2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第2章 函数、导数及其应用 第11节3

第四节指数函数[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·威海测试)若点(a,9)在函数y=()x的图象上,则+1的值为()A.4B.C.D.01.C【解析】点(a,9)在函数y=()x的图象上,所以9=()a,解得a=4,所以+1+1=2+(24=2+2-1=.2.下列函数中值域为正实数的是()A.y=-5xB.y=C.y=D.y=(-3)|x|2.B【解析】∵1-x∈R,y=的值域是正实数,∴y=的值域是正实数.3.(2016·某某某某一中月考)方程2-x+x2=3的实数解的个数为()A.2B.3C.1D.43.A【解析】方程2-x+x2=3的解的个数即为方程=3-x2的解的个数,易知两图象y1=,y2=3-x2有两个交点,因此方程的实数解的个数为2.4.(2015·某某质检)曲线y=e x与直线y=5-x交点的纵坐标在区间(m,m+1)(m∈Z)内,则实数m 的值为()A.1B.2C.3D.44.C【解析】因为函数y1=e x的图象单调递增,y2=5-x的图象单调递减,当x=1时,y1=e,y2=4,∴y1<y2,当x=2时,y1=e2,y2=3,∴y1>y2,∴交点的横坐标x0满足1<x0<2,对应的纵坐标y0满足3<y0<4,故m=3.5.(2016·某某某某中学开学测试)若函数f(x)=2(x-a)(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的取值X围()A.(-∞,1]B.(-∞,0]C.[1,+∞)D.[2,+∞)5.C【解析】由f(1+x)=f(1-x)可知函数图象关于直线x=1对称,所以a=1,所以f(x)=2|x-a|=2|x-1|,易知其在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,故要使f(x)在[m,+∞)上单调递增,则m的取值X围是[1,+∞).6.(2016·某某三校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0.则下列结论正确的是()A.f(0.32)<f(20.3)<f(log25)B.f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C.f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D.f(0.32)<f(log25)<f(20.3)6.A【解析】对任意的x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),都有<0可知函数在(-∞,0)上单调递减,又由于f(x)为偶函数,因此在(0,+∞)上函数f(x)单调递增,而0<0.32<1,1<20.3<2,log25>2,所以f(0.32)<f(20.3)<f(log25).7.(2016·某某一中调研)如图给出了函数y=a x,y=log a x,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2的图象,则与函数y=a x,y=log a x,y=log(a+1)x,y=(a-1)x2依次对应的图象是()A.①②③④B.①③②④C.②③①④D.①④③②7.B【解析】由题可知a>0,a≠1,由图可知①对应函数y=a x,且0<a<1,所以a+1>1,a-1<0,因此③对应于函数y=log a x,④对应于函数y=(a-1)x2,②对应于函数y=log(a+1)x.二、填空题(每小题5分,共15分)8.函数y=a x-2016+2016(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.8.(2016,2017)【解析】令x-2016=0,得x=2016,此时y=a0+2016=2017,故函数y=a x-2016+2016的图象恒过定点(2016,2017).9.已知函数f(x)=+sin x,则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=.9.5【解析】由f(x)=+sin x,得f(x)+f(-x)=2,所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=2×2+f(0)=4++sin 0=5.10.(2015·某某师大附中模拟)已知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为f-1(x),且f-1(a)·f-1(b)=8,若a>0且b>0,且的最小值为.10.3【解析】由题可知函数f(x)=log2x(x>0)的反函数为y=2x,即f-1(x)=2x,所以f-1(a)·f-1(b)=2a·2b=2a+b,因此2a+b=8,即a+b=3,所以(a+b)·×(5+2)=3.[高考冲关]1.(5分)(2015·某某质检)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),下列结论必成立的是()A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<21.D【解析】因为f(x)=|2x-1|=其图象如图所示,要使a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b)成立,则有a<0,b<0,c>0且1-2a>2c-1,即2a+2c<2,观察选项知D项正确.2.(5分)关于x=1对称的函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则关于x的方程f(x)=在x∈[0,3]上解的个数是()A.1B.2C.3D.42.D【解析】由f(x-1)=f(x+1)知函数的周期为2,作出f(x)在[0,3]上的图象与函数y=的图象,易知它们交点个数为4,则方程f(x)=在x∈[0,3]上解的个数是4.3.(5分)(2015·某某一诊)计算:2=.3.6【解析】原式=2××1=2×=2×=6.4.(5分)(2015·某某调研)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则在直角坐标系下函数g(x)=的图象为()4.B【解析】由题可知f(x)=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x=2时,等号成立,所以a=2,b=f(2)=1,故g(x)=,其图象可由y=向左平移1个单位得到,观察知B项正确.5.(10分)(2015·某某日照一中月考)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在区间[-1,1]上有解,某某数k的取值X围.5.【解析】(1)由已知可得g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+-2,所以f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,即1+-2·≥k,令t=,由x∈[-1,1],得t∈,则k≤t2-2t+1,t∈.记h(t)=t2-2t+1,t∈,易得h(t)max=h(2)=1,所以k的取值X围是(-∞,1].。

第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )．A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在解析 注意到函数f (x )在[3,4)上是增函数，又函数在区间[3,4)上左闭右开，故该函数有最小值无最大值，故选A. 答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x的取值范围是 ( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0. ∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案 －68．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4. 答案 4 三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是 ( )．A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x解析 对于A ，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于B ，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于C ，注意到函数y ＝ln 2＋x2－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于D ，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x－e －x≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，选D.答案 D2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．。

