第12章轴对称(八年级上双休练习)[1]

第12章轴对称知识网络：轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.线段的垂直平分线的画法：线段的垂直平分线性质及判定：定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.例1.如图，在△ABC中,AB=BC,M,N为BC边上的两点，并且∠BAM=∠CAN,MN=AN,求∠MAC的度数.例2.在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；（1）求证：AH=2BD；（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；例3.如图，在ABC ∆中，AB=AC,P 为BC 上任一点，PM AB ⊥于M,PN AC ⊥于N,BD AC ⊥于D.求证：BD=PM+PN.例4.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB•的垂直平分线MN•分别交BC 、AB 于点M 、N ，求证：CM=2BM ．例5.在ABC ∆中，由A 点向BC 边引高线，垂足D 落在BC 上，如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.例6.如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线，交BC 的延长线于点F ，连结AF ．求证：∠BAF=∠ACF ．例7.如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上 ，BD=CF ，BE=CD ，AB=AC ，DG ⊥EF 于点G.求证：EG=FG课堂练习：1.下列两个三角形中，一定全等的是（）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形；B.两个等边三角形；C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形；D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形。

图130，请你求出其余两角30和120”；王华同学说：75和75”．还有一些同学也提出了不同的看法．）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？75和75或30和120．30+α+α=180，75．75和75．++β=，3030180120．30和120．“分类讨论”，“考虑问题要全面”等能体现分类讨论思想的给.为顶点将平角五等份，并沿五等份的折线折叠，再等于（）.如图，一平面镜与水平面成45°角固定在水平桌面上，一小球以桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（的速度，做竖直向上运动 B. 以1m/s的速度，做竖直向下运动的速度，做竖直向上运动 D. 以2m/s的速度，做竖直向下运动如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于上；然后再沿虚线上的半圆，再展开，则展开后二、填空题（每小题3分，共24分）1．已知△ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则△的形状是___________.2. 如图6，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于AC=18cm，则△AEC的周长为_______cm.3. 已知点A，B，C，D的坐标分别为A（-2，1），B（1，2），C（-2，-1），D（1，-2），则线段AB与CD关于______.4.在如图7的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠的顶点A，B，C，D按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，、D两点对应的坐标，0），且A、C两点关于x中，∠B=∠C，FD⊥BC，________.__________.成轴对称且也以格点为顶点的三角A AB CC．3 D．4 6，则此等腰三角形的周长为（）=90°，AB的垂直平分线交．的对称轴，如果AD∥BC（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不要求证明）2008年北京2004年雅典1988年汉城1980年莫斯科ＡＢＣＤ．如图1，在平面直角坐标系中，下列各中是点E关于x轴的对称点的是（加拿大澳大利亚瑞士乌拉圭A．加拿大、乌拉圭B．加拿大、瑞士、澳大利亚，请你找出格纸中所有与。

课标人教版八年级（上）数学检测试卷轴对称 A 卷（考试时间为60分钟，满分100分）姓名：______________一、填空题（每小题3分，共30分） 1．长方形的对称轴有___________条． 2．等腰直角三角形的底角为_____________．3．等边三角形的边长为a ，则它的周长为_____________． 4．（-2，1）点关于x 轴对称的点坐标为__________．5．如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，则图中等腰三角形有_______个． 6．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE =3cm ，△ABD 的周长为13cm ，则△ABC 的周长为____________．7．△ABC 中，AB 边上的中线CD 将△ABC 分成两个等腰三角形，则∠ACB =_______度． 8．等腰三角形的顶角为x 度，则一腰上的高线与底边的夹角是___________度．9．在“线段，角，半圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有_______个．10．如图，四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合，如果AD ∥BC ，有下列结论:①AB ∥CD ；②AB =CD ；③AB ⊥BC ；④AO =OC 其中正确的结论是_______________． （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题（每小题3分，共30分）11．