数学知识点：常用优选法_知识点总结

优选法的概念
1．优选法的概念
【知识点的认识】
1．优选法：根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法．
目的：减少试验次数，提高效率；
依据：寻找数学模型的最佳点．
2．寻找相关因素最佳点常用方法：
①直接最优法：直接试验→优选法
②间接最优法：转化成数学角度．
3．优选法中常用方法：
单因素：（1）单峰情形：
①0.618（黄金分割法）；
②分数法；
③对分法；
④盲人爬山法：
⑤分批试验法
（2）多峰情形．
双因素（单峰情形）：
①纵横对折法；
②从好点出发法；
③平行线法；
④双因素盲人爬山法．
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高中数学知识总结归纳（打印版）引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质 示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B = A(B)或B A真子集 A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B(2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 名称 记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >> |x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．()()()U U U A B A B =痧?()()()U U U A B A B =痧?②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．yxo利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y fx -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2ba -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a ∆=-=． （4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f kxy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔x y1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k 0<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kxy1x 2x O ∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高中数学知识点记忆口诀高中数学知识点记忆口诀如下：一、数学思想方法总论中学数学一线牵，代数几何两珠连;三个基本记心间，四种能力非等闲。

常规五法天天练，策略六项时时变，精研数学七思想，诱思导学乐无边。

一线：函数一条主线(贯穿教材始终)二珠：代数、几何珠联璧合(注重知识交汇)三基：方法(熟)知识(牢)技能(巧)四能力：概念运算(准确)、逻辑推理(严谨)、空间想象(丰富)、分解问题(灵活)五法：换元法、配方法、待定系数法、分析法、归纳法。

六策略：以简驭繁，正难则反，以退为进，化异为同，移花接木，以静思动。

七思想：函数方程最重要，分类整合常用到，数形结合千般好，化归转化离不了;有限自将无限描，或然终被必然表，特殊一般多辨证，知识交汇步步高。

二、数学知识方法分论集合与逻辑集合逻辑互表里，子交并补归全集。

对错难知开语句，是非分明即命题; 纵横交错原否逆，充分必要四关系。

真非假时假非真，或真且假运算奇。

函数与数列数列函数子母胎，等差等比自成排。

数列求和几多法?通项递推思路开; 变量分离无好坏，函数复合有内外。

同增异减定单调，区间挖隐最值来。

三角函数三角定义比值生，弧度互化实数融; 同角三类善诱导，和差倍半巧变通。

解前若能三平衡，解后便有一脉承; 角值计算大化小，弦切相逢异化同。

方程与不等式函数方程不等根，常使参数范围生; 一正二定三相等，均值定理最值成。

参数不定比大小，两式不同三法证; 等与不等无绝对，变量分离方有恒。

解析几何联立方程解交点，设而不求巧判别; 韦达定理表弦长，斜率转化过中点。

选参建模求轨迹，曲线对称找距离; 动点相关归定义，动中求静助解析。

立体几何多点共线两面交，多线共面一法巧; 空间三垂优弦大，球面两点劣弧小。

线线关系线面找，面面成角线线表; 等积转化连射影，能割善补架通桥。

排列与组合分步则乘分类加，欲邻需捆欲隔插; 有序则排无序组，正难则反排除它。

元素重复连乘法，特元特位你先拿; 平均分组阶乘除，多元少位我当家。

高考数学的重点知识点整理高考数学重点知识点归纳1.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，称为二元一次不等式(组)的一个解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。

2.二元一次不等式(组)的每一个解(x，y)作为点的坐标对应平面上的一个点，二元一次不等式(组)的解集对应平面直角坐标系中的一个半平面(平面区域)。

3.直线l：Ax+By+C=0(A、B不全为零)把坐标平面划分成两部分，其中一部分(半个平面)对应二元一次不等式Ax+By+C0(或≥0)，另一部分对应二元一次不等式Ax+By+C0(或≤0)。

