（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-•，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．
理科函数与导数
答 案
1．A
2．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
3．6(31)n -
4．解：（Ⅰ）化简可得21()sin 3sin cos 2
f x x x x =+- 131(1cos 2)sin 2222
31sin 2cos 222
πsin(2)6
x x x x x =-+-=-=- 由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+可得π5πππ36
k x k +≤≤+， ∴()f x 的单调区间为π5π[π,π]()36
k k k ++∈Z ； （Ⅱ）由（1）知π()sin(2)6
f x x =-， 当(0,π)x ∈时，ππ11π2666
x -<-<， 结合正弦函数的图像，当ππ262x -=，即π3
x =时，()f x 取得最大值， ∵()f A 是()f x 在(0,π)上的最大值，
∴π3
A =
， 在ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即211216242b b =+-⨯⨯，
解得2b =，
∴ABC △的面积11πsin 24sin 23223S bc A ==
⨯⨯=． 5．解：（Ⅰ）()1ln ln 1x x f x x x
=+•=+' 1x =时，)1(1f '=，0(1)f =，
故()f x 在1x =处的切线方程是：1y x =-，
联立212y x y x ax =-⎧⎨'=-+-⎩
消去y 得：2(1)10x a x +-+=，
由题意得：2(1)40a -=-=△，
解得：3a =或1-；
（Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'，
1(0,)e
x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e
x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4
t <≤-时， min 111)ln )444
()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e
t -<<时， min e ()1e
)(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e
t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min
1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--⎧⎪⎪-<<≥⎪=⎨⎪⎪⎪⎩； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立，
又两次最值不能同时取到，
故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e
x x x x >-成立．
高三数学专题练习 理科函数与导数 解 析
1．解析：令12
()e ()x g x f x =，则11122211()e ()e ()e (()2())22x x x g x f x f x f x f x '''=+=+， ∵函数()f x 满足()2()0f x f x '+>，
∴()0g x '>，
∴函数()g x 在定义域内为增函数，
∴(1)(0)g g >，即12
e (1)(0)
f f >，亦即(0)(1)e f f >， 故选：A ．
2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥，
∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数，
又∵()sin ()f x x x f x -=--=-，
∴()sin f x x x =+为奇函数，
∴2222222222(23)(41)0(23)(41)
(23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤⇔-+≤--+⇔-+≤-+-⇔-+≤-+-⇔-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ⎧-+-≤⎨≥⎩
可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1
y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1
y x +的取值范围为13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
3．解析：依题意，可得右图：()2f x = 1226x x +=⨯，
34218x x +=⨯，
…，
212223n n n x x -+=⨯⨯，
2122123(31)...4(33...3)46(31)31n n
n n n x x x x --++++=⨯+++=⨯=⨯--．