下列平面图形中，不是轴对称图形的是（ ）12．下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）ABC D第5题第6题ABDCE第10题ABCDl O（A ） N （B ） S （C ） H （D ） K13．下列图形中对称轴最多的是（ ）（A ）圆 （B ）正方形 （C ）等腰三角形 （D ）线段14．如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（ ）（A ）∠B =∠C （B ）AD ⊥BC （C ）AD 平分∠BAC （D ）AB =2BD15．△ABC 中，AB =AC ．外角∠CAD =100°，则∠B 的度数（ ）（A ）80° （B ）50° （C ）40° （D ）30°16．等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（ ）（A ）50° （B ） 80° （C ） 50°或80° （D ） 20°或80°17．如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）（A ）锐角三角形． （B ）直角三角形． （C ）钝角三角形． （D ）不能确定．18．如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB =8m ，∠A =30°，则DE 等于（ ）（A ）1m （B ） 2m （C ）3m （D ） 4m19．以下叙述中不正确的是（ ）A 、等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B 、有一内角为 60的等腰三角形是等边三角形C 、等腰三角形一定是锐角三角形D 、在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等。

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人教新课标八年级数学（上）自主学习达标检测（二）（轴对称)（时间90分钟满分100分)班级学号姓名得分一、填空题(每题2分，共32分）1．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴，正三角形的对称轴有条．2．下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑,哪一个．．不．．与其他三个同？请指出这个图形，并说明理由．答：这个图形是: （写出序号即可），理由是．3．等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B=________．4．△ABC中,AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3,则AC=__ __．5．在 Rt △ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若CD=4，则点D到AB的距离是__________．6．判断下列图形（如图所示）是不是轴对称图形。

7．等腰△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB上的高等于___________．8．如图，△ABC中，AD垂直平分边BC,且△ABC的周长为24,则AB+BD = ；又若∠CAB=60°，则∠CAD = ．9．如图，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O,则点O与边BC的关系如何？请用一句话表示: ．10．如图:等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=6，AD=5,BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是____________．11．请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形。

【关键字】试题第12章《轴对称图形》一、选择题1.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）2.正方形对称轴的条数是（）A.1B.1C.1D.13.点P(2，－5)关于x轴对称的点的坐标为A.(－2，5)B.(2，5)C.(－2，－5)D.(2，－5)4.如图，直线CD是线段AB的笔直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（）A.6B.5C.4D.35.将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）6.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B＝50°，∠A＝26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（）A.145°B.152°C.158°D.160°7.在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为，则AB边的取值范围是（）A.＜AB＜B.＜AB＜C.＜AB＜D.＜AB＜10cm8.从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于（）A.72°B.C.144°D.72°，或9.如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA 的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为（）cmB.5.5C.6.5D.710.如图所示，已知△ABC和△ADE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AG与BD交于点F，连结OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确的结论个数（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝＿＿＿cm.12.