4.已知平面区域，用不等式(组)表示它，其方法是：在所有直线外任取一点(如本题的原点(0，0))，将其坐标代入Ax+By+C，判断正负就可以确定相应不等式。

5.一个二元一次不等式表示的平面区域是相应直线划分开的半个平面，一般用特殊点代入二元一次不等式检验就可以判定，当直线不过原点时常选原点检验，当直线过原点时，常选(1，0)或(0，1)代入检验，二元一次不等式组表示的平面区域是它的各个不等式所表示的平面区域的公共部分，注意边界是实线还是虚线的含义。

“线定界，点定域”。

6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称为这个二元一次不等式(组)的一个解。

所有整数解对应的点称为整点(也叫格点)，它们都在这个二元一次不等式(组)表示的平面区域内。

7.画二元一次不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时，应把边界画成实线，画二元一次不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时，应把边界画成虚线。

8.若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax+By+C=0的同侧，则Ax0+By0+C 与Ax1+Byl+C符号相同;若点P(x0，y0)与点P1(x1，y1)在直线l：Ax+By+C=0的两侧，则Ax0+By0+C与Ax1+Byl+C符号相反。

高中数学选修三知识点全总结1. 复数与多项式：包括复数的概念，实部和虚部；复数的四则运算，共轭复数和模的概念；多项式的基本概念，包括系数、次数和根的概念；多项式的运算法则，包括加法、乘法、除法和求导等。

2. 数列与数学归纳法：数列的概念，包括等差数列和等比数列；数学归纳法的原理和步骤。

3. 几何证明选讲：包括三角形全等的证明方法，平行线的证明方法，线段的垂直平分线的证明方法，角的平分线的证明方法等。

4. 极坐标与参数方程：极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标的互化，极坐标方程的作图方法；参数方程的基本概念，参数方程的应用等。

