新课标II版01期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编 专题13 算法 Word版含解析

一．基础题组1.【吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测数学（理科）】给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④xxy e e -=-，其中是奇函数的是（ ） A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④2.【昆明第一中学2014届高三开学考试理科数学】已知函数00,4,4)(22<≥⎩⎨⎧---=x x x x x x x f ，若()2()0f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（ ）(A)1a <-1a >-+ (B)1>a(C)3a <3a > (D)1<a3. 【吉林省白山市高三摸底考试理科数学 （ ）A. B. C. D.4.【齐齐哈尔市2013届高三第二次模拟考试理科数学】定义在R 上的函数()()()()⎩⎨⎧>-++≤-=0,110,8log 2x x f x f x x x f ，则()2013f = （ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3-5. 【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 已知函数22log (1)1,1(),1x x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩，若()3f a =，则a = . 【答案】-3 【解析】试题分析：令2log (1)13a -+=，得3a =-，令23a -=，得a =，所以3a =-. 考点：1.分段函数；2.对数方程的解法.6.【银川一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),b c 和(),c +∞内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),a b 和(),b c 内 D.(),a -∞和(),c +∞内7.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】已知)(x f 是定义域为实数集R的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为( )（A ）)21,0(（B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞（D ）11(0,)(,2)82⋃【答案】B 【解析】8.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】已知函数()1,021,0.x x f x x ->=+≤⎪⎩，若关于x 的方程()20f x x k +-=有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为 （ ）（A ）(]1,2-（B ）(](),12,-∞+∞ （C ）(]0,1 （D ）[)1,+∞【答案】A 【解析】试题分析：作函数()x f y =、k x y +-=2的图像，如图所示，平行移动直线x y 2-=与函数()x f y =的图像有两个交点，注意()1,0-是空点，所以21≤<-k . 考点：函数的零点.9.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】 已知点(,)a b 在函数10x y =的图像上 , 则下列点中不可能在此图像上的是（ ） A.1(-,)a bB.(-1,10)a bC.(+1,10)a bD.2(2,)a b10.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】设函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数(4)()ln f x g x x=的定义域是（ ） A.[]0,1B.0,1[）C.0,1（）D.[0,1)(1,4]⋃11.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 设函数⎩⎨⎧≤+>=-0,140,log )(2x x x x f x ，则)3log ()1(2-+f f 的值为（ ）A.6B.9C. 10D. 12 【答案】C 【解析】试题分析：因为，⎩⎨⎧≤+>=-0,140,log )(2x x x x f x，所以，222(log 3)log 322(1)(log 3)log 141219110f f --+-=++=+=+=，故选C.考点：分段函数，指数、对数运算.12.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】 已知函数21,2(2)2,2x x x f x x -⎧+>⎪-=⎨≤⎪⎩，则(1)f =13.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 若函数)(x f 的零点与82ln )(-+=x x x g 的零点之差的绝对值不超过5.0， 则)(x f 可以是（ ） A.63)(-=x x f B.2)4()(-=x x f C. 1)(2-=-x ex f D.)25ln()(-=x x f二．能力题组1.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】已知，则函数的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 10,5,5+∞（]（）B. 10,[5,5+∞（））C. 11,]5,775（（）D. 11,[5,775（））3.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且在x ∈［0,1］时，()f x =kx －y ＋k ＝0(k>0)与函数()f x 的图象有且仅有三个交点，则k 的取值范围是（ ）01a <<|||log |x a y a x =-A ．B ．C ．11(,)32D ．11(,)1534.【银川一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程()x x f 3log =的零点个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 多于4个 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意可得()f x 是以2为周期的偶函数，画出()f x 和3log ||x 的图象，它们有4个交点，故方程()x x f 3log =的零点个数是4个，选C.考点：1.函数奇偶性；2.函数图象.3.函数与方程.5.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 函数)2(log 1)(2≥+=x x x f 的反函数=-)(1x f________________．6. 【银川一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题：①当0x >时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ ④12,x x R ∀∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确命题个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】试题分析：设0x >，则0x -<，故()(1)()xf x e x f x --=-+=-，所以()(1)xf x e x -=--+，故①错；因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又0,(1)0x f <-=时，0(1)0x f >=时，，7.【云南省玉溪一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 设函数()f x 满足()(),f x f x -=且当0x ≥时，1()()4x f x =，又函数()sin g x x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为 （ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】设a b c ，，分别是方程11222112=log ,()log ,()log ,22x x x x x x == 的实数根 , 则有（ ） A.a b c << B.c b a << C.b a c << D.c a b <<9.