2023年九年级数学上册重要考点题精讲精练(人教版)一元二次方(答案版)

二次函数(答案版)二次函数的概念一般地形如y=ax2+bx+c（a≠0 a, b, c为常数）的函数是二次函数.若b=0 则y=ax2+c；若c=0 则y=ax2+bx；若b=c=0 则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x【答案】C【解析】【解答】解：A、是一次函数故此选项错误；B、当a≠0时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误.故答案为：C.【分析】形如“ y=ax2+bx+c(a≠0)”的函数就是二次函数据此一一判断即可得出答案.为整式 根据定义进行判断即可. 题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知 y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数 则m 的值为（ ）A ．−1B ．3C ．−1 或 3D ．0【答案】B【解析】【解答】解：∵y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数∴{|m −1|=2m +1≠0 解得： m =3 ；题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3【答案】A【解析】【解答】解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2 一次项系数是0 常数项是-3故答案为：A．【分析】根据二次函数的定义：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次【分析】根据形如y=ax+bx+c是二次函数可得答案．题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm 设一边长为xcm 面积为y cm2那么y与x的关系式是【答案】y=-x2+8x【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm 其中一边长为xcm∴另一边长为（8-x）cm∵长方形面积为ycm2∴y与x的关系式为y=x(8−x)=-x2+8x.故答案为：y=-x2+8x.【变式4-1】如图用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20）一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米围成的花圃面积为y米2则y关于x的函数关系式是．【答案】y=﹣2x2+20x【解析】【解答】解：由题意可得：y=x（20﹣2x）=﹣2x2+20x．故答案为：y=﹣2x2+20x．【分析】根据题意表示出花圃的长为（20﹣2x）m 进而利用矩形面积公式得出答案．题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【答案】A一、单选题1．下列函数解析式中一定为二次函数的是（）A．y=√x2+3B．y=ax2+bx+c C．y=t2−2t+2D．y=x2+1x【答案】C【解析】【解答】解：A、根号中含自变量不是二次函数故此选项错误；B、当a≠0时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误.故答案为：C.【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的函数为二次函数据此判断.2．函数y=（m+2）x m2+m+2x+1是二次函数则m的值为（）A．﹣2B．0C．﹣2或1D．1【答案】D【解析】【解答】∵函数y=（m+2 ）x m2+m+2x+1是二次函数∴m2+m=2 m+2≠0解得：m=1．故答案为：D．【分析】根据二次函数的定义自变量的最高次数是2 二次项的系数不能为0 从而建立混合组求解即可。

2023学年九年级上学期期末数学测试卷（答案版）一、单选题1．下列图形中既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形故此选项符合题意；B、是轴对称图形不是中心对称图形故此选项不符合题意；C、是中心对称图形不是轴对称图形故此选项不符合题意；D、是中心对称图形不是轴对称图形故此选项不符合题意．故答案为：A．【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的概念判断即可。