5. 推理与证明：包括直接证明和间接证明，数学归纳法的应用，反证法的应用等。

6. 概率与统计：包括古典概型，几何概型，条件概率，独立事件的概率，随机变量的分布和数学期望等。

7. 优选法与试验设计初步：包括优选法的基本概念和应用，试验设计的基本概念和应用等。

8. 统筹法与图论初步：包括统筹法的基本概念和应用，图论初步的概念和应用等。

9. 坐标系与参数方程：包括直角坐标系、极坐标系和参数方程的基本概念和性质；平面解析几何的基本思想和应用等。

10. 矩阵与变换：包括矩阵的基本概念和性质，矩阵的初等变换和应用，矩阵的秩和行列式等。

11. 算法初步：包括算法的基本概念和应用，流程图和伪代码的编写，算法的复杂度分析等。

12. 初步概率：包括概率的基本概念和性质，古典概型和几何概型的计算和应用，条件概率和独立事件的概率等。

13. 统计案例分析：包括假设检验、方差分析、回归分析和协方差分析等统计方法的应用，以及对应的案例分析。

14. 优选法与试验设计：包括优选法的实际应用和试验设计的基本原理和方法，如何应用优选法和试验设计解决实际问题。

15. 统筹法与图论初步：包括统筹法的实际应用和图论初步的理论和应用，如何应用统筹法和图论初步解决实际问题。

这些知识点都是为了让学生更好地理解和掌握数学在实际生活中的应用，提高学生的数学素养和应用能力。

高考数学必考知识点归纳一、集合与函数1.集合o表示法：列举法、描述法、图示法（韦恩图）。

o运算：交集、并集、补集（相对于全集）。

2.函数o概念：输入与输出之间的对应关系。

o表示法：解析法、列表法、图像法。

o单调性：增函数、减函数。

o奇偶性：奇函数、偶函数、非奇非偶函数。

二、数列1.定义与表示o数列的定义：按一定顺序排列的一列数。

o表示法：通项公式、递推公式。

2.等差数列o定义、通项公式、前n项和公式。

o性质：中项性质、等差中项。

3.等比数列o定义、通项公式、前n项和公式（注意公比不为1的情况）。

o性质：中项性质、等比中项。

4.数列求和o倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法等。

5.数列的极限o数列极限的概念、性质及简单计算。

三、三角函数1.基本概念o角度与弧度制、三角函数定义（正弦、余弦、正切）。

2.诱导公式o角度加减变换公式。

3.同角关系式o基本恒等式、平方关系、商数关系。

4.性质o周期性、奇偶性、单调性、有界性。

5.图像与性质o各三角函数图像特征、相位变换、振幅变换。

6.三角恒等变换o和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。

7.解三角形o正弦定理、余弦定理、面积公式、海伦公式。

四、向量1.基本概念o向量的模、方向、坐标表示。

2.运算o加法、减法、数乘、数量积（点积）、向量积（叉积）。

o模长与夹角的关系、平行与垂直的条件。

五、解析几何1.直线o方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

o斜率：定义、公式、倾斜角。

o位置关系：平行、垂直的条件。

2.圆o方程：标准方程、一般方程。

o性质：圆心、半径、切线、弦的性质（如相交弦定理）。

3.圆锥曲线o椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、性质。

六、立体几何1.空间位置关系o直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。

2.几何体o柱体、锥体、球体等的结构特征及表面积、体积公式。

3.三视图o正视图、侧视图、俯视图及其绘制方法。

七、不等式1.性质o基本性质、传递性、可加性、可乘性（正数时）。

初中数学知识点归纳方法数学是一门需要学生具备良好记忆能力和逻辑思维能力的学科，尤其在初中阶段，学生需要掌握的数学知识点较多。

为了帮助初中学生更好地掌握数学知识，归纳方法成为一种常见的学习手段。

本文将介绍几种初中数学知识点归纳方法，帮助学生更好地理解和记忆数学知识。

一、概念分类法概念分类法是一种将数学知识点按照概念进行分类的方法。

学生可以将相似的概念进行归纳，形成一个清晰的分类体系。

以初中代数学为例，我们可以将方程、不等式、函数等概念进行分类，进一步细分为一元一次方程、一元二次方程等。

通过概念分类法，学生可以清楚地了解各个概念之间的联系和特点，便于记忆和理解。

二、重点难点法重点难点法是一种注重重点知识点和难点知识点的归纳方法。

在学习数学知识时，学生可以将教材中标注的重点和难点进行整理和归纳。

重点知识点是学生必须要掌握的基础知识，而难点知识点则是学生容易出现困惑和理解上的难题。

通过对重点和难点知识点的归纳，学生可以将自己的学习重心放在这些关键知识点上，从而提高学习效率。

三、公式总结法数学中有许多重要的公式需要记忆，但有时候公式繁多，难以区分和记忆。

公式总结法是一种将相关的公式进行整理和总结的方法。

学生可以将相似的公式放在一起，并归纳出它们的特点和应用场景。

以初中几何学为例，我们可以将三角形的重心、垂心、外心和内心的公式进行总结，了解它们之间的关系和应用条件，便于记忆和应用。

四、图表分析法图表分析法是一种通过制作图表来归纳数学知识点的方法。

学生可以将数学知识点通过表格、图标、图表等形式进行整理和呈现。

以初中概率论为例，学生可以制作一个概率分布表，将各个事件的概率进行归纳，同时还可以制作条形图或折线图来展示各个事件的概率大小。

通过图表分析法，学生可以直观地了解各个知识点的关系和特点。

五、实例应用法实例应用法是一种通过实际例子来归纳数学知识点的方法。

学生可以选择一些经典的实例或问题，然后通过解决问题的过程来归纳数学知识点。

高中数学知识点总结归纳一、集合。

1. 集合的概念。

- 集合是由确定的元素组成的总体。

元素具有确定性、互异性、无序性。

例如，集合A = {1,2,3}，其中1、2、3是元素，这三个元素是确定的，互不相同（互异性），{1,2,3}和{3,2,1}表示同一个集合（无序性）。

2. 集合的表示方法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，如A={a,b,c}。

- 描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法，如A = {xx^2 - 1=0}。

3. 集合间的基本关系。

- 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆ B。

- 真子集：如果A⊆ B，且A≠ B，那么A是B的真子集，记作A⊂neqq B。

- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B。

4. 集合的基本运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。

- 并集：A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

- 补集：设U是全集，A⊆ U，则∁_U A={xx∈ U且x∉ A}。

二、函数。

1. 函数的概念。

- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x),x∈ A。

2. 函数的三要素。

- 定义域：自变量x的取值范围。

例如y=(1)/(x)的定义域是{xx≠0}。

- 值域：函数值y的取值范围。

- 对应关系：如y = x^2中的y与x的平方关系。

3. 函数的性质。

- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_1,x_2，当x_1时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果对于任意x∈ D，都有f(-x)=f(x)，那么函数y = f(x)是偶函数；如果对于任意x∈ D，都有f(-x)= - f(x)，那么函数y = f(x)是奇函数。

