三角形中位线定理 知识讲解

平面几何中的中位线定理在平面几何中，中位线定理是一项重要的几何定理，它与三角形的中位线有关。

本文将介绍中位线定理的定义、推导及应用。

一、定义中位线是指一个三角形内连接一个顶点与对边中点的线段。

对于三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点D的线段AD称为三角形ABC的中位线。

二、中位线定理的推导为了证明中位线定理，我们首先定义一些相关的概念：- 定义1：三角形ABC的中位线AD与对边BC的交点为点E。

- 定义2：三角形ABC的中位线BE与对边AC的交点为点F。

- 定义3：三角形ABC的中位线CF与对边AB的交点为点G。

现在，我们来推导中位线定理：由于线段AD是三角形ABC的中位线，所以AD的中点为线段BC 的中点，即D是BC的中点。

根据线段分割定理，我们可以得到以下三个等式：1. BD = DC （D是BC的中点）2. AE = EC （E是AC的中点）3. AF = FB （F是AB的中点）我们将以上三个等式进行相加得到：BD + AE + AF = DC + EC + FB左侧的等式可以进一步简化：(BD + AF) + AE = (BC + FB) + EC由于BD + AF = BF，所以上述等式可以改写为：BF + AE = BC + EC同样地，我们也可以得到：CF + AG = AC + EAAD + BG = AB + FC接下来，我们将以上三个等式进行相加：(BF + CF) + (AE + AG) = (BC + AC) + (EC + EA)我们可以继续简化上述等式：BC + BE + AC + AE = BC + AC + EC + AE由于BC + AC = BA，AE + EC = AC，因此上述等式可以改写为：BA + BE = BA + AC经过化简，我们得到：BE = AC由此可见，中位线BE的长度等于对边AC的长度，即中位线定理得证。

