【重要笔记】2023学年九年级数学上册重要考点精讲精练(人教版)期末数学测试卷(答案版)

二次函数(答案版)二次函数的概念一般地形如y=ax2+bx+c（a≠0 a, b, c为常数）的函数是二次函数.若b=0 则y=ax2+c；若c=0 则y=ax2+bx；若b=c=0 则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x【答案】C【解析】【解答】解：A、是一次函数故此选项错误；B、当a≠0时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误.故答案为：C.【分析】形如“ y=ax2+bx+c(a≠0)”的函数就是二次函数据此一一判断即可得出答案.为整式 根据定义进行判断即可. 题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知 y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数 则m 的值为（ ）A ．−1B ．3C ．−1 或 3D ．0【答案】B【解析】【解答】解：∵y =(m +1)x |m−1|+2m 是y 关于x 的二次函数∴{|m −1|=2m +1≠0 解得： m =3 ；题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3【答案】A【解析】【解答】解：二次函数y=2x2-3的二次项系数是2 一次项系数是0 常数项是-3故答案为：A．【分析】根据二次函数的定义：一般地形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）的函数叫做二次【分析】根据形如y=ax+bx+c是二次函数可得答案．题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm 设一边长为xcm 面积为y cm2那么y与x的关系式是【答案】y=-x2+8x【解析】【解答】解：∵长方形的周长为16cm 其中一边长为xcm∴另一边长为（8-x）cm∵长方形面积为ycm2∴y与x的关系式为y=x(8−x)=-x2+8x.故答案为：y=-x2+8x.【变式4-1】如图用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20）一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米围成的花圃面积为y米2则y关于x的函数关系式是．【答案】y=﹣2x2+20x【解析】【解答】解：由题意可得：y=x（20﹣2x）=﹣2x2+20x．故答案为：y=﹣2x2+20x．【分析】根据题意表示出花圃的长为（20﹣2x）m 进而利用矩形面积公式得出答案．题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【答案】A一、单选题1．下列函数解析式中一定为二次函数的是（）A．y=√x2+3B．y=ax2+bx+c C．y=t2−2t+2D．y=x2+1x【答案】C【解析】【解答】解：A、根号中含自变量不是二次函数故此选项错误；B、当a≠0时是二次函数故此选项错误；C、是二次函数故此选项正确；D、含有分式不是二次函数故此选项错误.故答案为：C.【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的函数为二次函数据此判断.2．函数y=（m+2）x m2+m+2x+1是二次函数则m的值为（）A．﹣2B．0C．﹣2或1D．1【答案】D【解析】【解答】∵函数y=（m+2 ）x m2+m+2x+1是二次函数∴m2+m=2 m+2≠0解得：m=1．故答案为：D．【分析】根据二次函数的定义自变量的最高次数是2 二次项的系数不能为0 从而建立混合组求解即可。

弧长和扇形面积（原卷）弧长公式半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)题型1：运用公式计算弧长1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（）A．B．C．D．【变式1-1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（）A．πB．4πC．2πD．45π【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧长为（）A．B．C．D．题型2：列方程求圆心角或半径2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数．【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．【变式2-2】已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．题型3：弧长计算中的最值问题（提升）3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连接OD并延长交于点C，当CD为最大值时，的长为（）A．B．C．D．π【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（）A．B．C．D．【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是．题型4：弧长计算与实际应用问题4.有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米）扇形面积公式半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：题型5：应用公式计算扇形面积5.一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（）A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm2【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°，半径长为3，则这个扇形的面积为多少？（结果保留π）【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求扇形OAC的面积．题型6：列方程求圆心角或半径6.已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【变式6-1】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（）A．180°B．120°C．90°D．60°【变式6-2】已知⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，圆心角∠AOB是多少度？题型7：扇形计算与实际应用问题7.如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．【变式7-2】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）题型8：求阴影部分面积-规则图形8（S阴=S扇-S△）.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．【变式8-1】（S阴=S大扇-S小扇）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（）A．14πB．7πC．D．2π【变式8-2】（化零为整）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为（）A．πB．2πC．3πD．4π【变式8-3】（S阴=S△-S扇）如图，正三角形ABC的边长为8，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为16﹣8π．（结果保留π）题型9：求阴影部分面积-不规则图形9（割补法）.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；（2）若PB＝4，P A＝7，∠APB＝135°，求PC的长．A ．B ．C ．D ．【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积. 注意：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型10：求圆锥的侧面积（全面积）10.已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）A ．24B ．48C ．12πD ．24π【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm ，母线长为9cm ，则圆锥的全面积为（ ）A ．36πcm 2B ．52πcm 2C ．72πcm 2D ．136πcm 2【变式10-2】如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为 120°，求这个扇形的面积．题型11：计算底面半径或展开图圆心角11.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（）A．60°B．90°C．120°D．180°【变式11-1】一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【变式11-2】如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．题型12：圆锥计算与实际应用问题12.用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．（1）求圆锥的高；（2）求所需铁皮的面积S（结果保留π）．【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面半径为4m，总高为4.5m，外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆），至少需要多少m2的毛毡？题型13：圆锥与最短距离13.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为．【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．【变式13-2】圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，OM⊥BC于点M，若OM=2，则BC的长为（）A．4πB．43πC．83πD．163π2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（）A．3B．6C．18D．363．如图，AC⊥BC，AC=BC=8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）A．20π3−8√3B．20π3+8√3C．8√3−20π3D．4√3+20π34．如图，在Rt⊙ABC中，⊙A=30°，BC=2 √3，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．15√34﹣32πB．15√32﹣32πC．7√34﹣π6D．7√32﹣π65．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角⊙AOB=120°，半径OA为9m，那么花圃的面积为()A．54πm2B．27πm2 C．18πm2D．9πm26．如图，BC是圆锥底面圆的直径，底面圆的半径为3m，母线长6m，若一只小虫从点B沿圆锥的侧面爬行到母线AC的中点P.则小虫爬行的最短路径是（）A．3B．3√5C．3√3D．47．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．3 √2cm B．2 √3cm C．6cm D．12cm8．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a≥2√3r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．π3r2B．(3√3−π)3r2C．(3√3−π)r2D．πr2二、填空题9．如果圆的半径为6，那么60°的圆心角所对的弧长为.10．如图，正方形ABCD的边长为6，分别以A、B为圆心，6为半径画BD̂、AĈ，则图中阴影部分的面积为．11．如图，在矩形ABCD中，AB=1,∠DBC=30°. 若将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，点D经过的路径为DE，则图中阴影部分的面积为.12．如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为.13．若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为．14．用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为．三、解答题15．如图，⊙OAB的底边与⊙O相切，切点为C，且OA=OB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点，D、E分别为OA、OB的中点。

实际问题与一元二次方程（原卷）单循环和双循环问题1.（1）2人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物（2）3人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物（3）4人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物（4）x人互赠礼物，每人要送份礼物，共赠出份礼物题型1：单循环和双循环问题1.在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手95次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（）A．x（x﹣1）＝190B．x（x﹣1）＝380题型2：传播问题2.电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则下面所列方程中正确的是（）A．x（x+1）=81B．1+x+x2=81C．（1+x）2=81D．1+（1+x）2=81（1）连续增长两次问题：原量×（1+x）2=新量；（2）连续下降两次问题：原量×（1-x）2=新量.题型3：平均变化率问题3.由于受H7N9禽流感的影响，今年1月份市场上鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤25元经过连续两次降价后，售价下调到每斤l6元．设平均每次降价的百分率为a，则下列所列方程中正确的是（）A．16（1+a）2=25B．25（1﹣2a）=16C．25（1﹣a）2=16D．25（1﹣a2）=16【变式3-1】扬州一农场去年种植水稻10亩，总产量为6000kg，今年该农场扩大了种植面积，并且引进新品种“超级水稻”，使总产量增加到18000kg，已知种植面积的增长率是平均亩产量的增长率的2倍，求平均亩产量的增长率．【变式3-2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个.（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？面积问题：（1）矩形面积=1条长×1条宽；（2）正确写出长和宽（用x表达）；（3）全封闭∶某条边=周长÷2-另一边（4）一边靠墙∶平行于墙的 BC=篱笆总长-2AB（AB垂直墙）；当靠墙用篱笆围矩形养鸡场时，平行于墙的边要小于墙长，否则鸡逃跑了.题型4：面积问题（1）4.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．【变式4-1】如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．【变式4-2】如图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AB平行，一条与AD平行，其余部分种植草坪，若使草坪的面积为570米 2，问小路宽为多少米？题型5：面积问题（2）5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【变式5-1】如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？【变式5-2】如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．题型6：商品销售利润问题6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？【变式6-2】某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件．（1）要使每天获得利润700元，请你帮忙确定售价；（2）问售价定在多少时能使每天获得的利润最多？并求出最大利润．数字问题：根据题设：十位上的数记得×10，百位上的数记得×100，以此类推题型7：数字问题7.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为()A．a2+(a-4)2=10(a-4)+a-4B．a2+(a+4)2=10a+a-4-4C．a2+(a+4)2=10(a+4)+a-4D．a2+(a-4)2=10a+(a-4)-4【变式7-1】有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数.【变式7-2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9. 如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数.一、单选题1．已知长方形的面积为48 ，若它的长比宽多2cm，则它的宽为（）A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm2．商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是()A．289(1-x)2=256B．256(1-x)2=289C．289(1-2x)=256D．256(1-2x)=2893．若两个连续整数的积是56，则它们的和为（）A．11B．15C．﹣15D．±154．王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）A．（80﹣x）（70﹣x）=3000B．80×70﹣4x2=3000C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=30005．用一根长为24cm的铁丝围成一个矩形，如果矩形的面积是35 cm2，那么这个矩形的长与宽分别是（）A．7 cm，5 cm B．8 cm，4 cm C．9 cm，3 cm D．6 cm，6 cm6．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20%B．11%C．10% D．9.5%7．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x2=21B．12x（x﹣1）=21C．12x2=21D．x（x﹣1）=21二、填空题8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数为133，则每个支干长出个小分支9．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是．10．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为．11．某镇2014年有绿地面积50公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2016年达到72公顷，则该镇2014年至2016年绿地面积的年平均增长率是．三、解答题12．将一段铁丝围成面积为的矩形，且它的长比宽多，求矩形的长．13．某县2013年公共事业投入经费40000万元，其中教育经费占15%，2015年教育经费实际投入7260万元，若该县这两年教育经费的年平均增长率相同．（1）求该县这两年教育经费平均增长率；（2）若该县这两年教育经费平均增长率保持不变，那么2016年教育经费会达到8000万元吗？14．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．15．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A、B两个品种各种植了10亩.收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元.（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加209a%.求a的值.。