数学知识点总结•相关推荐2、集合的中元素的三个特性：1、元素的确定性；2、元素的互异性；3、元素的无序性说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}1、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}2、集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a？A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x—3>2的解集是{x？R|x—3>2}或{x|x—3>2}4、集合的分类：1、有限集含有有限个元素的集合2、无限集含有无限个元素的集合3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝知识点2I、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI 越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）则称y为x的二次函数。

初中数学知识点总结及方法初中数学是学生数学学习的基础阶段，涵盖了众多重要的数学概念、原理和解题技巧。

以下是初中数学的主要知识点总结及学习方法。

# 数与代数1. 有理数：包括整数、分数、小数等，理解有理数的基本概念、性质和运算规则。

2. 整式与分式：掌握单项式、多项式的概念，学习因式分解，理解分式的基本性质和运算。

3. 方程与不等式：包括一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程及其解法，以及不等式的性质和解集表示。

4. 函数：理解函数的概念，掌握线性函数、二次函数的图像和性质，学会解决实际问题中的函数应用题。

# 几何1. 图形初步：学习点、线、面的基本性质，理解直线、射线、线段、角的概念。

2. 三角形：掌握三角形的分类、性质，学会使用三角形的定理解决相关问题。

3. 四边形：理解正方形、长方形、菱形、梯形等特殊四边形的性质和计算方法。

4. 圆：学习圆的基本性质，包括圆周角、圆心角、弦、弧等，掌握圆的面积和周长的计算。

5. 几何变换：包括平移、旋转、轴对称等变换，理解它们对图形的影响。

# 统计与概率1. 统计：学习数据的收集、整理、描述和分析，掌握平均数、中位数、众数等统计量。

2. 概率：理解概率的基本概念，学会计算简单事件的概率。

# 解题方法与技巧1. 理解题意：仔细阅读题目，准确把握题目要求和条件。

2. 分析问题：将复杂问题分解为简单步骤或部分，逐个解决。

3. 运用公式：熟练掌握并正确运用相关数学公式和定理。

4. 图形辅助：利用图形、表格等辅助工具，帮助理解和解决问题。

5. 检验答案：解题后回过头来检查，确保答案的正确性和合理性。

# 学习方法1. 基础知识：扎实掌握基础知识，为后续学习打下坚实基础。

2. 练习题目：通过大量练习，提高解题速度和准确率。

3. 总结归纳：对所学知识进行总结和归纳，形成知识体系。

4. 思考交流：与同学和老师交流思路和方法，拓宽解题思路。

5. 定期复习：定期复习所学知识，防止遗忘，巩固记忆。

高中数学必修+选修知识点归纳大全引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算必修1数学知识点第一章：集合与函数概念§1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

华罗庚优选法简介华罗庚优选法是一种用于解决排列组合问题的算法。

它由中国数学家华罗庚在20世纪40年代提出，并被广泛应用于组合优化、数论等领域。

华罗庚优选法通过穷举的方式找到最优解，其特点是简单易懂、计算效率高。

算法原理华罗庚优选法的基本原理是通过枚举的方式遍历所有可能的解，并计算每个解的目标函数值。

然后根据目标函数值的大小进行比较，找到最优的解。

当问题规模较小时，可以通过暴力搜索的方式实现，但当问题规模较大时，可以借助优化策略来减少搜索空间，提高算法效率。

具体的算法步骤如下：1.确定问题的模型和目标函数。

2.列出所有可能的解。

3.计算每个解的目标函数值。

4.比较目标函数值，找到最优解。

示例应用下面以一个简单的排列组合问题为例来说明华罗庚优选法的应用。

问题描述：给定一个由1、2、3、4、5组成的数字序列，要求选出一个长度为3的子序列，使得其和尽可能地大。

解决方案如下：1.列出所有可能的子序列：[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5],[1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]。

