三角形的中位线及性质

三角形的中位线姓名___________________学号____________________学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．活动一。

温故知新：1、什么叫三角形的中线：2、一个三角形有______条中线 活动二。

探究新知：1. 请同学们按要求画图：2. 画任意△ABC 中，画AB 、AC 边中点D 、E ，连接DE ．3. 定义：像DE 这样，连接三角形两边_____的线段叫做三角形的________． 4. 探究思考:问题1：一个三角形有几条中位线？答：__________请你在你画的图形中画出来问题2：三角形中位线与三角形中线有什么区别？问题3：如上图，DE 是△ABC 的中位线，DE 与BC 有怎样的关系？ 猜想：_______________________________________________________。

度量一下你画的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论． 我经过度量发现：DE___BC 且DE______BC 。

文字表述这一结论：_______________________________________________ 验证你的猜想： 已知，如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、 AC 的中点. 求证：DE ∥BC ，DE=21BC ．A B CD E归纳：由此我通过猜想，测量，证明等方式得到三角形中位线定理：即：______________________________________________________。

几何语言：活动三。

运用新知如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点(1）若DE=5，则BC=_____________ .。

（2）若∠B=65°，则∠ADE=_________。

三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。

具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。

以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。

中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。

证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。

二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。

1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。

由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。

进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。

2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。

以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。

我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。

因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。

3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。

三角形中的中线与中位线的性质在几何学中，三角形是最基本的多边形之一，由三个边和三个顶点组成。

在三角形中，中线和中位线是两个重要的概念。

本文将探讨这些线段的性质，展示它们在三角形中的重要作用。

一、中线的性质中线是指连接三角形的一个顶点和对应边中点的线段。

在任何三角形中，都存在三条中线，它们相交于一个点，称为三角形的重心。

以下是中线的性质：1. 中心位置：三角形的三条中线的交点即为三角形的重心。

重心将三角形划分为三个面积相等的三角形。

2. 等长性：三角形的三条中线长度相等。

即，连接三角形的一个顶点和对边中点的线段长度相等。

3. 三点共线：三角形的顶点和对边中点以及重心共线。

这意味着无论三角形是等腰、等边还是普通三角形，其中心点都位于三角形内部，并且与三角形的顶点与边具有一定的关系。

二、中位线的性质中位线是指连接三角形的两个顶点中点的线段。

在任何三角形中，存在三条中位线，也具有一些重要的性质。

以下是中位线的性质：1. 中点连线：三角形的三条中位线的交点即为三角形内心。

2. 等长性：三角形的三条中位线长度相等。

即，连接三角形的两个顶点中点的线段长度相等。

3. 平分性：中位线将三角形的面积平分为两部分。

即，三角形内所有通过一个顶点的中位线所对应的两个小三角形面积之和等于大三角形的一半。

三、中线与中位线的关系中线和中位线是三角形中具有重要关系的特殊线段。

以下是它们之间的一些关系：1. 位置关系：三角形的三条中线相交于三角形的重心，而三条中位线相交于三角形的内心。

2. 长度比较：在同一个三角形中，中位线的长度大于中线的长度。

3. 关于重心的性质：连接三角形的一个顶点和对边中点的线段与连接该顶点与三角形的重心的线段之间的比值为2:1。

4. 关于内心的性质：连接三角形的两个顶点中点的线段与连接这两个顶点与三角形的内心的线段之间的比值为1:1。

结论：通过对三角形中的中线与中位线的性质进行分析，我们可以得出以下结论：1. 中线和中位线都是三角形中的重要线段，它们与三角形重心和内心的位置关系密切。

三角形中位线的性质引言在几何学中，三角形是最基本的几何形状之一。

三角形有很多有趣的特性和性质，其中一个重要的性质是中位线。

本文将介绍三角形的中位线的性质，并且通过几何推导和实例演示来解释这些性质。

什么是三角形中位线？首先，我们需要了解中位线的定义。

在三角形ABC中，中位线是从三角形的每个顶点到对应对边的中点的线段。

triangletriangle在上图中，AD、BE和CF是三角形ABC的中位线，其中D、E和F分别是边BC、AC和AB的中点。

第一性质：中位线与边的关系首先，我们来看中位线与边的关系。

我们可以发现，三角形的每条中位线分割对应的边成为两个相等的线段。

证明这一性质，我们以中位线AD为例。

连接点D和B，我们可以得到三角形ADB。

由于D是边BC的中点，根据线段的性质，我们可以得出AD=BD。

同样地，以中位线BE和CF为例，我们可以得出BE=EC和CF=AF。

因此，三角形的每条中位线都能将对应的边分割成两个相等的线段。

第二性质：中位线的交点三角形的中位线是由三个中位线构成的。

我们可以证明这三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

我们以中位线AD和BE的交点为例。

我们可以证明这个交点C，是边AB的中点。

连接点C和A，以及点C和B，我们可以得到三角形ACB。

我们知道，BC是中位线，所以C是边AB的中点。

同样地，我们也可以证明中位线AD和CF的交点，以及中位线BE和CF的交点分别是边AC和BC的中点。

因此，中位线的交点是三角形边的中点，也就是三角形的重心。

第三性质：重心的性质重心是一个非常有趣的点，它拥有一些特殊的性质。

首先，重心到三角形的每个顶点的距离相等。

也就是说，重心到顶点的距离是相等的。

