第七章 微专题六(新高考数学一轮复习资料)

专题7.6 数学归纳法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】与数列、函数、不等式、几何等相结合，通过考查数学归纳法的应用，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学直观等的核心素养．【知识点展示】数学归纳法1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *) 时命题成立．(2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 2.数学归纳法的框图表示【常考题型剖析】题型一：利用数学归纳法证明不等式例1.（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，数列{}n b 满足：数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足：13c =，*1,nn n nb c c n N c +=+∈，证明*12(2),2n n n c c c n N +++⋅⋅⋅+>∈【答案】（1）12n n a ，1n b n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列{}n a 的通项公式，再由数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，进而求得{}n b 的通项公式；（2）把{}n b 的通项公式代入*1,nn n n b c c n N c +=+∈，首先利用数学归纳法证得12n c n >+，再利用放缩法及等差数列的前n 项和，即可证明. 【详解】（1）由23414a a a ++=，31a +是2a ，4a 的等差中项，可得()2343241421a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即324410a a a =⎧⎨+=⎩，即4410q q +=，解得2q或12q =， 又因为1q >，所以2q ，又由3121a a q==，所以1112n n n a a q --==， 因为数列{}n n a b ⋅的前n 项和为2n n ⋅，当1n =时，111122a b =⨯=，当2n ≥时，112(1)2(1)2n n n n n a b n n n --=⋅--⋅=+⋅，当1n =时，112a b =满足上式，所以1(1)2n n n a b n -=+⋅，所以11(1)212n n n n b n --+⋅==+.（2）先用数学归纳法证明当*n N ∈，12n c n >+，①当1n =时，1133,22c n =+=，左式>右式，不等式成立； ②假设n k =时，不等式成立，即12k c k >+，当1n k =+时，11k k k k c c c ++=+，因为1()k f x x x+=+在)+∞上单调递增，由12k c k >+>()12k f c f k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即111122k k c k k ++>+++，可得132k c k +>+，不等式也成立. 由①②得证当*n N ∈，12n c n >+，所以1231351(2)2222222n n n n c c c n n ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭+++>++++=⋅=⎪⎝⎭. 例2.（2022·上海市复旦实验中学高二期末）已知数列{}n a 满足：11a =，且211n n n a a na n +=-++，（n 为正整数）．(1)计算：2a ，3a ，4a 的值； (2)猜测{}n a 的通项公式，并证明；(3)设n b 问是否存在使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2n ≥的正整数均成立的最大整数p ，若存在请求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)22a =，33a =，44a =(2)()N n a n n *=∈，证明见解析(3)最大整数1p = 【解析】 【分析】（1）将1,2,3n =依次代入递推关系式即可；（2）由123,,a a a 可猜想得到n a ；利用数学归纳法可证得猜想；（3）分离变量得111111b p b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪≤，令()111111b b b fn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪=，通过计算()()11f n f n <+可知()()min 1f n f ==p . (1)由题意得：221121122a a a =-+=-+=；2322234433a a a =-+=-+=，2433344a a a =-+=(2)猜想：()N n a n n *=∈；证明：当1n =时，11a =，满足n a n =；假设当()N n k k *=∈时，k a k =成立，那么当1n k =+时，2221111k k k a a ka k k k k k +=-++=-++=+，即当1n k =+时，11k a k +=+成立； 综上所述：对于任意n *∈N ，n a n =成立. (3)由（2）得：n b111n b ∴+=；若12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪≤； 令()111111b b b f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎪=，则()111111111b b b b f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎪+=， ()()1111n f n f n b +∴==++⎪⎭()()2231123f n n f n n ⎡⎤+∴=<=⎢⎥++⎣⎦，()()1f n f n ∴<+， 即()f n 递增，()()min 111f n f +∴====p ∴≤ 又p 为整数，∴最大整数1p =.例3．（2017·浙江·高考真题）已知数列{}n x 满足：11x =，()()11ln 1n n n x x x n N *++=++∈证明：当*n N ∈时， （I ）10n n x x +<<； （II ）1122n n n n x x x x ++-≤；（III ）121122n n n x --≤≤. 【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】（I ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++， 构造函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由()1111ln 1n n n n n x x x x x ++++=++≤+及1122n n n n x x x x ++≥-，递推可得()121122n n n x n N *--≤≤∈. 【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >． 当1n =时，110x =>．假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤， 则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n N *>∈，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n N *+<<∈．（Ⅱ）由11ln(1)n n n x x x ++=++得，2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，22'()ln(1)0(0)1x x f x x x x +=++>>+，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n N *++-≤∈． （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=，所以112n n x -≥， 由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=，故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ． 【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明． 【总结提升】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 题型二：归纳、猜想、证明例4.（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列，分别计算2S ，3S ，4S 的值，猜想n S 的表达式为______． 【答案】1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意可得122n n S S +=+，再利用11S =，可依次求出2S ，3S ，4S 的值，从而可猜想n S ，然后利用数学归纳法证明即可 【详解】因为数列{}n a 中，11a =，n S ，1n S +，12S 成等差数列， 所以122n n S S +=+，得1112n n S S +=+， 当1n =时，2113122S S =+=， 当2n =时，321137112224S S =+=⨯+=， 当3n =时，4311715112248S S =+=⨯+=， 由此可猜想1112211222n n n n S ---⋅-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，证明如下：当1n =时，11S =成立，假设当n k =时，成立，即1122k k S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当1n k =+时，1(1)11111111212222222k k k k k S S -+-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以当1n k =+时成立， 所以1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：1122n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭例5.（2020·全国·高考真题（理））设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】 【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可． 【详解】 （1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+． 证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N 时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+． ［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=． 由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯，……1114(1)(2)333n n n n n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n n n a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯++-⨯⎢⎥⎣⎦，所以1(21)33n n na n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+． ［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2n n n a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n nS a a a a =++++()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++-11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122nn n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22nn S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．［方法四］：因为12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'， 所以12n b b b +++21122322n n -=+⋅+⋅++⋅1(2)12(1)2n nf n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++()1212412(1)212n n nn n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式； 方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n+++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法； 方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2nn n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n n x x f x x x x x x x-=++++=≠-的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．例6.（2014·广东·高考真题（理））设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =. （1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）13a =，25a =，37a =；（2）21n a n =+. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由11n n n a S S ++=-代入21234n n S na n n +=--，得到()2122134n n nS n S n n +=+++，然后由3S 的值逐步算出2S 与1S 的值，然后利用11,1{,2n n n S n a S S n -==-≥求出1a 、2a 、3a 的值；（2）利用（1）中的结论归纳出n a 的通项公式，并以此归纳出n S 的表达式，然后利用数学归纳法证明数列{}n a 的通项公式的正确性.试题解析：（1）由21234n n S na n n +=--得()21234n n n S n S S n n +=---，整理得()2122134n n nS n S n n +=+++，因此有2322453242520S S S =+⨯+⨯=+，即2415520S ⨯=+，解得28S =，同理有21237S S =+，即12837S ⨯=+，解得13S =，113a S ∴==，221835a S S =-=-=，3321587a S S =-=-=；（2）由题意得13222n n S na n +=++， 由（1）知13a =，25a =，37a =，猜想21n a n =+， 假设当时，猜想成立，即21k a k =+，则有()()()1321222k k k a a k k S k k +++===+，则当1n k =+时，有()()123322232112222k k k k S kk a k k k k ++=++=++=+=++， 这说明当1n k =+时，猜想也成立， 由归纳原理知，对任意n N *∈，21n a n =+.【总结提升】(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤①计算(根据条件，计算若干项)．②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．③证明(用数学归纳法证明)．(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．题型三：利用数学归纳法证明等式例7．（2021·全国·高考真题（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【解析】 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n n b b b b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列; （2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【详解】（1）[方法一]： 由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---, 所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb b b b +++=-, 由于10n b +≠ 所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; [方法二]【最优解】：由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅n n n b S S S S S ① 于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥n n b S S S S n ． ② 由①②得1n n n b S b-=． ③ 又212n nS b +=， ④ 由③④得112n n b b --=．令1n =，由11S b =，得132b =． 所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． [方法三]：由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠． 又因为111--=⋅⋅=⋅n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ． 在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ． 故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． [方法四]：数学归纳法由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+． 下面用数学归纳法证明．当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ． 那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++． 综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列． （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列， ()3111222n n b n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b n S b n+==-+, 当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1n n n b S b-=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解； 方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论． （2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式； 例8.（2015·江苏·高考真题）已知集合，，，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,6223{12,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意按a 分类计数：1,1,2,3,4,5,6;a b ==2,1,2,4,6;a b ==3,1,3,6;a b ==共13个（2）由（1）知1,1,2,3,,;a b n ==2,1,2,4,,2;a b k ==*3,1,3,,3;()a b k k N ==∈，所以当6n ≥时，()f n 的表达式要按236⨯=除的余数进行分类，最后不难利用数学归纳法进行证明试题解析：（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,6223{12,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭=-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭--⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明：①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论：1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k k f k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立； 3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立． 综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．【总结提升】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．。