2.计算每个子序列的和：6, 7, 8, 8, 9, 10, 9, 10, 11, 12。

3.比较结果并选出最大的子序列：[3, 4, 5]。

通过华罗庚优选法，我们找到了最大的子序列[3, 4, 5]，其和为12。

优缺点分析华罗庚优选法的优点主要体现在以下几个方面：•算法思路简单直观，易于理解和实现。

•对于较小的问题规模，可以通过暴力搜索方式得到最优解。

•可以应用于各种排列组合问题，并根据具体问题的特点进行优化。

然而，华罗庚优选法也存在一些局限性：•随着问题规模的增大，搜索空间呈指数级增长，计算时间会急剧增加。

•对于复杂问题，很难找到有效的优化策略。

•无法保证求得的是全局最优解，只能得到近似最优解。

高考数学选择题的解题技巧归纳高考数学选择题蒙题技巧数量原则理想状态：15道题，每题5个选项，A、B、C、D、E平均每个选项共出现3次。

答案排列：3、3、3、3、3实际状态：每个选项在2——4的范围内。

选项排列：3、3、3、2、4(此种状态略多呈现)或3、2、4、2、4。

即某一个选项为2个，某一个选项为4个三不相同原则即连续三个问题不会连续出现相同答案答案排列不会出现ABCDE的英文字母排列顺序中庸之道即数值优先选择“中间量”选项，选项优先考虑BCD。

在同一道题中优先考虑数值的“中间量”后考虑选项BCD。

(如E选项对应数值为中间量时，优先从数值入手考虑)出现诸如“以上结果都不对”的选项不予考虑由提干给定信息入手，通过选项特征排除错误选项选项基本特征如下：单值与多值(例如提干出现“偶次方、绝对值、对称性”等结果出现多值) 正值与负值(考前冲刺P12/25题根据提干排除负值)有零与无零区间的开与闭(看极端情况能否取等号)正无穷与负无穷(通过极限考虑)整数与小数(分数)质数与合数大于与小于整除与不能整除带符号与不带符号(例如根号、平方号等等)少数服从多数原则即看选项特征，具有同一特征多的选项优先考虑。

复杂表达式化简题一般情况下选项出现1、2、0、-1、-2的情况比较多前后无定位，连续几道题均不会都需猜蒙答案的情况观察已做完的选项情况，哪个选项少就将这几道题全写成这个选项。