2．下列说法正确的是（）A．篮球队员在罚球线上投篮一次则“投中”是随机事件B．明天的降水概率为40%则“明天下雨”是确定事件C．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次则“有5次正面朝上”是必然事件D．a是实数则“ |a|≥0”是不可能事件【答案】A【解析】【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次则“投中”是随机事件故此选项正确；B、明天的降水概率为40% 则“明天下雨”是随机事件故此选项错误；C、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次则“有5次正面朝上”是随机事件故选项错误；D、a是实数则“|a|≥0”是必然事件故选项错误.故答案为：A.【分析】在一定条件下一定会发生的事件就是随机事件一定不会发生的事件就是不可能事件可能会发生 也可能不会发生的事件就是随机事件 从而根据定义即可判断A 、C 、D ；概率的大小代表的是事件发生的可能性的大小 从而即可判断B.3．若x =1是关于x 的方程x 2−2x +c =0的一个根 则c 的值为（ ）A ．−1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【解答】解：把x=1代入方程x 2−2x +c =0得：1−2+c =0∴c =1；故答案为：B ．【分析】把x=1代入方程x 2−2x +c =0中即可求出c 值.4．在平面直角坐标系中 将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x+m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】【解答】解： ∵y =x 2−(m −1)x +m =(x −m−12)2+m −(m−1)24 ∴ 该抛物线顶点坐标是 (m−12 m −(m−1)24) ∴ 将其沿 y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 (m−12 m −(m−1)24−3) ∵m >1∴m −1>0∴ m−12>0∵m −(m−1)24−3=4m−(m 2−2m+1)−124=−(m−3)2−44=−(m−3)24−1<0 ∴ 点 (m−12 m −(m−1)24−3) 在第四象限； 故答案为： D .【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标 然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可.5．以下说法合理的是（ ）A ．小明做了3次掷图钉的实验 发现2次钉尖朝上 由此他说钉尖朝上的概率是 23B ．某彩票的中奖概率是5% 那么买100张彩票一定有5张中奖C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶所以他击中靶的概率是12D．小明做了3次掷均匀硬币的实验其中有一次正面朝上2次正面朝下他认为再掷一次正面朝上的概率还是1 2【答案】D【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验发现2次钉尖朝上由此他说钉尖朝上的概率是2 3是错误的3次试验不能总结出概率A不符合题意某彩票的中奖概率是5% 那么买100张彩票可能有5张中奖但不一定有5张中奖B不符合题意某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶所以他击中靶的概率是12不正确中靶与不中靶不是等可能事件一般情况下脱靶的概率大于中靶的概率C不符合题意小明做了3次掷均匀硬币的实验其中有一次正面朝上2次正面朝下他认为再掷一次正面朝上的可能性是12D不符合题意故答案为：D.【分析】概率是等可能事件大量重复试验后所要关注的事件与试验次数的比值概率越大表示事件发生的可能性越大概率越小表示该事件发生的可能性越小从而即可一一判断得出答案.6．如图以点O为圆心的两个圆半径分别为5和3 若大圆的弦AB与小圆相交则弦AB的长度的取值范围是()A．8≤AB≤10B．AB≥8C．8<AB≤10D．8<AB<10【答案】C【解析】【解答】要求弦AB的长度的取值范围只需求得弦AB与小圆有公共点时其长度的最小值和最大值.当AB与小圆相切时易求得AB=8；当AB过圆心时最长为大圆的直径10.则弦AB的长度的取值范围是8<AB≤10.故答案为：C【分析】根据直线与圆的位置关系要求大圆的弦AB与小圆相交时弦AB的长度的取值范围就是求弦AB与小圆有公共点时其长度的最小值和最大值即是求AB与小圆相切时及AB过圆心的时候的长度即可得出答案。