2009~2013年高考真题备选题库第二章 函 数第三节 函数的奇偶性及周期性考 点 函数的奇偶性及周期性1．(2013山东，5分)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A ．2B ．1C ．0D ．－2解析：本题主要考查函数奇偶性的应用，考查运算求解能力和转化思想．由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.答案：D2．(2013广东，5分)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：本题考查函数的奇偶性，考查考生对函数性质——奇偶性的了解．由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数．答案：C3．(2013湖南，5分)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：本题主要考查奇函数与偶函数的定义和解方程组，意在考查考生的化简能力．由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.答案：B4. (2013安徽，5分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：本题主要考查函数解析式的求法，意在考查考生对函数解析式的理解，以及对抽象函数的化归与转化能力．当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )．又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2. 答案：－x (x ＋1)25．（2012山东，5分）定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝() A．335B．338C．1 678 D．2 012解析：由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.答案：B6．（2011广东，5分）设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)－|g(x)|是奇函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数解析：设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数，又可判断其他选项不恒成立．答案：D7．（2011安徽，5分）设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x) ＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x>0，则－x<0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.答案：A8．（2010山东，5分）设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，因为当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：A9．（2010安徽，5分）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝()A．－1 B．1C．－2 D．2解析：由于函数f(x)的周期为5，所以f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1.答案：A10.（2011浙江，4分）若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析：由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.答案：0。

[课堂练通考点]1．函数y ＝x |x |的图像经描点确定后的形状大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >00，x ＝0－x 2，x <0为奇函数，奇函数图像关于原点对称．2．(2013·北京高考)函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图像，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.3．(2013·湖南高考)函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由已知g (x )＝(x －2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f (2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图像的下方，故函数f (x )＝2ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图像有2个交点．4.已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝logf (x )的定义域是________．解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝logf (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )>0的x ∈(2,8]． 答案：(2,8]5．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图像，观察图像可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．函数f (x )＝2x 3的图像( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称解析：选D 显然函数f (x )＝2x 3是一个奇函数，所以其图像关于原点对称．2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )解析：选B 当x <0时，函数的图像是抛物线；当x ≥0时，只需把y ＝2x 的图像在y 轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图像为B.3．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 解析：选A y ＝2x ―――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.故选A.4．(2013·四川高考)函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.5.(创新题)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x >0)，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时， －1<x －1≤0， f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数， 如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)，故选A.6．已知下图(1)中的图像对应的函数为y ＝f (x )，则下图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝－f (|x |)；④y ＝f (－|x |)．解析：由图(1)和图(2)的关系可知，图(2)是由图(1)在y 轴左侧的部分及其关于y 轴对称图形构成的，故选④.答案：④7．函数f (x )＝x ＋1x图像的对称中心为________．解析：f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，把函数y ＝1x的图像向上平移1个单位，即得函数f (x )的图像．由y ＝1x的对称中心为(0,0)，可得平移后的f (x )图像的对称中心为(0,1)． 答案：(0,1)8．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1， ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0 9．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R.当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点， 原方程有两个解．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解：(1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·浙江高考)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx －2的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，所以函数y＝kx －2的图像恒过点(0，－2)，根据图像易知，两个函数图像有两个交点时，0<k <1或1<k <4. 答案：(0,1)∪(1,4)。

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用第4节 函数的图像考点 函数解析式与图象1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为2 33，显然当x ＝0时，y ＝2 33，且函数y ＝f (x )是递增函数，可排除B ；由平行线分线段成比例定理可知BEAB ＝1－cosx21，即BE＝2 33⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，所以y ＝2EB ＋BC ＝2 3－4 33 cos x2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D.答案：D2．(2013北京，5分)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D. e－x －1解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案：D3．(2013四川，5分)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.答案：C4．(2013浙江，4分)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________.解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f (a )＝a －1＝3，得a ＝10.答案：105. (2012新课标全国，5分)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B. 答案：B6. (2011山东，5分)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是( )解析：y ′＝12－2cos x ，令y ′＝0，得cos x ＝14，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y ＝x 2－2sin x 有无穷多个极值点，函数y ＝x2－2sin x 是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C 的图像．答案：C7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝5π4时，P 点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C. 法二：由题意知P (2cos(t －π4)，2sin(t －π4))，∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2|sin(t －π4)|，当t ＝0时，d ＝2； 当t ＝π4时，d ＝0.故选C.答案：C8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310]．答案：B9. (2009·安徽，5分)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )解析：当x >b 时，y >0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C 正确．答案：C。

