. 一般地,用分数法安排试点时,可以分两种情况考虑.
(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n -1). 这时,前两个试点放在因素范围的
n
n n n F F
F F 21
--和位置上,即先在第F n -1和F n -2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n -1),而小于(F n +1-1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数,把所有可能的试点减少为 (F n -1)个,从而转化为前一种情形.如果不能减少,则采取在试点范围之外,虚设几个试点,凑成F n +1-1个试点,从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点,并不增加实际试验次数.
.
.328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定,
续试点可以用“加两头确定了第一个试点,后分数法中,一旦用是相同的骤
来确定试点,后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的,
单峰函数的方法,它与分数法也是适合单因素n
n n
n n n F F
F F
F F ---=分数法的最优性
在目标函数为单峰的情形,通过n 次试验,最多能从(F n +1-1)个试点中保证找出最佳点,并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.
在目标函数为单峰的情形,只有按照分数法安排试验,才能通过n 次试验保证从(F n +1
4F 5
F 6
F 50
2=x 80
1=x 130
00
3F 4F 6F 1003=x 801=x 130500
-1)个试点中找出最佳点.
综上所述,对于试点个数为某常数时,用分数法找出其中最佳点的试验次数最少,这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.
课后作业
1.阅读教材P. 11-P.17;
2.《学案》.