我们可以通过几何推导来证明这一性质。

以重心为原点，我们可以使用向量的方法来推导这个等式。

假设三角形的重心是点G，顶点分别是A、B和C。

我们使用向量表示，AG=a，BG=b，CG=c。

根据重心定义，可以得到AG=(2/3)AD，BG=(2/3)BE和CG=(2/3)CF。

第9讲三角形的中位线知识导航1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半；3.一个三角形有三条中位线.【板块一】运用中位线的性质计算与证明方法技巧三角形的中位线平行且等于第三边的一半，给出了中位线与第三边的位置关系和数量关系，为证明两线平行，探求两线段的数量关系提供了依据.题型一利用中位线的性质计算与证明【例1】如图，△ABC中，12AB=，8AC=，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则线段EF的长为_______.【例2】如图，点E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE DC=，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.(1)求证：△ABF≌△ECF；(2)求证：2=.AB OF针对练习11.如图，□ABCD的周长为8，对角线AC，BD交于点M，延长AB到点E，使BE BC=，BN⊥EC于点N，连接MN，求MN的长.2.如图，O 为△ABC 两条中线BF 与CD 的交点，求证：12OD OC =，12OF BO =.【板块二】 构造中位线的方法与技巧方法技巧构造中位线的方法与技巧有：连中点构造中位线，取中点构造中位线，角平分线与垂线组合构造中位线，倍长线段构造中位线，连接第三边构造中位线.题型二 连中点构造中位线【例1】如图，△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，90ACB DCE ︒∠=∠=，点D ，C ，B 在同一条直线上，点F ，G ，M 分别为AD ，BE ，AB 的中点.(1)求FGM ∠的度数；(2)求FG BD的值.题型三 取中点构造中位线方法技巧三角形的一条边上有中点，可以取另一边的中点，然后连接这两个中点，构造三角形的中位线.【例2】如图1，在△ACB 中，CA CB =，90ACB ︒∠=，点E 在AC 上，EF ⊥AC 交AB 于点F ，连接BE ，D 为AF 的中点，M 为BE 的中点.(1)判断CM 与CD 之间的数量关系，并加以证明；(2)将△AEF 绕点A 旋转任意一锐角，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请加以证明.题型四 角平分线＋垂线→构造中位线方法技巧角平分线＋垂线，通过延长直角边，可以补全成等腰三角形，形成一边上有中点的情形，与另外的边的中点连线可得到中位线.【例3】(2017徐州改)如图，在△ABC 中，点D ，点E 分别为AB ，AC 的中点，点F 在DE 上，且AF ⊥BF .(1)求证：ABF CBF ∠=∠；(2)若5AB =，8BC =，求EF 的长.【例4】如图，BD ,CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，AG ⊥CE 于点G ，连接FG . 求证：(1)FG ∥BC ； (2) ()12FG AB BC AC =++.【例5】已知点M 为△ABC 的边BC 的中点，12AB =，18AC =，BD ⊥AD 于点D ，连接DM .(1)如图1，若AD 为△ABC 的角平分线，延长BD 交AC 于点E .①求证：BD DE =；②求MD 的长；(2) 如图2，若AD 为△ABC 的外角平分线，则_______MD =.【例6】如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q 两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F .求证：EF ∥AB .【例7】如图，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，90ACB CDE ︒∠=∠=，点E 在AC上，M 为BE 的中点.求证：2AE DM =.题型五 倍长线段构造中位线【例8】如图，点P 为△ABC 的边BC 的中点，分别以AB ,AC 为斜边作Rt △ABD 和Rt △ACE ，且BAD CAE ∠=∠.求证：PD PE =.题型六 连接第三边构造中位线方法技巧若图形中存在共顶点的两边上都有中点，可以连接第三边，构造中位线. 【例9】如图，在□ABCD 中，120C ︒∠=，2AB =，4AD =，点H ，G 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AH ，HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF .则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．1 B.31- C.32D.23-【例10】如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.【例11】如图，点B 为线段AC 上一点，分别以AB ，BC 为边AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点.(1)求证：PM PN =；(2)求MPN ∠的度数.针对练习21.(课本62页第16题改编)如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为BAC ∠的平分线，BD ⊥AD 于点D .(1)求证：()12DM AC AB =-； (2)若6AD =，8BD =，2D M =，求AC 的长.2.如图，在△ABC 中，BE ，CF 分别平分ABC ∠，ACB ∠，AG ⊥BE ，AH ⊥CF ，G ，H 为垂足，求证：GH ∥BC .3.如图，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EG 与HF 互相平分.4.如图，BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于点M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于点N .(1)求证：MN ∥BC ；(2)若AB c =，AC b =，BC a =，求MN 的长.【板块三】 中位线与动态探究题型七 中位线与路径问题方法技巧中位线的动态图求值，先分别选取运动点的起点，中间某一特殊点，终止点这些特殊位置对应的点，然后由特殊到一般猜想估计运动点的情形，最后验证.【例1】如图，在△ABC 中，90B ︒∠=，60BAC ︒∠=，1AB =，若点E 为BC 上一动点，以AE 为边在AE 右侧作等边△AEF ，连接CF ，点G 为线段CF 的中点，若点E 从点B 出发，沿着BC 方向运动到点C ，则在此过程中，点G 运动的路径长为_________.【例2】如图，()2,0A ，()0,2B ，点P 在线段OA 上运动，BP ⊥PM ，BP PM =，C 为x轴负半轴上一定点，连接CM ，N 为CM 的中点，当点P 从点O 运动至点A 时，点N 运动的路径长为________.针对练习3 .1.如图，已知AB =10，P 是线段AB 上的动点，分别以AP ,PB 为边在线段AB 的同侧作等边△ACP 和等边△PDB ，连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时,求点G移动的路径长。