期末考前基础练练练-概率初步（原卷）一．随机事件（共4小题）1．如果投掷一枚质地均匀的骰子600次，那么下列说法正确的是（）A．可能100次1点朝上B．投掷六次必有一次2点朝上C．必有500次5点朝上D．不可能有100次4点朝上2．下列事件为随机事件的是（）A．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等B．直径是圆中最长的弦C．方程ax2+x＝0是关于x的一元二次方程D．任意画一个三角形，其内角和为360°3．下列说法正确的是（）A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查B．为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件D．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的中位数为34．下列事件中，属于必然事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中10环B．在一个只装有白球的袋中摸出红球C．a是实数，|a|≥0D．一个三角形的三个内角的和大于180°二．可能性的大小（共2小题）5．在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（）A．他这个队赢的可能性较大B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场D．他这个队必赢6．把﹣12表示成两个互不相等的整数的积，其中两个整数是互为相反数，则这种表示方法的可能性有（）A．2种B．4种C．6种D．8种三．概率的意义（共2小题）7．天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”．下列说法中，正确的是（）A．上海明天将有85%的时间下雨B．上海明天将有85%的地区下雨C．上海明天下雨的可能性很大D．上海明天下雨的可能性很小8．下列说法正确的是（）A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生四．概率公式（共3小题）9．在五张完全相同的卡片上，分别画有正三角形、正五边形、平行四边形、菱形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是．10．袋中装有除颜色外完全相同的红球、白球、黑球，从中任意摸出一个，摸到红球的概率为0.2，摸到白球的概率为0.5，那么摸到黑球的概率是．11．在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为．五．几何概率（共3小题）12．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．13．如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（）A．B．C．D．14．如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．六．列表法与树状图法（共8小题）15．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，两个转盘停止后，指针（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域）都不落在“1”区域的概率是（）A．B．C．D．16．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）A．B．C．D．17．小明想购买70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为10元，20元，50元，100元的纸币．（1）若从妈妈口袋里随机拿出1张纸币，则拿出的纸币是20元的概率为；（2）妈妈随机从口袋中拿出2张纸币去购买玩具汽车，请用画树状图或列表的方法求能买到玩具汽车的概率是多少？18．琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．（1）若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是；（2）若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．19．中国共产党第十九届中央委员会第六次全体会议于2021年11月8日至11日在北京胜利召开．为加强学生对时事政治的学习了解，某校开展了全校学生学习时事政治活动并进行了知识竞赛初赛，最终选出八年级2人，九年级3人共5名同学参加决赛，评出一等奖两名，求这两名同学来自同一年级的概率．20．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的五个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4，5，转动转盘A，B各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在扇形交线上时重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为偶数的概率．21．疫情期间，某市积极开展“停课不停学”线上教学活动，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果良好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，扇形统计图中“效果一般”对应的圆心角为°；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果良好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果良好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求列表或画树状图求概率）22．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长t（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（A：t＜8；B：8≤t＜9；C：9≤t＜10；D：t≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）小明一共抽样调查了名同学；在扇形统计图中，表示D组的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整；（3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不足8小时？（4）A组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率．七．游戏公平性（共6小题）23．学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A、B两组卡片共5张，A组三张分别写有数字2，4，6，B组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．24．淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．（列出一种即可）25．如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为1时，甲获胜；数字之和为2时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？对谁有利？请判断并说明理由．26．小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．（1）转动转盘A一次，请直接写出转到红色的概率；（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．27．甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．（用列表法或画树状图分别求出两同学获胜的概率）28．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．（1）计算两张摸取纸牌上数字之和为5的概率；（2）甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．八．利用频率估计概率（共7小题）29．在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（）A．B．C．D．30．木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（）A．6张B．8张C．10张D．4张31．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（）A．4B．8C．12D．1632．在一个不透明的袋中装有20个红、黄、蓝三种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明和小亮通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋中红球大约有（）A．12个B．10个C．8个D．6个33．一年之计在于春，为保障春播任务顺利完成，科研人员对某玉米种子在相同条件下发芽情况进行试验，结果如表：每批粒数n500800100020003000发芽的频数m46376894819012851发芽的频率0.9260.960.9480.9510.950那么这种玉米发芽的概率是.（结果精确到0.01）34．对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下：抽取件数（件）501001502005008001000合格频数4288131176445724901合格频率0.840.880.870.880.890.910.90根据上表，估计任抽一件衬衣是合格品的概率是0.9．（保留小数点后两位）35．在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的6个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此可估计袋中红球的个数为．。

一元二次方程（原卷）一元二次方程的有关概念通过化简后只含有一个未知数(一元) 并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程．题型1：一元二次方程的识别1.下列方程中一元二次方程的个数为（）（1）2x2−3=0；（2）x2+y2=5；（3）x(x+3)=x2−1；（4）x2+1x2=2A．1个B．2个C．3个D．4个题型2：一元二次方程定义与字母的值2.若关于x的方程（m+2）x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程则m＝.一元二次方程的一般形式：一般地任何一个关于x的一元二次方程都能化成形如这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项是二次项系数；bx是一次项b是一次项系数；c是常数项．注意：(1)只有当时方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时应把一元二次方程化成一般形式指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.题型3：一元二次方程的一般形式3.一元二次方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）．A．2 0 3B．2 1 3C．2 0 －3D．2 1 －3题型4：一元二次方程的解-求字母的值4.关于x的一元二次方程x2−m=0的一个根是3 则m的值是（）A．3B．−3C．9D．−9题型5：一元二次方程的解-求代数式的值5.若关于x的一元二次方程为ax2−3bx−5=0(a≠0)有一个根为x=2那么4a−6b的值是（）A．4B．5C．8D．10一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立即若x=1是一元二次方程的一个根则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立即若x=-1是一元二次方程的一个根则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0 则c=0；反之也成立若c=0 则一元二次方程必有一根为0.题型6：必有一根问题（赋值法）6.若a−b+c=0则关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一根是（）A．1B．±1C．0D．-1列方程小技巧：用含未知数的式子分别表示求面积的必要边长再根据题意套公式列方程即可。

第1页，共4页 第2页，共4页………○…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………………○…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………考点考场考号姓 名座位号2022-2023学年第一学期期末质量监测试卷九年级 数学学科（考试时间：120分钟 考试分值：150分）一、选择题。

（每题5分，共45分）1.在下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A.B.C.D.2.下列事件属于必然事件的是（ ）A.打开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员C.实数0＜a ，则02＜aD.新疆的冬天不下雪3.若关于x 的一元二次方程01)12=++-x x k （有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A.45≤k B.45＞kC.45＜k 且1≠kD.45≤k 且1≠k4.用配方法解方程0982=++x x ，变形后的结果正确的是 A.9)4(2-=+x B.7)4(2-=+x C.25)4(2=+xD.7)4(2=+x5.二次函数3)1(2+-=x y 的图象的顶点坐标是 A.)3,1(-B.)3,1(C.)3,1(--D.)3,1(-6.如图，在圆O 中,所对的圆周角50=∠ACB ，若P 为上一点，55=∠AOP ，则=∠POB ( ) A.30B.45 C.55D.60第6题图 第7题图7.小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形生日礼帽．如图，圆锥帽底面半径为cm 9，母线长为cm 36，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为（ ） A.2648cm ΠB.2432cm ΠC.2324cm ΠD.2216cm Π8.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）A.B. C. D.9.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ）A.10890)1050)(20180=--+xx （ B.10890)1018050)(20=---x x （C.180902050)108050(=⨯---x xD.108902050)1050)(180=⨯--+xx （二、 填空题。

圆重点定理和辅助圆模型（50题）（原卷）题型1：垂径定理1．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°2．如图，在⊙O中，弦AB的长是cm，弦AB的弦心距为6cm，E是⊙O优弧AEB上一点．则∠AEB 的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．80°4．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠D＝22.5°，AB＝8，则DE的长为．5．如图，AB是⊙O的弦，连接BO，作AC⊥BO交BO的延长线于点C，已知OC＝，BO＝2，点D 是的中点，连接CD，则CD的长为．6．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．（1）求证：ED＝EG；（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．7．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC互补，求弦BC的长．题型2：圆周角定理8．如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，若∠P AB＝32°，则∠PBA的度数是（）A．68°B．58°C．60°D．64°9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E 两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（）A．13°B．16°C．18°D．21°10．如图，AB过半⊙O的圆心O，过点B作半⊙O的切线BC，切点为点C，连结AC，若∠A＝25°，则∠B的度数是（）A．65°B．50°C．40°D．25°11．如图，AB是⊙O的直径，点C、D位于直径AB的两侧．若∠ABC＝40°，则∠BDC的度数是（）A．50°B．40°C．60°D．45°12．如图，点A为⊙O上一点，AB为⊙O的切线，∠CAB＝30°，直径CD＝2，则劣弧AD的长是．13．如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的度数为．14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是．15．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，∠CAD＝35°，∠ACD＝60°，则∠AOB＝．16．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线CD互相垂直，垂足为D．求证：∠CAD＝∠CAB；题型3：切线长定理18．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线P A，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，P A＝5，则弦AB 的长是（）A．B．C．5D．519．如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG 的长等于（）A．13B．12C．11D．1020．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．21．如图，三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是（）A．12+6B．18+6C．18+12D．12+1222．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为△ABC的内切圆圆心，则阴影部分的面积为（）A．2πB．C．D．23．已知如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9cm，BC＝15cm，CA＝12cm．求AF，BD，CE的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．30﹣4πB．30﹣4πC．60﹣16πD．30﹣16π25．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为cm．26．如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CP A＝40°，则∠CAD的度数为．题型4：切线的判定27．如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．28．如图，CD是⊙O的直径，并且AC＝BC，AD＝BD．求证：直线AB是⊙O的切线．29．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，求证：DE是⊙O的切线．30．如图，AB为⊙O直径，AB＝AC，BC与⊙O交于D，且DE⊥AC．求证：DE是⊙O切线．31．如图，已知⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB是⊙O的直径，BC＝CD，过点C作PM⊥AD交AD的延长线于点M，交AB的延长线于点P．（1）求证：PM是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AD＝6，求CM的长．32．如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等分点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．33．如图，已知AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连接PB，AB，OB，且∠PBA＝∠ACB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若AP＝BP，且OP＝8，⊙O的半径是2，求△OAP的面积．34．如图已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AD的长．35．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，OC∥AD交⊙O于点E，点F在CD的延长线上，∠BOC+∠ADF＝90°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，CD＝4，求CE．题型5：辅助圆-定点定圆（提升）36．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交x轴上点C，则点C的坐标为（）A．（5，0）B．（2，0）C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）37．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC 的中点，连接OM，OM的最大值为．38．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20°，∠BDC＝30°，则∠BAD＝．39．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．41．在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD长为多少．题型6：辅助圆-定弦定角（提升）42．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接P A，PB，PC，若∠PBC＝∠P AB，则PC的最小值是（）A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣443．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．44．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE ＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．245．如图，点A是半径为8的圆O上一定点，点B是圆O上一动点，点P是弦AB的中点，则点B绕圆周运动一周，点P所经过的路径长为（）A．4B．8C．4πD．8π46．如图，P是矩形ABCD内一点，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，则当线段DP最短时，CP＝．48．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长．49．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，过点O作OE⊥BD，交AD点E，连接BE，若∠ABE＝20°，则∠AOE的大小是（）A．10°B．15°C．20°D．30°50．如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON 上滑动时，OC的最大值为（）A．12B．14C．16D．14。

中心对称及图案设计(原卷）中心对称和中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．中心对称与中心对称图形的区别与联系：题型1：中心对称和中心对称图形1.1．下列由箭头组成的图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-1】下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．题型2：中心对称的性质-求角度2.如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称，要得到△DEF，需要将△ABC绕点O旋转角是【变式2-1】△△△△△ABC△△△O△AC△△△△△CDA△△ABC△△△O△△△△△△AB=6△△BAC=40°△△CD△△△△ △△ACD△△△△ °。

