最优化 第六周作业(2)

数据选择器课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解数据选择器的定义和作用，掌握其在信息技术领域的应用。

2. 学生能掌握数据选择器的基本结构和工作原理，了解不同类型的数据选择器。

3. 学生能运用所学知识，分析并选择合适的数据选择器解决实际问题。

技能目标：1. 学生能运用数据选择器进行数据筛选、排序和查找，提高数据处理能力。

2. 学生能通过实际操作，学会使用数据选择器进行数据分析和决策。

3. 学生能运用数据选择器设计简单的信息系统，提高编程实践能力。

情感态度价值观目标：1. 学生对数据选择器产生兴趣，培养主动探究信息技术知识的热情。

2. 学生通过学习数据选择器，认识到其在现实生活中的重要性，增强社会责任感。

3. 学生在合作学习中，培养团队协作精神和沟通能力，提高自信心。

课程性质：本课程为信息技术课程，旨在帮助学生掌握数据选择器的相关知识，提高数据处理和分析能力。

学生特点：学生具备一定的计算机操作基础，对信息技术感兴趣，具有较强的学习能力和动手能力。

教学要求：结合学生特点和课程性质，采用任务驱动、案例教学等方法，注重理论与实践相结合，培养学生的实际操作能力和创新能力。

通过本课程的学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观方面取得具体的学习成果。

二、教学内容1. 数据选择器概念：介绍数据选择器的定义、作用及其在信息技术领域的应用。

- 教材章节：第一章 数据处理基础2. 数据选择器类型与结构：讲解不同类型的数据选择器及其工作原理。

- 教材章节：第二章 数据选择器3. 数据选择器的使用方法：- 数据筛选：介绍筛选条件设置、筛选规则等。

- 数据排序：讲解排序规则、排序方法等。

- 数据查找：介绍查找算法、查找策略等。

- 教材章节：第三章 数据处理方法4. 数据选择器在实际应用中的案例分析：分析典型案例，引导学生运用数据选择器解决实际问题。

- 教材章节：第四章 数据处理案例分析5. 数据选择器编程实践：- 设计简单的信息系统：指导学生运用数据选择器进行编程实践，实现数据筛选、排序和查找等功能。

最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值 ；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值． （“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b ac a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A. (0，21-) B. (0，0) C. (0，611) D. (0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10. 已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==. 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b ，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．（全国初中数学竞赛试题）专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a . ∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x . 当x =43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22. 故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值. 此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB . 故原式取最小值时，x =38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a . 因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2003，即20032)1(≤+k k k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数. 当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28. 下表说明c 没有比6更小的正整数解. 显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故A 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >∵|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b ，从而a +c >2+1，则212>>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b >2≥2=，即b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1 4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|ABC (2125,24k k k -++-），ABC S =，而k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0. 75（万元），3－x =2. 25(万元）．即甲商品投入0. 75万元，乙商品投入2. 25万元，获得利润1. 05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a －3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故 当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

最优化大作业2⚫姓名：cxf⚫班级学号：****20****⚫学院：******学院⚫选择方式：方式4——撰写课程小论文⚫题目来源：附录二备选问题（计算机通信网）中文献[9]——F. Kelly. The Mathematics of Traffic in Network. Princeton University Press, 2005.⚫工作方式：独立完成⚫完成时间：2020年12月15日交通网络中的数学优化问题研究cxf（北京航空航天大学 ******学院， 北京 100191）摘要 由于交通网络流中分散控制的程度差异，人们往往需要寻求一种解决方案对系统进行继续扩展和优化。

车流量控制问题一直是交通网络所面临的重要挑战，也是研究者研究的重点。

本论文用微积分来描述拥堵如何依赖于车流量，以Wardrop 均衡和Braess’s 悖论等理论为基础，建立车流分配控制问题的数学模型，并利用Lingo 优化软件对原始问题进行求解。