[课堂练通考点]1．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 图像①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图像②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.2．(2013·张家口模拟)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40]B ．[160，＋∞)C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．∅解析：选C 函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在[5,20]上是单调函数，应有k 8≤5或k 8≥20，即k ≤40或k ≥160，故选C.3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)， ∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.答案：f (x )＝12(x －2)2－14．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4ac －164a ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac －4＝0.答案：a >0，ac ＝45．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·济南模拟)函数y ＝x －x 13的图像大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x 可得x 2>1，即x >1，结合选项，选A.2．已知二次函数的图像如图所示，那么此函数的解析式可能是( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋1B ．y ＝－x 2－2x －1C ．y ＝－x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2＋2x ＋1解析：选C 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题图像得：a <0，b <0，c >0.选C.3．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．(2013·浙江高考)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：选A 由f (0)＝f (4)得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0.5．关于x 的二次方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <0B ．0<m <3C ．m <－3或m >0D ．m <0或m >3解析：选A 由题意知⎩⎨⎧Δ＝16m 2－4(m ＋3)(2m －1)>0， ①x 1＋x 2＝4m m ＋3<0， ②x 1·x 2＝2m－1m ＋3<0， ③由①②③得－3<m <0，故选A.6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件． 解析：函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．答案：充分不必要7．(2014·中山一模)若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a >4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案：18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＝5，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5. ∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． 答案：{x |－7<x <3} 9．已知幂函数f (x )＝x21()m m －＋(m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：∵幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝221()m m －＋，即212＝221()m m －＋ .∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *， ∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1， 解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1.(创新题)已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. ∴m －n 的最小值是1.2．(2013·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像如图所示，结合图像可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图像有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2。

[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g ，付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g ，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g 需增加邮费0.80元(信的质量在100 g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g ，则他应付邮费( )A ．3.20元B ．2.90元C ．2.80元D ．2.40元解析：选A 由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A. 2．(2014·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y 最适合的拟合函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是关于经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成____________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )． 答案：y ＝a (1－p %)x (0<x ≤m )4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.4.某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ， 把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8， ∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S .则S 最小时，电梯所停的楼层是( )A ．7层B ．8层C ．9层D ．10层解析：选C 设所停的楼层为n 层，则2≤n ≤12，由题意得：S ＝2＋4＋…＋2(12－n )＋1＋2＋3＋…＋(n －2)＝(12－n )(26－2n )2＋(n －2)[1＋(n －2)]2＝32n 2－532n ＋157，其对称轴为n ＝536∈(8,9)，又n ∈N *且n 离9的距离较近，故选C.6.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②7.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm,20 cm8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000， 即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66， 令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20. 答案：209．(2013·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例． 解：(1)y 关于x 的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22. 所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.10．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立， 由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·威海高三期末)对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π4的旋转性的是( )A ．y ＝xB ．y ＝ln xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x 2解析：选C 函数f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角π4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C.2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *) 16。