A.30°B.36°C.72°D.90°题型3：中心对称的性质-求边长3.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，△D＝90°，则AE的长是．【变式3-1】△△△△△ABCD△△△△AC△BD△△△O△△△BOC△△△C△△180°△△△B'O'C△△AC=2△AB′=5△△△△AB CD△△△△△△A.3B.4C.√15D.√17【变式3-2】△△△△△△ABCD△△AB=2△△A=120°△△△△ABCD△△△△△O△△△△AB△BC△△△△△△△△△E△F△G △H△△△△△EFGH△△△△△△A.3+√3B.2+2√3C.2+√3D.1+2√3题型4：确定对称中心及中心对称作图4.如图，两个任意四边形中心对称，请找出它们的对称中心．【变式4-1】如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对称点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【变式4-2】如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.（1）作出它们的对称中心O，并简要说明作法；（2）若AB=6，AC=5，BC=4，求△DEF的周长；（3）连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由．关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.题型5：关于原点对称的点的坐标特征5.平面直角坐标系内与点P(−2，3)关于原点对称的点的坐标是（）A．(3，−2)B．(2，3)C．(2，−3)D．(−2，−3)题型6：关于原点对称的点的坐标特征及应用6.在平面直角坐标系xOy中，点P（2x－1，x＋3）关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是（）A．x<12B．−3<x<12C．x>12D．x＞－3【变式6-1】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）△画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；△画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；△在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．△请画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；△请画出△ABC绕着点C顺时针旋转90°后的△A2B2C2；△求△A2B2C2的面积．中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：注意：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.题型7：综合利用平移、轴对称、旋转进行图案设计7.风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是（）A．B．C．D．【变式7-1】如图，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形.（用阴影表示）（1）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形；（2）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图；（3）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.【变式7-2】如图，从正三角形出发，利用旋转，作一个飞鸟图．请你也利用正三角形用旋转设计一个图案．题型8：利用轴对称和中心对称设计方案8.认真观察图（1）﹣（4）中的四个图案，回答下列问题：（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征：特征1：；特征2：（2）请你在图5中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征．【变式8-1】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出ABC，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形；（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形．（1）在图1中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与⊙O组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；（2）在图2中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；（3）在图3中不过点A画⊙O的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与⊙O组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．已知，将点A1（4，2）向左平移3个单位到达点A2的位置，再向上平移4个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转90°，则旋转后A3的坐标为（）A．(−2,2)B．(−3,2)C．(−2,1)D．(−3,1)5．用一条直线m 将如图1 的直角铁皮分成面积相等的两部分.图2、图3 分别是甲、乙两同学给出的作法，对于两人的作法判断正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确6．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．已知点P（a+1，1）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围是．8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB△a于点B，A'D△b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为．9．如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm．如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA1，那么点A1的位置可以用(2，30°)表示．如果将OA1再按逆时针方向继续旋转55°到OA2，那么点A2的位置可以用(，) 表示．10．“皮克定理”是用来计算顶点在格点（即图中虚线的交点，如图中的小黑点）上的多边形的面积公式，公式为S = a + b2-1.小明只记得公式中的表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上（含多边形顶点）的格点个数，另一个表示多边形内部的格点个数，但记不清楚究竟是哪一个表示多边形内部的格点个数，请你利用图 1 探究并运用探究的结果求图2 中多边形的面积是.11．如图，在平面直角坐标系中，RtΔABC三个顶点都在格点上，点A,B,C的坐标分别为AA(−4,1),B(−1,1),C(−1,3)请解答下列问题：①ΔABC与ΔA1B1C1关于原点O成中心对称，画出ΔA1B1C1并直接写出点C的对应点C1的坐标；②画出ΔABC绕原点O逆时针旋转90∘后得到的ΔA2B2C2，并求出点A旋转至A2经过的路径长.四、解答题12．如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上．13．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1；（2）将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．（3）若点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(2，3)；写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标14．如图，请你以y轴为对称轴画出所给图的另一半，若点A坐标为（﹣3，3），写出点A的对应点的坐标，并说明完成后的图形可能代表的含义．15．画图计算：（1）在8×8的方格纸中画出△ABC关于点O的对称图形△A′B′C′，并在所画图中标明字母．（2）设小方格的边长为1，求△A′B′C′中B′C′边上的高h的值．。

弧、弦、圆心角（原卷）弧、弦、圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．注意：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.题型1：弧、弦、圆心角的概念1.1．下列命题中，正确的命题是（）A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点B．三点确定一个圆C．平分一条弦的直径一定重直于弦D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等【变式1-1】下列语句中，正确的有()①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（）A．①③B．①④C．②④D．①②④题型2：弧、弦、圆心角求角度2.如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则BC的度数为()A．25°B．30°C．50°D．65°【变式2-1】如图，AB为∠O的直径，点C、D是BE的三等分点，∠AOE=60°，则∠BOD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．120°【变式2-2】如图，在∠O中，AC=BD，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°题型3：弧、弦、圆心角求线段̂=CD̂，且AD＝3，求CB的长度．3.如图，在⊙O中，若AB【变式3-1】如图，已知⊙O的半径为5，AB∠CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．3√2D．4√2̂的中点，点B'是点B关于【变式3-2】如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是ANMN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（）A．1B．√2C．√3D．2题型4：弧、弦、圆心角与比较问题4.如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定【变式4-1】如图，在∠O中，AB=2AC，AD∠OC于点D，比较大小AB2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．【变式4-2】如图，AC=BC，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE的大小关系，并说明理由.题型5：弧、弦、圆心角与证明问题5.如图，已知∠O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．【变式5-1】如图，A，B是∠O上的两点，C是AB的中点．求证：∠A=∠B．【变式5-2】如图，∠O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．题型6：弧、弦、圆心角综合问题6.如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在MB，MD上，且AB=CD，M是AC的中点.求证：（1）MB=MD.（2）过O作OE⊥MB于点E.当OE=1，MD=4时，求⊙O的半径.【变式6-1】如图，过∠O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∠EF，AC=BF．求证：（1）弧BC=弧AF；（2）AM=BN．【变式6-2】如图，在∠O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD∠CB.（1）求证：AB＝CD；（2）如果∠O的直径为10，DE＝1，求AE的长.弧、弦、圆心角练习一、单选题1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么AB与CD的关系是（）A．AB= CD B．AB＞CDC．AB＜CD D．不能确定2．如图，A，B，C，D是∠O上的四个点，AD∠BC．那么AB̂与CD̂的数量关系是（）A．AB̂= CD̂B．AB̂＞CD̂C．AB̂＜CD̂D．无法确定3．如图所示，在∠O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=A．150°B．75°C．60°D．15°4．下列说法正确的个数有（）①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x2＝x的解是x＝1．A．0B．1C．2D．35．如图，在∠O中，AB∧=2CD∧，则下列结论正确的是（）A．AB＞2CD B．AB=2CDC．AB＜2CD D．以上都不正确6．如图，∠O是∠ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°二、填空题7．如图，AB是∠O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝．8．如图，在∠O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC2CD．（填“＞”，“＜”或“＝”）9．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是．10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为AC，BC长的等腰∠ACM，等腰∠BCN，AC∧，BC∧的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，AC+BC=15，则AB 的长是．三、解答题11．如图，AD、BC是∠O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．12．已知：如图，∠ABC内接于∠O，AD为∠O的弦，∠1＝∠2，DE∠AB于E，DF∠AC于F.求证：BE＝CF.13．如图，∠AOB=90°，C、D是AB∧的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．14．如图，在∠O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.（1）求证AP＝BP；（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求∠O的半径.15．如图，∠O是四边形ABCD的外接圆，AD为∠O的直径.连结BD，若AC⌢=BD⌢（1）求证：∠1=∠2（2）当AD=4√2，BC=4时，求∠ABD的面积.。

直接开方法和配方法（答案版）直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.直接开方法解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.题型1：直接开方法的条件1.1．若关于x的方程x2−m=0有实数根则m的取值范围是（）A．m<0B．m≤0C．m>0D．m≥0【答案】D【解析】【解答】解：x2−m=0x2=m∵关于x的方程x2−m=0有实数根∴m≥0故答案为：D.【分析】先移项得到x2=m再由偶数次幂的非负性得到m第取值范围.题型2：解形如x2=a(a≥0)的方程2.用直接开平方法解下列方程．（1）x2-9=0 (2)x2-121=0 (3)3a2-27=0【解答】解：（1）①x2-9=0①x2=9①x=±3．题型3：解形如(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的方程3.解方程（1）（x-3）2=16；（2）2（x-1）2=338 （3）4（x-2）2-36=0．【解答】解：（1）①（x-3）2=16①x-3=±4①x=7或x=-1．①2（x-1）2=338①（x-1）2=169①x-1=±13①x=14或-12；（2）①4（x-2）2-36=0①（x-2）2=9①x=5或x=-1．题型4：已知一根求字母的值4.①2①①①x①①①x2-c=0①①①① ①c=①①A①2 B①4 C①-4 D①-2【分析】把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0 然后解关于c的方程．【解答】解：把x=2代入方程x2-c=0得4-c=0解得c=4．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式再利用直接开平方法求解这种解一元二次方程的方法叫配方法.用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数则两边直接开平方求出方程的解；若右边是一个负数则判定此方程无实数解.题型5：完全平方式问题5.方程x2+2x=1的左边配成完全平方后所得方程为（）A．(x+1)2=2B．(x−1)2=2C．(x+1)2=1D．(x−1)2=1【答案】A【解析】【解答】解：∵x2+2x=1∴x2+2x+1=2∴（x+1）2=2故答案为：A.【分析】给方程两边同时加上1 然后对左边的式子利用完全平方公式分解即可.【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方（-5）右边根据有理数的加法法则合并同类项即可。

期中期末考前基础练练练-二次函数（38题）（答案版）一、单选题1．抛物线y=x+22x+3的对称轴是()A．直线x=1B．直线x= -1C．直线x=-2D．直线x=2【答案】B【解析】【解答】解：a=1 b=2 x= −b2a=-1.故答案为：B.【分析】根据抛物线的对称轴直线公式即可得出答案。

2．抛物线y=−(x−3)2+7的顶点坐标是（）A．(−3,7)B．(−3,−7)C．(3,7)D．(3,−7)【答案】C【解析】【解答】解：抛物线y=−(x−3)2+7的顶点坐标是(3,7).故答案为：C.【分析】形如“y=a(x-h)2+k”的二次函数的顶点坐标为（h k）可得结果.3．二次函数y=2(x+1)2-3的图象的对称轴是（）A．直线x=-1B．直线x=1C．直线x=-3D．直线x=3【答案】A【解析】【分析】二次函数的顶点式为：y=a（x﹣h）2+k 其中a的正负确定抛物线的开口方向对称轴是直线x=h 顶点坐标是（h k）．二次函数y=2（x+1）2﹣3 是二次函数的顶点式对称轴是直线x=﹣1．故选A．4．将抛物线y=2x2向右平移1个单位再向上平移3个单位得到的抛物线是（）A．y=2(x+1)2−3B．y=2(x+1)2+3C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x−1)2−3【答案】C【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为（0 0）∴抛物线y=2x2向右平移1个单位再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1 3）∴平移后抛物线的解析式为y=2（x-1）2+3.故答案为：C.【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=2x2的顶点坐标为（0 0）则抛物线y=3x2向右平移1个单位再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1 3）然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.5．如果抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1 0）和（3 0）那么它的对称轴是直线（）A．x= 0B．x = 1C．x = 2D．x = 3【答案】B【解析】【分析】抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1 0)和（3 0) 则对称轴是x=−1+32=1.【点评】该题较为简单主要考查学生求抛物线对称轴的方法建议通过画图求出。