三、中位线定理的应用中位线定理在实际问题中有着广泛的应用。

第13讲 中位线定理⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩三角形的中位线中点四边形中位线定理多边形的内角和多边形的外角、外角和知识点1：三角形的中位线1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形共有三条中位线．2.三角形中位线的性质：（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）三角形的中位线将三角形分成两部分的面积之比为1:3．3.三角形中位线逆定理：（1）在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线．（2）在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线．【典例】例1 （2020春•南岗区校级月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是边DC 、AB 的中点，FE 的延长线分别AD 、BC 的延长线交于点H 、G ，求证：∠AHF ＝∠BGF ．【方法总结】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例2（2020春•桃江县期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAE＝∠CAE，BE ⊥AE于点E，BE的延长线交AC于点D，F是BC的中点，求EF的长．【方法总结】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．2．（2020春•市北区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，E、F分别为AC、AD的中点，连接EF，若∠ACD＝120°，求线段EF的长度．3．（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．知识点2：中点四边形不同的四边形的中点四边形如下：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形；（2）平行四边形的中点四边形是平行四边形；（3）菱形的中点四边形是矩形；（4）矩形的中点四边形是菱形；（5）正方形的中点四边形是正方形；【典例】例1（2020春•龙岩期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证四边形EFGH是菱形；（2）若AB＝3，BC＝4，求四边形EFGH的面积．【方法总结】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，矩形的判定定理是解题的关键．例2（2020春•兰州期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、DO的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若AC+BD＝36，AB＝10，求△OEF的周长．【方法总结】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．【随堂练习】1．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件________时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件________时，四边形EGFH是矩形．2．（2020春•相城区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是线段BC 、AD 、OB 、OD 的中点，连接EH 、HF 、FG 、GE ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）当EF 和BD 满足条件________时，四边形GEHF 是矩形；（3）当EF 和BD 满足条件________时，四边形GEHF 是菱形．3．（2020春•江汉区期中）如图1，A 1，B 1，C 1，D 1分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC ⊥BD ，AC ＝6，BD ＝10．（1）试判断四边形A 1B 1C 1D 1的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点A 2，B 2，C 2，D 2，再依次取A 2B 2，B 2C 2，C 2D 2，D 2A 2的中点A 3，B 3，C 3，D 3……以此类推，取A n ﹣1B n ﹣1，B n ﹣1C n ﹣1，C n ﹣1D n ﹣1，D n ﹣1A n ﹣1的中点A n ，B n ，∁n ，D n ，根据信息填空：①四边形A 1B 1C 1D 1的面积是________；②若四边形A n B n ∁n D n 的面积为1516，则n ＝________；③试用n 表示四边形A n B n ∁n D n 的面积________．知识点3： 多边形的内角和多边形内角和定理：n 边形内角和等于（n-2）×180° （n ≥3），且n 为整数）正多边形的每个内角等于n−2×180°.n【典例】例1（2020秋•路南区期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【方法总结】本题考查了多边形的内角和公式．解答此题的关键是把所求的角正确的分解为180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，再根据多边形的内角和公式即可求解．例2 （2020秋•洪山区期中）一个多边形从某个顶点出发的对角线共有3条，这个多边形的内角和是________．【方法总结】本题主要考查多边形的内角和定理，多边形的对角线，根据多边形的对角线求解多边形的边数是解题的关键．【随堂练习】1．（2020秋•固始县期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A+∠B＝222°，且∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是________．知识点4 多边形的外角、外角和多边形的外角和等于360°．正多边形的每个外角等于360°.n【典例】例1（2020秋•綦江区期末）如图所示，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，…，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，（1）左转了________次；（2）一共走了________米．【方法总结】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．例2（2020秋•丛台区校级期末）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，（1）求这个多边形的边数；（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？【方法总结】本题考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系，运用方程求解比较简便．第2问在理解剪掉多边形的一个角的含义时，确定其剩余几边形是关键．【随堂练习】1．（2020秋•梁子湖区期中）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．（1）求六边形ABCDEF的内角和；（2）求∠BGD的度数．2．（2020秋•武威期中）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的内角和．综合运用1．（2020秋•盘龙区期末）已知一个n边形的内角和等于1980°，则n＝_______．2．（2020秋•九龙坡区校级期中）已知一个n边形的内角和是900°，则n＝_______．3．（2020秋•固始县期中）小刚从点A出发，前进10米后向右转60°，再前进10米后又向右转60°，按照这样的方式一直走下去，他能回到A点吗？当他第一次回到A点，他走了多少米？4．（2020秋•郁南县校级月考）若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．5．（2020•浙江自主招生）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别为AD、BC中点，延长BA、FE交于M，延长FE，CD交于N．求证：∠AME＝∠N．6．（2020春•白云区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF=12（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．7．（2020•丹江口市模拟）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD，S ABCD＝8cm2，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH 的周长等于_______．8．（2020春•青云谱区校级期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，AC＝DB．（1）求证：AD＝BC；（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相平分．9．（2020春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．。

三角形中位线的定理
三角形中位线的定理
引言
三角形是初中数学学习中的重要内容，而在三角形的研究中，中位线是一个重要的概念。

本文将介绍三角形中位线的定理，包括定义、性质和证明等方面。

第一部分：定义
1. 什么是中位线？
在三角形ABC中，连接AB的中点D和连接AC的中点E所组成的线段DE叫做三角形ABC的中位线。

2. 中位线有哪些基本性质？
（1）一个三角形有三条中位线；
（2）每条中位线都平分对边；
（3）每条中位线与对边垂直。

第二部分：定理及证明
3. 什么是三角形中位线定理？
在任意一种平面几何图形当中，如果两个向量之和等于另一个向量，那么这两个向量所对应的两个边平行。

4. 证明：
（1）首先，连接BD和CE，则由定义可知BD和CE都是ABC的半径。

（2）因为BD = AD 和 CE = AE, 所以 BD = CE.
（3）作DE交BC于F，则由割圆法可知DF = FB 和 EF = FC.
（4）因为DF + EF = DE, 所以 FB + FC = BC.
（5）由（4）可知，FB和FC所对应的两个边平行，即BD || CE.
（6）同理可证出其他两条中位线所对应的两个边也平行。