[课堂练通考点]1．(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝( )A ．－1B ．－3C ．1D ．3解析：选A 由题意得，f (－2)＝－f (2)＝－log 3(1＋2)＝－1. 2．(2013·广东高考)函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C. 3．函数y ＝ln1|2x －3|的图像为( )解析：选A 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1. 5．(2013·南京模拟)若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是________．解析：当2a >1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a 21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a>1. ∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a .∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意． 综上所述，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 答案：⎝⎛⎭⎫12，16．(2013·北京高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．解析：当x ≥1时，log 12x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( ) A ．(0,8] B ．(2,8] C ．(－2,8]D ．[8，＋∞)解析：选C 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .3．(2013·全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：选D a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m >0时，f (m )<f (－m )⇒log 12m <log 2m ⇒m >1；当m <0时，f (m )<f (－m )⇒log 2(－m )<log 12(－m )⇒－1<m <0.所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．5．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C 依题意得f (3)＝log 122＝－1<0，log 122<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 6．计算：(log 29)·(log 34)＝________.解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：47．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.答案：(－∞，－3]8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.解析：由2a ＝5b ＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋1b ＝2，即1log 2m ＋1log 5m ＝2， ∴1lg m＝2，即m ＝10. 答案：109．(2014·长春模拟)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域． (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为 (－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．解：当a >1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ log a 13≥－1，log a 2≤1，解得a ≥3. ∴此时a 的取值范围是a ≥3.当0<a <1时，f (x )＝log a x 在⎣⎡⎦⎤13，2 上单调递减， 要使x ∈⎣⎡⎦⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧log a 13≤1，log a 2≥－1，解得0<a ≤13.∴此时，a 的取值范围是0<a ≤13.综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，13∪[3，＋∞)． 第Ⅱ组：重点选做题1．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎡⎦⎤－1，43 C.⎣⎡⎭⎫0，32 D ．[1,2)解析：选D 当2－x ≥1，即x ≤1时，f (x )＝|ln(2－x )|＝ln(2－x )，此时函数f (x )在(－∞，1]上单调递减．当0<2－x ≤1，即1≤x <2时，f (x )＝|ln(2－x )|＝－ln(2－x )，此时函数f (x )在[1,2)上单调递增，故选D.2．(2013·无锡模拟)若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)，x 的取值范围是________． 解析：因为g (lg x )>g (1)，所以f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1.解得0<x <110或x >10.答案：⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)。

第二章 函数、导数及其应用 2.11 导数在研究函数中的应用练习 理[A 组·基础达标练]1．函数f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2的极值点是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1C ．x ＝2D ．x ＝0，x ＝1和x ＝2 答案 D解析 f ′(x )＝4x 3－12x 2＋8x ＝4x (x 2－3x ＋2)＝4x (x －1)(x －2)，则结合列表可得f (x )的极值点为x ＝0，x ＝1和x ＝2.2．[2015·某某一检]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞) 答案 B解析 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)，选B.3．[2016·某某师大附中月考]若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518B ．(－∞，3]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞) 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0，即t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，因为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.4．[2013·某某高考]已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12答案 D解析 f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y ＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0， 当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0， 当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12，故选D.5．[2015·某某一模]若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )>1，f (0)＝4，则不等式f (x )>3ex ＋1(e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞) 答案 A解析 由f (x )>3ex ＋1得，e x f (x )>3＋e x ，构造函数F (x )＝e x f (x )－e x－3，对F (x )求导得F ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由f (x )＋f ′(x )>1，e x >0，可知F ′(x )>0，即F (x )在R 上单调递增，又因为F (0)＝e 0f (0)－e 0－3＝f (0)－4＝0，所以F (x )>0的解集为(0，＋∞)，所以选A.6．[2013·某某高考]已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，f ′(x )＝x e x－1，f ′(1)≠0，故A ，B 错；当k ＝2时，f (x )＝(e x－1)(x －1)2，f ′(x )＝(x 2－1)e x －2x ＋2＝(x －1)[(x ＋1)e x－2]，故f ′(x )＝0有一根为x 1＝1，另一根x 2∈(0,1)．