期末考前基础练练练-圆（原卷）一．圆的认识（共2小题）1．已知⊙O中最长的弦为10，则⊙O的半径是（）A．10B．20C．5D．152．下列说法，其中正确的有（）①过圆心的线段是直径②圆上的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形③大于半圆的弧叫做劣弧④圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆A．1个B．2个C．3个D．4个二．垂径定理（共3小题）3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则OD的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是（）A．B．2C．8D．105．（1）解方程：x2﹣4x＝0．（2）如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r 的长．三．圆心角、弧、弦的关系（共3小题）6．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．7．如图，AB是⊙O直径，，连接CD，过点D作射线CB的垂线，垂足为点G，交AB的延长线于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的长．8．如图．在四边形ABCF中．F A⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是的中点．（1）求证：E是FC的中点．（2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长．四．圆周角定理（共3小题）9．如图，已知AB是半圆O的直径，点C和点D是半圆上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝CD．10．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AD．（1）若＝104°，求∠BAD的度数．（2）点G是上任意一点，连结GA，GD求证：∠AGD＝∠ADC．11．如图，C是的中点，∠AOC＝4∠B，OC＝4．（1）求∠A的度数；（2）求线段AB的长度．五．圆内接四边形的性质（共3小题）12．如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是弧AC的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED．（1）求证：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，则⊙O的直径长为10．14．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．（1）求∠BOC的度数；（2）求∠ACB的度数；六．点与圆的位置关系（共2小题）15．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm16．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是，⊙P的半径是．七．确定圆的条件（共2小题）17．下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③三点确定一个圆；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A．1个B．2个C．3个D．4个18．某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）．八．三角形的外接圆与外心（共4小题）19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝30°，则∠A的大小为（）A．30°B．60°C．80°D．120°20．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；（2）求AD的长．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．求证：DB＝DE．九．直线与圆的位置关系（共3小题）23．如图，已知∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系，并说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，AN、AC是⊙O的弦，P为AB延长线上一点，AN、PC的延长线相交于点M，且AM⊥PM，∠PCB＝∠P AC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的长．25．如图，在△ABC中，BD＝DC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．一十．切线的性质（共3小题）26．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（）A．4B．3C．2D．227．如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA、OB．（1）求证：AB平分∠OAD；（2）点E是⊙O上一动点，且不与点A、B重合，连接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度数．28．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是直径．（1）连接BC，OP，求证：OP∥BC；（2）若OP与AB交于点D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直径AC的长．一十一．切线的判定（共3小题）29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC 于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为点E．（1）若⊙O的半径为，AC＝5，求BN的长；（2）求证：NE是⊙O的切线．30．如图，以△ABC的边BC的长为直径作⊙O，交AC于点D，若∠A＝∠DBC，求证：AB是⊙O的切线．31．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠ADB＝∠BDC＝60°，过点A作AE∥BC交CD延长线于点E．（1）求∠ABC的大小；（2）证明：AE是⊙O的切线．一十二．切线的判定与性质（共2小题）32．如图，AB是半圆O的直径，D为BC的中点，延长OD交于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠B＝∠F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝4，∠B＝30°，连接AD，求AD的长．33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，DE＝1，求CD的长．一十三．切线长定理（共3小题）34．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）A．9B．7C．11D．835．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（）A．4B．5C．6D．无法确定36．如图，P A和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交P A和PB于D，E两点，已知P A＝PB＝5cm，求△PDE的周长．一十四．三角形的内切圆与内心（共2小题）37．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC 的周长为（）A．10B．12C．14D．1638．如图，点I为等边△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，已知外接圆的半径为2，则线段DB的长为（）A．2B．3C．4D．一十五．正多边形和圆（共5小题）39．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．440．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与BM相交于点P，则∠APM的度数是（）A．110°B．120°C．118°D．122°41．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CMD的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．15°42．如图，正方形ABCD内接于⊙O，＝，求证：BM＝CM．43．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．一十六．弧长的计算（共2小题）44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）求证：AD＝3BD；（2）求的长．（结果保留π）45．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，求弧CD的长．一十七．扇形面积的计算（共4小题）46．如图，为了美化校园，学校在一块靠墙角的空地上建造了一个扇形花圃，其圆心角∠AOB＝120°，半径为6m，求该扇形的弧长与面积．（结果保留π）47．如图所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A 于点G．（1）求证：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求阴影部分弓形的面积．48．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的长；（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？49．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E．（1）若＝．求证：AB＝AC；（2）若D、E为半圆的三等分点，且半径为2，图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π和根号）一十八．圆锥的计算（共6小题）50．如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．1B．3C．2D．651．如图，圆锥母线长l＝8，底面圆半径r＝2，则圆锥侧面展开图的圆心角θ是（）A．60°B．90°C．120°D．150°52．若圆锥的底面半径为1cm，侧面展开图的面积为2πcm2，则圆锥的母线长为（）A．2cm B．C．πcm D．3cm53．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm54．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；（2）若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．55．在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积．。

二次函数y=ax 2的图像和性质（原卷）二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图x y象．xy＝2x2y＝x2y＝﹣2x2y＝﹣x2【变式1-2】画出下列函数的图象：（1）y＝3x2；（2）y＝﹣x2．a>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．（2）求函数y＝ax2的解析式，并求其图象的顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x值的增大而增大？（4）求抛物线与过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积．【变式6-2】已知抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝﹣2x+3交于点（﹣1，b）．求：（1）a，b的值；（2）抛物线与y＝x+6的两交点及顶点所构成的三角形的面积．一、单选题1．抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x= 12B．直线x=-12C．直线x=0D．直线y=02．已知A（1，y1）、B（﹣2，y2）、C（﹣√2，y3）在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y13．抛物线y=x2的顶点坐标是()A．(0,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(2,1)4．满足函数y＝12x﹣1与y＝﹣12x2的图象为（）A．B．C．D．5．下列说法中错误的是()A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，y=−12x2中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y＝－x2的开口最大D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点6．已知抛物线y=(m−1)x2的开口向下，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m>1C．m<1D．m≤17．抛物线y= 14x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（）A．y= 14x2B．y=4x2C．y=－2x2D．无法确定二、填空题8．若在抛物线y=mx m2−1对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则m=．9．二次函数y=x2的图象开口方向是（填“向上”或“向下”）.10．若抛物线y=(m−1)x m2−m开口向下，则m=.11．已知二次函数y=(m−2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是．12．已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2，对任意给定一个x值都有y甲≥y乙，关于m，n的关系正确的是(填序号).①m<n<0 ②m>0，n<0 ③m<0，n>0 ④m>n>013．函数y=ax2（a≠0）与直线y=2x-3的图象交于点（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）作y=ax2的草图．14．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．（1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；（2）抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？15．已知y=(k−1)x k2+k−4是二次函数，（1）若其图象开口向下，求k的值；（2）若当x<0时，y随x的增大而减小，求函数关系式.。

用函数观点看一元二次方程（原卷）二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：判别式24b ac =-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标 根的情况△＞00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=0a <△＝00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-0a <△＜0 0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标1.已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c ＝0的两个解是（）A．x1＝﹣2，x2＝5B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5D．x1＝2，x2＝5【变式1-1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=−1，与x 轴的一个交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 3)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为（）A．x=1B．x=−1C．x1=1，x2=−3D．x1=1，x2=−4题型2：判断抛物线与x轴交点情况2.小明在解二次函数y=ax2+bx+c时，只抄对了a=1，b=4，求得图象过点(−1,0)．他核对时，发现所抄的c比原来的c值大2．则抛物线与x轴交点的情况是（）A．只有一个交点B．有两个交点C．没有交点D．不确定【变式2-1】下列关于二次函数y＝ax2－2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，下确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧【变式2-2】抛物线y=−x2+2kx+2与x轴交点的个数为（）A．0B．1C．2D．以上都不对题型3：根据抛物线与x轴的交点个数求参数3.二次函数与y=(m−2)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m⩽3B．m<3C．m<3且m≠2D．m⩽3且m≠2【变式3-1】抛物线y＝kx 2－7x－7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是() A．k>－B．k≥－且k≠0C．k≥－D．k>－且k≠0【变式3-2】已知二次函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是().A．k<4且k≠3B．k≤4C．k>4D．k≥4题型4：二次函数与x轴的交点坐标与一元二次方程的解的关系4.根据抛物线y＝x2＋3x－1与x轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解()A．x2＋3x－1＝0B．x2＋3x＋1＝0【变式4-2】已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝－1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3题型5：根据二次函数值求自变量x的取值范围5.根据下列表格中的对应值：x 1.98 1.99 2.00 2.01y-0.06-0.05-0.030.01=ax2+bx+c判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）一个根x的范围是（）A．1.00<x<1.98B．1.98<x<1.99C．1.99<x<2.00D．2.00<x<2.01A．﹣1＜x＜4B．﹣1＜x＜3C．x＜﹣1或x＞4D．x＜﹣1或x＞3题型6：二次函数与一次函数交点情况6.直线y=32x−1与抛物线y=x2−12x的交点个数是()A．0个B．1个C．2个D．1个或2个题型7：二次函数与一次函数值大小比较（不等式）7.如图，抛物线y1=−x2+4x和直线y2=2x，当y1<y2时，x的取值范围是（）A．0<x<2B．x<0或x>2C．x<0或x>4D．0<x<4【变式7-2】如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数的表达式及点B的坐标．（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．题型8：综合-二次函数中周长最值问题8.已知：二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求△P AD周长的最小值．【变式8-1】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC 和BC．（1）求抛物线的解析式；（直接写出解析式，不写过程）（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为（，﹣5）．【变式8-2】如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．（1）求该抛物线和直线BC的解析式；（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB 最小周长；若不存在，请说明理由．题型9：综合-二次函数中线段最值与面积最值问题9.如图，二次函数y＝x2﹣3x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上是否存在点D，使△ABD与△ABC的面积相等？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式9-1】如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接P A，PD，求△P AD的面积的最大值．【变式9-2】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接P A、PD，求△P AD面积最大值；（3）由（2）并求出点P的坐标．题型10：综合-二次函数中面积倍数关系问题10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是二次函数图象上的一点．（1）求二次函数和直线BC的解析式．（2）若点P在直线BC的下方，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标．（3）当S△PBC＝S△ABC时，求点P的横坐标．【变式10-1】如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B．与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接BC，点D是线段BC上方抛物线上的一点，连接OD，CD，OD交BC于点E，是否存在点D 使S△COE：S△CDE＝3：2，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【变式10-2】如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点C（0，5）．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线L′，L′与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线L′上是否存在点Q，使得15S△BDQ＝4S△ABC，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如表所示：则方程ax2+bx+1.37=0的根是（）.A．0或4B．√5或4−√5C．4+√5或√5D．无实根2．二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤43．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为（）A．x1=-1，x2=3B．x1=-2，x2=3C．x1=1，x2=3D．x1=-3，x2=14．已知一元二次方程ax 2+bx+c=0，根据下列表格中的对应值：可判断方程的一个解x 的范围是（ ） A ．3.08＜x ＜3.09 B ．3.09＜x ＜3.10 C ．3.10＜x ＜3.11D ．3.11＜x ＜3.125．若二次函数 y =ax 2−2ax +c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax 2−2ax +c =0 的解为（ ）A ．x 1=−3 ， x 2=−1B ．x 1=1 ， x 2=3C ．x 1=−1 ， x 2=3D ．x 1=3 ， x 2=−16．已知函数 y =ax 2+bx +c 的图象如图，那么关于x 的方程 ax 2+bx +c +2=0 的根的情况是()A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个同号不等实数根D ．有两个异号实数根二、填空题7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是.8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)的解是.9．抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴是直线x=−1，则关于x的一元二次方程−x2+bx+c=0的解为．10．已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+ m=0的根为．11．抛物线y＝ax2+2ax+c经过点A（﹣3，0），则关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0的解是.三、综合题12．已知抛物线y＝x2+（k﹣5）x﹣（k+4），（1）求证：抛物线与x轴必有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），且（x1+1）（x2+1）＝﹣8，求二次函数的解析式．13．已知：二次函数y=−x2+2x+m．（1）如果二次函数图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，求直线AB解析式．14．已知：二次函数y=x2−4x+3a+2(a为常数).（1）请写出该二次函数图象的三条性质；（2）在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x−1的图象有两个交点，求a的取值范围.。

