由参数引起的案——
含参导数问题
一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2
，x x x x g 452)(2
3
++=，按以下条件求k 的范围。 （1）对于任意的]3,3[-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立。 （构造新函数，恒成立问题）
（2）若存在成立。，使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ （与恒成立问题区别看待）
（3）若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈，都有、 （注意21,x x 可以不是同一个x ）
（4）对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得，总存在。 （注意：哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于：谁的x 是任意取的，谁的x 是总存在的。）
（5）若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立； （与（4）相同）
二、已知函数()2
1ln (1)2
f x a x x a x =+-+， a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ,
(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是 .
三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈)，若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立，求实数a 的取值范围.
四、含参数导数问题的三个基本讨论点
一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根
是否落在定义域内，从而引起讨论。
三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落
在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
例1、设函数3221
()23()3
f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值；
（可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况)
解： 2
2
()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(,3)a a 上，()0f x '>， 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间， 函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是3
4()3
f a a a =-
；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<； 在区间(3,)a a 上，()0f x '>，
因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3
4()3
f a a a =-
，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式．若2
'()(1)f x x a x a =-++，若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。（比较根大小，考虑定义域）
例2、已知a 是实数，函数(
))f x x a =-。
（不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论）
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（主要看第一问，第二问选看） （Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。
（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。
解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，(
))'
30a x f x x ⎛
⎫- ⎪
===>，由'()0f x =得3a
x =
。 考虑3a 是否落在导函数'
()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。
（1） 当0a ≤时，则'
()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。
（2） 当0a >时，由'
()0f x >，得3a x >
；由'
()0f x <，得03
a x <<。 因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，()f x 的单调递增区间为,3a
⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
。
① 当
()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增， 所以(
)3a g a f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
932a a -=。 ② 当
[)2,3
a
∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()(
))22g a f a ==-。 综上所述，(
))0,062,~6a g a a a a ⎧≤⎪
⎪=<<⎨-≥ （ii ）令()62g a -≤≤-。 ①若0a ≤，无解； ②若06a <<
，由62-≤≤-解得36a ≤<；
③ 若6a ≥
，由)622a -≤-≤-
解得62a ≤≤+。 综上所述，a
的取值范围为32a ≤≤+
例3已知函数()()2221
1
ax a f x x R x -+=∈+其中a R ∈。当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
解：由于0a ≠，所以()()()()()()
2
2
'
2222
122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛
⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++。 由()'0f x =，得121
,x x a a
=-
=。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。
（1） 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-
⎪⎝
⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
为增函数。故函数()f x 在11x a =-
处取得极小值2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （2） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1(+∞-a
内为增函数，在区间)1
,(a a -为减函数。
故函数()f x 在11x a =-
处取得极小值2
1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 例4、已知函数1ln )1()(2
+++=ax x a x f 。
（I ） 讨论函数)(x f 的单调性； （*第二问选做*）
（II ） 设1-解：（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）. 2121
'()2a ax a f x ax x x
+++=+=. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a ＜0时，令'()f x =0
，解得x =
则当x ∈时，'()f x ＞0
；)x ∈+∞时，'()f x ＜0. 故()f x
在
单调增加，在)+∞单调减少.