当x ∈(x 2,1)时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值，故选C.7．[2016·东北八校月考]已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．答案 4解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′1＝3×12＋6a ×1＋3b ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2， ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值X 围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内， 函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调， 由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．答案 －13解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， 根据已知2a3＝2，得a ＝3，即f (x )＝－x 3＋3x 2－4.根据函数f (x )的极值点，可得函数f (m )在[－1,1]上的最小值为f (0)＝－4，f ′(n )＝－3n 2＋6n 在[－1,1]上单调递增，所以f ′(n )的最小值为f ′(－1)＝－9.[f (m )＋f ′(n )]min ＝f (m )min ＋f ′(n )min ＝－4－9＝－13. 10．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x .(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]<－13，某某数x 的取值X 围．解 (1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x >0，∴4x 2＋3x ＋1>0，x (1＋2x )2>0. ∴当x >0时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]<－13得f [x (3x －2)]<f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x 3x －2>0x3x －2<1，解得－13<x <0或23<x <1.综上所述，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.11．[2015·某某一检]已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，某某数a 的值． 解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增， ∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .(2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0， 与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 2－12，－x 0＝－2ax 30－23e解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.12．[2016·某某检测]已知f (x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m 的取值X 围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)，其定义域为(－∞，＋∞)．则f ′(x )＝e x(x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2)＝x e x (x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x， ∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增； 在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值； 当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2， f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x [x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2]． ∵f (x )在[－2，－1]上单调递增， ∴当x ∈[－2，－1]时，f ′(x )≥0. 又∵当x ∈[－2，－1]时，x e x<0， ∴当x ∈[－2，－1]时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝－22－2m ＋3＋2m －2≤0，f ′－1＝－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4，∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在[－2，－1]上单调递增．[B 组·能力提升练]1．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－5，1)B ．[－5，1)C ．[－2,1)D ．(－5，－2] 答案 C解析 f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f (x )在区间(a,6－a 2)上有最小值， 则函数f (x )极小值点必在区间(a,6－a 2)内， 即实数a 满足a <1<6－a 2且f (a )＝a 3－3a ≥f (1)＝－2. 解a <1<6－a 2，得－5<a <1， 不等式a 3－3a ≥f (1)＝－2，即a 3－3a ＋2≥0，即a 3－1－3(a －1)≥0， 即(a －1)(a 2＋a －2)≥0， 即(a －1)2(a ＋2)≥0， 即a ≥－2.故实数a 的取值X 围是[－2,1)． 故选C.2．[2016·某某调研]已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x ，则下列结论中正确的是( )A ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数B ．若x 1，x 2(x 1<x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数C ．∀x >0，且x ≠1，f (x )≥2D ．∃x 0>0，f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数 答案 D解析 由已知得，f ′(x )＝1x ·ln 2x －1ln 2x(x >0且x ≠1)，令f ′(x )＝0，得ln x ＝±1，得x ＝e 或x ＝1e.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1e，1，x ∈(1，e)时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.故x ＝1e和x ＝e 分别是函数f (x )的极大值点和极小值点，但是由函数的定义域可知x ≠1，故函数f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 内不是单调的，所以A ，B 错；当0<x <1时，ln x <0，此时f (x )<0，C 错；只要x 0≥e，则f (x )在(x 0，＋∞)内是增函数，D 正确．3．[2015·某某高考]已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)． 答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立． ③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )， 则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2x ln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0， 得2xln 2＝2x ＋a .由y ＝2x ln 2与y ＝2x ＋a 的图象知， 存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ， 此时h (x )在R 上是增函数． 若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )， 则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0， 即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时y 1>y 2，x <x 0时y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0， 故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立． 综上，①④正确．4．已知函数f (x )＝e x－ln (x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. 解 (1)f ′(x )＝e x－1x ＋m. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln (x ＋1)，x ∈(－1，＋∞)． 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln (x ＋m )≤ln (x ＋2)，故只需证当m ＝2时f (x )>0. 当m ＝2时，f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一的解x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故当x ＝x 0时，f (x )取极小值． 故f ′(x )＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上所述，当m ≤2时，f (x )>0.。