实际问题与一元二次方程（原卷）单循环和双循环问题1.（1）2人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物（2）3人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物（3）4人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物（4）x人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物题型1：单循环和双循环问题1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（）A．x（x﹣1）＝190B．x（x﹣1）＝380题型2：传播问题2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（）A．x（x+1）=81B．1+x+x2=81C．（1+x）2=81D．1+（1+x）2=81（1）连续增长两次问题：原量×（1+x）2=新量；（2）连续下降两次问题：原量×（1-x）2=新量.题型3：平均变化率问题3.由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是（）A．16（1+a）2=25B．25（1﹣2a）=16C．25（1﹣a）2=16D．25（1﹣a2）=16【变式3-1】扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引进新品种“超级水稻”，使总产量增加到18000kg，已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍，求平均亩产量的增长率．【变式3-2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？面积问题：（1）矩形面积=1条长×1条宽；（2）正确写出长和宽（用x表达）；（3）全封闭∶某条边=周长÷2-另一边（4）一边靠墙∶平行于墙的 BC=篱笆总长-2AB（AB垂直墙）；当靠墙用篱笆围矩形养鸡场时，平行于墙的边要小于墙长，否则鸡逃跑了.题型4：面积问题（1）4.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【变式4-1】如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．【变式4-2】如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米 2，问小路宽为多少米？题型5：面积问题（2）5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【变式5-1】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？【变式5-2】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．题型6：商品销售利润问题6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？【变式6-2】某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．数字问题：根据题设：十位上的数记得×10，百位上的数记得×100，以此类推题型7：数字问题7.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为()A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4B．a2+(a+4)2=10a+a-4-4C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4【变式7-1】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数.【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9. 如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.一、单选题1．已知长方形的面积为48 ，若它的长比宽多2cm，则它的宽为（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm2．商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是()A．289(1-x)2=256B．256(1-x)2=289C．289(1-2x)=256D．256(1-2x)=2893．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（）A．11B．15C．﹣15D．±154．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=30005．用一根长为24cm的铁丝围成一个矩形，如果矩形的面积是35 cm2，那么这个矩形的长与宽分别是（）A．7 cm，5 cm B．8 cm，4 cm C．9 cm，3 cm D．6 cm，6 cm6．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20%B．11%C．10% D．9.5%7．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x2=21B．12x（x﹣1）=21C．12x2=21D．x（x﹣1）=21二、填空题8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出个小分支9．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是．10．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为．11．某镇2014年有绿地面积50公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2016年达到72公顷，则该镇2014年至2016年绿地面积的年平均增长率是．三、解答题12．将一段铁丝围成面积为的矩形，且它的长比宽多，求矩形的长．13．某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．（1）求该县这两年教育经费平均增长率；（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？14．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元.（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加209a%.求a的值.。