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知函数x x P x f -⋅-=22)(，则下列结论正确的是 （ ）A ．1=P ，)(x f 为奇函数且为R 上的减函数B ．1-=P ，)(x f 为偶函数且为R 上的减函数C ．1=P ，)(x f 为奇函数且为R 上的增函数D ．1-=P ，)(x f 为偶函数且为R 上的增函数10.【银川一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】关于函数)0(||1lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ．1()lg()lg 2f x x x=+≥，由于为偶函数故当0x <时，()lg 2f x ≥，所以③正确⑤错. 考点：1.函数奇偶性；2.对号函数.11.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知)(x f y =与x x g ln )(=互为反函数，若01)()2(>+-x af x f 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A.2<aB.2>aC.22<<-aD.2->a三．拔高题组1. 【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 函数x x f 2log 1)(+=与)(x g y =的图像关于直线x y =对称，则=)3(g .2.【银川一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（ ）A. (,0]-∞B. (,1]-∞C. [2,1]-D. [2,0]-【答案】D3.【云南师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】已知偶函数()f x 对x R ∀∈满足(2+)=(2-)f x f x ，且当-20x ≤≤时，2()=log (1)f x x -，则(2013)f 的值为（ ）A.2011B.2C.1D.04. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知1)2ln ()(--=a ax x f 在区间]1,0(上单调递减，则实数a 的取值范围是____. 【答案】0a <或12a <<【解析】试题分析：1a >时，10a ->，2u ax =-是减函数，ln y u =是增函数，同时须2u ax =-在]1,0(满足大于0，即20a ->，所以，12a <<；01a <<时，10a -<，2u ax =-是减函数，ln y u =是增函数，函数1)2ln()(--=a ax x f 为增函数；。

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.33 B.93 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii tty y b tt∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由131n n a a +=+得 n 111a 3().22n a ++=+ 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标II理科数学注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．做选考题时，考生按照题目要求做答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}2,1,0{=M ，}023|{2≤+-=x x x N ，则=N M（）A 、}1{B 、}2{C 、}1,0{D 、}2,1{2．设复数1z ，2z 在复平面内对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=21z z（）A 、5-B 、5C 、i +-4D 、i --4 3．设向量a ，b 满足10||=+b a，6||=-b a ，则=⋅b a（）A 、1B 、2C 、3D 、5 4．钝角三角形ABC 的面积是21，AB=1，BC=2，则AC=（）A 、5B 、5C 、2D 、15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.456．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （）A 、2717B 、95 C 、2710D 、317．执行下边的程序框图，如果输入的x ，t 均为2， 则输出的S= （ ）A 、4B 、5C 、6D 、78．设曲线)1ln(+-=x ax y 在点（0，0）处的切线方程为x y 2=，则=a（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39．设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-≤-+05301307y x y x y x ，若y x z +=2的最大值为（ ）A 、10B 、8C 、3D 、210．设F 为抛物线C ：x y 32=的焦点，过F 且倾角为30的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△ABC 的面积为（ ）A 、433 B 、839C 、3263D 、49 11． 直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）A 、101B 、52C 、1030D 、22 12．设函数mxx f πsin3)(=，若存在)(x f 的极值点0x 满足22020)]([m x f x <+，则m 的取值范围是（ ）A 、),6()6,(+∞--∞B 、),4()4,(+∞--∞C 、),2()2,(+∞--∞D 、),1()1,(+∞--∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

掌门1对1教育 高考真题2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.33 B.938 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与 O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交 O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题 （13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由131n n a a +=+得 n 111a 3().22n a ++=+ 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 由已知得{}12N x x=剟，因为{}0,1,2M =，所以{}1,2MN =，故选D.2. 解析 由题意得22z i =-+，()()12225z z i i =+--=-，故选A.3. 解析 由a b +22210a b a b ++⋅=， ①由a b -=2226a b a b +-⋅=， ②-①②得44a b ⋅=，所以1a b ⋅=，故选A.4. 解析 111s i n 2s i n 222ABC S AB BC B B =⋅=⨯=△，所以sin B =，若45B ∠=，则由余弦定理得1AC =，所以ABC △为直角三角形，不符合题意，因此0135B ∠=，由余弦定理得2222cos 12215AC AB BC AB BC B ⎛=+-⋅=+-⨯= ⎝⎭，所以AC = B.5. 解析 由条件概率可得所求概率为0.60.80.75=，故选A. 6. 解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2cm ，高是4cm ；另一个圆柱的底面半径为3cm ，高为2cm .设零件的体积()2231π24π3234πV cm =⨯⨯+⨯⨯=.而毛坯的体积()23π3654πV cm =⨯⨯=，因此切削掉部分的体积()32154π34π20πV V V cm =-=-=，所以220π1054π27V V ==.故选C. 评注 本题考查了三视图和圆柱的体积，考查了空间想象能力和运算求解能力，正确得到零件的直观图是求解的关键.7． 解析 1k =，1222351M S =⋅==+=；2k =，2222572M S =⋅==+=；3,k = 3t >，所以7S =，故选D. 8. 