5. 总结
三角形中位线定理是初中数学学习中的重要内容，通过本文的介绍，我们了解了中位线的定义、性质和定理，并且掌握了证明方法。

在实际问题中，我们可以利用这一定理来解决一些与三角形相关的问题。

三角形中位线定理知识讲解本文介绍了三角形中位线定理和中点四边形的形成规律。

三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，定理为中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2，面积为原三角形的1/4.中点四边形是由原四边形各边中点顺次连接而成的四边形，若原四边形对角线互相垂直，则新四边形是矩形；若对角线相等，则新四边形是菱形；若对角线垂直且相等，则新四边形是正方形。

举例来说，题目中给出了一个四边形ABCD，其中∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN。

要证明BM=MN，根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明。

另外，题目中还要求求出BN的长，首先证明∠BMN=90°，根据BN²=BM²+MN²即可解决问题。

根据中位线定理和勾股定理，可以得出 BN^2 = BM^2 + MN^2.因为 MN=BM=AC=1，所以BN=√3.这道题考查了中考常考的知识点，需要学生能够熟练地运用这些知识点解决问题。

变式题中，给定了一个矩形 OABC，其中 A、C 分别在 x 轴和 y 轴正半轴上，B 点坐标为 (3,2)，OB 与 AC 相交于点 P，D、E、F、G 分别是线段 OP、AP、BP、CP 的中点。

我们需要求出四边形 DEFG 的周长。

根据矩形的性质，可以得到OA=3，AB=2.因为 D、E、F、G 分别是线段 OP、AP、BP、CP 的中点，所以 DE=GF=1.5，EF=DG=1.因此，四边形DEFG 的周长为 (1.5+1)*2=5.在三角形 ABC 中，已知点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，AH 是高。

第一问需要求出四边形ADEF 的面积。

根据三角形面积公式，可以得到 S△ABC=1/2*10*8=40.因为 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，所以△BDE、△EFC 的面积都等于△ABC 面积的四分之一，因此四边形 ADEF 的面积为 40-20=20.第二问需要证明∠DHF=∠DEF。

等边三角形中位线定理等边三角形中位线定理是指：在一个等边三角形中，连接每个顶点和它对面的中点，得到的三条线段互相平分。

即每条中位线的两个端点与对边的两个端点构成的四边形是平行四边形。

一、等边三角形基本概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

在等边三角形中，每个内角都是60度。

二、中位线定义及性质1. 中位线定义：在一个三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，连接顶点B和AC中点N，连接顶点C和AB中点P所得到的线段AM、BN、CP叫做这个三角形ABC的中位线。

2. 中位线性质：（1）每条中位线都可以将对应的底边分成两段长度相等的部分。

（2）每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。

（3）如果一个三角形有两条边互相平分，则这两条边所代表的直线必然相交于第三条边上，并且交点距离第三条边上任意一端的距离相同。

三、证明证明等边三角形中位线定理需要用到向量知识。

设向量AB=a，向量AC=b，则向量BC=a-b。

由于三角形ABC是等边三角形，所以有|a|=|b|=|a-b|。

根据向量知识可知，向量AM=1/2*a，向量BN=1/2*b，向量CP=1/2*(a-b)。

因此，AM、BN、CP的长度都是相等的。

接下来我们证明每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。

设中位线AM和BN相交于点O，则有AO=OM，BO=ON。

又因为AO+ON=AN=BN+BO，所以AO=BO，并且OM=ON。

因此，四边形ABMO和BANO都是平行四边形。

同理可证得四边形ACPO和CBPO也都是平行四边形。

综上所述，每条中位线所代表的四边形都是平行四边形。

四、应用等边三角形中位线定理可以用于解决一些几何问题。

例如，在一个等边三角形ABC中，连接顶点A和BC中点M，并连接BM交AC于点N，则可以证明AN=NC。

证明如下：由于BM是AC的中线，所以AN=NC（由上述性质（3）可知）。

又因为AM是AB的中线且AB=BC，所以AM||CN且AM=CN。

三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。

因为，所以DEBC 21． 法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。

因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。

因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线BC 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。

我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。

在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。

中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。

我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。

中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。

它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。

在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。

通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。

这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。

我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。

接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。

通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。

在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。

这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。

总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。

通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。

本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。

引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。

在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。

通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。

在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。