专题02 一元二次方程的解法【思维导图】◎题型1：直接开平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例．（2022·浙江绍兴·八年级期末）一元二次方程x2 -1＝0的根是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1D．x1＝1，x2＝0【答案】B【解析】【分析】先移项，再两边开平方即可．【详解】解：∵x2-1=0，∴x2=1，∴x=±1，即x1=-1，x2=1．故选：B．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．变式1．（2023·福建省福州第十六中学八年级期末）方程210x -=的解是（ ）A ．121x x ==B ．120,1x x ==C ．121,1x x ==-D ．120,1x x ==-【答案】C【解析】【分析】先移项，再两边开平方可得解．【详解】解：由原方程可得：x 2=1，两边开平方可得：121,1x x ==-，故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．变式2．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）如果关于x 的方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m >B ．3m ³C ．4m >-D ．4m ³-【答案】D【解析】【分析】根据直接开平方法求解可得．【详解】解：∵2(9)4x m -=+，且方程2(9)4x m -=+可以用直接开平方法求解，∴40m +³，∴4m ³-．故选：D ．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确化简方程是解题关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）方程y2＝-a有实数根的条件是（）A．a≤0B．a≥0C．a>0D．a为任何实数【答案】A【解析】【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可．【详解】解：∵方程y2＝﹣a有实数根，∴﹣a≥0（平方具有非负性），∴a≤0；故选：A．【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0．◎题型2：配方法技巧：将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x²＋例．（2020·江苏无锡·九年级期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（）A．(x＋2)2＝5B．(x－2) 2＝5C．(x－2) 2＝3D．(x＋2) 2＝3【答案】D【解析】【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：∵x 2+4x +1=0，∴x 2+4x =-1，∴x 2+4x +4=-1+4，即（x +2）2=3，故选：D ．【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键．变式1．（2021·浙江温州·八年级期中）用配方解方程2610x x -+=，原方程可变形为（ ）A ．()2335x -=B ．()238x -=C ．()238x +=D ．()2335x +=【答案】B【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．【详解】解∶ 2610x x -+=，变形得-=-261x x ，配方得26919x x -+=-+，即2(3)8x -=．故选∶B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．变式2．（2022·河北·大城县教学研究中心九年级期末）用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(2)3x +=D ．2(2)1x -=【答案】B【解析】【分析】先把一次项移到等式的左边，然后在左右两边同时加上一次项系数−4的一半的平方．【详解】解：把方程x 2＝4x ＋1移项，得：x 2−4x ＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−4x＋4＝1＋4，配方得（x−2）2＝5，故选：B．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．变式3．（2022·江苏·九年级专题练习）关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】【分析】A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根；B.化为一般式，利用公式法解答；C.利用配方法解答；D.利用因式分解法解答【详解】解：A.不能两边同时除以（x﹣1），会漏根，故A错误；B.化为一般式，a＝l，b＝﹣4，c＝3，故B错误；C.利用配方法解答，整理得，x 2﹣4x ＝﹣3，配方得，x 2﹣4x +22＝1，故C 错误；D.利用因式分解法解答，完全正确，故选：D【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．◎题型3：配方法的应用例．（2022·全国·九年级课时练习）已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【答案】C【解析】【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知方程264x x -+=W ，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2-【答案】C【解析】【分析】设印刷不清的数字是a ，根据完全平方公式展开得出x 2-2px +p 2=7，求出x 2-2px +4=11-p 2，再根据题意得出-2p =-6，a =11-p 2，最后求出答案即可．【详解】设印刷不清的数字是a ，（x -p ）2=7，x 2-2px +p 2=7，∴x 2-2px =7-p 2，∴x 2-2px +4=11-p 2，∵方程x 2-6x +4=□，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成（x -p ）2=7的形式，∴-2p =-6，a =11-p 2，∴p =3，a =11-32=2，即印刷不清的数字是2，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程和完全平方公式，能求出-2p =-6是解此题的关键．变式2．（2020·福建省泉州第一中学九年级阶段练习）已知实数m ，n ，c 满足2104m m c -+=，22112124n m m c =-++，则n 的取值范围是（ ）A ．74n ³-B ．74n >-C ．2n ³-D ．2n >-【答案】A【分析】由2104m m c -+=变形得214m m c -=-，代入22112124n m m c =-++中得到2134n c c =-+，再进行配方，根据非负数的性质即可得到答案．【详解】2104m m c -+=Q \ 214m m c -=-\22111(244m m m -=--³-1c \£22222211111121212()12()344444n m m c m m c c c c c \=-++=-++=´-++=-+23(22n c \=-- 231(24c -³Q 74n \³- 故选：A ．【点睛】本题主要考查了配方法的应用，涉及非负数的性质、偶次方，熟练运用上述知识是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）若x 为任意实数时，二次三项式26x x c -+的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（ ）A ．0c ³B ．9c ³C ．0c ＞D ．9c ＞【答案】B【解析】【分析】把二次三项式进行配方即可解决．【详解】配方得：226(3)9x x c x c-+=--+∵2(3)0x -³，且对x 为任意实数，260x x c -+³∴9c ³故选：B【点睛】本题考查了配方法的应用，对于二次项系数为1的二次三项式，加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可配成完全平方式．◎题型4：公式法技巧：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a ，b ，c 的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a ≠0)的求根公式。

专题01 一元二次方程的概念【思维导图】◎题型1：一元二次方程的定义【技巧】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

