定积分的概念

.1 定积分概念

定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

，

把区间[a,b]分成n个小区间

，

设有常数I，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有

成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 。

接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。

.2 牛顿－莱步尼兹公式及实例

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。 (1) 证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节），即 。 (2)

在上式中令x = a，得。又由 (x)的定义式及上节定积分的补充规定知 (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的 (x)，可得

，

在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。

由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。

为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解 。

例2 计算。

定积分的概念教学设计

1 授课题目 定积分的概念

课时数 1课时

教学目标 理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。

重点与

难点 重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。

难点：定积分概念的理解。

学情分析 我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。

教材分析 本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。

教学方法 根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 定积分的概念教学设计

2 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册

教学内容与过程

一、定积分问题举例

1、曲边梯形的面积

设)(xfy在区间],[ba上非负连续。由)(,0,,xfyybxax所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A，具体计算步骤如下：

（1）分割：在区间],[ba中任意插入1n个分点bxxxxxann1210

把],[ba分成n个小区间

],[,],,[],,[12110nnxxxxxx

它们的长度依次为：nxxx,,,21

（2）近似代替：区间],[1iixx对应的第i个小曲边梯形面积,)(iiixfA ]).,[(1iiixx

（3）求和：曲边梯形面积niiiniixfAA11)(

1 / 4 第五章 定积分

本章重点: 1 定积分计算: 1.用牛一莱公式

2.用“特性”(奇偶对称)

3.分段函数的定积分

2 积分上限函数求导及应用

3 定积分计算中应注意的问题

第一节．定积分的概念与性质

教学内容和重点: 1 理解定积分定义

2 掌握性质和几何意义

一. 定积分的引入

1. 数学上: 求曲边梯形的面积

① 曲边梯形

② 面积的求法

ⅰ分割 ⅱ近似 ⅲ 求和 ⅳ 取极限

ix既表示第i个小区间,也表示长度. A=01lim()niifix

max{}ix

2.物理上: ① 作变速直线运动的路程. V(t) [1,2TT]

② 求法: S=01lim()niiiVt

③ 分析: ⅰ 含义不同,但处理的方法完全一样

ⅱ 式子均为特定和式结构的极限

二. 定积分的概念

1. Def: 设f(x)在[a,b]上有界(有界才有极限)

若01lim()niiifx ,则称01lim()()nbiiaifxfxdx

2. 定积分存在的两个充分条件

① 若f(x)C[a,b]()bafxdx (f(x)在[a,b]上可积)

② 若f(x)在[a,b]上有界,且只有有限个间断点(非无穷,振荡)(工类的)()bafxdx

3. 几个注意的问题

① 定积分,对任意分法和任意取法都成立采取特殊的分法,取法(比如等分)

② 0n等分

③ 定积分的值,只与f(x)和积分区间[a,b]有关,与积分变量无关 2 / 4 ()()()bbbaaafxdxfuduftdt

1 尊敬的各位专家，老师们：

大家好！

我是数学与计算机科学学院的汤秀芳，我说课的内容是《定积分的概念》。下面我将从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程、教学设计、板书设计等六个方面谈一谈我对这节课的理解和认识。

首先对教材进行分析。

这节课是高职高专“十一五”规划教材《应用数学》第五章第一节的内容，本节课是定积分的开始部分，是积分学的基本概念，也是高等数学中的经典理论。在学生已经学习了导数、不定积分的基础上，通过“四步曲”的定积分思想体会定积分的定义和几何意义，为定积分在几何学和物理学中的应用提供了理论依据。

根据上述教材分析，制定了如下教学目标：

认知目标：理解定积分的定义与几何意义，会用定义与几何意义求简单函数的定积分。

能力目标：培养学生的抽象思维能力、探索能力和高等数学的语言表达能力。

情感目标：培养学生勇于探索新知的科学态度,克服畏难心理。

依据教学目标，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学重点和教学难点：

教学重点是理解并掌握定积分的定义和几何意义、“四步曲”的定积分思想。

教学难点是理解并掌握定积分的思想，理解定积分是特殊和式的极限。

为了突出重点，突破难点，我的解决办法是遵循循序渐进的认知规律，以案例引入概念，淡化理论，借助多媒体手段，以问题驱动的方式来完成教学。

良好教学理念的实施，离不开对学生实际状况的掌握。我的授课对象是计算机各专业的学生，学生从知识结构上来说好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本是听不懂，基于这些特点，结合教学内容，以图形方式，把概念较强的课本知识直观化，形象化，引导学生探索性学习。

为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，再从教法和学法上谈一谈：

“教学有法，教无定法，贵在得法”，数学的教学必须建立在学

2 生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。对于我的学生来说，他们的知识和思维都有一定的局限性，缺乏有序性和准确性，针对这种情况，我注重联系实际生活，创设问题情境，采用的教法是案例教学法引入概念、问题驱动法加深理解、直观教学法变抽象为具体。