答案往往出现在互为相反数、互为倒数、相加为一(概率题)的几个选项。

高考数学选择题解题技巧高考数学选择题解题技巧一、排除法所谓排除法，就是经过判断推理，将四个备选答案中的三个迷惑答案一一排除，剩下一个正确答案.排除法也叫筛选法.例1 若a b，且c为实数，则下列各式中正确的是( ).A.ac bcB.acbc2 D.ac2≥bc2解析：由于c为实数，所以c可能大于0、小于0、也可能等于0.当c=0时，显然A、B、C均不成立，故应排除A、B、C.对于D来说，当c 0，c 0，c=0时，ac2≥bc2都成立，故应选D.例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，则sinA+sinB+sinC=( ). A. B. C. D.解析：由∠C=90°可得 sinC=1. 又因为∠A、∠B均为锐角，所以sinA、sinB均为正数，从而 sinA+sinB+sinC 1.而A、B、C三个选项中的值均小于1，于是排除A、B、C ，故选 D.高考数学选择题解题技巧二、特殊值法当某些题目比较抽象，难以对其作出判断时，我们可以在符合题目条件的`范围内，用某些特殊值代替题目中的字母，然后作出判断.我们将这种解题的方法称为特殊值法.例3 若二次方程x2+2px+2q=0有实数根，其中p，q为奇数，那么它的根一定为( ).A.奇数B.偶数C.分数D.无理数解析：此题关于x的方程的系数为字母p、q，虽然知道p、q为奇数，但仍比较抽象，我们可以根据题设条件赋予未知字母特定的值，然后再去解这个一元二次方程，它的根的情况便一目了然了.不妨设p=3，q=1，则原方程变为x2+6x+2=0解得x=± -3，显然这是一个无理数，故应选择D.例4 若a、b、c都不为零，但a+b+c=0，则 + + 的值( ).A.正数B.零C.负数D.不能确定解析：此题若按传统方法进行通分将非常麻烦且不易求解，若采用特殊值法，则能化繁为简.令a=1、b=1、c=-2，代入原式得 + + = + - =0，故选B. 高考数学选择题解题技巧三、代入检验法当某些问题(如方程、函数等)解起来比较麻烦时，可以换一个角度进行分析判断，即把给出的根、给出的点或给出的值代入方程或函数式中进行验证，从而使问题得以简化.这类处理问题的方法被称为代入法，又叫验证法.例5 若最简根式和是同类根式，则a、b的值为( ).A.a=1 b=1B.a=1 b=-1C.a=-1 b=-1D.a=-1 b=1解析：由同类根式的定义可知根指数相同，被开方数也相同，这样便可列出一个二元一次方程组，再解这个二元一次方程组，用求出的解去检验给出的a、b的值，显然比较麻烦，如采用将给出的a、b的值分别代入最简根式中，再作出判断便容易多了.当把a=1、b=1代入根式后分别得出和，显然它们为同类根式，故应选A. 例6 若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且一边长为4，则这个三角形的最大边长为( ).A.7B.6C.5D.4解析：(1)若最大边为7，7+4=11，两边长就等于周长显然不行;(2)若最大边为6，则另一边只能为1，1、4、6无法构成三角形;(3)若最大边为5，且一边长为4.则第三边为2，因此5为最大边，无需再考虑4的情况.故选C.高考数学选择题解题技巧四、估算法估算法是一种粗略的计算方法，实质上是一种快速的近似计算方法，即对题目所给条件或信息作适当的变形与整理，从而对结果确定出一个范围或作出一个估计.例7 已知地球的表面积约等于5.1亿平方千米，其中水面面积约等于陆地面积的倍，则陆地面积约等于( )亿平方千米(精确到0.1).数学高考选择答题技巧一、按部就班的解题方法。