例．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2214x x +=B ．20ax bx c ++=C ．()1(3)4x x -+=D ．2470x xy -+=【答案】C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】解：A 、该方程属于分式方程，故本选项错误；B 、该方程中，当a ＝0时，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；C 、()1(3)4x x -+=化简得：2270x x +-=符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D 、该方程中含有2个未知数，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx +c ＝0（且a ≠0）．特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．变式1．（2020·四川·攀枝花第二初级中学九年级期中）若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ¹-D ．2m ¹±【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义可得2,20m m ì=ïíï+¹î①②从而可得答案．【详解】解：∵方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，∴2,20m m ì=ïíï+¹î①②由①得：2,m =±由②得：2,m ¹-解得：2,m =故选B【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．掌握定义是解本题的关键．变式2．（2022·江苏·九年级专题练习）方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠±1B ．m ≥-1且m ≠1C ．m ≥-1D ．m ＞-1且m ≠1【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及二次根式有意义的条件求解可得．【详解】解：∵方程22(1)10m x --=是关于x 的一元二次方程，∴210m -¹，解得1m ¹±，10m +³，解得：1m ³-，∴1m >-且1m ¹，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．变式3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．211x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x ++=D ．22(3)4x x -+=【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义逐项分析即可求解．【详解】解：A. 211x x+=，是分式方程，不是一元二次方程，不合题意；B. 20ax bx c ++=，当a≠0时，是一元二次方程，当a =0，b ≠0时，是一元一次方程，不合题意；C. (1)(2)1x x ++=，原方程整理得2310x x ++=，是一元二次方程，符合题意；D. 22(3)4x x -+=，原方程整理得6130x -+=，不是一元二次方程，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．◎题型2：一元二次方程的一般形式【技巧】一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．例．（2021·广西南宁·九年级期中）把一元二次方程(x -3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax 2+bx +c =0，再找出二次项的系数即可．【详解】解：∵（x -3）2=5化为一般形式为x 2-6x +4=0，∴二次项系数为1，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x -3）2=5化为一般形式．变式1．（2021·河南周口·九年级期中）把方程22(3)x x =-化成一般式20x mx n ++=，则正确的是（ ）A ．2m =，6n =B ．2m =，6n =-C ．2m =-，6n =D ．2m =-，6n =-【答案】C【解析】【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案．【详解】将22(3)x x =-去括号得226=-x x ；移项得2260=－＋x x ∴2m =-，6n =故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念．变式2．（2022·江苏·九年级）下列说法正确的是（ ）A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0C．只有当k＝0时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程D．当m取所有实数时，关于x的方程(m2+1)x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式可进行求解．【详解】解：A、方程8x2﹣7＝0的一次项系数为0，故选项错误；B、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），故选项错误；C、当k﹣1≠0，即k≠1时，方程kx2+3x﹣1＝x2为一元二次方程，故选项错误；D、当m取所有实数时，关于x的方程（m2+1）x2﹣mx﹣3＝0为一元二次方程是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义及一般形式是解题的关键．变式3．（2022·全国·九年级）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）A．2，4，7B．2，4，﹣7C．2，﹣4，7D．2，﹣4，﹣7【答案】C【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项，进行分析即可．【详解】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7，故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要掌握二次项系数，一次项系数和常数项的定义，先把一元二次方程化成一般形式．◎题型3：一元二次方程的解【技巧】一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.例．（2022·湖北宜昌·九年级期末）若关于x 的一元二次方程22(3)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】C【解析】【分析】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中，求出a 的值，再根据30a -¹，即可确定a 的值．【详解】将0x =代入22(3)10a x x a -++-=中210a -=解得1a =±∵这是关于x 的一元二次方程∴30a -¹解得3a ¹故1a =±故答案为：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．变式1．（2022·河南驻马店·九年级期末）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ）A ．﹣1或2B ．﹣1C ．﹣2或1D ．1【答案】B【解析】【分析】把1x =代入一元二次方程22240m x x m -+-=（）中即可得到关于m 的方程，解此方程即可求出m 的值．由20,m -¹即2,m ¹得到11,m =-从而得到答案．【详解】解：1x =Q 是一元二次方程22240m x x m -+-=（）的一个根，()2240m m \-+-=121,2,m m \=-=20,m -¹Q 2,m \¹1 1.m \=-故选：B ．【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．变式2．（2022·四川乐山·九年级期末）m 是方程220x x +-=的根，则代数式2222022m m +-的值是( )A ．-2018B ．2018C ．-2026D ．2026【答案】A【解析】【分析】把x m =代入220x x +-=得到22m m +=，进而得到2224m m +=，代入2222022m m +-进行计算即可求解．【详解】解：∵m 是方程220x x +-=的根，∴220m m +-=∴22m m +=，∴2224m m +=，∴2222022m m +-42022=-2018=-．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．本题采用了“整体代入”数学思想解题．变式3．（2022·广西贵港·中考真题）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（ ）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，0【答案】B【解析】【分析】直接把2x =-代入方程，可求出m 的值，再解方程，即可求出另一个根．【详解】解：根据题意，∵2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，把2x =-代入220x x m ++=，则2(2)2(2)0m -+´-+=，解得：0m =；∴220x x +=，∴(2)0x x +=，∴12x =-，0x =，∴方程的另一个根是0x =；故选：B【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解，解题的关键是掌握解一元二次方程的步骤进行计算．。