如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝＿＿＿.13.已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长度为＿＿＿.14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝8，则DE的长度是＿＿＿.15.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝＿＿＿.16.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为＿＿＿.17.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距＿＿＿m.18.如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是＿＿＿.三、解答题19.在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形.20.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.21.如图，在等边△ABC中，AB＝2，点P是AB边上任意一点（点P可以与点A重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，过点F作FQ⊥AB，垂足为Q，求当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？22.如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF交CD于点M，连接AM.（1）求证：EF＝AC.（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系.23.如图，O为△ABC内部一点，OB＝3，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点.（1）请指出当∠ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由.（2）承（1）小题，请判断当∠ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由.24.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程.25.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.（1）求∠F的度数.（2）若CD＝2，求DF的长.26.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点.（2）将如图1中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△CAN为等腰直角三角形.（3）将如图1中△BCE绕点旋转到图3的位置时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由.27.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC ） （1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是＿＿＿度和＿＿＿度. （2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形.（3）继续按以上操作发现：在△ABC 中画n 条线段，则图中有＿＿＿个等腰三角形，其中有＿＿＿个黄金等腰三角形.28.（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连结DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连结AF .你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论.（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其它作法与（1）相同.猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ.如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在其上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何等量关系？并证明你探究的结论.Ⅱ.如图④，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其它作法与图③相同.Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.参考答案： 一、1.D.点拨：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，符合题意.故应选D .2.D.3.B.点拨：把点P (2，－5)的纵坐标－5改成它的相反数5，即可得到点P 关于x 轴对称点的坐标.4.B.点拨：由根据线段垂直平分线性质可以直接判断线段PA 与线段PB 的长度相等.5.B.点拨：按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到图形B .故应选B .6.B.点拨：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ＝50°，∵∠A ＝26°，∴∠ADE ＝180°－50°－26°＝104°；再由折叠可知：∠AED ＝∠A ′ED ＝104°，∴∠AEA ′＝360°－104°－104°＝152°.7.B.点拨：∵在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20cm ，∴设AB ＝AC ＝x ，则BC ＝20－2x cm ，∴2x ＞20－2x ，且20－2x ＞0，解得5cm ＜x ＜10cm.