第5章 优选法电子教案

一什么叫优选法[学习目标]1.通过丰富的生活、生产和科学实验案例，感受现实生活中存在大量的优选问题.2.了解最佳点、优选问题、优选法等概念.[预习导引]1.优选问题(1)在生产、生活和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的.对有关因素的最佳组合，简称最佳点.(2)关于最佳点的选择问题，称为优选问题.2.优选法①优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.②目的：优选法的目的在于减少实验次数.要点一优选问题例1 下列生活常识，与优选法有关的为( )①商品价格竞猜；②蒸馒头放碱；③营养师调配饮料时，选取合适的口感；④生煤炉对炉门的关闭程度.A.①②B.①③C.②③④D.①②③④解析以上四个现象均与优选法有关，所以答案选D.答案 D规律方法在生产和科学实验中，选取“合适”的配方，寻找“合适”的操作和工艺条件，给出产品的“合理”设计参数，把仪器调节到“合适”的程度都是优选问题.跟踪演练1 下列生活常识与优选法无关的为( )A.化学中催化剂用量B.检查线路故障C.足球赛上抛硬币选边D.五角星形是一种优美的图形解析 抛硬币跟概率有关，正面或反面朝上的概率均为12，它不属于优选问题.答案 C要点二 实验次数问题例2 2009年多个国家出现甲型H1N1流感，对与某确诊患者接触的200人进行隔离观察并对这些人进行血的化验，可以用以下两种方法进行： (1)每个人的血分别化验，这时需要化验多少次？(2)把每个人的血样分成两份.取k 个人的血样各一份混在一起进行化验.若结果是阳性，那么再对这k 个人的另一份血样逐个化验，这时这k 个人共需做k ＋1次化验.假设与甲型H1N1流感接触的发病率为0.01，而且这些人的反应是独立的. 求当k 取10时，按第(2)种方法操作时所需化验次数的最大值. 解 (1)需要化验200次. (2)由发病率为0.01，估计200人大约有2人的血样呈阳性. 当k ＝10时，则共有20组.第一次，对这20组进行化验，化验的次数为20次； 第二次，对第一次化验呈阳性的组逐个化验， 最多共化验2×10＝20次. ∴最多共需20＋20＝40次.规律方法 通过实验方法求最优点时，科学安排实验方式是减少实验次数的关键. 跟踪演练2 外形类似的一串钥匙中有n (n ＞1)片钥匙，分别对应编号为①，②，…，把锁.为了给n 片钥匙编号，需要用钥匙去试锁，每试一次均可判断这片钥匙是或不是配这把锁的.(1)给①号锁找钥匙，最少要试几次，最多要试几次？ (2)如果是n 把锁对应n 片钥匙，那最多要试多少次呢？ 解 (1)给①号锁找钥匙， 试一次就打开了锁， 则最少次数是1次，若一共试了n －1次还没有打开①号锁，则最后一片钥匙就是①号锁， 故最多次数是n －1次. (2)由(1)知，若按①，②，…，顺序给钥匙编号，则①号钥匙最多要n －1次； 从n －1片钥匙中找②号锁， 最多要n －2次；…；从2片钥匙中找最后两把锁，要1次.故最多需要试的次数是：(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＋0＝n （n －1）2(次).要点三 优选法思想应用例 3 为了供暖时减少能源耗损，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本是6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热厚度x (cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10).若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式.(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此，C (x )＝403x ＋5.而建造费用C 1(x )＝6x ，则隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝ 8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10). (2)f ′(x )＝6－ 2 400（3x ＋5）2，令f ′(x )＝0，即2 400（3x ＋5）2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去). 当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0；当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0. 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.规律方法利用函数的思想和方法，求出最佳点，是优选法的常用途径.跟踪演练3 一人用锅烙饼，正面烙3 min，反面烙2 min，锅里一次最多放两个饼.现在需要烙三个饼，下表表示两种方案实验的操作流程.如方案1中最开始表示烙A的正面和B的背面.(1)据此填写上表中的各序号表示的意义.(2)从上述表格中，你觉得烙三个饼最少需要的时间为( )A.9 minB.8 minC.7 minD.15 min解析(1)由条件易知：①处填C的背面；②处填A的背面；③处填9分钟；④处填C的正面；⑤处填A的背面；⑥处填8 min.(2)结合表中流程可知：不可能7分钟烙完，最少要8 min，故选B项.答案 B1.优选法的核心问题是：如何安排试验，能以最少次数迅速找到最佳点.2.利用优选法进行试验的步骤：(1)在因素区间上做两次试验，得到好点、差点；(2)以差点向好点一侧为存优区间，继续做试验，与原好点比较好坏；(3)重复第2步，直到找到最佳点或得到满意的试点.一、基础达标1.