解析 11y a x '=-+，0x =时，12y a '=-=， 所以3a =，故选D.9. 解析 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由70,310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得，()5,2A .当直线2x y z -=过点A 时，2z x y =-取最大值.其最大值为2528⨯-=.故选B.10. 解析 易知直线AB的方程为34y x ⎫=-⎪⎝⎭，与23y x =联立并消去x得2490y --=.设()11,A x y ，()22,B x y，则12y y +=1294y y =-.12119224AB S OF y y =⋅-==△O .故选D.评注 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合和运算求解的能力.利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键.11. 解析 解法一：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知//BM QN ，则ANQ ∠即为所求，设12BC CA CC ===，则AQ AN QN所以222cos 2AN NQ AQ ANQ AN NQ +-∠===⋅，故选C.解法二：以1C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则C 1B 1A 1QN MCBA()2,0,2A ，()1,0,0N ，()1,1,0M ，()0,2,2B ，所以()1,0,2AN =--，()1,1,2BM =--，所以cos ,5AN BM AN BM AN BM⋅====，故选C.12. 解析 ()πx fx m'=，所以()f x 得极值点为0x ，所以()0f x '=，所以 0π0x m =，所以0πππ,2x k k m =+∈Z ，所以0m,2x mk k =+∈Z ，又因为 ()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，所以222m ππ22mk k m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ,k ∈Z ，即222132m k m ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，因为0m ≠，所以222132m k m -⎛⎫+< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，又因为存在0x 满足()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，即存在k ∈Z 满足上式，所以222min312m k m ⎡⎤-⎛⎫>+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以222312m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2234m m ->，所以24m >，所以2m >或2m <-，故选C. 评注 本题考查了函数的极值问题，三角函数求值、恒成立等问题.考查分析问题、解决问题的能力.13. 解析 10110C r r r r T x a -+=，令107r -=，得3r =，所以3310C 15a =，即3109815321a ⨯⨯=⨯⨯，所以318a =，所以12a =. 14. 解析 ()()()s i n 2s i nc o s fx x x ϕϕϕϕ=⎡++⎤-+⎣⎦= ()()()sin cos cos sin 2sin cos x x x ϕϕϕϕϕϕ+++-+=()()sin cossin cos x x ϕϕϕϕ+-+=()sin sin x x ϕϕ+-=，所以()f x 的最大值为1.15. 解析 因为()20f =，()10f x ->，所以()()12f x f ->，又因为()f x 是偶函数且在[)0,+∞上单调递减，所以()()12f x f ->，所以12x -<，所以212x -<-<，所以13x -<<，所以()1,3x ∈-.评注 本题考查了偶函数的性质，利用()()f x f x =是求解的关键.16. 解析 解法一：当00x =时，()0,1M ，由圆的几何性质得在圆上存在点()1,0N -或()1,0N ，使045OMN ∠=.当00x ≠时，过M 作圆的两条切线，切点为A ，B .若在圆上存在N ，使得045OMN ∠=，应有045OMB OMN ∠∠=…，所以090AMB ∠…，所以010x -<…或001x <….综上，011x -剟.解法二：过O 作OP MN ⊥，P 为垂足，0sin 451OP OM =⋅…，所以01sin 45OM …，所以22OM …，所以2012x +…，所以201x …，所以011x -剟.评注 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.17. 解析 （I ）由131n n a a +=+得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. 1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=.（II ）由（I ）知1231n n a =-.因为当1n …时，13123n n --⨯…，所以1113123n n --⨯….于是112111113131133232n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-< ⎪⎝⎭….所以1211132na a a ++⋅⋅⋅+<. 评注 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题，放缩求和是本题的难点.18. 解析 （I ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以//EO PB .又EO ⊂ //PB ，PB ⊄平面AEC ，所以 //PB 平面AEC .（II ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()D，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设()(),0,00B m m >，则()C m，()AC m =.设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量，则110,0,AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即0,10,2mx y z ⎧+=+=可取1=-⎝n .又()21,0,0=n 为平面DAE的法向量，由题设121cos ,2=n n ，12，解得32m =.因为E 为PD 的中点，所以三角锥E ACD -的高为12.三角锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=.评注 本题考查线面平行的判定，利用空间向量解二面角问题，考查了学生的空间想象能力. 19. 解析 （I ）由所给数据计算得()1123456747t =⨯++++++=，()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =⨯++++++=，()271941014928i i t t =-=++++++=∑，()()()()()()()()71=3 1.42110.7+00.1+10.5+20.9+3 1.6ii i tty y =---⨯-+-⨯-+--⨯⨯⨯⨯∑=14，()()()7127114ˆ0.528ii i ii tt y y btt ==--===-∑∑，ˆˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=，所求回归方程为ˆ0.5 2.3yt =+. （II ）由（I ）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（I ）中的回归方程，得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=千元，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 评注 本题考查了回归直线方程的求解，注意回归直线恒过点(),t y 是关键，考查了回归系数ˆb的几何意义.考查了学生的计算求解能力.20. 解析 （I）根据c 2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，223b ac =.