第21章一元二次方程单元测试（基础）一、单选题1．已知x1，x2是一元二次方程x2−2x=0的两根，则x1＋x2的值是（ ）A．0B．2C．－2D．4【答案】B【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−2x=0的两根，∴x1+x2=2．故答案为：B．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=−b a，即可求解.2．一元二次方程5x2﹣2x﹣7＝0的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根【答案】A【解析】【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×5×（﹣7）＝144＞0，∴关于一元二次方程5x2﹣6x﹣7＝0有两个不相等的实数根.故答案为：A.【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根，故确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.3．方程x2－4x＋8＝0的根的情况是（ ）C．无实数根D．以上三种情况都有可能【答案】B【解析】【解答】∵在方程x2－4 x＋8＝0中,△=（-4 ）2−4×1×8=0，∴有两个相等的实数根.故答案为：B.【分析】计算b2-4ac的值，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。

”即可判断求解.4．关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为−2，则另一个根为（ ）．A．−6B．−3C．3D．6【答案】B【解析】【解答】根据题意，将x=-2代入，得(−2)2+5×(−2)+m=0,所以m=6，所以一元二次方程为x2+5x+6=0,(x+2)(x+3)=0,x1=−2,x2=−3,所以方程的另一个根为x=-3.故答案为：B.【分析】先利用方程的一个根求得m的值，即求得一元二次方程，再利用配方法解方程即可求得f方程的另一个根.5．已知a= 49m﹣1，b=m2﹣59m（m为任意实数），则a与b的大小关系为（ ）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定【答案】B【解析】【解答】解：∵a= 49m﹣1，b=m2﹣59m（m为任意实数），∴b﹣a=m2﹣59m﹣49m+1=m2﹣m+1=（m﹣12）2+ 34＞0，则a＜b，故选B【分析】利用作差法比较a与b的大小即可．6．设一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x1x2＋x2等于（ ）.A．1B．－1C．0D．3【答案】B【解析】【解答】∵一元二次方程x2−2x−3=0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝−ba＝2，x1x2＝c a=-3，∴x1＋x1x2＋x2＝2+（-3）=-1故答案为：B.【分析】直接利用根与系数的关系式：x1＋x2＝−ba，x1x2＝c a求解即可.7．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0．下列说法正确的是( ) A．①②有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解【答案】B【解析】【解答】方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故答案为：B.【分析】一元二次方程的根的判别式b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；,b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；b2-4ac<0时,方程没有实数根。