专题1.9反比例函数精讲精练【目标导航】【知识梳理】1.反比例函数的定义，要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．11.反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．【典例剖析】【考点1】反比例函数的定义【例1】（2021秋•桃江县期末）下列说法正确的是（ ）A．函数y＝3x﹣1是正比例函数，比例系数是3B．函数是反比例函数，比例系数是C．函数是反比例函数，比例系数是5D．函数是反比例函数，比例系数是【分析】利用正比例函数和反比例函数的定义解答即可．【解答】解：A、函数y＝3x﹣1是反比例函数，不是正比例函数，原说法错误，故此选项不符合题意；B、函数y＝﹣是正比例函数，不是反比例函数，原说法错误，故此选项不符合题意；C、函数y＝是反比例函数，比例系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；D、函数y＝﹣是反比例函数，比例系数是﹣，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．【变式1.1】（2021秋•青冈县期末）如果函数y＝（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是（ ）A．2B．﹣1C．1D．0【分析】根据反比例函数的定义，让x的指数为﹣1，系数不为0列式求值即可．【解答】解：根据题意得：|m|﹣2＝﹣1且m﹣1≠0，解得：m＝±1且m≠1，∴m＝﹣1．故选：B．【变式1.2】（2022秋•招远市期中）下列函数中，y是x的反比例函数的有（ ）个．①；②；③xy＝﹣1；④y＝3x；⑤；⑥．A．2B．3C．4D．5【分析】根据反比例函数的定义（形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数）逐一判断即可得答案．【解答】解：①，符合反比例函数的定义，是反比例函数；②，符合反比例函数的定义，是反比例函数；③xy＝﹣1，符合反比例函数的定义，是反比例函数；④y＝3x，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数；⑤，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数；⑥，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数．故选：B．【变式1.3】（2022秋•青浦区期中）下列关系式中的两个量成反比例的是（ ）A．圆的面积与它的半径B．正方形的周长与它的边长C．路程一定时，速度与时间D．长方形一条边确定时，周长与另一边【分析】根据反比例函数的定义解答即可．【解答】解：A、圆的面积＝π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意；B、正方形的周长＝边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意；C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s＝vt，是反比例函数，故本选项符合题意；D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s＝2×（a+b），不是反比例关系，故本选项不符合题意．故选：C．【考点2】反比例函数的性质【例2】（2021秋•新泰市期末）从三个数﹣2，﹣cos60°，（﹣2）2中随机抽取一个数记为m，再从数|﹣2|，sin30°，﹣（﹣2）2中随机抽取一个数记为n，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】画树状图列出所有等可能结果，根据反比例函数图象所在象限可以确定mn＜0，由概率公式得出结论．【解答】解：∵﹣cos60°＝﹣，（﹣2）2＝4，∴前三个数分别为﹣2，﹣，4，∵|2|＝2，sin30°＝，﹣（﹣2）2＝﹣4，∴后三个数为2，，﹣4，从前三个数中人选一个数，则在后三个数中有三个数和它对应，如图所示：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴mn＜0，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中mn＜0的有5种结果，∴反比例函数的图象在二、四象限的概率是，故选：B．【变式2.1】（2021秋•阿鲁科尔沁旗期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）A．这个函数的图象分布在第一、三象限B．点（1，3）在这个函数的图象上C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形D．当x＞0时，y随x的增大而增大【分析】利用反比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：A、这个函数的图象分布在第一、三象限，故原题说法正确，不符合题意；B、点（1，3）在这个函数图象上，故原题说法正确，不符合题意；C、这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原题说法正确，不符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故原题说法错误，符合题意；故选：D．【变式2.2】（2021秋•顺平县期末）对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（ ）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x＝﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A．【变式2.3】（2021秋•淄川区期末）已知反比例函数（m≠0），当﹣4≤x≤﹣2，y有最小值﹣3；当x ≥6时，y有（ ）A．最大值1B．最小值1C．最大值2D．最小值2【分析】根据反比例函数的性质可知当x＝﹣2时，y取得最大值﹣3，求出m的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可．【解答】解：∵当﹣4≤x≤﹣2，y有最小值﹣3，∴反比例函数经过第一、三象限，∴在﹣4≤x≤﹣2，在每一个象限内，y值随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y有最小值﹣3，把（﹣2，3）代入，∴即：m＝6，∴反比例函数为，∵在每一个象限内，y值随x的增大而减小，∴当x＝6时，有最大值1，故选：A．【考点3】反比例函数的图象【例3】数y＝ax在同一坐标系内的大致图象是（ ）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象确定a，b，c的符号，再分别确定该反比例函数和正比例函数图象所在的位置．【解答】解：由二次函数的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0．∴bc＜0，∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限，正比例函数y＝ax的图象过一、三象限，故选：B．【变式3.1】（2021秋•福山区期末）函数与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（ ）A．B．C．D．【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，知a＜0；抛物线对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即b ＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，故选：B．【变式3.2】（2021秋•河口区期末）函数和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．【解答】解：在函数（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．【变式3.3】（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝，点A 的坐标为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（ ）A．如图①，四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示【分析】根据图①可知a＞0，c＜0，﹣＞0，所以b＜0，然后逐项判断一次函数、二次函数和反比例函数的图象即可判断出答案．【解答】解：根据图①可知a＞0，c＜0，﹣＞0，所以b＜0，A、∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝，∴点O（0，0）与点A（1，0）关于对称轴对称，∵AB垂直于x轴，∴B与C也关于对称轴对称，∴四边形ABCO是矩形，故A选项符合题意；B、∵a＞0，b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，故B选项不符合题意；C、∵c＜0，∴二次函数y＝﹣x（ax+b）+c＝﹣ax2﹣bx+c的图象不经过原点，故C选项不符合题意；D、∵b＜0，﹣ac＞0，∴一次函数y＝bx﹣ac的图象过第一、二、四象限，故D选项不符合题意．故选：A．【考点4】反比例函数的对称性【例4】（2021秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π．解得：r＝2．∵点P（﹣2a，a）是反比例函数y＝（k＜0）与⊙O的一个交点．∴﹣2a2＝k且＝r．∴a2＝8．∴k＝﹣2×8＝﹣16，则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：D．【变式4.1】（2021秋•义马市期末）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（ ）A．（2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（1，﹣2），∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）．故选：B．【变式4.2】（2021秋•新田县期末）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y＝与y＝﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是（ ）A．2B．4C．8D．6【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半．【解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称．∵正方形的对称中心是坐标原点O，∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积＝×4×4＝4，∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，∴阴影部分的面积＝4×2＝8．故选：C．【变式4.3】（2016春•唐河县期末）如图，A、B是双曲线y＝上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足（ ）A．S＝1B．1＜S＜2C．S＝2D．S＞2【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|可知，S△AOC ＝S△BOD＝|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD＝S△AOC＝|k|，S△BOC＝S△BOD＝|k|，进而求出四边形ADBC的面积．【解答】解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，∴S△AOC ＝S△BOD＝，假设A点坐标为（x，y），则B点坐标为（﹣x，﹣y），则OC＝OD＝x，∴S△AOD ＝S△AOC＝，S△BOC＝S△BOD＝，∴四边形ABCD面积＝S△AOD +S△AOC+S△BOC+S△BOD＝×4＝2．故选：C．【考点5】反比例函数的增减性【例5】（2021秋•淄川区期末）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）三点均在反比例函数（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系．【解答】解：∵k2+k+1＝（k+）2+＞0，∴反比例函数y＝（k是常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∴点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）在第三象限，而C（2，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0，y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选：C．【变式5.1】（2021秋•滨城区期末）点（x1，y1）、（y2，y2）、（x3，y3）在双曲线y＝﹣上，且x1＜0＜x2＜x3，则（ ）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【分析】先根据题意判断出各点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点（x1，y1）位于第二象限，点（x2，y2）、（x3，y3）位于第四象限，∴y1＞0，y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1．故选：C．【变式5.2】（2021秋•西华县期末）反比例函数的图象上三点A（x1，y1），B（x2，y1），C（x3，y3）满足x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】因为k＝＞0，根据反比例函数增减性即可比较大小．【解答】解：在反比例函数中，k＝＞0，∵x1＜0＜x2＜x3，∴y1＜y3＜y2，故选：D ．【变式5.3】（2021秋•丰宁县期末）已知x ＝﹣1是关于x 的方程2x 2+ax ﹣5＝0的一个根，且点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）都在反比例函数的图象上，则y 1和y 2满足（ ）A ．y 1＞y 2＞0B ．0＞y 1＞y 2C ．y 2＞y 1＞0D ．0＞y 2＞y 1【分析】先利用方程的解求得a 的值，即可判断反比例函数的图象所在的象限，然后利用反比例函数的性质解决问题即可．【解答】解：∵x ＝﹣1是关于x 的方程2x 2+ax ﹣5＝0的一个根，∴2×（﹣1）2﹣a ﹣5＝0，∴a ＝﹣3，∴a ＜0，∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y 随x 的增大而增大，∵点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）都在反比例函数的图象上，∴点A （﹣1，y 1），B （﹣2，y 2）都在第二象限，∵x 1＞x 2，∴y 1＞y 2＞0，故选：A ．【考点6】反比例函数的k 值问题【例6】（2021秋•孟村县期末）如图，矩形ABCD 在平面直角坐标系中，点A ，D 分别在反比例函数和的图象上，点B ，C 在x 轴上，若S 矩形ABCD ＝4，则k 的值为（ ）A ．12B ．7C ．﹣12D ．﹣7【分析】延长AD ，交y 轴于E ，如图，利用矩形的性质得AE ∥x 轴，AB ⊥x 轴，DC ⊥x 轴，则利用反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S 矩形CDEO ＝|﹣3|＝3，S 矩形ABOE ＝|k |，进而得出|k |＝3+4＝7，即可求出k ＝﹣7．【解答】解：延长AD，交y轴于E，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥x轴，AB⊥x轴，DC⊥x轴，∵点A，D分别在反比例函数和的图象上，点B，C在x轴上，∴S矩形CDEO ＝|﹣3|＝3，S矩形ABOE＝|k|，∵S矩形ABCD＝4，∴|k|＝3+4＝7，∵k＜0．∴k＝﹣7．故选：D．【变式6.1】（2021秋•禹州市期末）如图，A、B是第二象限内双曲线y＝（k≠0）上的点，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，线段AB的延长线交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，S△AOC＝12．则k的值为（ ）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣3【分析】设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再求出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解．【解答】解：设OM＝a，∵点A在反比例函数y＝（k＜0）上，∵OM＝MN＝NC，∴OC＝3a，∴S△AOC＝•OC•AM＝×3a×（﹣）＝﹣k＝12，解得：k＝﹣8．故选：A．【变式6.2】（2022秋•衡南县期中）如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值（ ）A．9B．12C．15D．18【分析】由平行可证△ANQ∽△AOB，由面积比等于相似比的平方求出△AOB的面积，则可求出k的值．【解答】解：∵MQ∥NP∥OB，∴△ANQ∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴＝，∴S△ANQ ：S△AOB＝1：9，∵△ANQ的面积为1，∴k＝2S＝18，△AOB故选：D．【变式6.3】（2021秋•德保县期末）如图，已知△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于P、Q两点，若四边形MNQP的面积为3，则k的值为（ ）A．12B．15C．18D．