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第7章非线性控制系统分析

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(优选)自动控制原理第七章非线性系统

(优选)自动控制原理第七章非线性系统

1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。

自动控制原理第七章

自动控制原理第七章
作用后，运动仍然保持原来的频率和振幅，即这种周期运动 具有稳定性，这种现象称为自持振荡，这是非线性系统独有 的现象。
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
9
4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
<<自动控制原理>>第七章
22
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
2013-12-13 <<自动控制原理>>第七章 14
若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
2013-12-13
<<自动控制原理>>第七章
17
c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向

自动控制原理__(13)

自动控制原理__(13)
x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
江南大学物联网工程学院——自动控制原理
（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析

自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e

非线性系统分析方法

非线性系统分析方法

解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
X
3. 绘制线性部分的极坐标图
4. 判断稳定性，分析两曲线相交点的性质
1 N(X)
X
-1.56 300 400 B -1 -0.5
X 130 A 140
120 G(j)
趋于奇点 远离奇点 包围奇点
例：二阶线性定常系统
••
•
x 2n x n2 x 0
试分析其奇点运动性质。
dx/dt x
稳定节点
••
•
x 2n x n2 x 0
dx/dt x
1
稳定节点
相轨迹趋于原点，该奇点称为 稳定节点
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
1
不稳定节点
相轨迹远离原点，该奇点为 不稳定节点
者是自持振荡的
自持振荡点 a 振荡幅值=Xa
振荡频率=a
Im Re
X a
0
1 G(j) N ( X )
例：已知死区继电非线性系统如图
R(s)
+M
460
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3

第7章 非线性系统

第7章 非线性系统

24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.

第七章非线性控制系统分析习题答案.

解： y(t) = A3 sin3 ωt
∫ ∫ 1
B=
2π
A3 sin 4 ωt
4 A3
dωt =
π
2
1
(1
− cos
2ωt) 2
dωt
1
π0
π 04
∫ [ ] A3
=
π
2 (1 − 2 c os 2ω t + c os 2 2ω t )
A3
dωt =
π
A3
π
− sin 2ωt 2
π0
π2 π
0
A 3 π c o s 4ω t + 1
G1 ( s) +G1 ( s)
4 、 判 断 题 7 -2 图 中 各 系 统 是 否 稳 定 ； −1 N( A) 与 G ( j ω ) 两 曲 线 交 点 是 否 为 自 振 点 。
2
解 ：（ a ） 不 是 ； （ b） 是 ； （c）是；
（ d） a、c 点 是， b 点 不 是；
（ e） 是 ；
（ 2 ） 由 图 解 7 -5 可 见 ， 当 −1 N( A) 和 G ( j ω ) 相 交 时 ， 系 统 一 定 会 自 振 。 由 自 振 条 件
A + 6 −K −( A + 6) K
N ( A)G( jω ) =
=
= −1
ω =1 A + 2 2
2( A+2)
( A +6) K = 2 A +4
10
−1 0
10
G( jω ) =
=
−j
j ω( j ω + 1) ω2 + 1
ω( ω2 + 1)

非线性系统分析


其数学表达式为
NX
RX
Y1sin(t 1) Xsint
Y1 X
1
A12 B12 arctanA1
A1102y(t)costdt
X
B11
B1
2y(t)si ntdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
y1x1x3(11x2)x 2 4 24
N(X)10.75X2 24
7.3 非线性特性的描述函数法
❖ 了解典型非线性环节的特点； ❖ 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数
的计算方法； ❖ 掌握分析非线性系统的近似方法——描述
函数法，能够应用描述函数法分析非线性 系统的稳定性。
7.1 非线性系统动态过程的特点
1. 非线性系统的定义及种类 2. 几种典型的非线性特性 3. 非线性系统的稳定性 4. 非线性系统的运动形式 5. 非线性系统的自振
n0 2n1
推论：①
②
③
方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加。 正弦分量中，有一个与输入信号频率相同的分量， 称为基波分量；而其它分量的频率均为输入信号 频率的奇数倍，统称为高次谐波。 每个分量的振幅也各不相同，频率愈高的分量， 振幅愈小。
7.3 非线性特性的描述函数法
（3）非线性系统的谐波线性化
3. 间隙 5 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用
用振荡线性化改善系统性能 非线性环节及其对系统结构的影响
1 非线性系统动态过程的特点
4. 摩擦 （1）非线性系统的典型结构
3 非线性特性的描述函数法 （2）描述函数法对非线性系统的假设
取
后， 与
不再相交，自振消除。
5. 继电器 （1）非线性的负倒描述函数