直接开方法和配方法（答案版）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.直接开方法解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.题型1：直接开方法的条件1.1．若关于x的方程x2−m=0有实数根则m的取值范围是（）A．m<0B．m≤0C．m>0D．m≥0【答案】D【解析】【解答】解：x2−m=0x2=m∵关于x的方程x2−m=0有实数根∴m≥0故答案为：D.【分析】先移项得到x2=m再由偶数次幂的非负性得到m第取值范围.题型2：解形如x2=a(a≥0)的方程2.用直接开平方法解下列方程．（1）x2-9=0 (2)x2-121=0 (3)3a2-27=0【解答】解：（1）①x2-9=0①x2=9①x=±3．题型3：解形如(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的方程3.解方程（1）（x-3）2=16；（2）2（x-1）2=338 （3）4（x-2）2-36=0．【解答】解：（1）①（x-3）2=16①x-3=±4①x=7或x=-1．①2（x-1）2=338①（x-1）2=169①x-1=±13①x=14或-12；（2）①4（x-2）2-36=0①（x-2）2=9①x=5或x=-1．题型4：已知一根求字母的值4.①2①①①x①①①x2-c=0①①①① ①c=①①A①2 B①4 C①-4 D①-2【分析】把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0 然后解关于c的方程．【解答】解：把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0解得c=4．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式再利用直接开平方法求解这种解一元二次方程的方法叫配方法.用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数则两边直接开平方求出方程的解；若右边是一个负数则判定此方程无实数解.题型5：完全平方式问题5.方程x2+2x=1的左边配成完全平方后所得方程为（）A．(x+1)2=2B．(x−1)2=2C．(x+1)2=1D．(x−1)2=1【答案】A【解析】【解答】解：∵x2+2x=1∴x2+2x+1=2∴（x+1）2=2故答案为：A.【分析】给方程两边同时加上1 然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方（-5）右边根据有理数的加法法则合并同类项即可。

一元二次方程单元测试（提升）(答案版)一、单选题1．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2 则另一根及c的值分别为（）A．2 8B．3 4C．4 3D．4 8【答案】D【解析】【解答】解：设方程的另一个根为t根据题意得t+2＝6 2t＝c解得t＝4 c＝8.故答案为：D.【分析】设方程的另一个根为t 利用根与系数的关系可得t+2＝6 2t＝c 据此解答即可.2．下列方程中是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．4x2+3 √x-1＝0C．x2+4＝0D．3x2+x+ 1x＝0【答案】C【解析】【解答】A、当a≠0时ax2+bx+c＝0是一元二次方程故此选项不符合题意；B、4x2+3 √x-1＝0不是一元二次方程故此选项不合题意；C、x2+4＝0是一元二次方程故此选项符合题意；D、3x2+x+ 1x＝0含有分式不是一元二次方程故此选项不合题意；故答案为：C．【分析】只含有一个未知数（一元）并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。

3．方程（x-1）2=16的解是（）A．x1=5 x2=-3B．x1=-5 x2=4C．x1=17 x2=-15D．x1=5 x2=-5【答案】A【解析】【解答】解：（x-1）2=16 ∴x-1=±4 ∴x1=5 x2=-3．故答案为：A．【分析】由题意两边直接开平方即可求解。

4．下列结论：①若x2=16则x=4；②方程x(2x−1)=(2x−1)的解为x=1；③若分式x 2−3x+2 x−1的值为0 则x=1或x=2．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】【解答】解：①若x2＝16 则x＝±4 不符合题意；②移项得：x（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝0（2x﹣1）（x﹣1）＝0解得：x1＝12x2＝1 不符合题意；③根据题意得：（x﹣1）（x﹣2）＝0 且x﹣1≠0解得：x＝2 不符合题意；故答案为：A【分析】根据平方根、因式分解法及分式的值为0的解法逐项判断即可。