21【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ 的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．【解答】解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴＝，＝，∴＝，∵四边形MNQP的面积为3，∴＝，∴S＝1，△ANQ∵＝（）2＝，∴S＝9，△AOB＝18，∴k＝2S△AOB故选：C．【考点7】反比例函数的面积问题【例7】（2022秋•新华区校级期中）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数的图象经过点G，分别交AB、OB于点M、N，则下列四个结论中：①；②；③BM＝3AM；④连接MO、MN，S△OMN＝．正确的有（ ）A．①②③④B．②③C．①②④D．②③④【分析】先根据旋转的性质得到DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，再证明△OCG∽△OED，利用相似比计算出CG＝，则G（﹣，1），进而可以判断①错误；然后把G点坐标代入y＝中求出k的值，可以判断②正确；根据反比例函数求出M（﹣2，），可得BM＝3AM，可以判断③正确；然后求出直线OB解析式为y＝﹣x，得﹣x＝﹣，得N（﹣1，），再根据三角形面积的和差即可判断④正确．【解答】解：∵B（﹣2，1），∴AB＝1，OA＝2，∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，∴DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED＝∠OAB＝90°，∵∠COG＝∠EOD，∠OCG＝∠OED，∴△OCG∽△OED，∴＝，∴＝，解得CG＝，∴G（﹣，1），∴tan∠COG＝，故①错误；把G（﹣，1）代入y＝，得k＝﹣×1＝﹣．故②正确；∴反比例函数解析式为y＝＝﹣，把x＝﹣2代入y＝﹣，得y＝，∴M（﹣2，），∴BM＝3AM，故③正确；∵B（﹣2，1），∴直线OB解析式为y＝﹣x，∴﹣x＝﹣，解得x＝±1（负值舍去），∴N（﹣1，），＝1×2﹣2×﹣×1＝，故④正确，∴S△OMN∴正确的有②③④，故选：D．【变式7.1】（2021秋•梧州期末）如图，在第一象限内，A是反比例函数y＝（k1＞0）图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数y＝（k2＜0）的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在y轴上，若S ABCD＝7，则这两个反比例函数可能是（ ）A．y＝和y＝﹣B．y＝和y＝﹣C．y＝和y＝﹣D．y＝和y＝﹣【分析】过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，根据平行四边形的性质可证△ADG≌△BCH（AAS），进一步可知S△AGD ＝S△BHC，所以S矩形ABHG＝7，根据反比例函数系数k的几何意义可知k1﹣k2＝7，进一步判断即可．【解答】解：过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，如图所示：则∠AGD＝∠BHC＝90°，在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADG＝∠BCH，在△ADG和△BCH中，，∴△ADG≌△BCH（AAS），∴S△AGD ＝S△BHC，∵S ABCD＝7，∴S矩形ABHG＝7，∵A是反比例函数y＝（k1＞0）图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数y＝（k2＜0）的图象于点B，∴k1﹣k2＝7，A选项中，k1﹣k2＝2﹣（﹣3）＝5，故A选项不符合题意；B选项中，k1﹣k2＝3﹣（﹣4）＝7，故B选项符合题意；C选项中，k1﹣k2＝4﹣（﹣5）＝9，故C选项不符合题意；D选项中，k1﹣k2＝5﹣（﹣6）＝11，故D选项不符合题意，故选：B ．【变式7.2】（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l 1和l 2，设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交l 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）A ．k 1+k 2B ．k 1﹣k 2C ．k 1k 2D ．k 2﹣k 1【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义可得S 矩形OCPD ＝k 1，S △OCA ＝S △OBD ＝，再根据四边形PAOB 的面积＝S 矩形OCPD ﹣S △OCA ﹣S △OBD 进一步求解即可．【解答】解：∵点P 在l 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交l 2于点B ，∴S 矩形OCPD ＝k 1，S △OCA ＝S △OBD ＝，∴四边形PAOB 的面积＝S 矩形OCPD ﹣S △OCA ﹣S △OBD ＝k 1﹣k 2，故选：B ．【变式7.3】（2022秋•任城区期中）函数y ＝和y ＝在第一象限内的图象如图，点P 是y ＝的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y ＝的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA ＝AP ．其中所有正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由于A 、B 是反比函数y ＝上的点，可得出S △OBD ＝S △OAC ＝，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA ＝PB ，故②错误；根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形PAOB 的面积为定值，故③正确；连接PO ，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．【解答】解：∵A 、B 是反比函数y ＝上的点，∴S △OBD ＝S △OAC ＝，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA ＝PB ，故②错误；∵P 是y ＝的图象上一动点，∴S 矩形PDOC ＝4，∴S 四边形PAOB ＝S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC ＝4﹣﹣＝3，故③正确；连接OP ，∴＝＝＝4，∴AC ＝PC ，PA ＝PC ，∴＝3，∴AC ＝AP ；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：C．【考点8】反比例函数与一次函数综合【例8】（2021秋•大荔县期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝﹣的图象都经过点A（3，m），B（n，﹣3）．（1）求n的值和一次函数的表达式；（2）通过观察图象，请直接写出不等式kx+b≥﹣成立时，x的取值范围．【分析】（1）先由A（3，m），B（n，﹣3）在反比例函数的图象上求出m＝﹣2，n＝2，得A（3，﹣2），B（2，﹣3），再代入y＝kx+b，解得，即可得一次函数的表达式为y＝x﹣5；（2）画出大致图象，数形结合即可得到不等式的解集．【解答】解：（1）将A（3，m），B（n，﹣3）代入得：m＝，﹣3＝﹣，解得m＝﹣2，n＝2，∴A（3，﹣2），B（2，﹣3），将A（3，﹣2），B（2，﹣3）代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x﹣5；（2）图象大致如图：根据图象可得，不等式的解集是x≥3或0＜x≤2．【变式8.1】（2021秋•渠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（﹣1，0），与＝．反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（2，m），连接OB，若S△AOB（1）求该反比例函数和直线AB的表达式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OBC的面积．【分析】（1）先根据三角形面积公式求出m，得到B（2，3），然后利用待定系数法求反比例函数解析式，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）确定C点坐标，然后利用三角形面积公式求解．＝，【解答】解：（1）∵S△AOB∴×1×m＝，解得m＝3，∴B（2，3），设反比例函数解析式为y＝，把B（2，3）代入得k＝2×3＝6，∴反比例函数解析式为y＝；设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A （﹣1，0），B （2，3）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x +1；（2）∵直线AB 的解析式为y ＝x +1，∴当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则C （0，1），∴S △OCB ＝×1×2＝1．【变式8.2】（2021秋•东明县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）与反比例函数的图象交于点A （4，1），且过点B （0，﹣3）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式．（2）如果点P 是x 轴上位于直线AB 右侧的一点，且△ABP 的面积是12，求点P 的坐标．【分析】（1）将点A （4，1）代入y ＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，将点A （4，1）B （0，﹣3）代入y ＝kx +b ，利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）首先求得AB 与x 轴的交点C 的坐标，然后根据S △ABP ＝S △ACP +S △BCP 即可列方程求得P 的横坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y ＝（m ≠0）的图象过点A （4，1），∴m ＝3．∴反比例函数的表达式为y ＝．∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （4，1）和B （0，﹣3），∴，解得：，∴一次函数的表达式为y ＝x ﹣3；（2）如图，设一次函数y ＝x ﹣3的图象与x 轴的交点为C ．令y ＝0，则x ﹣3＝0，x ＝3，∴点C 的坐标为（3，0）．∵S △ABP ＝S △ACP +S △BCP ＝12，∴PC ×1+PC ×3＝12，∴PC ＝6，∵点P 是x 轴上位于直线AB 右侧的一点，C （3，0）．∴P （9，0）．【变式8.3】（2021秋•禹州市期末）如图，一次函数y 1＝k 1x +4与反比例函数y 2＝的图象交于点A （2，m ）和B （﹣6，﹣2），与y 轴交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC ：S △ODE ＝3：1时，求直线OP 的解析式．【分析】（1）先把B 点坐标代入入y 1＝k 1x +4可确定一次函数解析式为y 1＝x +4；再把B （﹣6，﹣2）代入可确定反比例函数解析式为y 2＝；（2）观察函数图象得到当x ＜﹣6或0＜x ＜2，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（3）先确定点A 的坐标是（2，6），点C 的坐标是（0，4），再计算出S 梯形ODAC ＝10，由S 梯形ODAC ：S △ODE ＝3：1得S △ODE ＝×10＝，则OD •DE ＝，所以DE ＝，于是点E 的坐标为（2，），然后确定直线OP 的解析式为y ＝x ．【解答】解：（1）将点B（﹣6，﹣2）代入y1＝k1x+4，﹣2＝﹣6k1+4，解得k1＝1；∴一次函数的解析式为y1＝x+4；将点B（﹣6，﹣2）代入，∴，∴k2＝12，∴反比例函数的表达式为；（2）由图可知：当y1＜y2时，0＜x＜2或x＜﹣6；（3）依照题意，画出图形，如图所示：当x＝0时，y1＝x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．当x＝2时，y1＝x+4＝6，∴点A的坐标为（2，6），∴S四边形ODAC＝＝＝10，∵S四边形ODAC：S△ODE＝3：1，∴，∴，即点E的坐标为．设直线OP的解析式为y＝kx，将点代入y＝kx，得，解得，∴直线OP的解析式为．【考点9】反比例函数应用问题【例9】（2021秋•王益区期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中DA段是一次函数y＝ax+b图象的一部分，AB段是恒温阶段，BC段是反比例函数y＝（k＞0）图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求反比例函数y＝（k＞0）的表达式；（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？【分析】（1）直接将点B的坐标代入即可；（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y＝20，所以计算AD和BC两段当y＝15时对应的x值，相减就是结论．【解答】解：（1）把B（12，20）代入y＝中得：k＝12×20＝240；∴y＝；（2）如图，设AD的解析式为：y＝mx+n．把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：，解得：，∴AD的解析式为：y＝5x+10，当y＝15时，15＝5x+10，∴x＝1．∵15＝，∴x＝16，∴16﹣1＝15．答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时．【变式9.1】（2022•南京模拟）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分）．根据图象所示信息，解答下列问题：（1）求出线段OA和双曲线函数表达式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？【分析】（1）由（24，8）可得反比例函数解析式，进而可得A点坐标，再由A点坐标可得正比例函数解析式；（2）根据函数图象求得y≥3时，自变量的取值范围，再计算时间差即可解答．【解答】解：（1）设反比例函数解析式为，将（24，8）代入解析式得k＝24×8＝192，∴反比例函数解析式为，将y＝12代入解析式得，，x＝16，故A点坐标为（16，12），∴反比例函数解析式为（x≥16），设正比例函数解析式为y＝nx，将A（16，12）代入得：，∴正比例函数解析式为；（2）由可得：当y＝3时，，由可得：当y＝3时，x＝4，由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克，∵64﹣4＝60分钟，∴师生至少在60分钟内不能进入教室．【变式9.2】（2021秋•定远县期末）东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用（不再含T恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x（元/件），销售量为y（百件），当40≤x≤60时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝40时，y＝6，有关销售量y（百件）与销售价格x（元/件）的相关信息如表：销售量y（百件）　y＝﹣x+10　y＝销售价格x（元/件）40≤x≤6060≤x≤80（1）求当40≤x≤60时，y与x的函数关系式；（2）①求销售这种T恤衫的纯利润w（百元）与销售价格x（元/件）的函数关系式；②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）把x＝60代入y＝得y＝3，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，把x＝40，y＝6；x＝60，y＝4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；②结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【解答】解：（1）把x＝60代入y＝得y＝4，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，∵当x＝40时，y＝6，当x＝60时，y＝4，∴，解得：，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+10；故答案为：y＝﹣x+10；（2）①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣0.1x+10）﹣50＝﹣0.1x2+13x﹣350；当60≤x≤80时，w＝（x﹣30）•﹣50＝﹣+190；∴销售这种T恤衫的纯利润w（百元）与销售价格x（元/件）的函数关系式为w＝；②当40≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+13x﹣350＝﹣0.1（x﹣65）2+72.5，∵﹣0.1＜0，∴当x＝60时，w取得最大值70（百元）；当60≤x≤80时，w＝﹣+190，∵﹣7200＜0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝80时，w＝100（百元），最大答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元．【变式9.3】（2022秋•市中区校级月考）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示）．（1）分别求出0≤x≤8和8＜x＜t时的函数关系式，并求出t的值．（2）一个加热周期内，水温保持不低于40℃有多长时间？（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？。