中位线与角的关系中位线是指一个三角形内连接三个顶点与各边中点的线段。

在三角形中，中位线有着重要的几何性质，其中之一是与三角形的内角有着特殊的关系。

一、中位线的定义对于一个三角形ABC，连接顶点A与边BC中点D的线段AD称为三角形ABC的中位线，其中AD为中位线的长度，D为中位线的中点。

二、中位线的性质1. 三角形的三条中位线交于一点对于任意一个三角形ABC，连接顶点A与边BC的中点D，连接顶点B与边AC的中点E，连接顶点C与边AB的中点F，可以证明线段AD、BE和CF三条中位线交于一点G。

这个点G称为三角形ABC的重心，也是三条中位线的交点。

2. 中位线的长度与角在一个三角形中，中位线的长度与三个顶点相应的内角有着特殊的关系：（1）中位线的长度为相应两边长度的一半例如，在三角形ABC中，AD为中位线，AD的长度等于边BC的长度的一半，即AD = BC / 2。

同样地，BE = AC / 2，CF = AB / 2。

（2）中位线与相应两边所夹的角的关系以三角形ABC的边BC为例，AD为中位线，在三角形ABC中，角∠BAD与∠CAD分别为∠BAC的角平分线。

即角∠BAD与角∠CAD的角度相等，且与∠BAC的角度相等。

同样地，以中位线BE和CF为例，可以得到类似的结论。

三、中位线的应用1. 求解三角形的面积由于三角形的三条中位线交于一点，这个点正好是三角形重心。

利用三角形的面积公式S = 1/2 * 底边长度 * 高，可以通过三角形重心到三边的距离来计算三角形的面积。

由于中位线等于相应两边长度的一半，所以可以依靠中位线求解三角形面积的问题。

2. 定位重心知道了一个三角形的三个顶点坐标，可以通过求解三个顶点坐标的中点坐标，得到中位线的交点，从而求解出三角形的重心坐标。

这在几何定位和相关问题的求解中具有重要的应用价值。

总结：中位线是一个三角形内连接顶点与各边中点的线段，具有重要的几何性质。

中位线与三个顶点的内角有着特殊的关系，长度等于相应两边长度的一半，并且与相应的内角角度相等。

三角形的中位线与中心线一、三角形的中位线1.定义：三角形的中位线是从三角形的一个顶点出发，在对面的边上找到中点，然后连接这个中点和顶点的线段。

(1)三角形的中位线平行于第三边。

(2)三角形的中位线等于第三边的一半。

(3)三角形的中位线将对边的夹角平分。

二、三角形的中心线1.定义：三角形的中心线是从三角形的某个顶点出发，延长到对边上的点，使得这个点到三角形其他两个顶点的距离相等。

(1)三角形的中心线将对边的夹角平分。

(2)三角形的中心线将对边的中点连接起来，形成的线段是三角形的中位线。

(3)三角形的三条中心线相交于一点，称为三角形的心。

1.在等边三角形中，中位线和中心线重合，都是三角形的角平分线、中线和高线。

2.在一般三角形中，中位线是中心线的一部分，中心线是延长的中位线。

四、三角形的中位线与中心线在实际应用中的意义1.在建筑设计中，通过测量三角形的中位线和中心线，可以判断建筑物的结构是否稳定。

2.在工程测量中，利用三角形的中位线和中心线可以简化计算，提高测量精度。

3.在解决几何问题时，运用三角形的中位线和中心线可以简化问题，找到解决问题的突破口。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC上的中点，求证：DE平行于BC，且DE等于BC的一半。

答案：根据三角形的中位线性质，D、E分别是边AB、BC的中点，所以DE平行于BC，且DE等于BC的一半。

2.习题：在三角形ABC中，M是边AC上的中点，求证：BM平行于AC。

答案：延长BM到N，使得MN=BM。

由于M是AC的中点，所以AN=NC。

根据等腰三角形的性质，AN平行于BC，且AN=BC。

又因为DE平行于BC，所以DE平行于AN。

又因为DE=BC，所以MN平行于AC，且MN=AC。

根据平行线的性质，BM平行于AC。

3.习题：在等边三角形DEF中，G是边DE的中点，求证：FG平行于DE。

答案：由于DEF是等边三角形，所以DE平行于DF。