2020年中考数学二轮核心考点讲解第15讲非常规思维问题解析版

专题30规律型问题专题知识回顾1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．5.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．专题典型题考法及解析【例题1】（2019•四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a＝5，a是a的差倒数，a是a的差倒数，a是a的差倒数…，1 2 1 3 2 4 3依此类推，a的值是（）2019A．5B．﹣C．D．【答案】D．【解析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a相同的数即可得解．2019∵a＝5，1a＝2a＝3＝＝＝﹣，＝，a＝＝＝5，4…∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，∵2019÷3＝673，∴a＝a＝2019 3【例题2】（2019•湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是．【答案】﹣384．【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，∵其中某三个相邻数的积是412，∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1.（﹣2）n、（﹣2）n+1，则（﹣2）n﹣1•（﹣2）•（﹣2）n+1＝412，即（﹣2）3n＝（22）12，∴（﹣2）3n＝224，∴3n＝24，解得，n＝8，∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384【例题3】（2019•四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为直角边作1 1△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作△R t OA A，并使∠A OA＝60°，再以OA为直角边作 12 1 2 2 23 2 3 3n△R t OA A，并使∠A OA＝60°…按此规律进行下去，则点A的坐标为． 34 3 4 2019【答案】（﹣22017，22017）．【解析】通过解直角三角形，依次求A，A，A，A，…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论．1 2 3 4由题意得，A的坐标为（1，0），1A的坐标为（1，），2A的坐标为（﹣2，2），3A的坐标为（﹣8，0），4A的坐标为（﹣8，﹣8），5A的坐标为（16，﹣16），6A的坐标为（64，0），7…由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2∵2019÷6＝336…3，n﹣2，∴点A2019的方位与点A的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，23纵坐标为22017【例题4】（2019湖南益阳）观察下列等式：①3﹣2＝（﹣1）2，②5﹣2③7﹣2＝（＝（﹣﹣）2，）2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．【答案】13﹣2＝（﹣）2．【解析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（﹣）2（n≥1的整数）．写出第6个等式为13﹣2＝（﹣）2．【例题5】（2019•甘肃庆阳）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．【答案】13a+21b．【解析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b【例题6】（2019•湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点A、A、A…A在x轴上，B、B、B…B1 2 3 n 1 2 3 n 在直线y＝x上，若A（1，0），且△A△B A、△A△B A…△A B A 都是等边三角形，从左到右的小三角形1 1 12 2 23 n n n+1（阴影部分）的面积分别记为S、S、S…S．则S可表示为（）1 2 3 n nA．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D．【解析】直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，可得∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，∠OB A＝90°，…，1 12 2 n n 1 2∠OB A＝90°；根据等腰三角形的性质可知A B＝1，B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝2 n n+1 1 1 2 2 2 3 3 n n n﹣1；根据勾股定理可得B B＝，B B＝2，…，B B＝2n 12 23 n n+1，再由面积公式即可求解；解：∵△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 2 23 n n n+1∴A B∥A B∥A B∥…∥A B，B A∥B A∥B A∥…∥B A，△A△B A、△A△B A…△A△B A 都是等边三角形，1 12 23 3 n n 1 2 2 3 34 n n+1 1 1 2 2 2 3 n n n+1∵直线y＝x与x轴的成角∠B OA＝30°，∠OA B＝120°，1 1 1 1∴∠OB A＝30°，1 1∴OA＝A B，1 1 1∵A（1，0），1∴A B＝1，1 1同理∠OB A＝30°，…，∠OB A＝30°，2 2 n n∴B A＝OA＝2，B A＝4，…，B A＝22 2 23 3 n n n﹣1，易得∠OB A＝90°，…，∠OB A ＝90°，1 2 n n+1∴B B＝，B B＝2，…，B B＝2n，n n+11 2 2 3∴S＝×1×＝，S＝×2×2＝2，…，S＝×2n﹣1×21 2 nn＝。