下列问题是优选问题的有( )①手工制作玻璃钢模型舰艇，采用何种型号环氧树脂、固化剂，才能使作品的硬度和韧性适宜；②炸酱面如何配料使口感更好；③膏豆腐的制作过程中，如何配制热石膏同豆浆的关系，才能使豆腐做出后不老不嫩.A.①③B.②③C.①②③D.①解析以上3个例子从不同的方面说明了优选问题的普遍性，均属于优选问题.答案 C2.下列各试验中，与优选方法无关的是( )A.女孩子在日常生活中总爱穿高跟鞋B.在学校举行的诗歌朗诵大赛中，文艺班长先从班级中选出一名优秀队员C.景泰蓝生产过程中，寻找“合适”的操作和工艺条件D.篮球比赛中，上下半场交换比赛场地解析A中“爱穿高跟鞋”、B中“优秀队员”、C中“合适的操作和工艺条件”都需要通过试验得到最佳效果，有优选法的思想，D只是交换场地，是比赛规则，不需要试验.答案 D3.下列有关优选法的说法中正确的个数为( )①优选法就是利用数学原理合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法②优选法的目的就是减少试验的次数③试验中如果安排不合理，会使得试验的次数很多④优选法是纯数学问题，实验性不大.A.1个B.2个C.3个D.4个解析由优选法定义可知①②③正确.④错误.答案 C4.一艘货船可装货物30 t，装载容积为14 m3，现有五件货物待运，它们的重量、容积和获利情况如下表：则能获得的最大利润为( ) A.7万元 B.9万元 C.10万元D.12万元解析 选择编号为①④⑤的货物，保证限重、限积要求，并使利润最大，故答案为B. 答案 B5.甲、乙、丙三人同时在水龙头边接水，他们各自盛满水所用时间分别为30 s 、40 s 、35 s ，则三个人等待的总时间最少为__________s.解析 按甲、丙、乙的顺序接水，这样三人等待的总时间最少，最少为30×3＋35×2＋40＝200(s). 答案 2006.用20 cm 长的铁丝折成一个矩形，则矩形最大面积为__________. 解析 设长为x ，宽为y ，则x ＋y ＝10，面积S ＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝25，当且仅当x ＝y ＝5时，等号成立.S max ＝25，所以答案为25 cm 2.答案 25 cm 2二、能力提升7.方程x 2＋x －1＝0的一个正根为__________.(精确度为0.01) 解析 利用二分法可求得该正根为0.62. 答案 0.628.用长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容积的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积.解 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5)m ，高为(3.2－2x )m ， 由3.2－2x ＞0，x ＞0，得0＜x ＜1.6.设容器的容积为y ，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0＜x ＜1.6)⇒y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x .∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6. 令y ′＝0，得x 1＝1，x 2＝－415(舍去). 又x ∈(0，1)，y ′＞0，x ∈(1.1，6)，y ′＜0， 因此，当x ＝1时，y max ＝1.8，此时高1.2 m. ∴容器的高为1.2 m 时容积最大，最大容积为1.8 m 3.9.《幸运52》有一个游戏叫看商品猜价格，这个游戏的具体规则：由参与者猜一个价格，然后主持人会根据此人所报出的价格来判断是高于实际价格还是低于实际价格，并提示是“高了”还是“低了”，直到你猜对价格为止.如果你是参与者，而且已确定了这个商品的价格在1 000元至2 000元之间(为整数值)，你可以用等距法(即从一端开始每端相同的差价k 元进行报价)来猜.那你觉得如何取k 的值，能较快的猜得价格？解 (1)若k 取1，即报价从1 001，1 002，1 003，…，直至猜中为止，对这种方法如果价格较低(如不超过1 010)还是比较好，但如果价格较高(如价格是1 800)，则猜的次数很多.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了999次.(2)若先取k ＝100，即报价按1 100，1 200，…，确定价格的百位，如报到1 500时，说“高了”，则易知价格在1 400至1 500之间；然后取k ＝10，即报价按1 410，1 420，…，确定价格的十位；再取k ＝2，确定个位.以此类推猜得价格.按此方法报的次数最多的价格是1 999元，报了23次.(以上仅列举了两种方法，答案不唯一) 三、探究与创新10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1，∴y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx(2＋x )x ＝256xm ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512). 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0，64)内为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64，640)内为增函数.所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.二 单峰函数[学习目标]1.理解单峰函数的概念，并能够判断函数在给定的区间上是否是单峰函数.2.理解因素、可控因素、不可控因素、单因素问题、目标函数、试点、好点、差点、存优范围等概念. [预习导引]1.