最后，由优化模型的结果可知，当网络达到均衡状态时不一定是最优的车流分配方案，且达到最优解状态时能够使通信网络中的分散控制能够表现的更好。

但是，这最优方案需强制执行，否则自私车辆又会选择最短的路径，即形成新的均衡状态。

关键词 交通网络，车流分配， Wardrop 均衡， 优化模型.1.问题背景许多网络中都普遍存在着拥堵现象，其拥堵的发生方式和原因不尽相同。

然而，流量通过网络的流动方式是不同用户之间微妙而复杂交互的结果。

例如，在交通网络中，每位驾驶员都会尝试选择最方便的路径，以便节省时间和开销，而这一选择将取决于驾驶员期望在不同道路上遇到的延迟，且这些延迟反过来取决于其他人对路径的选择。

这种相互依赖关系，使得人们很难预测系统变化的影响，例如建造新的道路或在某地方实行收费等。

在电话网、互联网和交通网等大型网络系统中，主要的实际问题就是控制权的分散程度不同。

发展至今，这种分散式节点之间的流量控制方法已经显示出紧张的迹象，如果网络作为一个整体要继续扩展和进化，则需要进一步优化网络流量控制。

第六章 习题答案1．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ，1max =y对于)0,1(B 来说，有112221≤=+x x ，因此该约束规格是紧的。

构建拉格朗日函数 )1(),,(2221121-++=x x x x x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥=-+==∂∂=+=∂∂01,00)1(020212221222122211x x x x x x L x x x Lλλλ⇒)0,1(B 符合T K -条件2．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件 解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5．求解下面最优化问题（1）⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5）⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为：2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== （2）图解法可行域为314,,1055x y λ===，均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为：12112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6．考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00≥λ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100ΛΛ-+=∑=λλ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

习题一1.1利用图解法求下列线性规划问题： （1）21x x z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 5x 2x 2x x 3.t .s 212121 解：根据条件，可行域为下面图形中的阴影部分，，有图形可知，原问题在A 点取得最优值，最优值z=5（2）21x 6x z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤+0x ,x 7x x 1x x 2.t .s 212121 解：图中阴影部分表示可行域，由图可知原问题在点A 处取得最优值，最优值z=-6.（3）21x 2x 3z max +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≤+-0x ,x 4x 2x 1x x .t .s 212121 解：如图所示，可行域为图中阴影部分，易得原线性规划问题为无界解。

（4）21x 5x 2z min -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+0x ,x 2x x 6x 2x .t .s 212121 解：由图可知该线性规划可行域为空，则原问题无可行解。

1.2 对下列线性规划问题，找出所有的基解，基可行解，并求出最优解和最优值。

（1）4321x 6x 3x 2x 5z min -+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=+++0x ,x ,x ,x 3x 2x x x 27x 4x 3x 2x .t .s 432143214321 解：易知1x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21p 1，2x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12p 2，3x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=13p 3，4x 的系数列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=24p 4。

①因为21p ,p 线性无关，故有⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=+43214321x 2x 3x x 2x 4x 37x 2x ，令非基变量为0x x 43==，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=311x 31x 21，所以得到一个基解)0,0,311,31(x )1(-=是非基可行解； ②因为31p ,p 线性无关，可得基解)0,511,0,52(x)2(=，543z 2=；③因为41p ,p 线性无关，可得基解611,0,0,31(x )3(-=，是非基可行解；④因为32p ,p 线性无关，可得基解)0,1,2,0(x )4(=，1z 4-=；⑤因为42p ,p 线性相关，42x ,x 不能构成基变量； ⑥因为43p ,p 线性无关，可得基解)1,1,0,0(x )6(=，3z 6-=；所以)6()4()2(x ,x ,x是原问题的基可行解，)6(x 是最优解，最优值是3z -=。

最优化算法课程设计目的一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握最优化算法的基本概念、原理和应用场景，理解其在工程、经济、管理等领域的重要意义。