专题1.10相似精讲精练【目标导航】【知识梳理】1.比例的性质（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．（2）常用的性质有：（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．（4）相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．6. 相似三角形的判定（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．7.相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．8.相似三角形的应用（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．9.作图—相似变换（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．10.相似三角形的性质相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．11.位似变换（1）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．（2）位似图形与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．12.作图-位似变换（1）画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．【典例剖析】【考点1】相似图形【例1】（2022秋•襄都区期中）如图，在矩形、锐角三角形、正方形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（ ）A．矩形B．锐角三角形C．正方形D．直角三角形【变式1.1】（2022秋•静安区校级期中）下列图形中一定相似的是（ ）A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似【变式1.2】（2022秋•奉贤区期中）下列各组图形中，一定相似的是（ ）A．两个等腰直角三角形B．各有两边长是4和5的两个直角三角形C．各有两边长是4和5的两个等腰三角形D．各有一个角是40°的两个等腰三角形【变式1.3】（2022秋•南海区期中）下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（ ）A．B．C．D．【考点2】相似图形的性质【例2】（2021秋•叙州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠D的度数为（ ）A．100o B．110o C．120o D．130o【变式2.1】（2022秋•顺德区期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E＝80°，∠G＝90°，∠D＝120°，则∠B等于（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°【变式2.2】（2022秋•晋州市期中）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（ ）A．5B．5C．5D．10【变式2.3】（2022秋•双柏县期中）如图所示，已知矩形ABCD的边AD长为8cm，边AB长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）A．21cm2B．24cm2C．27cm2D．30cm2【考点3】比例的性质【例3】（2021秋•秦皇岛期末）若，则的值为（ ）A．B．C．D．1【变式3.1】（2021秋•碧江区期末）若＝，则的值是（ ）A．B．﹣C．﹣2D．2【变式3.2】（2022秋•龙岗区期中）若3m＝4n（mn≠0），则下列比例式成立的是（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝【变式3.3】（2022秋•大埔县期中）已知＝＝＝且b+2d﹣f≠0，则的值为（ ）A．B．C．D．【考点4】平行线分线段的性质【例4】（2022秋•镇平县期中）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则CE：BC＝（ ）A．5：3B．1：3C．3：5D．2：3【变式4.1】（2022秋•富川县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于（ ）A．B．C．D．5【变式4.2】（2021秋•钟山区期末）已知线段m，n，求作线段x，使得，下列作图正确的是（ ）A．B．C．D．【变式4.3】（2022秋•滨湖区校级期中）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果＝，那么等于（ ）A．B．C．D．【考点5】相似三角形的判定条件【例5】（2022秋•上蔡县期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交AB 于点D，连接DC；再以点D为圆心，DC长为半径画弧，交CB的延长线于点E．若BE＝BD，∠E＝15°，AD＝1，则下列结论正确的是（ ）A．∠ACD＝30°B．AB＝2AC C．△EBD∽△EDC D．S＝△ABC【变式5.1】（2022秋•来安县期中）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（ ）A．∠ADE＝∠C B．∠ADE＝∠B C．D．【变式5.2】（2021秋•梁山县期末）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A．B．C．D．【变式5.3】（2021秋•东明县期末）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、CD上的点，①∠BEF＝90°，则图中①、②、③、④四个三角形中，一定相似的是（ ）A．①和②B．③和④C．①和③D．②和③【考点6】相似三角形的性质【例6】（2021秋•渭滨区期末）如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【变式6.1】（2021春•渝中区校级期末）已知两个相似三角形的对应边之比为9：4，则这两个相似三角形的周长之比是（ ）A．81：16B．9：4C．4：9D．3：2【变式6.2】（2021•肇源县模拟）如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD ＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（ ）A．12B．16C．12或16D．以上都不对【变式6.3】（2021•永嘉县校级模拟）两对相似的直角三角形按如图所示的方式摆拼得矩形ABCD，其中△ADH∽△BAE，△ADH≌△CBF，△ABE≌△CDG．若EF：FG＝1：2，AB：BC＝2：3，则矩形EFGH 与矩形ABCD的面积之比为（ ）A．B．C．D．【考点7】位似【例7】（2021秋•吉安县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若OA＝2，则点G的坐标为（ ）A．（3，6）B．（4，8）C．（6，12）D．（6，10）【变式7.1】（2021秋•建平县期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）A．（3，1）B．（3，3）C．（4，1）D．（4，4）【变式7.2】（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长是（ ）A．16B．9C．6D．4【变式7.3】（2022秋•襄都区校级月考）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D、E、F、顺次连接得到△DEF，下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长之比1：2；④△ABC与△DEF的面积之比为2：1．其中结论正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【考点8】相似三角形的性质与判定【例8】（2022秋•上蔡县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，DE⊥AB于点E．（1）证明：△BDE∽△CAD；（2）若AB＝13，AD＝12，求的值．【变式8.1】（2021秋•费县期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，∠C＝∠DEA．（1）求证：△ADE∽△DEC；（2）若CE＝4，DE＝6，求AD的长．【变式8.2】（2021秋•蓝山县期末）在矩形ABCD中，F为AD的中点，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEF∽△BEC；（2）求cos∠BFE的值；（3）当BD＝6时，求CD的长度．【变式8.3】（2021秋•吉安县期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在AB上．（1）当△ABC∽△CBD时，求BD的长；（2）在（1）中的CD是否平分∠ACB？如果平分，说明理由；如果不平分，利用备用图，画出∠ACB 的平分线CD（CD交AB于D），并求BD的长．【考点9】相似三角形的应用【例9】（2022秋•龙泉驿区期中）小刚测量一棵树的高度，如图所示，他把镜子放在水平地面上的C点，沿着直线BC后退到点F，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A的像，量得BC＝8米，CF＝2米．已知EF，AB均与地面BF垂直，小明的眼睛距离地面1.6米（即EF＝1.6米），请你求出树AB的高．【变式9.1】（2022秋•旅顺口区期中）如图，小明同学用自制的直角三角形DEF测量树的高度AB，∠DEF＝90°，DF＝0.5m，EF＝0.3m．他调整自己的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线，测得边DF离地面高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．【变式9.2】（2022秋•浑南区期中）如图，有一块面积为48cm2的待加工材料△ABC，BC＝12cm，将它加工成一个矩形零件EFGH，矩形一边上的两个顶点E，F落在BC上，另两个顶点H，G分别在AB，AC 上．（1）求证：△AHG∽△ABC；（2）当矩形EFGH的面积为△ABC的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？【变式9.3】（2022秋•滨湖区校级期中）为了测量学校旗杆上旗帜的宽度MN，如图，点P、G、C、A在同一水平直线上，MG⊥PA，先是小红在C处竖立一根标杆BC（BC⊥PA），地面上的点A、标杆顶端B 和点N在一条直线上（N在MG上），BC＝1.5米，AC＝1米，AG＝8米；后是贺小明在P处手持自制直角三角纸板DEF（DP⊥PA），其中EF＝0.1米，DF＝0.2米，使长直角边DF与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，DP＝1.5米，PG＝23.6米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度MN．【考点10】相似三角形动点问题【例10】（2022秋•灞桥区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其中一部分与△ABC相似，设运动时间为t．（1）当P在线段BC上运动时，BP＝ ，当P在线段AB上运动时，BP＝ （请用含t的代数式表示）；（2）求出满足条件的所有t值．【变式10.1】（2021•罗湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P 从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【变式10.2】（2020•新城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P 从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s 的速度向点B匀速运动，运动时间为ts（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ和△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【变式10.3】（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P 从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【考点11】相似与位似作图问题【例11】（2021秋•钟山区期末）如图①，在△ABC中，点P是AB边上的一个动点（点P不与A、B重合），过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP＝∠B．（1）试判断△ABC与△AEP的关系，并说明理由．（2）若把满足（1）的直线PE称作“△ABC的一条相似线”，在图②的△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，且点P在AC垂直平分线上，请问过点P的“△ABC的相似线”有几条？并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”．【变式11.1】（2021秋•王益区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．请用尺规作图法在AC边上求作一点D，使得△BDC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）【变式11.2】（2022•兴庆区模拟）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于原点O中心对称，点A1（﹣1，2）是点A的对应点，点B1是点B（3，1）的对应点．（1）画出线段AB和A1B1；（2）画出线段AB以点O为位似中心，位似比为1：2的线段A2B2，并直接写出的值．【变式11.3】（2021秋•北海期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（1）作出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格内将△ABC放大为原图形的2倍，得到△A2BC2，并写出点A2的坐标．【考点12】相似综合问题【例12】（2021秋•砀山县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，AB＝AD，AD∥BC，求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”；（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，∠BAD+∠BCD＝180°，求证：对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．【变式12.1】（2021秋•郸城县月考）四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”．（2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由．【变式12.2】（2021秋•景德镇期末）在数学兴趣小组活动中，同学们进行了以下数学探究活动．【特例初探】（1）如图①，AD为△ABC的角平分线，∠ADB＝60°，点E在AC上，AE＝AB．求证：DE平分∠ADC．【延伸再探】（2）如图②，在（1）的条件下，在AC上取一点F，使BF＝CF，BF交AD于点G．若BC＝10，DE＝4，求DG的长．【迁移运用】（3）如图③，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠ACD＝2∠ACB，点E是AC上一点，∠EBC＝∠ADC．若BC＝2，CD＝5，AB＝AE，求AC的长．【变式12.3】（2022秋•辉县市校级月考）【感知】如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明）【探究】如图②，有矩形ABCD中，F为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△AED∽△BFE；（2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长．【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为等腰三角形时，BE的长为 ．。