(1)单峰函数：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小值点)C 的左侧，函数单调增加(减少)；在点C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a ，b ]上的单峰函数. (2)规定：区间[a ，b ]上的单调函数也是单峰函数.2.因素的概念及分类(1)一般地，把影响试验目标的诸多变量称为因素.(2)在一个试验过程中，只有(或主要有)一个因素在变化的问题，称为单因素问题.(3)分类：按影响因素是否可控分为⎩⎪⎨⎪⎧可控因素不可控因素(4)在试验中能够表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数.(5)设x 1和x 2是因素范围[a ，b ]内的任意两个试点，C 点为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点.(6)以差点为分界点，把因素范围分为两部分，称好点所在部分为存优范围.要点一 单峰函数的判断例1 下列函数，单峰函数有________. (1)y ＝lg x ，x ∈[1，10]； (2)y ＝3x 2－5x ＋2，x ∈[1，5]；(3)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. (4)y ＝2x，x ∈R .解析 其中注意(4)函数y ＝2x虽然是单调函数，但是它的定义域不为闭区间，所以不为单峰函数.答案 (1)(2)(3)规律方法 由单峰函数定义可知：闭区间上的单调函数或只有一个极值点的函数都是单峰函数；常用判断方法(1)图象法.(2)导数法. 跟踪演练1 下列函数不为单峰函数的为( ) A.f (x )＝x 2，x ∈[0，1] B.f (x )＝x 3－3x 2－9x C.y ＝x ＋4x，x ∈[1，3]D.y ＝2x，x ∈[－1，1]解析 利用导数知识作出f (x )＝x 3－3x 2－9x 的图象可知不是单峰函数，所以答案选B. 答案 B要点二 好点、差点的判断例2 某主要因素对应的目标函数如图所示，若c 是最佳点，则下列说法中正确的是( ) A.d ，e 都是好点B.区间[a ，d ]是一个存优范围C.d 不是好点D.a ，b 是分界点解析 c 与d 比较，d 为差点，c 为好点，则以d 为分界点，含有好点的部分为存优范围，所以区间[a ，d ]是一个存优范围，故选B. 答案 B规律方法 1.若目标函数为单峰函数，则好点比差点更接近最佳点，且最佳点与好点必在差点的同侧.2.以差点为分界点，把因素分成两部分，并称好点所在部分为存优范围.3.好点、差点是相对于区间而言的，在一个范围内是好点，但在另一个范围内可能就是差点.跟踪演练2 已知函数f (x )为区间[0，1]上的单峰函数，且f (x )在x ＝a 处取到最大值.若f (0.3)<f (0.6)，则存优区间为________；若第3个试点为0.44，且相比0.6而言是好点，则存优区间缩小为________.解析 由f (x )为[0，1]上的单峰函数，且f (x )在x ＝a 处取到最大值，又f (0.3)<f (0.6)，故存优区间为[0.3，1]；由0.44是好点，从而存优区间缩小为[0.3，0.6]. 答案 [0.3，1] [0.3，0.6] 要点三 求单峰函数中参数范围例3 已知f (x )＝13x 3－2ax 2＋3a 2x ＋2的定义域是[0，4].(1)若f (x )的最佳点是x ＝3，求a 的值. (2)若f (x )是单峰函数，求a 的取值范围. 解 f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2(ⅰ)当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，f (x )在[0，4]上单调递增最佳点不为x ＝3.(ⅱ)当a ≠0时，由f ′(x )＝x 2－4ax ＋3a 2＝(x －a )(x －3a )知x ＝a ，x ＝3a 是极值点.由条件知x ＝3是函数的在[0，4]上唯一一个极值点，当a ＝3，可得3a ＝9∉(0，4)；当3a ＝3时，a ＝1∈(0，4)，故a ＝1不合题意.所以a ＝3. (2)由f (x )在区间[0，4]上是单峰函数. 故f (x )在区间上只有一个极值点或没有极值点，由两个极值点x ＝a ，x ＝3a (a ≠0)在区间(0，4)上可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜4，0＜3a ＜4，解之得0＜a ＜43.故由f (x )在区间上只有一个极值点或没有极值点， 可得a ≤0或a ≥43.即a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. 规律方法 函数的最佳点一般是函数在区间上的唯一极值点.函数在区间上是单峰函数，三次函数在此区间上只有一个极值点或没有极值点，本题第(2)问可转化为三次函数有两个极值点在区间上的否命题.跟踪演练3 若y ＝sin ax (a >0)在[0，π]上是单峰函数，则a 的取值范围为________. 解析 函数y ＝sin ax 的周期为T ＝2πa ，则34·2πa ≥π，∴0<a ≤32.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，321.结合图象，理解目标函数为单峰函数的条件下好点、差点、最佳点间的关系.2.了解单峰函数求最佳点的方法.一、基础达标1.关于单峰函数，有下列说法：①在区间[a ，b ]上的单峰函数就是只有一个极大值点的函数； ②在区间[a ，b ]上的单调函数不是单峰函数；③对有关因素的最佳组合进行选择，这样的问题称为优选问题； ④在试验范围内具有极值性的问题称为具有单峰性的问题. 其中正确的个数有( ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个解析 ①②④错误，只有③正确. 答案 B2.