将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =或c a =2-（舍去）.故C 的离心率为12. （II ）由题意，得原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =. ① 由15MN F N =得112DF F N =.设()11,N x y ，由题意知10y <，则()112,22,c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及c 代入②得()22941144a a a a-+=. 解得7a =，2428b a ==，故7a =，b =评注 本题考查了椭圆的几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.21. 解析 （I ）()e e 20x x f x -'=+-…,等号仅当0x =时成立.所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增.（II ）（()()()()()2224e -e 4e -e 84x x x x g x f x bf x b b x --=-=-+-，()()()222e +e 2e +e 42x x x xg x b b --⎡⎤'=-+-⎣⎦()()2e +e 2e +e 22x x x x b --=--+. （i ）当2b …时，()0g x '…，等号仅当0x =时成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增. 而()g x =0，所以对任意0x >，()0g x >.（ii ）当2b >时，若x 满足2e +e 22x xb -<<-，即(0ln 1x b <<-+时，()0g x '<.而()00g =，因此当(0ln 1x b <<-时，()0g x <. 综上，b 的最大值为2. （III ）由（ii）知，(()3221ln 22g b =-+-.当2b =时，(36ln202g =->，ln 20.6928>>；当1b =+时，(ln 1b -=(()32ln202g =--<，n 20.6934<<.所以ln2的近似值为0.693.评注 本题考查了导数的应用，同时考查了分类讨论思想和运算能力. 22. 解析 （I ）连接AB ，AC ，由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠. 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠， 所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =.因此BE EC =.（ii ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以AD DE ⋅=22PB .评注 本题考查了圆的切割线定理，相交弦定理，考查了推理论证能力. 23. 解析（I ）C 的普通方程为()()221101x y y-+=剟.可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数，)0πt 剟.（II ）设()1c o s ,s i n D t t +.由（I ）知C 是以C ()1,0为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan t =π3t =.故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭. 评注 本题考查了极坐标化平面直角坐标，普通方程化参数方程的方法，考查了数形结合思想.24. 解析（I ）由0a >，得()()1112f x x x a x x a a a a a=++-+--=+厖.EP所以()2f x ….（II ）()1333f a a =++-.当3a >时，()13f a a=+，由()35f <得3a <<当03a <…时()136f a a=-+，由()35f <3a <….综上，a 的取值范围是⎝⎭.评注 本题考查了含绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想.。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点， 故=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点， 故=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】2K：命题的真假判断与应用；7A：二元一次不等式的几何意义．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】5M：推理和证明．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n（a n+2﹣a n）=λa n+1+1≠0，∵a n+1∴a n﹣a n=λ．+2（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5H：空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g （x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．【考点】NB：弦切角；NC：与圆有关的比例线段．【专题】15：综合题；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【考点】RI：平均值不等式．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标II 卷数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设集合{}0,1,2M =，{}2|320N x x x =-+≤，则M N =( )（A ）{}1 （B ）{}2 （C ）{}0,1 （D ）{}1,22．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =( )（A ）5- （B ）5 （C ）4i -+ （D ）4i --3．设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）54．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC = ( ) （A ）5 （B（C ）2 （D ）15．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( )（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.6 （D ）0.456．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )（A ）1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）137．执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =( ) （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78．设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a = ( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）39．设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为( ) （A ）10 （B ）8 （C ）3 （D ）210．设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为030的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）（A（B（C ）6332 （D ）94 11．直三棱柱111ABC A B C -中，090BCA ∠=，,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为 ( )（A ）110 （B ）25 （C（D12．设函数()x f x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是( ) （A ）()(),66,-∞-+∞ （B ）()(),44,-∞-+∞ （C ）()(),22,-∞-+∞ （D ）()(),14,-∞-+∞二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。