故应选B .8.D.点拨：如图，等腰三角形ABC 中，因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ，设顶角为α、底角为β，则根据三角形三内角和为180°，得α+2β＝180.此时，由于过B 点画直线交AC 于D ，则△ADB 与△BDC 都是等腰三角形，若AD ＝DB ＝BC ，则β＝2α，α+2β＝180°，解得α＝36°，β＝72°；若AD ＝DB ，BC ＝DC ，则β＝3α，α+2β＝180°，解得α＝7180，β＝7540 .所以原等腰三角形纸片的底角等于72°，或5407⎛⎫ ⎪⎝⎭.故应选D . F D C B A 图① F D C B A 图② F D C B A 图③ F ′ F AC F ′D 图④B D A DC B A E M N图1 D C B A E M N 图2 DC B A E M N 图3 图1 C B A E F 图2 C B A E 图3C B A9.A.点拨：∵点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上，∴PM ＝MQ ，PN ＝NR .∵PM ＝2.5cm ，PN ＝3cm ，MN ＝4cm ，∴RN =3cm ，MQ ＝2.5cm ，NQ ＝MN －MQ ＝4－2.5＝1.5（cm ），则线段QR 的长为：RN +NQ ＝3+1.5＝4.5（cm ）.故应选A .10.D.点拨：因为BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ＝120°，CD ＝CE ，所以△BCD ≌△ACE ，从而得①AE ＝BD 是正确的；又因为△BCD ≌△ACE ，所以∠FBC ＝∠GAC ，根据BC ＝AC ，∠BCF ＝∠ACG ＝60°，得△BCF ≌△ACG ，所以②AG ＝BF 是正确的；由△BCF ≌△ACG ，得CF ＝CG ，而∠FCG ＝60°，所以∠CGF ＝∠CFG ＝∠FCG ＝60°，所以③FG ∥BE 是正确的；如图，过C 作CM ⊥BD 于M ，CN ⊥AE 于N ，易得△BCM ≌△CAN ，所以CM ＝CN ，所以④∠BOC ＝∠EOC 是正确的.故应选D .二、11.5. 12.90°.点拨：因为△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，∠C ′＝60°，所以∠C ′＝∠C ＝60°，在△ABC 中，因为∠A ＝30°，所以∠B ＝180°－30°－60°＝90°. 13.10.点拨：由角平分线的性质及题中已知条件可得PD ＝PE ，又因为PD ＝10，所以PE ＝10.14.2.点拨：∵D 为AB 的中点，AB ＝8，∴AD ＝4，∵ DE ⊥AC 于点E ，∴∠DEA ＝90°，∵∠A ＝30°，∴DE ＝12AD ＝2； 15.15°.点拨：∵折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，∴EA ＝EB ，∴∠EBA ＝∠A .又∵AB ＝AC ，∠A ＝50°，∴∠B ＝65°，∠EBA ＝50°，∴∠CBE ＝15°.16.105°.点拨：由①的作图可知CD ＝BD ，∴∠DCB ＝∠B ＝25°，∴∠ADC ＝50°.又∵CD ＝AC ，∴∠A ＝∠ADC ＝50°，∴∠ACD ＝80°，∴∠ACB ＝80°+25°＝105°.17.200.点拨：由条件，得∠ABC ＝90°+30°＝120°，∠BAC ＝90°－60°＝30°，所以∠ACB ＝180°－∠ABC －∠BAC ＝180°－120°－30°＝30°，所以∠ACB ＝∠BAC ，所以BC ＝AB ＝200，即B 、C 两地相距200m.18.(12)n －1·75°.点拨：∵A 1B ＝CB ，∠B ＝30°，∴∠C ＝∠BA 1C ＝12(180°－∠B )＝75°，又∵A 1A 2＝A 1D ，∴∠A 1A 2D ＝∠A 1DA 2＝12∠DA 1C ＝12×75°（三角形外角等于不相邻两内角之和）＝2112-×75°＝2112-⎛⎫ ⎪⎝⎭×75°；同样，∵A 2A 3＝A 2E ，∴∠A 2A 3E ＝∠A 2EA 3＝12∠DA 2A 1＝12×12×75°＝14×75°＝3112-×75°＝3112-⎛⎫ ⎪⎝⎭×75°；同理，∠A 3A 4F ＝∠A 3FA 4＝12∠EA 3A 2＝4112-⎛⎫ ⎪⎝⎭×75°；…第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭×75°. 三、19.如图，△ABC 就是所求的三角形，A ，B ，C 三点关于y 轴的对称点分别为A ′(3，1)，B ′(1，0)，C ′(2，－1)，△A ′B ′C ′就是△ABC 关于y 轴对称的图形. 20.如图1和2所示中的直线l 21.设BP ＝x ，在Rt △PBE 中，∠BPE Rt △G F O D C B AE M NEFC中，∠FEC＝30°，所以FC＝12EC＝1－14x，所以AF＝2－FC＝2－(1－14x)＝1+14x，同理，AQ＝12AF＝12+18x，当点P与点Q重合时，有BP+AQ＝2，即x+(12+18x)＝2，解得x＝43，故当BP＝43时，点P与点Q重合.22.（1）证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝12AC.（2）∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC，∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM+DM＝CM+DM ＝CD.又∵CD＝CB，∴AM+DM＝BC.23.（1）∠ABC＝90°时，PR＝7.证明：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB＝OB＝312，RB＝OB＝312，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBR＝∠ABO+∠CBO＝∠ABC＝90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR＝2×312＝7.（2）PR的长度是小于7.