下列函数在区间[－10，10]上是单峰函数的为( ) A.y ＝1x ＋1B.y ＝cos xC.y ＝2xD.y ＝13x 3－x 2－3x解析 根据单峰函数的定义及规定知只有y ＝2x在区间[－10，10]上为单峰函数. 答案 C3.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m 在区间[－3，2]上是单峰函数，则下列哪个存优范围最小( ) A.[－2，2]B.[－1，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 解析 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝0，知x 1＝0，x 2＝2，所以最佳点是x ＝0，所以C 选项排除，由A ，B ，D 的区间范围可知D 的范围最小，故选D 项. 答案 D4.若某单峰函数的存优范围是[1，4]，现在区间[1，4]上任取两点2，3，通过比较，2与3相比，2是好点，则此时的存优范围是__________.解析 因为2为好点，舍去区间[3，4]，存优范围为[1，3). 答案 [1，3)5.在粉笔加工设计中，每支粉笔都要丢掉一段一定长的粉笔头，单就这一点来说，愈长愈好，但太长了，使用起来既不方便，也容易折断，每断一次，必然多浪费一个粉笔头，反而不合适，因而就出现了“粉笔多长最合适”的问题，技术员王工在长度为10 cm 至15 cm 范围内经过多次尝试，最后发现12 cm 长的粉笔最合适.根据上述描述，请回答下列问题： (1)这个问题的可控因素是________； (2)这个问题的最佳点是________.解析 (1)这个问题是优选问题.这个问题是寻找粉笔的合适长度，因此可控因素是粉笔的长度.(2)本题是寻找粉笔的合适长度，因此最佳点就是最合适的粉笔长度，即12 cm. 答案 (1)粉笔的长度 (2)12 cm6.已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最佳点为__________.解析 y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥－2(t ＞0)，当且仅当t ＝1时，y min ＝－2. 答案 1 二、能力提升7.说出下列优选问题中的可控因素.①购房者在选择适合自己的房屋时，会从房屋的位置、价格等不同特性进行对比，从中选择合适的房子.②调配葡萄酒时，需用两种原酒调配而成，如由赤霞珠、梅鹿辄组合成的干红葡萄酒，经过多次试验，确定两种原酒的最佳比例.③做馒头，碱放少了馒头会酸，碱放多了馒头会变黄、变绿且带碱味，碱放多少才合适呢？④为了加强钢的强度，要在钢中加入碳，加入太多太少都不好，究竟加入多少碳，钢才能达到最高强度呢？解 (1)中的可控因素是位置、价格等；(2)两种原酒的比例；(3)加入碱的量；(4)加入碳的量. 8.已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)若f (x )在[0，＋∞)上单调，求a 的取值范围.(2)若g (x )＝f (x )－3x 在[－1，4]上是单峰函数，求a 的取值范围.解 (1)由f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3≥0对任意x ≥0恒成立，得－2a ≤x ＋1x⇒－2a ≤2⇒a ≥－1.(2)由g ′(x )＝f ′(x )－3＝3x 2＋6ax ＝3x (x ＋2a )，由g ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝－2a . ∵0∈(－1，4)，所以－2a ∉(－1，4)， ∴－2a ≤－1或－2a ≥4，即a ≥12或a ≤－2.故a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 9.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为P 万元和Q 万元.它们与投入资金x 万元的关系有经验公式P ＝15x ，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，则对甲、乙两种商品的资金投入分别为多少？并说明此优选问题是否具有单峰性质.解 设对甲种商品投资x 万元，则乙种商品投资为(3－x )万元，又设所获得的利润总额为y 万元，由题意有y ＝15x ＋353－x ，x ∈[0，3].令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2，t ∈[0，3]，从而y ＝15(3－t 2)＋35t ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2120，t ∈[0，3].当t ＝32∈[0，3]时，y max ＝2120.即知x＝3－94＝34，3－x ＝3－34＝94.因此，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元.这个优选问题中的目标函数，经过换元之后为有最大值的二次函数，而二次函数为单峰函数，因此这个优选问题具有单峰性质. 三、探究与创新10.证明：若目标函数为单峰函数，则最佳点与好点必在差点的同侧. 证明 下面仅对单峰函数f (x )上凸的情形进行证明.设点c 为[a ，b ]上的单峰函数f (x )的最大值点，m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n ).因为f (x )为单峰函数，所以f (x )在[a ，c ]递增，在[c ，b ]递减.(1)设n ∈[a ，c ]，如图，因为m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n )，所以m ∉[a ，m ∈[n ，b ].因为n ∈[a ，c ]，所以c ∈[n ，b ].因此，点m ，c 在点n 的右侧.