2. 使学生了解几种典型的最优化算法，如线性规划、整数规划、非线性规划等，并掌握其数学模型和求解方法。

3. 帮助学生建立数学模型，运用最优化算法解决实际问题，提高数学应用能力。

技能目标：1. 培养学生运用数学软件（如MATLAB、Lingo等）进行最优化算法求解的能力。

2. 培养学生分析问题、建立模型、求解问题和总结反思的能力。

3. 提高学生的团队协作和沟通能力，学会在小组讨论中分享观点、倾听他人意见。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对最优化算法的兴趣和热情，激发学生学习数学、研究问题的积极性。

2. 培养学生面对复杂问题时，具有勇于尝试、不断探索的精神。

3. 增强学生的创新意识，让学生认识到最优化算法在现实生活中的重要作用，提高社会责任感。

课程性质分析：本课程为选修课，旨在提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。

课程内容具有一定的理论性和实践性，要求学生在理解基本概念和原理的基础上，学会运用最优化算法解决实际问题。

学生特点分析：学生为高中生，具有一定的数学基础和逻辑思维能力，但可能在面对实际问题时缺乏分析、求解的经验。

教学要求：结合课程性质、学生特点，将课程目标分解为具体的学习成果，注重理论与实践相结合，提高学生的数学建模和问题求解能力。

在教学过程中，关注学生的个体差异，提供针对性的指导，确保学生能够达到预期的学习效果。

二、教学内容1. 最优化算法概述- 定义、分类及应用场景- 最优化问题的数学模型2. 线性规划- 线性规划的基本概念与性质- 线性规划的数学模型- 简单线性规划的图解法- 单纯形法及求解过程3. 整数规划- 整数规划的基本概念与性质- 整数规划的数学模型- 分支定界法及求解过程- 割平面法及求解过程4. 非线性规划- 非线性规划的基本概念与性质- 非线性规划的数学模型- 拉格朗日乘数法及求解过程- 梯度投影法及求解过程5. 应用案例分析- 经济管理领域的最优化问题- 工程技术领域的最优化问题- 其他领域的最优化问题6. 数学软件应用- MATLAB、Lingo等软件的介绍与操作- 利用软件求解最优化问题教学内容安排与进度：第一周：最优化算法概述第二周：线性规划第三周：整数规划第四周：非线性规划第五周：应用案例分析第六周：数学软件应用教学内容与教材关联：本教学内容依据教材《数学建模与最优化方法》的相应章节进行组织，确保学生能够系统地学习和掌握最优化算法的相关知识。

最优化方法部分课后习题解答习题一1.一直优化问题的数学模型为：22121122123142min ()(3)(4)5()02()50..()0()0f x x xg x x x g x x x s t g x x g x x =−+−⎧=−−≥⎪⎪⎪=−−+≥⎨⎪=≥⎪=≥⎪⎩试用图解法求出：（1）无约束最优点，并求出最优值。

（2）约束最优点，并求出其最优值。

（3）如果加一个等式约束，其约束最优解是什么？12()0h x x x =−=解：（1）在无约束条件下，的可行域在整个平面上，不难看出，当=（3，4）()f x 120x x *x 时，取最小值，即，最优点为=（3，4）：且最优值为：=0()f x *x *()f x （2）在约束条件下，的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是()f x 在约束集合即可行域中找一点，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可12(,)x x 以看出，当时，所在的圆的半径最小。

*155(,)44x =()f x 其中：点为和的交点，令求解得到：1()g x 2()g x 1122125()02()50g x x x g x x x ⎧=−−=⎪⎨⎪=−−+=⎩1215454x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即最优点为：最优值为：=*155(,)44x =*()f x 658（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。

2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题.解：列出这个优化问题的数学模型为：该优化问题属于三维的优化问题。

123122313123max ()220..00f x x x x x x x x x x S x s t x x =++≤⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪>⎩32123sx y z v⎛⎞=====⎜⎟⎝⎠习题二3.计算一般二次函数的梯度。