小学学期总结2022
经过半年时间的努力，小学一年级的学期已经结束了。

对于我们一年级的学生来说，这是我们人生中的一个重要时刻。

在这个时刻，我们需要回顾过去，总结经验，反思不足，为下一个学期做好更好的准备。

学习
在这个学期里，我们学到了很多东西，最主要的是语文、数学和英语。

在语文方面，我们学会了认字、识字、读词、一些简单的阅读及书写。

在数学方面，我们学会了简单的加减法、形状、大小、时间等基本概念，并解决了各种不同的有趣的数学问题。

在英语方面，我们学习了学习英语的基础知识，如字母、单词、语音等。

不仅如此，我们还学习了科学、社会和艺术方面的知识，如自然界、物品分类、音乐、绘画等。

在这个学期中，我们也取得了一些优越的成绩。

我们明白，勤奋和耐心才能获得最佳的结果。

我们要努力跟上老师的步伐，和他们一起成为一个讲究质量、追求卓越的团队。

生活
我们在生活中也学到了很多东西。

如何管理自己的生活，如何尊重别人，诚实守信；如何与人沟通合作。

尤其是锻炼了我们自己解决问题的能力，学会了自己开展活动和解决在学校生活中出现的困难。

在生活中，有时候我们表现得很好，有时候我们会心情不好，但是我们会互相鼓励和帮助。

课外活动
在小学一年级生活中，我们不仅仅是要学习本领，还要参与各种各样的活动，如运动会、英语晚会、童话剧等。

参加活动使我们的生活更加丰富多彩，锻炼了我们的体魄和精神。

结论
小学一年级的生活能够让我们发现自己的潜力和不足，能够使我们有意识地学习和自我探究，能够帮助我们进一步成长。

面向新学期，我们要更加努力、更加自信地迎接新的挑战。

九年级上学期期末【易错60题考点专练】一．选择题（共15小题）1．（2021秋•乐清市期末）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．a是实数，则|a|≥0B．一匹马奔跑的速度是每秒100米C．任意一个三角形都有外接圆D．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是62．（2021秋•泸西县期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（）A．心想事成B．旭日东升C．水滴石穿D．水中捞月3．（2020秋•昆都仑区期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝，x2＝，下列判断一定正确的是（）A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．＝﹣14．（2022春•东阳市期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k≥0且k≠1C．k≥D．k≥且k≠15．（2021秋•綦江区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝3，则k的值为（）A．﹣4B．﹣C．﹣8D．﹣26．（2021秋•西青区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝2，有下列结论：①c＜0；②4a+b＝0；③4a+c＞2b；④若y＞0，则﹣1＜x＜5；⑤关于x的方程ax2+bx+c+1＝0有两个不等的实数根；⑥若M（3，y1）与N（4，y2）是此抛物线上两点，则y1＞y2．其中，正确结论的个数是（）A．6B．5C．4D．37．（2021秋•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（）A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β8．（2021秋•上思县期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．圆内接四边形的对角互余9．（2021秋•宜春期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．任何三角形有且只有一个内切圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．正多边形一定是中心对称图形10．（2021秋•东阳市期末）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝5，AB＝10，若内接矩形DEFG邻边DG：GF＝1：2，则△GFC与四边形ABFG的面积比为（）A．B．C．D．11．（2021秋•濂溪区校级期末）如图所示的几何体是由6个形状，大小完全相同的小正方体组成，若移动正方体①，使得左视图不改变，则有（）种移动的方法．A．6B．5C．3D．212．（2021秋•江津区期末）如图，二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝﹣1，直线y2＝bx经过二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点，下列结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若点A（﹣3，m），B（2，n）在二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则m＞n；④x＝1是方程ax2+c＝0的一个根，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2021秋•九龙坡区期末）如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点D为△ABC内一动点，连接AD、BD、CD，将△ADC绕着点A逆时针方向旋转60°得到△AEF，则AE+DB+EF的最小值为（）A．B．C．D．14．（2021秋•锦州期末）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD的中点，AE和BF相交于点G，延长CG交AB于点H，下列结论：①AE＝BF；②∠CBF＝∠DGF；③＝；④．其中结论正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④15．（2021秋•荣昌区期末）在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，B点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得EF＝5BF，BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结EG、CD交于点H，若D、E在反比例函数上，S△DHG＝4，则k的值为（）A．30B．24C．20D．15二．填空题（共21小题）16．（2020秋•越秀区期末）若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是．17．（2021秋•垦利区期末）如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和3，则△OAB的面积是．18．（2021秋•瓦房店市期末）在平面直角坐标系xOy中，矩形四个顶点坐标分别为（1，1），（1，2），（3，1），（3，2），若抛物线y＝ax2的图象与矩形的边有公共点，则实数a的取值范围是．19．（2021秋•徐汇区期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为．20．（2021秋•通州区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，在同一平面内，点O到点A，B，C 的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于．21．（2021秋•绥棱县期末）⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝．22．（2021秋•凤山县期末）如图，正方形ABCD的边长为1，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径画弧，两弧相交于点P，那么图中阴影部分的面积为．23．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是线段AC上的动点，设∠BDC＝α，∠BAC＝β，有以下说法：①当0°＜β＜α＜90°时，tanα＞tanβ．②当0°＜β＜α＜90°时，cosα＞cosβ．③D为AC中点时，sin∠DBA＝．④BD平分∠CBA时，tanβ＝2tanα．其中，正确的是．（填序号）24．（2021秋•苏州期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tan A＝．25．（2021秋•延平区校级期末）如图，已知△OAB的一边AB平行于x轴，且反比例函数y＝经过△OAB 顶点B和OA上的一点C，若OC＝2AC且△OBC的面积为，则k的值为．26．（2021秋•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点M（1，2），交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为．27．（2021秋•河东区期末）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时，则b的取值范围为．28．（2021秋•洛阳期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝60°，BC＝1，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A'，连结A'C，A'P．点P 到达点B时，线段A'P扫过的面积为．29．（2021秋•大冶市期末）已知：如图，在正方形ABCD内取一点P，连接P A、PB、PD，将△PDA绕点A顺时针旋转90°得△EBA，连EP．若P A＝2，PB＝2，PD＝2．下列结论：①EB⊥EP；②点B 到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝1+；④S正方形ABCD＝16+4．其中正确结论的序号是．30．（2021秋•海珠区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一动点，将AC绕点A逆时针旋转120°得AD，若AB＝2，则BD的最大值为．31．（2021秋•广丰区期末）已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为时，△POA是等腰三角形．32．（2021秋•永春县期末）已知，如图，OC⊥OA，AB⊥OA，OC＝1，AB＝3，P是线段OA上的一个动点，若在线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似，则OA的长是．33．（2021秋•衢州期末）如图，在△ABC中，AC：BC＝1：2，∠ACB＝90°，CE是过C点的一条直线，AD⊥CE于D，BF⊥CE于F，DF＝5cm，AD＝2cm，则BF＝．34．（2021秋•锦江区期末）如图，直线y＝﹣x+5与坐标轴交于A，B两点，交反比例y＝（x＞0）的图象于C，D两点，且CD＝3AC，点E是直线AB上一点，连接OE，以OE为边在OE右侧作直角三角形OEF，∠OEF＝90°，∠OFE＝∠ABO，若边OF交反比例函数图象于点G，OG＝GF，则k值为，点E的坐标是．35．（2021秋•浦东新区期末）如图，a∥b∥c，直线a与直线b之间的距离为，直线c与直线b之间的距离为2，等边△ABC的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是．36．（2021秋•商水县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点P（3，1）和Q（1，3），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．当1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，点M的坐标．三．解答题（共24小题）37．（2021秋•苍溪县期末）解方程：（1）x2+4x＝﹣3（2）a2+3a+1＝0（用公式法）38．（2020秋•凤凰县校级期末）解方程：（3x﹣1）（x﹣1）＝（4x+1）（x﹣1）．39．（2021秋•盘州市期末）随着人民生活水平的不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区2019年底拥有家庭轿车64辆，2021年底家庭轿车的拥有量达到100辆．（1）若该小区2019年底到2022年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2022年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车压力，该小区决定投资15万元，全部用于建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位0.5万元/个，露天车位0.1万元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？40．（2021秋•抚州期末）如图，甲地、乙地分别是馨雨和馨望两家的自留地，他们两家都用来种西瓜，两块地的四周都是宽度相同的田埂，甲地的面积是240m2．（1）若馨望家地的面积比馨雨家的多了50%，则馨望家地的面积是m2；（2）在（1）的条件下，求田埂的宽度；（3）若馨雨家今年收获了1200 斤西瓜，种西瓜的成本是0.5元/斤，若以2元/斤进行销售，每可销售40斤西瓜，经调查发现：每斤西瓜降价0.1元，每天就可多销售10斤西瓜，为了每天获利90元，且售价不得低于1.5元/斤，问售完所有的西瓜馨雨家能赚多少元？41．（2021秋•罗山县期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．42．（2021秋•温岭市期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：0153045759095100110时间x（分）601151601952352401801200人数y（个）小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：（1）求曲线ABC部分的函数解析式；（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？（3）如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？（4）疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60），则开设的采样窗口数量n （个）的范围是．销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：销售单价x（元）406080日销售量y（件）806040（1）求y与x的函数关系式；（2）求公司销售该商品获得的最大日利润．44．（2021秋•武昌区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．（1）求证：EN是⊙O的切线；（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1．求线段EN与线段AE的长．45．（2021秋•朝阳县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．（1）以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；（2）在（1）的条件下，①点A经过的路径AA'的长度为（结果保留π）；②点B'的坐标为．46．（2021秋•梧州期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E是弧AC的中点，连接BE交AC 于点F，若AB＝5，AC＝4，求FC的长．47．（2021秋•遵化市期末）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B＝∠DAE．（1）求证：△ABC∽△DAE；（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝6，求BC的长．48．（2021秋•钟山区期末）如图①是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行．图②是一个智能通道闸机的截面图，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，点A、D在同一水平线上，且A、D之间的距离是10cm．（1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的2倍．若有240人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用4分钟，求一个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？49．（2021秋•泰和县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．50．（2021秋•信丰县期末）如图，已知点M（﹣2，0），a＜0，n为正整数．抛物线C1：y1＝a（x﹣1）2+k1交x轴于点M与点A1（b1，0），C2：y2＝a（x﹣b1）2+k2交x轴于点M与点A2（b2，0），C3：y3＝a （x﹣b2）2+k3交x轴于点M与点A3（b3，0），…按此规律，∁n：y n＝a（x﹣b n﹣1）2+k n．交x轴于点M与点A n（b n，0）．（1）填空：b1＝，b2＝，b3＝，A n﹣1A n＝；（2）用含a的代数式表示：抛物线y3的顶点坐标为；抛物线y n的顶点坐标为；（3）设抛物线∁n的顶点为P n．①若△MP10A10为等腰直角三角形，求a的值；②直接写出当a与n满足什么数量关系时，△MP n A n是等腰直角三角形．51．（2021秋•大丰区期末）如图，AB、AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB＝30°，AB＝6，求由劣弧AC、线段AC所围成图形的面积S．52．（2021秋•潜山市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径作⊙O交BC于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求CD的长．53．（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿线段BC 以2cm/s的速度向终点C运动，点Q从点C出发，沿着C→A→B的方向以3cm/s的速度向终点B运动，P，Q同时出发，设点P运动的时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．（1）求sin B；（2）求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．54．（2021秋•法库县期末）用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示在该位置小立方体的个数，请解答下列问题：（1）求a，b，c的值；（2）这个几何体最少有几个小立方体搭成，最多有几个小立方体搭成；（3）当d＝2，e＝1，f＝2时画出这个几何体的左视图．55．（2021秋•硚口区期末）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；（3）如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．56．（2021秋•濂溪区校级期末）在平面直角坐标系中，有系列抛物线y n＝﹣nx2﹣nx+n+1（n为正整数）．系列抛物线的顶点分别为M1，M2，M3，…，M n．（1）下列结论正确的序号是．①系列抛物线的对称轴是直线x＝﹣；②系列抛物线有公共交点（﹣4，1）和（1，1）；③系列抛物线都是由抛物线y＝﹣x2平移所得；④任意两条相邻抛物线顶点的距离相等；（2）对于任意一条与x轴垂直的直线x＝a，与系列抛物线的交点分别为N1，N2，N3，…，N n．①当a＝0时，N n N n﹣1＝；②试判断相邻两点之间的距离是否相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离N n N n﹣1；若不相等，说明理由；③以N n N n﹣1为边作正方形，若正方形的另二个点落在对称轴上，求a的值．57．（2021秋•芙蓉区校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．（1）求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．58．（2021秋•阿城区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A、C，且C（2，0），与y轴交于点B（0，4），直线y＝x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t＝时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ、DH交于点G，求G点坐标．59．（2021秋•怀宁县期末）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．60．（2021秋•城关区期末）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．。