(2)设n ∈[c ，b ].因为m ，n ∈[a ，b ]，且f (m )＞f (n )，所以m ∉[n ，b ]，即m ∈[a ，n ].因为n ∈[c ，b ]，所以c ∈[a ，n ].因此，点m ，c 在点n 的左侧.由(1)(2)可知点m ，c 始终在点n 的同侧.三 黄金分割法——0.618法(一)[学习目标]1.理解用黄金分割法进行试验设计的原理.2.了解黄金分割常数的推导过程. [预习导引](1)优选问题通过试验方法找到最佳点时，“最快”找到或确定合适的试点的两个原则为： ①安排试验点时，最好使两个试验点关于区间[a ，b ]的中心a ＋b2对称.②每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.(2)黄金分割常数用ω表示.其值ω20.618.黄金分割常数是一元二次方程x 2＋x －1＝0的一个根.(3)设M 为线段AB 上的一点，若有AB ∶AM ＝AM ∶MB ，则点M 叫做线段AB 的黄金分割点，令AB ＝1，AM ＝x ，则x 2(或黄金率).要点一 黄金分割常数的意义例1 下列说法中，正确的个数为( )①黄金分割常数，是指事物各部分之间的一种比例关系，它表示将整体一分为二，较大部分和较小部分之间的比例等于整体和较大部分之间的比例；②黄金分割点，是指在已知线段上的一点，它分线段为两部分，其中一部分是全线段与另一部分的比例中项；③黄金分割常数，就是方程t 2＋t －1＝0的正实根；④正五边形的两条对角线的一个交点是对角线上的黄金分割点.A.1B.2C.3D.4解析 ②③④正确.①中黄金分割常数为较大部分和较小部分之间的比例等于较大部分与整体之间的比，故①错. 答案 C规律方法 黄金分割常数就是方程x 2＋x －1＝0的正根，在自然界与几何图形中普遍存在. 跟踪演练1 下列实际问题与黄金分割常数有关的为( )①一名有经验的教师在45 min 的课堂里至少要留10.7 min 给学生自主学习； ②设计师在许多图案选择中，常常采用五角星； ③腿短的女生喜爱穿高跟鞋； ④人们最喜欢春秋气温. A.②③ B.②④ C.②③④D.①②③④解析 以上四种现象均与黄金分割常数有关，所以答案为D. 答案 D要点二 几何中的黄金分割数例2 若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左焦点到左准线的距离等于长半轴长，证明椭圆的离心率为黄金分割数.证明 由题意可得：a 2c －c ＝a ⇒c 2＋ac －a 2＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0⇒c a ＝－1±52.∵c a ∈(0，1)，∴c a ＝－1＋52. 即e ＝－1＋52＝ω.规律方法 依黄金分割常数确定的几何图形更富美感，这一点在美术，雕塑中被普遍采用. 跟踪演练2 如图，△ABC 是正五角形的一个角所在的三角形，AD 是∠CAB 的平分线，求证：DB DC ＝ABAC＝ω(其中ω是黄金分割常数).证明 由条件可知△ABC 是等腰三角形，且∠C ＝36°， 所以∠CAB ＝∠CBA ＝72°，则AC ＝BC . 由AD 是∠CAB 的平分线可得∠DAB ＝36°， 所以∠ADB ＝∠CBA ＝72°，则AD ＝AB . 所以△ABC ∽△BDA ，所以AB AC ＝BDBA， 即AB 2＝AC ·BD .在△ADC 中，由∠CAD ＝∠C ＝36°，知AD ＝CD .所以CD 2＝BC ·BD .设BC ＝1，CD ＝t (0＜t ＜1)，则BD ＝1－t ，所以t 2＝1－t ，解得t ＝－1＋52或t ＝－1－52(舍去)，即CD BC ＝t ＝－1＋52＝ω， 故DB DC ＝AB AC＝ω.要点三 用0.618法确定试点例3 为了提高某产品的质量，对影响质量的一个因素进行优选.已知此因素范围为[1 000，2 000]，用0.618法安排试验，第一个和第二个试点安排在何处？如果第一点效果比第二点好，第三个试点应选在何处？解 在因素范围[1 000，2 000]内，用0.618法安排试验，第一个试点x 1满足x 1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618； 第二个试点x 2满足x 2＝1 000＋2 000－1 618＝1 382.试验结果，如果x 1的效果比x 2好，舍去x 2＝1 382以下部分，则第三个试点x 3满足x 3＝2 000＋1 382－1 618＝1 764. 示意图如下：规律方法 0.618法满足的原则是：(1)每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中点对称； (2)每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数应相同.跟踪演练3 例题条件不变，如果第二点效果比第一点好，那么第三个试点应选在何处？ 解 由于x 2的效果比x 1的效果好， 消去x 1＝1 618以上部分，此时的存优范围为[1 000，1 618]， ∴x 3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236， ∴第三个试点应选在1 236处.1.通过缩小存优范围来寻找最优点的方法：(1)在因素范围[a ，b ]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定好点与差点.(2)在差点处把区间[a ，b ]分为两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a 1，b 1]，(3)再在[a 1，b 1]内重复上述过程，从而达到可使存优范围逐步缩小的目的. 2.利用黄金分割法寻找最优点的原则： (1)使两个试点关于[a ，b ]的中心a ＋b2对称；(2)保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等.一、基础达标1.