理由：∠ABC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR＞PR，∵PB+BR＝2OB＝2×312＝7，∴PR＜7.24.（1）①②、①③.（2）选①②证明如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO＝∠DCO，∠EOB＝∠DOC，BE＝CD，∴△BOE≌△COD（AAS），∴BO＝CO，∠OBC＝∠OCB，∴∠EOB+∠OBC ＝∠DOC+∠OCB，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形.25.（1）∵三角形ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.（2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.26.（1）∵点M为DE的中点，∴DM＝ME．∵AD∥EN，∴∠ADM＝∠NEM，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点.（2）由（1）中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN+∠NCE＝90°，∴∠BCN+∠ACB＝90°，∴∠CAN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形.（3）由（2）可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°+∠BDE+∠BED＝90°+∠ADM－45°+∠BED＝45+∠MEN+∠BED＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同（2）可证△CAN 为等腰直角三角形，∴（2）中的结论是否仍然成立.27.（1）如图1所示.∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度.（2）画法不惟一.如，如图2所示.四个等腰三角形分别是：△ABE，△BCE，△BEF，△CEF.（3）如图3所示.当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形.28.（1）AF＝BD.证明：因为△ABC和△DCF均是等边三角形，所以∠ACB＝∠DCF，所以∠ACB－∠ACD＝∠DCF－∠ACD，即∠BCD＝∠ACF.在△BDC和△AFC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，DC＝FC，所以△BDC≌△AFC，所以AF＝BD.（2）仍然成立.证法同（1）.（3）Ⅰ：AF+BF′＝AB.证明：由（1）可证AF＝BD，同理可证△ADC≌△BF′C，所以BF′＝AD，所以AF+BF′＝AB.Ⅱ.在Ⅰ中的结论不成立，新结论是：AF－BF′＝AB.证明：同（1）可证△BDC≌△AFC，所以AF＝BD，同理可证△ADC≌△BF′C，所以BF′＝AD，因为BD－AD＝AB，所以AF－BF′＝AB.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。

专题训练全等三角形的基本模型▶模型一从教材数学活动(P53)中的筝形,探究全等基本轴对称模型1.定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图①,若AD=CD,AB=CB,则四边形ABCD是筝形.(1)在同一平面内,△ABC与△ADE按图②所示的方式放置,其中∠B=∠D=90°,AB=AD,BC与DE相交于点F,请你判断四边形ABFD是不是筝形,并说明理由;(2)请你结合图①,写出筝形的一个判定方法(定义除外):在四边形ABCD中,若,则四边形ABCD是筝形.2.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是筝形,其中AB=AD,CB=CD,P是对角线AC上除A,C外的任意一点.求证:∠ABP=∠ADP.常见的轴对称模型还有(如图):▶模型二全等基本旋转模型之一——中点加倍型基本模型:如图①,D是BC的中点,DE=AD.模型变形1:如图②,D是BC的中点,CF⊥AD,BE⊥AD.模型变形2:如图③,D是BC的中点,MD=DN.3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD是△ABC的中线,则AD的取值范围是.4.如图,在△ABC中,AD是中线,CE⊥AD于点E,BF⊥AD交AD的延长线于点F.求证:BF=CE.5.如图所示,∠BAC=∠BCA,AD为△ABC中BC边上的中线,延长BC至点E,使CE=AB,连接AE.求证:∠CAD=∠CAE.6.如图,已知AD是△ABC的中线,AM⊥AB,AM=AB,AN⊥AC,AN=AC.求证:MN=2AD.常见的旋转模型还有(如图):▶模型三一线三等角模型常见的一线三等角模型:7.探究:如图①,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD 上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.拓展:如图②,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,求△ABE与△CDF的面积之和.8.(1)如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=CA,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证:DE=BD+CE.(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=CA,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角,则结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.答案1.解:(1)四边形ABFD 是筝形. 理由:连接AF .在Rt △AFB 和Rt △AFD 中,{AF =AF ,AB =AD ,∴Rt △AFB ≌Rt △AFD (HL).