2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。

核心母题一全等在几何探究题中的应用【母题示例】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是BC上一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥BC，交CE的延长线于F.求证：AD＝CF.【命题形式】以特殊三角形、特殊的平行四边形为背景，借助基本的全等模型，考查全等三角形的证明．【母题剖析】要证AD＝CF，只需证明△ACD≌△CBF即可．【母题详解】【母题解读】全等三角形是几何问题中证明线段相等、角相等时最常用的方法之一．在几何压轴题中，常以基本模型为背景，通过添加条件，增加动点或变换图形等形式，探究线段之间或角之间的关系，是考查学生数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的综合体现．在具体解题中，有时需要添加相应的辅助线，从而将所求或所证的量放在两个全等的三角形中进行证明或计算．常见的全等模型有：倍长中线模型；对角互补模型；手拉手模型(旋转模型)；三垂直模型等.模型一倍长中线模型【模型解读】倍长中线模型一般以三角形为背景，题中常有三角形中线(或中点)条件．通过延长中线后构造全等三角形解决问题．【基本图形】基本图形点D是BC的中点，通过延长AD到E，使得DE＝AD，构说明造△DCE≌△DBA基本图形点D是BC的中点，点E是AB上一点，通过延长ED到F，说明使得DF＝DE，构造△BDE≌△CDF【模型突破】1．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F.求证：AF＝EF.模型二对角互补模型【模型解读】对角互补模型是一个特殊的四边形(两组对角分别互补)，可通过四边形内角和为360°，从而得到其一个外角等于内对角，进而找到图形中的等角关系，得到全等问题中角度相等关系．【基本图形】基本图形已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，则∠A＋∠BCD 说明＝∠BCD＋∠DCE＝180°基本图形△ABC中，点E，F，G分别在BC，AC，AB上，且∠GEF＋说明∠A＝180°，则∠BGE＝∠AFE【模型突破】1．如图，在△ABC中，∠A＝100°，AB＝AC，边AB的垂直平分线DE分别交AB于D，交BC于E，点G是AD上一点，且AG＝GE，点F在AC上，∠GEF＝80°.求证：BG＝EF.模型三手拉手模型(旋转模型)【模型解读】手拉手模型(旋转模型)是两个三角形具有公共的顶点，且公共顶点所在的四条线段两两对应相等，常通过角度的加减转化等角关系证明全等．【基本图形】图形已知AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD，则△BAE≌△CAD，说明BE＝CD基本图形△ABC和△ADE均是等边三角形，则△BAD≌△CAE，BD 说明＝CE【模型突破】1．如图，过△ABC的顶点A作AE⊥AB且AE＝AB，AF⊥AC且AF＝AC，连接BF，CE交于点M.求∠EMF的大小．模型四三垂直模型【模型解读】三垂直模型常出现在正方形或矩形中，也可能在直角三角形中存在，常利用等角的余角相等进行角度转化．【基本图形】图形已知AE⊥AC，DC⊥AC，BE⊥BD，则∠E＝∠DBC，∠EBA＝说明∠BDC基本图形已知AC⊥BC，AD⊥CE，BE⊥CE，则∠BCE＝∠CAD，∠CBE 说明＝∠ACD【模型突破】1．如图，正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD的四条边上．求证：AE＝BF.参考答案【核心母题剖析】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°，∵AD⊥CF，∴∠ACE＋∠CAE＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，∵BC⊥BF，∴∠CBF＝90°＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBF，∴AD＝CF.【核心归纳突破】模型一、倍长中线模型1．证明：如解图，延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵∠B DG＝∠CDA，DG＝AD，∴△BDG≌△CDA，∴BG＝AC，∠BGD＝∠CAD.∵BE＝AC，∴BG＝BE，∴∠BGE＝∠BEG，∴∠BEG＝∠FAE.∵∠AEF＝∠BEG，∴∠FAE＝∠FEA，∴AF＝EF.模型二、对角互补模型1．证明：如解图，连接AE.∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠EAB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAE＝∠C，∴∠BEA＝∠BAC，∵GA＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∴∠GEB＝∠FAE.∵∠GAF＝100°，∠GEF＝80°，∴∠AGE＋∠AFE＝360°－∠GAF－∠GEF＝180°，∵∠BGE＋∠AGE＝180°，∴∠BGE＝∠EFA，∴△BGE≌△EFA，∴BG＝EF.模型三、手拉手模型(旋转模型)1．解：∵AE⊥AB，FA⊥CA，∴∠EAB＝∠FAC＝90°，∴∠EAB＋∠BAC＝∠FAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠FAB，∵AE＝AB，AF＝AC，∴△BAF≌△EAC，∴∠AEM＝∠ABM，∵AE⊥AB，∴∠ABE＋∠ABM＋∠BEM＝∠ABE＋∠AEB＝90°，∴∠BME＝90°，即EC⊥BF，∴∠EMF＝90°.模型四、三垂直模型1．证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF，∠HEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠AHE＝∠BEF，∴△AEH≌△BFE，∴AE＝BF.。

2020年中考数学二轮复习考点解密 分类讨论Ⅰ、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．点A ，B 在一次函数图象上，∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y 点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。