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用 第1节 函数及其表示考点一 函数的定义域与值域1．(2013山东，5分)函数f (x )＝ 1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]解析：本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算能力．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.答案：A2．（2013江西，5分）函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B.[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]解析：本题考查函数的定义域，意在考查考生的运算能力．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ≥0，解得0≤x <1，即所求定义域为[0,1)．答案： B3．（2013辽宁，5分）已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：本题主要考查函数的奇偶性、对数的运算、判断两个对数的关系，意在考查考生准确找出问题切入点的能力，从而使计算简化．由已知，得f (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＋1，所以f (x )＋f (－x )＝2.因为lg 2，lg 12互为相反数，所以f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2. 答案： D4．（2013安徽，5分）函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋ 1－x 2的定义域为________．解析：本题主要考查函数定义域的求法以及不等式组的解法，意在考查考生的运算求解能力．根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]．答案：(0,1]5．（2012江西，5分）下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x的定义域为{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln x x 的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.答案：D6．（2011广东，5分）函数ƒ(x )＝11－x ＋lg (1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠01＋x ＞0得x ＞－1且x ≠1，即函数ƒ(x )的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．答案：C7．（2010山东，5分）函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：因为3x ＋1＞1，所以f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案：A8．（2010广东，5分）函数f (x )＝lg(x －2)的定义域是________． 解析：由x －2>0，可得x >2. 答案：(2，＋∞)考点二 分段函数1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0] B.(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析：本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)＞ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，选择D.答案：D2．（2013福建，4分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π4＝－1，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－23．（2013北京，5分）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log x ， x ≥1，2x ， x <1的值域为________．解析：本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x ≥1时，log x ≤0，当x <1时，0<2x <2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案：(－∞，2)4．（2012江西，5分）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. 答案：B5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15(1)，所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16.答案：D6．（2012江苏，5分）设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f (32)＝f (－12)，且f (－1)＝f (1)，故f (12)＝f (－12)，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2. ① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a . ② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－107．（2011江苏，5分）已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34.答案：－34考点三 函数的解析式与图像1．(2013江西，5分)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：本题为江西的特色题——图形题，考查三角函数的定义及三角恒等变换，意在考查考生的识图能力．由题图知正三角形的高为1，则边长为2 33，显然当x ＝0时，y ＝2 33，且函数y ＝f (x )是递增函数，可排除B ；由平行线分线段成比例定理可知BEAB ＝1－cosx21，即BE＝2 33⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，所以y ＝2EB ＋BC ＝2 3－4 33 cos x2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D.答案：D2．(2013北京，5分)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D. e－x －1解析：选D 本题考查函数的平移及对称性，意在考查考生对基础知识的掌握情况．与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案：D3．(2013四川，5分)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：本题考查函数的图象及其性质，意在考查考生对函数的定义域及值域等知识的理解与掌握．因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错，故选C.答案：C4．(2013浙江，4分)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________.解析：本题主要考查函数的概念与函数值的计算，属于简单题，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由f (a )＝a －1＝3，得a ＝10.答案：105. (2012新课标全国，5分)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x ，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：函数的定义域是(－1,0)∪(0，＋∞)，值域是(－∞，0)，所以其图像为B. 答案：B6. (2011山东，5分)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是( )解析：y ′＝12－2cos x ，令y ′＝0，得cos x ＝14，根据三角函数的知识知这个方程有无穷多解，即函数y ＝x 2－2sin x 有无穷多个极值点，函数y ＝x2－2sin x 是奇函数，图像关于坐标原点对称，故只能是选项C 的图像．答案：C7．(2010新课标全国，5分)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：法一：(排除法)当t ＝0时，P 点到x 轴的距离为2，排除A 、D ，由角速度为1知，当t ＝π4或t ＝5π4时，P 点落在x 轴上，即P 点到x 轴的距离为0，故选C. 法二：由题意知P (2cos(t －π4)，2sin(t －π4))，∴P 点到x 轴的距离为d ＝|y 0|＝2|sin(t －π4)|，当t ＝0时，d ＝2； 当t ＝π4时，d ＝0.故选C.答案：C8．(2010陕西，5分)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系，用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为y ＝[x ＋310]．答案：B9. (2009·安徽，5分)设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )解析：当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．答案：C。