∴BF=DF . 又∵AB=AD ,∴四边形ABFD 是筝形.(2)答案不唯一,如图AD=CD ,∠ADB=∠CDB 2.证明:在△ABC 和△ADC 中,{AB =AD ,AC =AC ,CB =CD ,∴△ABC ≌△ADC (SSS). ∴∠BAC=∠DAC.在△BAP 和△DAP 中,{AB =AD ,∠BAP =∠DAP ,AP =AP ,∴△BAP ≌△DAP (SAS). ∴∠ABP=∠ADP .3.1.5<AD<6.5 如图,延长AD 到点E ,使DE=AD ,连接BE.∵AD 是△ABC 的中线, ∴BD=CD.在△ADC 和△EDB 中,{CD =BD ,∠ADC =∠EDB ,AD =ED ,∴△ADC ≌△EDB (SAS).∴AC=EB. ∵AB-EB<AE<AB+EB , ∴AB-AC<2AD<AB+AC. ∵AB=8,AC=5,∴1.5<AD<6.5.4.证明:∵CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.在△BFD和△CED中,{∠BFD=∠CED,∠BDF=∠CDE, BD=CD,∴△BFD≌△CED(AAS).∴BF=CE.5.证明:如图,延长AD到点F,使得DF=AD,连接CF.∵AD为△ABC中BC边上的中线,∴BD=CD.在△ADB和△FDC中,{AD=FD,∠ADB=∠FDC, BD=CD,∴△ADB≌△FDC(SAS).∴AB=CF,∠B=∠DCF.∵CE=AB,∴CE=CF.∵∠ACE=∠B+∠BAC,∠ACF=∠DCF+∠BCA,∠BAC=∠BCA,∴∠ACE=∠ACF.在△ACF和△ACE中,{AC=AC,∠ACF=∠ACE, CF=CE,∴△ACF≌△ACE(SAS).∴∠CAD=∠CAE.6.证明:如图,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.在△BDE 和△CDA 中,{BD =CD ,∠BDE =∠CDA ,DE =DA ,∴△BDE ≌△CDA (SAS). ∴BE=AC=AN ,∠DBE=∠DCA. ∴AC ∥BE.∴∠ABE+∠BAC=180°. ∵∠BAM=∠CAN=90°, ∴∠MAN+∠BAC=180°. ∴∠ABE=∠MAN.在△ABE 和△MAN 中,{AB =MA ,∠ABE =∠MAN ,BE =AN ,∴△ABE ≌△MAN (SAS).∴AE=MN. ∵AE=2AD ,∴MN=2AD. 7.解:探究:证明:∵∠1=∠2=∠BAC ,且∠1=∠BAE+∠ABE ,∠2=∠CAF+∠ACF ,∠BAC=∠BAE+∠CAF ,∴∠BAE=∠ACF ,∠ABE=∠CAF . 在△ABE 和△CAF 中,{∠BAE =∠ACF ,AB =CA ,∠ABE =∠CAF ,∴△ABE ≌△CAF (ASA). 拓展:∵∠1=∠2=∠BAC ,且∠1=∠BAE+∠ABE ,∠2=∠CAF+∠ACF ,∠BAC=∠BAE+∠CAF , ∴∠BAE=∠ACF ,∠ABE=∠CAF . 在△ABE 和△CAF 中,{∠BAE =∠ACF ,AB =CA ,∠ABE =∠CAF ,∴△ABE ≌△CAF (ASA).∴S △ABE =S △CAF . ∴S △ABE +S △CDF =S △CAF +S △CDF =S △ACD . ∵CD=2BD ,△ABC 的面积为15, ∴S △ACD =10. ∴S △ABE +S △CDF =10.8.解:(1)证明:∵BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,∴∠BDA=∠AEC=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠ABD.在△ADB和△CEA中,{∠ABD=∠CAE,∠BDA=∠AEC, AB=CA,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.(2)成立.证明:∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠EAC=180°-α.∴∠DBA=∠EAC.在△ADB和△CEA中,{∠DBA=∠EAC,∠BDA=∠AEC, AB=CA,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE,AD=CE.∴DE=AE+AD=BD+CE.。

1.2轴对称的性质
1•如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有
® © O ©
A B 、2 个 C 、3 个D 、4 个
2.在厶ABC中，AB=AC BC=5cm作AB的中垂线交另一腰AC于D, 连结BD 如果△ BCD的周长是17cm则腰长为
A、12cm
B、6 cm
C、7 cm 5 cm
3•下列说法中，正确说法的个数有
①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线; ②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3
条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形, ，定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，
对称点一定在直线的两旁
4. _________________________________________________ 圆的对称轴是 _ ，它有条对称轴.
5. ________________________ 观察下图形，你觉得比较特别，简述理由是
⑴
6. __________ 在锐角/ AOB内有一点P,点P关于OA OB的对称点分别为E、F, 则厶EOF —定是___________ 三角形.
7•如图，△ ABC 中，/ BAC=110°, E、G 分别为AB、AC 中点，DE 丄AB , FG 丄AC,求/ DAF .
8•在课外活动中，小明发明了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法，他的方法是：如图所示，在斜边AB上取一点E，使BE=BC，过点E作ED丄AB，交AC于D，那么BD就
是/ ABC的平分线，你认为对吗？为什么?