§7.1 非线性控制系统概述

第7章 非线性控制系统分析在构成控制系统的环节中，如果有一个或一个以上的环节具有非线性特性，则此控制系统就属于非线性控制系统。

本章涉及的非线性环节是指输入、输出间的静特性不满足线性关系的环节。

由于非线性问题概括了除线性以外的所有数学关系，包含的范围非常广泛，因此，对于非线性控制系统，目前还没有统一、通用的分析设计方法。

本章主要介绍工程上常用的相平面分析法和描述函数法。

7.1 非线性控制系统概述7.1.1 非线性现象的普遍性组成实际控制系统的元部件总存在一定程度的非线性。

例如，晶体管放大器有一个线性工作范围，超出这个范围，放大器就会出现饱和现象；电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输入超过启动电压后，电动机才会转动，存在不灵敏区，而当输入达到饱和电压时，由于电动机磁性材料的非线性，输出转矩会出现饱和，因而限制了电动机的最大转速；各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着间隙；开关或继电器会导致信号的跳变；等等。

实际控制系统中，非线性因素广泛存在，线性系统模型只是在一定条件下忽略了非线性因素影响或进行了线性化处理后的理想模型。

当系统中包含有本质非线性元件，或者输入的信号过强，使某些元件超出了其线性工作范围时，再用线性分析方法来研究这些系统的性能，得出的结果往往与实际情况相差很远，甚至得出错误的结论。

由于非线性系统不满足叠加原理，前六章介绍的线性系统分析设计方法原则上不再适用，因此必须寻求研究非线性控制系统的方法。

7.1.2 控制系统中的典型非线性特性实际控制系统中的非线性特性种类很多。

下面列举几种常见的典型非线性特性。

1．饱和非线性特性只能在一定的输入范围内保持输出和输入之间的线性关系，当输入超出该范围时，其输出限定为一个常值，这种特性称为饱和非线性特性，如图7-1所示。

图中，x ，分别为非线性元件的输入、输出信号，其数学表达式为y()()()()()sgn ()()⎧≤⎪=⎨>⎪⎩Kx t x t a y t Ka x t x t a （7-1） 式中 —线性区宽度； a K —线性区的斜率。