数学知识点总结引言1. 课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2 个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由 3 个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由 6 个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10 个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑: 集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1 知识点第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{ | 具有的性质} ，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集（）.【1.1.2 】集合间的基本关系非空真子集1.1.3 】集合的基本运算8）交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质示意图且交集 或 并集 1补集 1） 2） 3）1） 2） 3）【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法不等式 解集或把看成一个 整体， 化成 ，型不等式来求解21）含绝对值的不等式的解法 判别式二次函数的图象无实根其中的根元二次方程的解集的解集〖 1.2 〗函数及其表示1.2.1 】函数的概念1）函数的概念①设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合 中任何一个数 有唯一确定的数 和它对应，那么这样的对应（包括集合 合 到 的一个函数，记作 ． ②函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．2）区间的概念及表示法①设 是两个实数， 且 ，满足 的实数 的集合叫做开区间，记做 间，分别记做，在集合 中都， 以及 到 的对应法则 ）叫做集 ；满足， ； 满 足的实数 的集合叫做闭区间， ，或记做 ；满足 的实数 的集合叫做半开半闭区 的 实 数 的 集 合 分 别 记 做注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤中，．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2 】函数的表示法5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．6）映射的概念①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．〖1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值1）函数的单调性①定义及判定方法如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值x 1、x 2 ，当 x ．1．＜． x ．2．时，都有 f．（．x．1．）．＞．f （．x．．2．）．，那么就说 f （x ） 在这个区间上是减．函．数．．（1）利用定义 （2）利用已知函数 的单调性 （3）利用函数图象 （在某个区间图 象下降为减） （4）利用复合函数【 1.3.2 】奇偶性4）函数的奇偶性 ①定义及判定方法② 若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ．③ 奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反．④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇 函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象1）作图 利用描点法作图： ①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等 函数的图象．2） 3） 函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数若为减；若为减， 为增，则、上为减函数．最大（小）值定义 ①一般地， 设函数为增， ；若 为增， 为减．为增，则为减，则 为增；的定义域为 ，如果存在实数 满足：（ 1）对于任意的 ，都有（ 2）存在 ，使得 数 的最大值，记作 ②一般地，设函数 ．那么，我们称 是函 的定义域为 ，如果存在实数 ；（ 2）存在，．那么，我们称 是函数 的最小值，1使得 记作函数的 性质 定义图象判定方法函数的 奇偶性如果对于函数 f （x ） 定义 域内任意一个 x ，都有 f（．－．x ．）．=．－．f ．（．x ）．．,那么函数 f （x ） 叫做奇．函．数．．（1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （ 2）利用图象（图 象关于原点对称）如果对于函数 f （x ） 定义 域内任意一个 x ，都有f ．（．－．x ．）．=．f ．（x．）．．, 那 么 函 数f （x ） 叫做 偶．函．数．．（1）利用定义（要 先判断定义域是否 关于原点对称） （ 2）利用图象（图 象关于 y 轴对称）为减，的图象与性质 ，令 减，则 ，若 打“√”函数分别在上为增函数，分别在①正数的正分数指数幂的意义是：②正数的负分数指数幂的意义是：且．0 的正分数指数幂等于0．且．0 的负分数指③对称变换2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数（Ⅰ）〖2.1 〗指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0 的次方根是0；负数没有次方根．②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，2）分数指数幂的概念①平移变换②伸缩变换数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．3）分数指数幂的运算性质2.1.2 】指数函数及其性质〖 2.2 〗对数函数2.2.1 】对数与对数运算② 减法：③ 数乘：⑥换底公式：2.2.2 】对数函数及其性质（1）对数的定义①若 真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化： 几个重要的对数恒等式 ，则 叫做以 为底 的对数，记作，其中 叫做底数， 叫做2）3）4）常用对数与自然对数 常用对数： 对数的运算性质 ，即 如果；自然对数：，即 （其中 ，那么 ⋯）．①加法：（6反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域．8）反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3 〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．3）幂函数的性质① 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象 ．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、 二象限 （图象关于 轴对称 ）；是奇函数时， 图象分布在第一、 三象限 （图象关于原点对称 ）；是非奇非偶函数时， 图象只分布在第一象限 ． ② 过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．③ 单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数．如果 ，则幂函数的图象 在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴．④ 奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互质，① 已知三个点坐标时，宜用一般式．② 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③ 若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便．3）二次函数图象的性质；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在 上递减，当统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理 二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程 的两实根为 ，且 ．令 ，从以下四个方面来分析此类问题： ①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号． ①k <x 1≤ x 2 ②x 1≤x 2<k③ x 1<k < x 2 af(k)<0和 ），若 为奇数 为奇数时，则是奇函数，若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数，若 为偶数 ⑤图象特征： 图象在直线 下方．幂函数 上方，当时，当时，若，其图象在直线上方，若下方，若，其，若，其图象在直线，其图象在直线1）二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是．②当 时，抛物线开口向上，函数在上递减，在 上递增，当 时，③二次函数当．4）一元二次方程 根的分布时，图象与 轴有两个交点这部分知识在初中代数中虽有所涉及， 但尚不够系韦达定理）的运用， 下面结合 为奇数时，则是非奇非偶函数．补充知识〗二次函数2）求二次函数解析式的方法③两根式：时，元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，④k1<x1≤x2<k2⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1<x1（或x2）< k2 f（ k1）f（k2） 0，并同时考虑f（ k1）=0 或f（ k2）=0 这两种情况是否也符合⑥k1<x1< k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出．5）二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令．（Ⅰ）当时（开口向上）①若，则②若，则③若，则的零点：○1 （代数法）求方程○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的性质找出零点．4、二次函数的零点： 二次函数１）△＞０，方程 两个零点． ２）△＝０，方程（Ⅱ） 当（时p ）（开口向下 ）(q)，则 ②若，则③若 ，则有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．3、函数零点的求法：求函数的实数根；的图象联系起来，并利用函数有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有(p)(p)xOOxx，（p 则）则(q)①若(p)Oxx①若(pOxOOx(p)①若(pOxx第三章（p ）函数的应用②（q ）方程的根与函数的零点（q ）② ，则O (f (q)O(q)则O的零点就是方程的图象与实数根，亦即函数 1、函数零点的概念：对于函数 的零点。