以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.（1）求直线l 的解析式；（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG ·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (2019·海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.2.（2019·黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________．3.（2019·武威）已知一列数a，b，a b+，35+，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9a ba b+，2a b+，23个数是．4.（2019·云南）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（）A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）n x2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）n x2n＋15. (2019·聊城) 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A n(n≥3，n是整数)处，那么线段A n A的长度为________(n≥3，n是整数).6．（2019·安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是．7.（2019·永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．依上述规律，解决下列问题：(1)若s=1，则a2= ．(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．考向2几何图形类规律探究型问题1．（2019·毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方2.（2019·天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．3.（2019·甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n __________．4. (2019·大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.5.（2019·龙东地区）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．6. （2019 ·扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则1122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（2019 ·河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）2.（2019·菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）3. （2019•广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使A 4AA 11260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．4. (2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .5. （2019·本溪）如图，点B 1在直线l ：12y x =上，点B 1的横坐标为2，过点B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为6. （2019·齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．2020年中考数学热点专题二规律探究问题解析版数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

二次函数与胡不归问题题型特点：①PA+k•PB 型线段和最小值(k =21、2、22、31或其它)②动点在直线上以不同的速度运动、解题方法：利用锐角三角函数或三角形相似转化线段长【经典例题1——k =21】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx +c 的图象经过点A(−1，0)，B(4，0)、C(0，3)，其中对称轴与x 轴交于点E. (1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，若P 为y 轴上的一个动点，连接PE ，求21PC+PE 的最小值；【解析】(1)将A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得 a −b +c =0；16a +4b +c =0；c =3， 解得a =−43；b =433；c =3， 此二次函数的表达式y=−43x 2+433x +3， (2)如图1中，连接AB ，作DH⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时21PC+PE 最小。

理由：⊥OA=1，OC=3，⊥tan⊥ACO=OA/OC=33，⊥⊥ACO=30°， ⊥PH=21PC ，⊥21PC+PE=PH+EP=EH ， ⊥此时21PC+PE 最短(垂线段最短).A. B 关于E 点对称，得E 点坐标为(23，0)在RT⊥ADH 中，⊥⊥AHE=90°，AE=23−(−1)=25，⊥HAE=60°，⊥sin60°=HE/AE ， ⊥HE=AE⊥sin60°=25×23=435⊥21PC+PE 的最小值为435.【经典例题变式】在平面直角坐标系中，抛物线y=−x 2+bx +c 经过点A ，B ，C ，已知A(−1，0)，C(0，3). (1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，抛物线的顶点为E ，EF⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M(m ，0)是x 轴一个动点，请直接写出CN+MN+21MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由。

代数压轴题1．（2020北京朝阳初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ） 记 为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．2．（2020北京朝阳初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．3.（2020北京东城中考二模）二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.4.（2020北京房山初三二模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C ()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．5.（2020北京房山初三一模）如图，二次函数c=2y的图象（抛物线）与x-+x+bx轴交于A(1,0),且当0x=和2x-=时所对应的函数值相等.（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积.6.（2020北京丰台初三一模） 已知抛物线21(2)262y x m x m =+-+-的对称轴为直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求m 的值；（2）求A ，B ，C 三点的坐标；（3）过点C 作直线l ∥x 轴，将该抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答： 当直线b x y +21=与图象G 只有一个公共点时，求b 的取值范围．xOy中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠3，0）．y 的取值范围；x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．8.（2020北京海淀中考二模）已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2） 当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.9.（2020北京怀柔初三二模）已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点.(1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围;(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.10．（2020北京怀柔初三一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．(1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．11．（2020北京平谷初三一模）已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．12．（2020北京石景山初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ． （1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．13．（2020北京顺义初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-．（1）求a 的值及抛物线22y ax x =-与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线22y ax x m =-+与x 轴有交点，且交点都在点A （-4，0），B （1，0）之间，求m 的取值范围．14.（2020北京通州初三一模）已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C . （1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y x mx n =++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围；（3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261x ax a -++的值；15. （2020北京通州中考二模）已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M（m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