期末考前基础练练练-圆（原卷）一．圆的认识（共2小题）1．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是（）A．10B．20C．5D．152．下列说法，其中正确的有（）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共3小题）3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则OD的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是（）A．B．2C．8D．105．（1）解方程：x2﹣4x＝0．（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r 的长．三．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）6．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．7．如图，AB是⊙O直径，，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．8．如图．在四边形ABCF中．F A⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是的中点．（1）求证：E是FC的中点．（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．四．圆周角定理（共3小题）9．如图，已知AB是半圆O的直径，点C和点D是半圆上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝CD．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．（1）若＝104°，求∠BAD的度数．（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．11．如图，C是的中点，∠AOC＝4∠B，OC＝4．（1）求∠A的度数；（2）求线段AB的长度．五．圆内接四边形的性质（共3小题）12．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．（1）求证：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为10．14．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求∠ACB的度数；六．点与圆的位置关系（共2小题）15．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm16．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是，⊙P的半径是．七．确定圆的条件（共2小题）17．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个18．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．八．三角形的外接圆与外心（共4小题）19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．80°D．120°20．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；（2）求AD的长．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．九．直线与圆的位置关系（共3小题）23．如图，已知∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系，并说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，AN、AC是⊙O的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且AM⊥PM，∠PCB＝∠P AC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的长．25．如图，在△ABC中，BD＝DC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．一十．切线的性质（共3小题）26．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．4B．3C．2D．227．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）点E是⊙O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．28．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是直径．（1）连接BC，OP，求证：OP∥BC；（2）若OP与AB交于点D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直径AC的长．一十一．切线的判定（共3小题）29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC 于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E．（1）若⊙O的半径为，AC＝5，求BN的长；（2）求证：NE是⊙O的切线．30．如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线．31．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．（1）求∠ABC的大小；（2）证明：AE是⊙O的切线．一十二．切线的判定与性质（共2小题）32．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠B＝∠F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠B＝30°，连接AD，求AD的长．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．一十三．切线长定理（共3小题）34．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9B．7C．11D．835．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（）A．4B．5C．6D．无法确定36．如图，P A和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交P A和PB于D，E两点，已知P A＝PB＝5cm，求△PDE的周长．一十四．三角形的内切圆与内心（共2小题）37．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC 的周长为（）A．10B．12C．14D．1638．如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）A．2B．3C．4D．一十五．正多边形和圆（共5小题）39．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．440．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°41．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．15°42．如图，正方形ABCD内接于⊙O，＝，求证：BM＝CM．43．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．一十六．弧长的计算（共2小题）44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）求证：AD＝3BD；（2）求的长．（结果保留π）45．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，求弧CD的长．一十七．扇形面积的计算（共4小题）46．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角∠AOB＝120°，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留π）47．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A 于点G．（1）求证：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求阴影部分弓形的面积．48．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？49．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E．（1）若＝．求证：AB＝AC；（2）若D、E为半圆的三等分点，且半径为2，图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π和根号）一十八．圆锥的计算（共6小题）50．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．1B．3C．2D．651．如图，圆锥母线长l＝8，底面圆半径r＝2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是（）A．60°B．90°C．120°D．150°52．若圆锥的底面半径为1cm，侧面展开图的面积为2πcm2，则圆锥的母线长为（）A．2cm B．C．πcm D．3cm53．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm54．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．55．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积．。

二次函数y=ax 2的图像和性质（原卷）二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图x y象．xy＝2x2y＝x2y＝﹣2x2y＝﹣x2【变式1-2】画出下列函数的图象：（1）y＝3x2；（2）y＝﹣x2．a>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．（2）求函数y＝ax2的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x值的增大而增大？（4）求抛物线与过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积．【变式6-2】已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝﹣2x+3交于点（﹣1，b）．求：（1）a，b的值；（2）抛物线与y＝x+6的两交点及顶点所构成的三角形的面积．一、单选题1．抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x= 12B．直线x=-12C．直线x=0D．直线y=02．已知A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣√2，y3）在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y13．抛物线y=x2的顶点坐标是()A．(0,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(2,1)4．满足函数y＝12x﹣1与y＝﹣12x2的图象为（）A．B．C．D．5．下列说法中错误的是()A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，y=−12x2中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点6．已知抛物线y=(m−1)x2的开口向下，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m>1C．m<1D．m≤17．抛物线y= 14x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（）A．y= 14x2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定二、填空题8．若在抛物线y=mx m2−1对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m=．9．二次函数y=x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）.10．若抛物线y=(m−1)x m2−m开口向下，则m=.11．已知二次函数y=(m−2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是．12．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是(填序号).①m<n<0 ②m>0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>013．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax2的草图．14．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？15．已知y=(k−1)x k2+k−4是二次函数，（1）若其图象开口向下，求k的值；（2）若当x<0时，y随x的增大而减小，求函数关系式.。