非线性控制系统分析


第一张
上一张 下一张 最后一张
结束授课
非线性系统响应还有其他与线性 系统不同的现象,无法用线性系统的 理论来解释。在一些情况下,引入某 些非线性环节,使系统获得比线性系 统更为优异的性能。实际上大多数智 能控制都属于非线性控制范畴。
应当明确指出的是：非线性系统 分析中不能使用叠加原理,也不能使用 线性系统分析中传递函数、频率特性 数学模型。
上一张 下一张 最后一张
结束授课
三、自持振荡
线性二阶系统只在阻尼比=0时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程, 这时系统处于临界稳定状态。
实际上,一旦该系统参数发生微小变化,该周期性状态就无法维持,要么 发散至无穷大,要么衰减至零。
而非线性系统在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周期 性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通常将其称为自持振荡或 自振荡,如下图所示。
但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理时，就必须采用非 线性系统理论来分析。这类非线性称为本质非线性。
第一节 非线性系统的基本概念
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节, 则此系统即为非线性系统。
如系统不能进行线性化处理，或其时域响应不能用线性微分方程（一 般只能用非线性微分方程来描述,具有非线性数学模型）来描述,则称为非 线性系统，或称为本质非线性系统。这样的系统有以下特点：
如果自振荡的幅值在允许范围内, 按照李雅普诺夫关于稳定性的定义,系 统是稳定的。
自振荡是人们特别感兴趣的一个问 题,对它的研究有很大的实际意义。在 多数情况下,正常工作时不希望有振荡 存在,必须设法消除它。但在某些情况 下,特意引入自振荡,使系统有良好的稳 态、暂态性能。
第一张
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4.继电特性
等效增益
y M
0
x
-M
k
x 0
振荡加剧、稳态误差增大。 能够使被控制的执行装置在最大输入信号下工 作，充分发挥其调节能力。
7.4 描述函数法
分析无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自
振问题。
一、描述函数的基本概念
x
y f(.)
1.描述函数的定义
非线性环节 y=f(x)
x(t ) ? A sin ? t
C(s) k3, ? 3
执行元件
将死区折算到测量元件的位置
?
?
?1 ?
?2 k1
?
?3 k1k2
可通过提高前级元件的增益来减小死区效应
非线性特性的等效增益
设非线性特性 y=f(x) 其中输入为 x,输出为y
等效增益
k?
y ?
f (x)
xx
y
死区特性 ? ?
0?
x
增益减小
增大了系统的稳态误差，
k0 k
增益下降 降低系统稳态精度。
3 间隙（滞环）特性
间隙特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在
输入 --输出曲线上出现闭合环路。
其数学表达式为： yb
y
?
?k ( x ? asignx?)
? ?
bsignx
y? ? 0 y? ? 0
-a 0 a x
-b
滞环特性
例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。 增大稳态误差，降低稳态精度。
系统 x? ? x 2 ? x ? x ( x ? 1) (7.2.1)
令 x? ? 0 可知系统存在两个平衡状态
x=0和x=1
解(7.2.1)式
dx ? dt x(1?
x0e? t x0 ? x0e? t
x(t) x=1
0
ln x 0 x0 ? 1
x0>1 x0<1
第七章 非线性控制系统分析
7.1 引言 7.2 非线性控制系统概述 7.3 常见非线性特性分析 7.4 描述函数法
7.1 引言
理想的线性系统并不存在
7.2.非线性控制系统概述
一、 非线性系统的特点
1.不能应用叠加原理 2. 稳定性分析复杂
平衡状态 无外作用，且系统输出的各阶导数等于 0 线性系统：只有一个平衡状态 线性系统的稳定性，即该平衡状态的稳定性 非线性系统可能存在多个平衡状态
7.3 常见非线性特性分析
1.死区特性
y k
??
0?
x
?
0
x(t) ? ?
y(t)
?
? ?
k[x(t
)
?
?
sign ( x(t ))
x(t) ? ?
其中
sign( x(t ))
?
?1
? ?
?
1
x(t) ? 0 x(t) ? 0
若系统存在多个死区
R(s) -
k1, ? 1
测量元件
k2, ? 2 放大元件
若系统非线性环节奇对称 ，则有A0=0
? 1
An ? ?
2 ? y (t ) cos n? td ?? t ?
0
? B n
?
1
?
2?
y (t ) sin n? td ?? t ?
0
由于在傅氏级数中 n越大,谐波分量的频率越高， An，
Bn越小。此时若 系统高次谐波分量又进一步被充分衰减 ， 故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即
（2）描述函数表达了非线性元件对 基波正弦量 的传递能 力。一般来说，它应该是输入信号 幅值和频率 的函数， 但对于绝大多数的实际非线性元件，由于不包括储能元 件，它们的输出仅是幅值的函数，与频率无关，故常用 N(A) 表示。
二、典型非线性特性描述函数
饱和特性
y
y(t)
k -a
ωt
0
a
x
?1 ? ? ?1
正弦输入x(t) ? A sin ? t
?
2
输出
y(t) ?
?? KA sin ? t
? ??
Ka
其中，? 1
?
arcsin
a A
0? ? t ? ?1
?1
?
?
t
?
?
2
由于为单值，且关于原点对称的奇函数
所以， A0=0,A 1=0
? ? ? B1
?
1
?
2? 0
y (t )sin
?
td?
t
?
4
?
?? ?
y(t ) ? y1 (t ) ? A1 cos ? t ? B1 sin ? t ? Y1 sin( ? t ? ? 1 )
式中
? A1
?
1
?
2? y(t) cos ? td ?? t ?
0
? B1
?
1
?
2?
y(t)sin ? td ?? t ?
0
Y1 ?
A
2 1
?
B12
?1
?
arctan
A1 B1
降低了稳态精度。
x
?? 0 ?
2.饱和特性
y -a
M
k
-a ? ?
0? a x k
具有不灵敏区的
饱和特性
? ka
y(t) ?
? ?
kx
?? ? ka
-a
x? a | x |? a x ? ?a
y
k
0
ax
k
0
ax
增益减小
饱和特性 等效增益
带饱和的位置伺服系统
增益下降 使系统超调量减小， 平稳性变好。
类似于线性系统中频率特性的定义，我们 把非线性元件
稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线
性环节的 描述函数，用N(A) 来表示，即
N ( A) ? Y1 e j?1 ? A12 ? B12 ? arctan A1
A
A
B1
由非线性环节描述函数的定义可以看出：
(1) 描述函数 类似于线性系统中的频率特性，利用描述 函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线 性元件，因此又叫做 谐波线性化 。线性系统频率法的推 广。
1
?
?? 0
KA sin 2 ?
td (?
t) ?
? 2
?1
Ka sin ?
td (?
当输入为正弦信号 展成傅立叶级数
输出为非正弦的周期信号
?
? y(t) ? A0 ? (An cos n? t ? Bn sin n? t) n?1
?
? ? A0 ? Yn sin(n? t ? ? n ) n?1
?
? y (t ) ? A0 ? ( An cos n? t ? Bn sin n? t ) n?1
x>1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0 系统正阻尼,消耗能量
x=1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0
系统零阻尼,等幅振荡
4 频率响应发生畸变
非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率达正弦 信号分量 (基频分量 )外,还含有 ω 的高次谐波分量。
y(t) ωt
y(t)
ωt
y(t) ωt
t
x=0 平衡状态稳定。 x=1 平衡状态不稳定。
3. 可能存在自激振荡
自激振荡
没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具 有固定振幅和频率的稳定周期运动 ,简称自振。
范德波尔方程 van der pol equation
x??? 2? (1 ? x 2 )x? ? x ? 0
x<1, ? ? (1 ? x 2 ) ? 0 系统负阻尼,吸收能量