2020年中考数学试题分类汇编之十五新概念新规律题一、选择题1.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】A【详解】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A2.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（ ）A. 160B. 128C. 80D. 48解：由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数为5420⨯=（个） 则20480n =⨯= 故选：C ．③②①3.（2020重庆A 卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（ ）A. 10B. 15C. 18D. 21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1， 第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2， 第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……∴第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15， 故选：B ．4.（2020重庆B 卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）A.18B. 19C.20D.21 答案C.5．(2020山东枣庄)（3分）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b=-⊗，这里等式右边是实数运算．例如：21113138==--⊗．则方程2(2)14x x -=--⊗的解是( ) A ．4x = B ．5x = C ．6x = D ．7x =【解答】解：根据题意，得12144x x =---， 去分母得：12(4)x =--， 解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解．故选：B ．6．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（ ）A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p格，这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到． 故选：D ．7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣1【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1， ∴OA 2=√2；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形， ∴OA 3＝2=(√2)2；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形， ∴OA 4＝2√2=(√2)3． ∵△OA 4A 5为等腰直角三角形， ∴OA 5＝4=(√2)4， ……∴OA n 的长度为（√2）n ﹣1．故选：B ．8．（2020云南）（4分）按一定规律排列的单项式：a ，﹣2a ，4a ，﹣8a ，16a ，﹣32a ，…，第n 个单项式是（ ） A ．（﹣2）n ﹣1aB ．（﹣2）n aC ．2n ﹣1aD ．2n a解：∵a ＝（﹣2）1﹣1a ， ﹣2a ＝（﹣2）2﹣1a ，4a ＝（﹣2）3﹣1a ，﹣8a ＝（﹣2）4﹣1a ，16a ＝（﹣2）5﹣1a ，﹣32a ＝（﹣2）6﹣1a ，…由上规律可知，第n 个单项式为：（﹣2）n ﹣1a ． 选：A ．二、填空题9.（2020江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2510．（2020贵州黔西南）（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为 1 ．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：当x ＝625时，15x ＝125，当x ＝125时，15x ＝25，当x ＝25时，15x ＝5，当x ＝5时，15x ＝1，当x ＝1时，x +4＝5， 当x ＝5时，15x ＝1，…依此类推，以5，1循环， （2020﹣2）÷2＝1010， 即输出的结果是1， 故答案为：111．（2020贵州黔西南）（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．故答案为：57．12．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为√2=2√2，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×2√2×2√2=4＝22，∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4， ∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23， …则第2020个等腰直角三角形的面积是22020； 故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．13.(2020甘肃定西）已知5y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是_________. 答案：203214．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）解：∵AE ＝DA ，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2， ∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1， ∵点F 2是CF 1的中点， ∴△EF 1F 2的面积等于， 同理可得△EF n ﹣1F n 的面积为，∵△BCF n 的面积为2×÷2＝，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案为：．15．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几 五、六、日 ．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120， 若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120， 若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120， 若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120， 若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120， 若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120， 若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120， 故5月30日可能为星期五、六、日． 故答案为：112；五、六、日．16．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．解：点B 坐标为(1,1)， 11OA AB BC CO CO ∴=====，1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====，1(5,3)B ∴，2(8,9)A ∴，222222239A O A B B C C O ∴====，2(17,9)B ∴，同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，⋯由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．故答案为：2020(231⨯-，20203)．17．（2020黑龙江牡丹江）（3分）一列数1，5，11，19⋯按此规律排列，第7个数是() A ．37 B ．41 C ．55 D ．71解：1121=⨯-， 5231=⨯-， 11341=⨯-， 19451=⨯-，⋯第n 个数为(1)1n n +-， 则第7个数是：55． 故选：C ．18．（2020四川遂宁）（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020．（n为正整数），则n的值为4039．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1）=n2020，∴2×（1−1n+1）=n2020，1−1n+1=n4040，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020广西南宁）（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，所以后区的座位数为：10×34＝340，所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．20．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．21．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1=12A2B2，∴A2B2＝2A1B1，同法可得A 3B 3＝2A 2B 2＝22•A 1B 1，…， 由此规律可得A 20B 20＝219•A 1B 1，∵A 1B 1＝OA 1•tan30°=√3×√33=1， ∴A 20B 20＝219， 故答案为219．22．（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有 （3n +1） 个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示． 解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1 …按此规律摆下去，第n 个图案有（3n +1）个三角形． 故答案为：（3n +1）．23.（2020东莞）如图，等腰12Rt OA A ∆，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，以此规律作等腰89Rt OA A ∆，则89OA A ∆的面积是_________.答案：64（或62）24．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =kx 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．【解答】解：设直线y=−√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=−√3x+b，∴当y＝0时，x=√33b，即点D的坐标为（√33b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=−√33b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=√3，∴∠ADO＝60°．∵直线y=−√3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴−√3x+b=k x，整理得，−√3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=√33k，即EB•FC=√33k，∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33k＝16，解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．25．