有一优选问题，存优范围为[10，20]，在安排试点时，第一个试点为16，则第二个试点最好为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析 在优选过程中，安排试点时，最好使两个试点关于[10，20]的中点15对称，所以第二个试点最好为14. 答案 C2.在存优范围[10，100]安排两个实验点x 1，x 2，则x 1，x 2关于( )对称. A.0.618 B.65.62 C.55 D.61.8解析 x ＝x 1＋x 22＝10＋1002＝55.答案 C3.用0.618法确定试点，则经过4次试验后，存优范围缩小为原来的( )A.0.6182B.0.6183C.0.6184D.0.6185解析由黄金分割法知：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相等，故4次试验后，存优范围缩小为原来的0.6183.答案 B4.假设因素区间为[0，1]，取两个试点0.1和0.2，则对峰值在(0，0.1)内的单峰函数，两次试验存优范围缩小到区间________上.解析如图所示：因为峰值在(0，0.1)内，故应舍去区间[0.2，1]，两次试验后存优范围缩小到区间[0，0.2]上.答案[0，0.2]5.人体的正常体温为36～37 ℃，在炎炎夏日将空调设为__________℃，人体感觉最佳.(精确到0.1 ℃)解析36×0.618到37×0.618，即22.2～22.8.答案22.2～22.86.一个身高为170 cm的人，肚脐离地面的最佳高度为__________ cm(精确到1 cm).解析由170×0.618＝105.06≈105.答案105二、能力提升7.已知一种材料的最佳加入量在110 g到210 g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是________g.解析根据0.618法可知，第一试点的加入量为110＋0.618×(210－110)＝171.8(g)或110＋210－171.8＝148.2(g)答案171.8或148.28.在炼钢过程中为了得到特定用途的钢，需要加入含有特定元素的材料.若每吨钢需要加入某元素的量在1 000 g到2 000 g之间，假设最佳点在1 400 g，如果用0.618法试验，求第三个试验点.解由0.618法知x1＝1 000＋0.618(2 000－1 000)＝1 618(g)，x2＝1 000＋2 000－x1＝1 382(g).由于1 382 g接近1 400 g，所以此时的存优范围为(1 000，1 618)，∴x3＝1 000＋1 618－1 382＝1 236(g).9.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，A 为长轴的右端点，B 当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆为“黄金椭圆”. (1)类似“黄金椭圆”，推算“黄金双曲线”的离心率.(2)设AB 为黄金双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的弦，M 为AB 的中点，若AB ，OM 的斜率存在，求k OM ·k AB .解 (1)类似“黄金椭圆”，作出“黄金双曲线”，如图，则BF ⊥AB . 则BO ＝b ，FO ＝c ，OA ＝a ，在Rt△ABF 中，b 2＝ac . 又∵b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca－1＝0. ∴e ＝c a ＝1±52.又e ＞1，∴e ＝1＋52.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1， ①x 22a 2－y 22b 2＝1. ②由①－②得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a ＝（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b. ∵M 是AB 的中点，且x 1≠x 2， ∴x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，从而y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 0y 0.故k OM ·k AB ＝y 0x 0·y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2＝1＋52.三、探究与创新10.已知线段AB ，怎样作出它的黄金分割点？解 法一 在AB 的端点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB ，连接AD ，在AD 上截取DE ＝DB ，再在AB上截取AC ＝AE ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图1. 事实上，由作法可知AD ＝52AB ，则AC ＝AE ＝AD －DB ＝AD －12AB ＝5－12AB ， 即证.图1法二 在AB 上作正方形ABMN ，在AN 上取中点E ，在NA 的延长线上取EF ＝EB .以AF 为一边作正方形ACDF ，则点C 为所求作的黄金分割点，如图2. 事实上，由AC ＝AF ＝EF －AE ＝EB －AE ＝AB 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2－12AB＝5－12AB ，即证.图2三 黄金分割法——0.618法(二)[学习目标]1.能用0.618法解决不限定次数的优选问题，从而找到试验区间中的最佳点.2.掌握黄金分割法的操作过程，了解实验精度及对实验的控制. [预习导引]1.黄金分割法适用于目标函数为单峰的情形，该法是把试点安排在黄金分割点来寻找最佳点的方法.。

