土木工程画法几何

2.4 直线与平面以及 两平面的相对位置
本节提要： （1）直线与平面以及两平面平行 （2）直线与平面以及两平面相交 （3）直线与平面以及两平面垂直 （4）点、直线、平面的综合作图题示例
2.4.1 直线与平面以及两平面平行 2.4.1.1 直线与平面以及两平面平行的几何条件
平面外的直线与 平面平行的几何条件 是：
d' a'
X e' a
de
g'
f' b' O
gf b
d'
g'
a' k'
X e' a
k de
f' b' O
gf
b
[例2.27] 如图所示，作直线AB与侧垂面P的交点，并 表明可见性。
Z
Z
a'
a"
a'
a"
PW
b'
b"
O
k' b'
k" PW
b"
O
[例2.28] 如图所示，作正垂线EF与平行四边形平面 ABCD的交点，并表明可见性。
助检定。
e'
c'
1'(2')
用交叉直线 判别可见性
a' X
e
a
k' b'
f' O
b
2
c
k
1
f
2.4.2.1 两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚 性时相交
（1）直线与平面相交——求交点问题
由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接 求出，且能直接判别直线的可见性。
[例2.26] 如图所示，作直线AB与铅垂的矩形平面 DEFG的交点，并表明可见性。
A
P
B
O
X
D
BO
a
c e
b
Hd
b
（在投影图中）求交点或交线的方法：
（1）利用直线或平面投影的积聚性；
e'
c'
e'
c'
a' X
e
a
b' f'
O b c f
已知
a' X
e
a
k' b'
f' O
b c k
f
求点
直线与特殊位置平面相交
（在投影图中）求交点或交线的方法： （1）利用直线或平面投影的积聚性；
全交
②如果不是一个多边形全部穿过另一个多边形，则称 为互交。这两个平面多边形交线的端点，分别是第一个多 边形与第二个多边形平面的交点，以及第二个多边形的一 条边与第一个多边形平面的交点。
互交
一个多边形的边与另一多边形平 面的交点可以是：
①这条边与另一多边形平面在另 一多边形范围内的实际的交点。（如 Ⅰ、Ⅱ）
这条直线平行于 平面上的一条直线
2.4.1 直线与平面以及两平面平行 2.4.1.1 直线与平面以及两平面平行的几何条件
两平面平行的几何 条件是：
一平面上的两相交 直线，分别平行于另一 平面上的两相交直线
2.4.1 直线与平面以及两平面平行 2.4.1.1 直线与平面以及两平面平行的几何条件
有关线、面平行的作图问题有： 判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行； 包含已知直线作平面与另一已知直线平 行。
c'
a'
c'f'
X
b'
O
be
a
c f
c'
a'
k' c'f'
d'
X
b'
O
be
d
k a
c f
特殊位置直线与平面相交
（2）当它们都没有积聚性时，则常用加设辅助平面
的方法求做交点或交线。
e'
判别可见性的方法
c'
交点——
分界点
可见性：假想平面是 X a' 不透明的，直线穿过平面 e
b' f'
O
b
或一个平面穿过另一个平
a X
a
d c m
●
c d
●
m
b
n O
n
唯一解
例：判断由两平行直线AB、CD与EF、MH组成的两
平面是否平行。
m
a
c
e
k
b
d
f
X
b
d
f
h
由于ek不
平行于ac, O 故两平面
不平行。
h
a c
k
e
m
例：试判断两平面是否平行。
a b
n
m c
d X
c n
m
ad
f r
[例2.24] 如图所示，已知直线AB、△CDE、点P的两
面投影，检验直线AB是否平行于△CDE ，并过点P作平
行于△CDE的平面。
c'
b'
p'
c'
b'
p'
d' a' X
a d
b
e'
e p
c
a' OX
a
d' f'
f
d
b
c
q'
e'
r'
O
e
r
q
p
例：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。
b
正平线
d' e'f'
a'
X
af
d e
c'
b' O
b c
1' d'
e'f' 2' k'
a'
X
af
k
d 1(2) e
c'
b' O
b c
（2）两平面相交——求交线问题 两个平面多边形相交时有两种情况：
①当一个多边形全部穿过另一个多边形时，两个平面 多边形交线的端点分别是同一个多边形上的两条边对另一 多边形平面的交点，称为全交。
g
ad
ad
PH
e
e
2.4.2 直线与平面以及两平面相交 直线与平面相交问题的核心是：求直线与平面的交点 两个平面相交问题的核心是：求两个平面的交线 直线与平面的交点是直线与平面的共有点 两个平面的交线是两平面的共有线
V c' b'
a'
A C
X a
Hc
共有点
V
c' e'
共有线
C a' d' b' E
②也可以是在另一多边形范围外 的扩大面上的交点。（如Ⅳ、Ⅵ）
③还可以是这条边的延长线与另 一多边形平面在多边形范围内或范围 外的扩大面上的交点。（如Ⅲ、Ⅴ）
在两个多边形范围之内的一段是实际的交线，投影画 成粗实线。
（1）直线与平面的同面投影都有积聚性；
（2）直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相
平行。
A
D
G
BC
E F
d
ab
c
g f
H
e
2.4.1.2 当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平 面平行的投影特性
当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性
它们的有积聚性的同面投影互相平行。
G
J
E
H
I
F
g
i j
f
H
e
h
[例2.25] 如图所示，已知点G和处于铅垂位置的矩形 平面ABCD，以及直线EF的正面投影e'f'和端点E的水平 投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD，补全EF的水平投 影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。
g'
e'
a' b'
g'
e'
a' b'
f'
f'
d'
c'
d'
c'
X
O
X
O
bc
bc
g
f
s e
eO s
r f
b
结论：两平面平行
例：已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点 K作一平面平行于已知平面 。
a
s
d
k
f
e
m
n
b c
X c
b m
r
r n
d
f
O
e k
s
a
2.4.1.2 当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平 面平行的投影特性
当平面为特殊位置时，直线与平面相平行的投影特性
c
f
面时，一部分被挡住，直
a
线或平面上就产生可见与不可见部分，而交点或交线是可 见与不可见的分界点或分界线。
在投影图中可见部分画成实线，不可见部分画成中虚 线（中线的线宽为粗线的一半）。
当平面的投影有积聚性，或平面中至少有一个平面的
投影有积聚性时，投影重合处的可见性，可以在投影图中
通过直接观察检定，否则可用交叉线重影点的可见性来帮