高考数学第一轮复习资料高考数学第一轮复习资料随着高考的临近，数学复习成为了每个考生必须面对的重要任务。

而数学作为一门理科学科，对于考生来说，既是挑战也是机遇。

为了帮助考生顺利备考，本文将为大家提供一些高考数学第一轮复习的资料和方法。

一、知识点回顾在进行数学复习之前，首先需要回顾高中数学的各个知识点。

这些知识点包括代数、几何、概率与统计等多个方面。

在回顾的过程中，可以通过查阅教材、做习题和参考资料来加深对知识点的理解。

同时，还可以结合往年的高考试题，找出重点和难点，有针对性地进行复习。

二、解题技巧除了知识点的回顾，解题技巧的掌握也是高考数学复习的关键。

在解题过程中，需要注意以下几点：1. 理清题意：仔细阅读题目，理解题目要求，确定解题思路。

2. 分析解题方法：根据题目的特点，选择合适的解题方法。

可以通过代数运算、几何图形的性质、概率的计算等方法来解题。

3. 灵活运用公式：熟练掌握各种公式的使用方法，并能够在题目中灵活运用。

同时，也要注意公式的推导和证明，以增强对公式的理解。

4. 注意细节：解题过程中要注意计算的准确性和步骤的清晰性。

避免粗心错误和计算错误。

三、模拟考试在复习过程中，模拟考试是一个非常重要的环节。

通过模拟考试，可以让考生熟悉考试的形式和节奏，提高应试能力。

在模拟考试中，可以选择一些真题或者模拟题来进行，模拟考试的时间和环境要尽量接近实际考试，以增加考试的真实性。

在模拟考试结束后，考生可以对自己的答题情况进行分析和总结，找出自己的不足之处，并加以改进。

同时，还可以参考一些解析资料，了解标准答案和解题思路，从而提高自己的解题能力。

四、重点难点攻克在复习过程中，考生要特别关注一些重点和难点的知识点。

这些知识点通常是高考中经常考察的内容，也是考生容易出错的地方。

对于这些知识点，可以通过增加练习量、查阅参考书籍和请教老师等方式来攻克。

同时，还可以结合往年的高考试题，找出这些知识点的特点和解题技巧，以增加对这些知识点的掌握程度。