4-7优选法与试验设计初步高考导航知识网络典例精析题型一关于黄金分割法的优选法应用问题【例1】炼某种航天材料，需添加某种化学元素以增加抗氧化强度，加入范围是1 000~ 2 000克，求最佳加入量.【解析】第一步：先在试验范围长度的0.618处做第(1)个试验：x1＝小＋(大－小)×0.618＝1 000＋(2 000－1 000)×0.618＝1 618克.第二步：第(2)个试验点由公式计算：x 2＝大＋小－x 1＝2 000＋1 000－1 618＝1 382克.第三步：比较(1)与(2)两点上所做试验的效果，现在假设第(1)点比较好，就去掉第(2)点，即去掉[1 000,1 382]这一段范围，留下[1 382,2 000].而第(3)试点x 3＝大＋小－x 1＝1 382＋2 000－1 618＝1 764克.第四步：比较在上次留下的好点，即第(1)处和第(3)处的试验结果，看哪个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好的试验结果为止.【点拨】可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可.【变式训练1】设有一个优选问题，其因素范围是1 500~2 500，假设最优点在2 300处.(1)用0.618法进行优选，写出第二，第三个试点的数值；(2)若第一试点取2 010，写出第二，第三，第四个试点的数值.【解析】(1)由0.618法得第一个试点为x 1＝1 500＋0.618×(2 500－1 500)＝2 118. 由“加两头，减中间”得x 2＝1 500＋2 500－2 118＝1 882.因为最优点在2 300处，所以新的存优范围是[1 882,2 500]，所以x 3＝2 500＋1 882－2 118＝2 264.同理可知新的存优范围是[2 118,2 500].(2)因为x 1＝2 010，则由对称原理知x 2＝1 500＋2 500－2 010＝1 990，因为最优点在2 300处，所以x 1优于x 2，新的存优范围是[1 990,2 500].所以x 3＝1 990＋2 500－2 010＝2 480，所以新的存优范围是[2 010,2 500].所以x 4＝2 010＋2 500－2 480＝2 030.题型二 用分数法解决优选法的应用问题【例2】某化工厂准备对一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60 ℃~81 ℃，精确度要求±1 ℃，现在技术员用分数法进行优选.(1)如何安排试验？(2)若最佳点为69 ℃，请列出各试验点的数值；(3)要通过多少次试验才可以找出最佳点？【解析】(1)试验区间为[60,81]，等分为21段，分点为61,62，…，79,80，所以60＋1321×(81－60)＝73(℃).故第一试点安排在73 ℃.由“加两头，减中间”的方法得60＋81－73＝68，所以第二试点选在68 ℃.后续试点也可以用“加两头，减中间”的方法来确定.(2)若最佳点为69 ℃，即从第二次试验开始知69 ℃在存优范围内，由(1)知第一、二次试验点的值分别为73,68，因为69∉[60,68]，故去掉68 ℃以下的部分，则第三次试验点的值为68＋81－73＝76.同理去掉76 ℃以上的部分，第四次试验点的值为68＋76－73＝71，第五次试验点的值为68＋73－71＝70，第六次试验点的值为68＋71－70＝69.即安排了6次试验，各试验点的数值依次为：73,68,76,71,70,69.(3)共有20个分点，由分数法的最优性定理可知F 7＝21，即通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点.【点拨】用分数法安排试验，一旦用F n －1F n确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.【变式训练2】某国有酒厂发酵某种酒精时规定发酵温度为(28±1)℃，发酵时间为3 000小时以上.为提高工厂效益，技术员老王进行缩短发酵时间的技术改造，决定对发酵温度进行优选.试验范围定为15 ℃~36 ℃，精确度为±1 ℃.请你用分数法帮助老王安排试验.【解析】(1)将试验区间[15,36]等分为21段，分点为16,17， (35)(2)第一试点为15＋(36－15)×13÷21＝28(℃)，第二试点为15＋(36－15)×8÷21＝23(℃).(3)以下按分数法顺次确定试点，就可以找到最优发酵温度.总结提高单因素方法包括0.618法(也叫黄金分割法)、分数法、对分法、盲人爬山法、分批试验法.其中0.618法和分数法是优选法的重点.优选法中的难点是理解0.618法和分数法的原理和认识分数法的最优性.。