E
D
S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画9•如图，DA、CB是平面镜前同一发光点图
确定发光点S的位置，并将光路图补充完整。

第十二章 轴对称一、填空题(每小题2分，共20分)1、 等腰三角形是 对称图形，它至少有 条对称轴.2、等腰三角形的顶角与底角的度数之比为4：1，则它的各内角度数为 _______________ .3、已知△ABC 是轴对称图形．且三条高的交点恰好是C 点，则△ABC 的形状是 ___________.4、直线y=kx+4与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则k=5、已知点P(一3，2)，点P 关于X 轴的对称点坐标为 ____6、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，BD=5cm ，则AB=7、观察上图中的图片，请说出图中小亮衣服上的数字是：8、如果等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为30°，则该三角形的顶角的度数为 9、已知点A(一2，4)，B(2，4)，C(1，2)，D(-1，2)，E(一3，1)，F(3，1)是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y 轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出 ____________组对称三角形．10、小强拿了一张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次得图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是 二、选择题(每小题3分，共18分)第6B ADC12、下列命题中，不正确的是( )(A)关于直线对称的两个三角形一定全等.(B)两个大小一样的圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形. (C)若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线. (D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台.13、将长方形ABCD 沿折痕EF 折叠，使CD 落在GH 的位置，若∠BGH=55°，则∠HEF=（ ） (A)55° (B) 65°(C)72.5 (D)75° 12、等腰三角形的一个内角是50。

第十二章 《轴对称》测试题一、选择题（每小题4分，共40分）1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）A ：B ：C ：D ： 2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ：（－1，－2）B ：（－1，2）C ：（1，－2）D ：（2，－1） 3、下列图形中对称轴最多的是( )A ：等腰三角形B ：正方形C ：圆D ：线段 4、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）A ：2 ㎝B ：4 ㎝C ：6 ㎝D ：8㎝ 5、下列说法正确的是( )A ：等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ：顶角相等的两个等腰三角形全等C ：等腰三角形的两个底角相等D ：等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 6、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）A ：11cmB ：7.5cmC ：11cm 或7.5cmD ： 以上都不对7、如图：DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米， 则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ：16B ：18C ：26D ：28 8、如图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ） A ：90° B ： 75° C ：70° D ： 60° 9、若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是 （ ） A ：75°或15° B ：75° C ：15° D ：75°和30° 10、如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出下列结论： ①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 二、填空题（每小题4分，共40分）CEBDAl OCBDACAFE11、在数字0、2、4、6、8中是轴对称图形的是 ； 12、等腰三角形一个底角是30°，则它的顶角是__________度；13、等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则周长为________________；14、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ；15、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB ＋BC=12㎝，则AB= ㎝；16、如图：从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________； 17、如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA连接P 1P 2交OA 于M ，交OB于N ，P 1P 2=15，则△PMN18、点E （a,－5）与点F （－2,b ）关于y 轴对称，则b= ；19、等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为 ； 20、如图：是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE 等于 ； 三、解答题（共70分）21、（5分）如图：A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送 到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠 道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹） 22、（5分）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路， （点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建 一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到 两条公路的距离也相等。

(第5题图)(第6题图)(第9题图)(第10题图)八年级数学基础测试题（第十二章《轴对称》测试题 练习时间60分钟）班别 姓名 学号 成绩（一）、精心选一选（每题4分，共24分）1、下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（ ）A ：B ：C ：D ：2、点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ：（－1，－2）B ：（－1，2）C ：（1，－2）D ：（2，－1） 3、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（ ）A ：2 ㎝B ：4 ㎝C ：6 ㎝D ：8㎝ 4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）A ：11cmB ：7.5cmC ：11cm 或7.5cmD ： 以上都不对 5、如图，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米A ：16B ：18C ：26D ：286、如图，l 是四边形ABCD 的对称轴，AD ∥BC ，现给出 下列结论：①AB ∥CD ；②AB=BC ；③AB ⊥BC ；④AO=OC 其中正确的结论有（ ）A ：1个B ：2个C ：3个D ：4个（二）、细心填一填（每小题4分，共24分） 7、等腰三角形的一边长是6，另一边长是3，则 周长为 ________________；8、等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ；9、如图,在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB ＋BC=12㎝，则AB= ㎝；10、如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是________；CEBDAl OCBDAC BA1(第12题图)11、点E （a,－5）与点F （－2,b ）关于y 轴对称，则a= ，b= ； 12、如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=8m,∠A=30°，则DE 等于 ； （三）、用心做一做（共52分）13、（6分）如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M ，N 表示大学，AO ，BO 表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。