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），把B1（t，√3t）代入y=√3x得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x得（2√2+n）•√3n=√3，∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√n，0），故答案为：(2√n，0)．26．（2020青海）（2分）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b ＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝．解：12⊕4＝＝．故答案为：．27．（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1． 请按以上规律写出第4个算式 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ．用含有字母的式子表示第n 个算式为 n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1 ． 解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．第n 个算式为：n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1． 28．（2020山东滨州）（5分）观察下列各式：123a =，235a =，3107a =，4159a =，52611a =，⋯，根据其中的规律可得n a =21(1)21n n n ++-+ （用含n 的式子表示）． 【解答】解：由分析可得21(1)21n n n a n ++-=+．故答案为：21(1)21n n n ++-+．29．（2020山东泰安）（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=12n （n +1）， 则a 4+a 200=12×4×（4+1）+12×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．30．（2020海南）（4分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n 个图中有 2n 2﹣2n +1 个菱形（用含n 的代数式表示）．解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02， 第2个图中菱形的个数5＝22+12， 第3个图中菱形的个数13＝32+22， 第4个图中菱形的个数25＝42+32， ∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，第n 个图中菱形的个数为n 2+（n ﹣1）2＝n 2+n 2﹣2n +1＝2n 2﹣2n +1， 故答案为：41，2n 2﹣2n +1．三、解答题31.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（ ） ①my (m 0)x=≠（ ） ①31y x =-（ ） （2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x “H 函数” ()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数” 223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，①(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜． 解：（1）①2y x =是 “H 函数”①my (m 0)x=≠是 “H 函数”①31y x =-不是 “H 函数”； 故答案为：√；√；×； （2）①A,B 是“H 点” ①A,B 关于原点对称， ①m=4,n=1①A(1,4），B （-1，-4） 代入223y ax bx c =++得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩解得40b a c =⎧⎨+=⎩又①该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，①-2ba ＞2 ①-42a＞2 ①-1＜a ＜0 ①a+c=0 ①0＜c ＜0，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）①223y ax bx c =++是“H 函数”①设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q⎧++=⎨-+=-⎩ 解得ap 2+3c=0,2bp=q ①p 2＞0 ①a,c 异号， ①ac ＜0 ①a+b+c=0①b=-a -c ，①(2)(23)0c b a c b a +-++< ①(2)(23)0c a c a c a c a -----+< ①(2)(2)0c a c a -+< ①c 2＜4a 2①22c a＜4 ①-2＜c a ＜2 ①-2＜c a ＜0设t=ca，则-2＜t ＜0设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0） ①x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根①12x x -== 又①-2＜t ＜0①2＜12x x -＜．32.（2020山东青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果． （2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．解：探究一：（3）如下表：所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种． 探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种， 从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数， 这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n -所以一共有()336138n n --+=-种，探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数， 这4个整数之和最小是10, 最大是18,， 所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -，所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果．归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果．从而可得：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，共有490151476-+=种不同的优惠金额．拓展延伸：（1） 从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果． ∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=236203,a a ∴-=-()218121,a ∴-= 1811a ∴-=或1811,a -=-29a ∴=或7.a =从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果． 33．（2020四川遂宁）（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3函数可知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3，∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3，∴函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；（2）∵y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，∴{m −1=−n n −3=0， 解得：{m =−2n =3， ∴（m +n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x +3））＝﹣6，∴点C 的坐标为（0，﹣6）．当y ＝0时，2（x ﹣1）（x +3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）．∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．34．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴AC ＝DE ，又∵∠DBC ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴BD ＝DE ，∴BD ＝AC ，又∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE ⊥BD ，∵四边形ABCD 是垂等四边形，∴AC ＝BD ，又∵垂等四边形的面积是24，∴12AC •BD ＝24， 解得，AC ＝BD ＝4√3，又∵∠BCD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，设半径为r ，根据垂径定理可得：在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3，∴r =DE sin60°=2√332=4，∴⊙O 的半径为4．35．（2020浙江宁波）（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，̂=BD̂，∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠F AC ，∵∠FED ＝∠F AD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE AC =AG CD ，∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，∴AD AC =45， 在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∴x =53，∴ED ＝AD =203，∴CE ＝CD +DE =353，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM＝DE﹣EM=5 6，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=5 6，∴S△DEF=12DE•FM=259．36．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，又∵AE ⊥y 轴，AE ＝1，∴A(1，52)，∴k =1×52=52．（2）①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠AOE +∠FOB ＝90°，又∵BF ⊥y 轴，∴∠FBO +∠FOB ＝90°，∴∠AOE ＝∠FBO ，在△OAE 和△BOF 中，{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO ，∴△OAE ≌△BOF （AAS ），②解：设点A 坐标为（1，m ），∵△OAE ≌△BOF ，∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1，∴B （m ，﹣1），设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：则{k +5=m km +5=−1． 解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3． 当m ＝2时，OE ＝2，OA =√5，S △AOB =52＜3，符合；∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，当m ＝3时，OE ＝3，OA =√10，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．。