诚西郊市崇武区沿街学校第一讲优选法一、优选法和单峰函数教学目的：1．通过丰富的生活、消费案例，使学生感受到生活中存在着大量的优选问题；2．理解优选法和单峰函数的概念。

教学重点：单峰函数的概念教学难点：单峰函数的概念的理解教学过程一、什么叫优选法？人们经常会遇到这样的问题：选取"适宜"的配方；寻找"适宜"的操作和工艺条件；给出产品的"合理"设计参数；把仪器调节器试到"适宜"的程度；等等。

所谓"适宜"、"合理"，数学上叫最优。

例如如何使产品质量最好、产量最高，或者者在一定质量要求下如何使本钱最低、消耗原材料最少、消费周期最短等等"最优"性问题，都常常引起人们的关心。

怎样才能到达"最优"呢？举个最简单的例子，比方蒸馒头；要想蒸得好吃、不酸不黄，就要使碱适量。

假设我们如今还没有掌握使碱量的规律，而要通过直接理论的方法去探究这个规律，怎样才能用最少的实验次数就找到最理想的结果呢？换句话说，用什么方法指导我们进展实验才能最快地找到最优方案呢？这个方法就叫作优选法。

优选法的用途很广。

上面以蒸馒头问题为例，是考虑到了它通俗易懂，而且能说明选优的问题处处有、常常见。

有许多例子说明优选法有许多更重要的用途。

例如，某仪器表研究所在制造某种仪表时，为了找到一种能去除金属外表氧化皮的酸洗液，在未掌握优选法时，在两年的时间是是中做了无数次试验，勉强找到了一个配方，配洗效果仍不理想；酸洗时间是是半小时，然后还要用刷子刷。

当掌握了优选法后，抑制了盲目性，用了不到一天的时间是是，只做了十四次试验就找到了一种新的酸洗液配方。

按照新配方，只需三分钟，氧化皮就自然剥落，而且材料外表光滑，既不需用刷子刷，又没有腐蚀痕迹。

（1） 最正确点：（2） 优选问题：（3） 优选法：优选法是根据消费和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最正确点的科学试验方法。

第4课时方案选择问题【问题引入】两款空调的部分信息如表.品牌售价/元平均每年耗电量/（kW·h）A 3 200 650B 2 400 900购买哪款空调较划算呢？下面是李明和王芳的对话，他们谁说得有道理？逐步设问，探究点方案选择不同能效空调的综合费用比较（教材P138探究3）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，表中是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/（kW·h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.两款空调的部分基本信息匹数能效等级售价/元平均每年耗电量/（kW·h）1.5 1级 3 000 6401.5 3级 2 600 800问题1 一台空调的综合费用包括哪些部分？空调的售价、电费.问题2 一台空调使用了若干年，产生的总电费是怎样计算的？电价×每年耗电量×使用年数.3.如何选择合适的方案？ 【知识结构】【作业布置】1.教材P141习题5.3第14题.2.相应课时训练.板书设计第4课时 方案选择问题1.构建模型2.方案选择教学反思方案选择是生活中常常要面临的问题，本节课通过层层设问，由浅入深，循序渐进，引导学生对问题逐步探究，最终作出合理的决策.通过数学的思维，全面理性地分析决策时需要考虑的要素，锻炼了学生提炼和处理信息的能力，以及统筹规划的能力.数学来源于实践，也服务于实践.通过本节课的学习，学生深刻体会到了数学的实际应用价值，在日后的生活中，也必然会具备更理性的态度.解题大招 分段计费问题分段计费问题中，有时消费量未知，需要结合分段收费标准以及总费用，反向推理消费量；或已知消费量及总费用，反推分段标准.解决这些类型的问题，一般先根据计费结果判断消费量可能在哪个范围内，再根据对应的数量关系，构建方程模型求消费量或分段标准.例1 为鼓励节约用电，某地对居民用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电量不超过100kW ·h ，那么每千瓦时电价按0.55元收费；如果超过100kW ·h ，那么超过部分每千瓦时电价按1元收费.某户居民3月需缴纳电费105元，则该户居民3月共用电多少千瓦时？解：因为100×0.55=55(元)，55＜105,所以该户居民3月的用电量超过了100kW ·h. 设该户居民3月共用电x kW ·h.根据题意，得100×0.55+（x -100）×1=105，解得x =150. 答：该户居民3月共用电150kW ·h.例2 为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量部分的水价为1.5元/t ，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/t.该市李明家5月份用水14t ，交水费25元.该市规定的每户月用水标准量是多少吨？解：因为14×1.5=21（元），21<25，所以李明家5月份用水超过了标准量.设该市规定的每户月用水标准量是x t.根据题意，得1.5x +2.5（14-x ）=25，解得x =10. 答：该市规定的每户月用水标准量是10t.培优点 购票中的方案选择问题 例 某公园门票价格规定如下表：某校七年级（1）（2）两个班共104名学生去游园，其中（1）班有40多名学生，不足50名学生.经估购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格13元11元9元算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元.（1）两班各有多少名学生？（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？（3）如果（1）班单独组织去游园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？分析：（1）设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生，根据“购票总费用=（1）班购票费用+（2）班购票费用”即可求解；（2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240作差即可得出结论；（3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论.解：（1）设（1）班有x名学生，则（2）班有（104-x）名学生.根据题意，得13x+11（104-x）=1240.解得x=48.进而104-x=56.故七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有56名学生.（2）1240-9×104=304（元）.即可省304元钱.（3）51×11=561（元），48×13=624（元）.因为561<624，所以购买51张门票最省钱.。