高一选择性数学知识点归纳总结数学作为一门精密的科学，对于高中学生来说尤为重要。

而在高一的学习过程中，选择性数学知识点是其中的一项重要内容。

本文将对高一选择性数学知识点进行归纳总结，以便同学们复习巩固。

1. 基础知识在高一的数学学习过程中，基础知识的掌握是非常重要的。

高一的选择性数学知识点包括但不限于以下内容：1.1 数的性质数的分类（自然数、整数、有理数、无理数、实数）、数的四则运算、数的性质（可除性、互质性、整除性）、数的逆运算、数的绝对值、数的比较等。

1.2 方程与不等式一元一次方程与一元一次不等式、一元二次方程与一元二次不等式、绝对值不等式、分式方程等。

1.3 函数函数的概念、函数的表示、函数的性质（奇偶性、单调性、周期性等）、函数的图像与作图、函数的运算等。

1.4 三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数等基础三角函数的定义、性质、图像、值域等。

2. 几何与解析几何几何与解析几何是高中数学中的重要部分，对于高一的选择性数学知识点归纳总结也不可或缺。

以下是涉及的内容：2.1 数形关系与初等几何直线与线段、射线、平行、垂直、角与角的度量、平面图形的性质、多边形、三角形等。

2.2 直角三角形与三角函数勾股定理、特殊角的三角函数值、解直角三角形、一般三角形中的角度和边长关系等。

2.3 向量与坐标表示向量的概念、向量的表示、向量的运算、几何向量与坐标表示等。

2.4 平面解析几何点、直线、圆的方程、距离公式、判定等等。

3. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高中数学中的重点内容，也是选择性数学知识点的核心之一。

以下是涉及的内容：3.1 数列的基本概念数列的概念、数列的表示、数列的通项公式、等差数列与等比数列等。

3.2 数列的求和求和符号的应用、数列求和的通用公式、等差数列与等比数列的求和等。

3.3 数学归纳法的应用数学归纳法的基本思想、数学归纳法的证明等。

以上仅仅是高一选择性数学知识点的一部分，同学们在复习备考时应该根据自己的实际情况有针对性地进行学习与巩固。

我们图强教育总结出公考行测考试中排列组合常见考点的解题思路以及几个特殊题型的计算公式，主要我们牢记这些知识点，那么我们在考场上遇到任何排列组合问题就都可以得心应手了。

从今天开始，这里就会逐渐介绍排列组合问题的常见考点和几个特殊题型。

排列组合问题总体上常见考点可以分为两类：一是，元素排列问题。

一类是元素分组问题。

对于元素排列问题，主要有优选法、捆绑法、插孔法以及元素定序排列，这四个常见考点。

一.优选法对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。

在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。

例题 1.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。

解析一：利用位置优先方法。

偶数则要求个位为偶数，小于50000则首位要小于5。

:第一步，首先看个位，从2个偶数中选择有C12种选法；第二步，看首位，从个数上已选数字和5之外的数字选，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个位置没有限制，则可以随意选择剩下的三个数字排上去，则有A33 种选法。

根据乘法计数原则，共有：C12×C13 ×A33 =36。

解析二：利用元素优先方法。

第一步，从数字2、4中选一个放在个位上，有C12种选法；第二步，从个数上已选数字和5之外的数字选一个放在首位上，则有 C13种选法；第三步，对于剩下的三个数字没有限制，则可以随意安排到剩下的三个数位上去，则有A33 种选法。

根据乘法计数原则，共有：C12×C13 ×A44 =36。

思路：看特殊，分步类，限制完，自由排，注意“0”。

难点：不管是位置优先还是元素优先，都要看清是分类还是分步来解决问题；注意“0”，题目中往往对于“0”有暗含的限制条件。

二.捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素。

例题2.5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。

第一讲 优选法 四、分数法知识与技能：本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示. 情感、态度与价值：通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化. 一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列., , ,138,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10=11=22=33=54=85=136=F10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138F F =来代替0.618，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x在存优范围50~130ml 内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5K Ω，1K Ω，1.3K Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，5.5K Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值?如果用0.618法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85 代替0.618. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的nn n n F FF F 21--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决. 先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn nn n n F FF FF F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n +14F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用.课后作业1.阅读教材P. 11-P.17；2.《学案》.。